Métodos de Decisão

Mestrado Integrado em Engenharia do Ambiente Métodos de Decisão 2008.01.07 Prova com consulta Alunos admitidos a exame com avaliação contínua Duração: 2h30 Uma Horta na Escola De modo a promover a redução de resíduos, a cidadania e a qualidade de vida nas escolas, a LIPOR, através da Horta da Formiga está a desenvolver um projecto intitulado Uma Horta na Escola. Com este projecto pretendemos ajudar as escolas a instalar uma pequena horta na sua envolvente, para que os alunos, funcionários e professores possam desfrutar dos produtos que aí cultivarem. Assim solicitