1 IF UFRJ 2004 Física 1 onitoria (FB) Sistema de Partículas 1 Semanas 6 e 7 Exercício 1. Um corpo de massa m 1 está sobreoeixox no ponto x 1. Outro corpo de massa m 2 está sobreoeixox no ponto x 2. Determine o valor da distância entre o centro de massa do sistema constituído pelos dois corpos eocorpodemassam 1. Aplique este resultado aos casos em que m 2 = m 1 e m 2 =2m 1. Exercício 2. Obtenha a posição do centro de massa de um sistema de duas partículas, de massas m 1 =1kgem 2 = 3 kg, em repouso nas posições ~r 1 =5î +2ˆ e ~r 2 =î 3ˆ. Calcule a distância de cada uma das massas ao centro de massa do sistema. As posições estão dadas em metros. Exercício 3. Um sistema écompostodetrês partículas de massas 3 kg, 2kge5kg.Aprimeirapartícula tem velocidade ~v 1 =6ˆ (m/s). A segunda está se movendo com uma velocidade de 8 m/s numa direção que faz um ângulo de 30 com o eixo x. Determine a velocidade da terceira partícula sabendo que o centro de massa do sistema está em repouso relativamente ao observador. Exercício 4. Uma barra cilíndrica homogênea de 3 m z de comprimento é dobrada duas vezes em ângulo reto, a intervalos de 1 m, de modo a formar três arestas consecutivas de um cubo. Ache as coordenadas do O 1m 1m y centro de massa da barra, no sistema de coordenadas da figura. x 1m Exercício 5. Uma placa homogênea fina de raio R tem um buraco circular como mostrado na figura. Encontre x aposição do centro de massa da placa usando o sistema de coordenadas da figura. Exercício 6. Um sistema écompostodetrês partículas demassas3kg,2kg e 5 kg. A primeira partícula tem uma velocidade ~v 1 =6ˆ (m/s). A segunda está se movendo com uma velocidade de 8 m/s numa direção que faz um ângulo de 30 com o eixo x. Determine a velocidade da terceira partícula sabendo que o centro de massa do sistema está em repouso relativamente ao observador. y
Fís1 2004 Ex.onit. p.2 Exercício 7. Duas partículas P e Q estão inicialmente em repouso, separadas por uma distância de 1 m. A partícula P tem massa m 1 =3, 0kg,eQ tem massa m 2 =5, 0 kg. Elas atraem-se mutuamente com uma força constantedemódulo 0,35 N. Nenhuma força externa atua sobre este sistema. (a) Descreva o movimento do centro de massa do sistema. (b) A que distância da posição original de P as partículas vão colidir? Exercício 8. Umcorpodemassaiguala8,0kgdesloca-secomvelocidadede 2,0 m/s sem influência de qualquer força externa. Num certo instante, ocorre uma explosão interna e o corpo divide-se em dois fragmentos, de 4,0 kg cada. Com a explosão, uma energia cinética de translação de 36 J é transmitida ao sistema formado pelos dois fragmentos. Nenhum dos dois deixa a linha do movimento inicial. Determine a velocidade e o sentido do movimento de cada fragmento depois da explosão. Exercício 9. Uma granada que está caindo verticalmente explode em dois fragmentos iguais quando se encontra a uma altura de 2000 m e tem uma velocidade para baixo de 60 m/s. Imediatamente após a explosão, um dos fragmentos está se movendo para baixo com velocidade de 80 m/s. Obtenha aposição do centro de massa do sistema 10 s após a explosão. Exercício 10. Um avião, cuja massa total é, emvôo horizontal planado (com motor desligado) com velocidade de módulo v dispara para frente um foguetedemassam. O foguete sai com velocidade horizontal de módulo v c em relação ao avião (medida pelo piloto após o lançamento). Calcule as velocidades do avião e do foguete em relação à Terra imediatamente após o disparo. Exercício 11. Um cachorro de 5,0 kg está depé, parado dentro de um barco cujo extremo encontrase a 6 m da margem, como mostrado na figura. Ele anda 2,4 m sobre o barco em direção àmargem, edepoispára. O barco tem uma massa de 20 kg, e supõe-se não haver atrito entre ele e a água. A que distância da margem estará o barco no final da caminhadadocachorro? 6 m 2,4 m Exercício 12. Em uma mesa horizontal, um sistema formado por duas massas m 1 = 1 kg e m 2 = 3 kg ligadas por uma haste rígida de massa desprezível e comprimento igual a 20 cm está em repouso na posição indicada
Fís1 2004 Ex.onit. p.3 na figura. Num certo instante t = 0, passam a atuar as forças F ~ 1 =3ˆ e F ~ 2 = 4î (dadas em Newtons) respectivamente sobre as massas 1 e 2. Despreze o atrito com a mesa. (a) Encontre a aceleração do centro de massa do sistema. (b) Calcule a posição do centro de massa do sistema como função do tempo. (c) Que tipo de trajetória descreverá o centro de massa? (d) Responda aos itens anteriores no caso em que a haste rígida for substituída por uma mola de comprimento natural 20 cm e constante elástica k =0, 1N/cm. y (cm) 5 5 15 Exercício 13. Calcule a magnitude (em kgf) da força impulsiva que atua em cada um dos exemplos a seguir: (a) Num saque de jogo de tênis, a bola, de massa igual a 60 g, élançada com uma velocidade de 40 m/; o tempo de contatocomaraqueteé da ordem de 0,005 s. (b) Um jogador de futebol cobra um pênalti, chutando a bola com uma velocidade de 20 m/s. A massa da bola éde450geaduração do chute édaordemde0,01s. (c)uma pessoade80kgpuladoaltodeummurode2,5mdealtura,caindoempé (sem dobrar os joelhos). A duração do impacto éde0,01s. Émelhordobrar os joelhos! (d) Um carro de 1,5 tonelada, a 60 km/h, bate num muro. A duração do choque éde0,1s. Exercício 14. Uma bola de 1,0 kg cai verticalmente sobre o solo, com velocidade de 25 m/s. Ela érebatidaparacimaevoltacomumavelocidade de 10 m/s. (a) Que impulso age sobre a bola, durante o contato com o solo? (b) Se a bola ficou em contato com o solo durante 0,020 s, qual a força média exercida sobre o solo? Exercício 15. Uma bola de borracha de massa 1 kg, que move-se sobre uma mesa plana sem atrito com velocidade constante de 2 m/s, colide frontalmente com um bloco de massa 100 kg, em repouso. O choque é perfeitamente elástico. Quais as velocidades da bola e do bloco depois do choque? Exercício 16. Uma bola, com massa de 4 kg e velocidade de 1,2 m/s, colide frontalmentecomoutrabolade5kgdemassaquesemovecomvelocidade igual a 0,6 m/s no mesmo sentido. Calcule (a) as velocidades ds bolas após a colisão (supondo esta elástica), e (b) a variação da quantidade de movimento de cada bola. x (cm)
Fís1 2004 Ex.onit. p.4 Exercício 17. Uma partícula de massa m desloca-se com velocidade v em direçãoaduasoutrasidênticas, v r de massas, alinhadas com ela, inicialmente separadas e em repouso (veja a figura). As colisões entre as partículas são todas elásticas. (a) ostre que m para m haverá duas colisões, e calcule as velocidades finais das três partículas. (b) ostre que, para m>, haverátrês colisões, e calcule as velocidades finais das três partículas. (c) Verifique que, no caso (a), o resultado para a primeira e a terceira partícula é o mesmo que se a partícula intermediária não existisse. Exercício 18. Como mostrado na figura, observase um bloco de madeira com massa =0, 49 kg em v repouso num plano horizontal. O coeficiente de atrito m ο entreoblocoeoplanoé µ =0, 25. Uma bala de massa m = 0, 01 kg é atirada contra o bloco, atingindo-o horizontalmente com velocidade de 500 m/s, ficando nele engastada. (a) Calcule a velocidade do conjunto imediatamente após o impacto. (b) Ache a distância que o conjunto percorre até parar. Exercício 19. Dois corpos de massas m 1 =4kge m 2 =2kg,comvelocidadesdemódulos v 1 =5m/se v 2 = 2 m/s, como indicado na figura, colidem e permanecem juntas após o choque. (a)calcule a velocidade das partículas após o choque e a variação na e- nergia cinética total durante o choque. (b) Calcule as velocidades iniciais e finais dos corpos num referencial ligado ao centro de massa do sistema. Faça o esquema da colisão neste referencial. (c) Calcule a variação da energia cinética no referencial do centro de massa do sistema. m 1 m 2 v r 2 v r 1 Exercício 20. Verificou-se experimentalmente que, na colisão frontal de duas esferas sólidas, tais como duas bolas de bilhar, as velocidades depois da colisão são relacionadas com as de antes por v 1f v 2f = ² (v 1i v 2i ), onde ² tem valor entre zero e um e é chamado coeficiente de restituição. Esse resultado foi descoberto por Newton e tem validade somente aproximada. Além disso, a quantidade de movimento é conservada na colisão. Prove o
Fís1 2004 Ex.onit. p.5 seguinte: (a) as velocidades depois da colisão são dadas por v 1f = v 1i (m 1 m 2 ²)+v 2i m 2 (1 + ²) m 1 + m 2 e v 2f = v 1im 1 (1 + ²)+v 2i (m 2 m 1 ²) m 1 + m 2 (b) o Q da colisão é 1 2 ³ 1 ² 2 m 1 m 2 m 1 + m 2 (v 1i v 2i ) 2. (c)qualdeveriaserovalorde² para a colisão ser elástica? Exercício 21. Uma partícula de massa m 1 eenergiacinética inicial T 1 colide elasticamente com uma partícula de massa m 2 inicialmente em repouso. Qual é a energia máximaqueaprimeirapartícula pode perder durante esta colisão? (Sugestão: use o referencial do centro de massa do sistema.) Exercício 22. Um bloco de madeira de massa m 2 repousa sobre uma superfície horizontal, como mostra a figura. O coeficiente de atrito entre o bloco e a superfície é µ. Uma extremidade de uma mola, de constante elástica k, está ligada ao bloco,e a outra extremidade está presa a uma parede. Inicialmente a mola não está distendida. Umabalademassam 1 atinge o bloco e fica grudada nele. Se a deflexão máximadamolaforx, obtenhaavelocidadedabalaemfunção de m 1, m 2, k, µ, g e x. Exercício 23. Uma partícula de massa m comvelocidadedemódulo v atinge uma partícula estacionária de massa 2 m. Como resultado, a partícula de massa m tem a direção de seu movimento defletida de um ângulo de 45 eomódulo de sua velocidade passa a ser v /2. Ache o vetor velocidade da partícula de massa 2 m após a colisão. Houve conservação da energia cinéticadosistema? Exercício 24. ostre que em uma colisão elástica não frontal de duas esferas idênticas, em que uma delas está inicialmenteemrepouso, oângulo formado pelas direções das velocidades finais das duas esferas ésempreπ/2. Exercício 25. Uma partícula de massa m, que move-se com velocidade de módulo v, choca-se com uma partícula em repouso de massa 2m. Em consequência disto, a partícula de massa m édesviadade30 da sua direção m 2 m 1
Fís1 2004 Ex.onit. p.6 de incidência, e fica com uma velocidade final de módulo v/2. Obtenha a velocidade final da partícula de massa 2m (em módulo, direção e sentido) depois desta colisão. A energia cinética se conserva durante a colisão? Resolva este mesmo problema no referencial do centro de massa do sistema. Observe que ângulos medidos em referenciais que se movem um em relação ao outro não são necessariamente iguais. Exercício 26. O arranjo da figura é chamado de pêndulo balístico. Ele é usado para determinar a velocidade de um projétil, através da medida da altura h que o bloco sobe após ter sido atingido pelo projétil. A AA m t - ~v h A (a) Prove que a velocidade do projétil é dada por v = 2 gh m+,onde m m é a massa da bala e a massa do bloco. (b) Calcule a energia gasta pelo projétil para penetrar no bloco. Exercício 27. Uma partícula de massa m evelocidadeinicial ~u colide elasticamente com outra de massa, inicialmente em repouso no referencial do laboratório. Após a colisão, a partícula de massa m foi defletida de um ângulo de 90, e a magnitude da sua velocidade foi reduzida para u/ 3. A partícula de massa emerge da colisão com velocidade de magnitude v, numa direção que faz um ângulo θ com ~u. (a) Determine θ. (b) Calcule a razão λ = /m eovalordev. (c) Determine os ângulos θm 0 e θ 0 entre as direções de movimento finais de m e, respectivametne, e a direção de ~u, no referencial do C. Exercício 28. Um átomo de hidrogênio, movendo-se com velocidade v, colide elasticamente com uma molécula de hidrogênio em repouso, sofrendo uma deflexão de 45. Calcule: (a) a magnitude da velocidade do átomo após acolisão; (b) a direção de movimento da molécula (com respeito àdireção inicial de movimento do átomo) e a magnitude de sua velocidade. Exercício 29. Demonstre que, para um sistema de partículas, a variação da energia cinética total é igual à soma do trabalho total das forças internas e do trabalho total das forças externas.
Fís1 2004 Ex.onit. p.7 Exercício 30. Considere duas partículas de massas m 1 e m 2 sujeitas apenas àinteração mútua do tipo newtoniano (satisfazendo à terceira lei de Newton). EscrevaasegundaleideNewtonparacadaumadaspartículas. Subtraia uma das equações da outra e mostre então que o movimento relativo de duas partículas, sujeitas apenas às suas interações mútuas, éequivalente, em relação a um observador inercial, ao movimento de uma partícula de massa µ = m 1 m 2 /(m 1 + m 2 ) a massa reduzida do sistema sob a ação de uma força igual àforça de interação. Exercício 31. Seja um sistema de duas partículas de massas m 1 e m 2 e velocidades ~v 1 e ~v 2. (a) ostre que para um observador que se move com o centro de massa do sistema a energia cinética vale T cm = 1 2 µv02, onde µ = m 1 m 2 /(m 1 + m 2 )é a massa reduzida do sistema e ~v 0 = ~v 1 ~v 2 éa velocidade relativa das duas partículas. (Volte ao problema 20, e reflita sobre a relação entre este resultado e o coeficiente de restituição.) (b) ostre que para um observador num sistema de referência qualquer a energia cinética do sistema é T = T cm + 1 2 V2 cm, onde = m 1 + m 2 é a massa total do sistema e ~ V cm é a velocidade de seu centro de massa. (c) Qual é o maior valor da energia que pode ser perdida através de colisões das duas partículas? Suponha o sistema isolado.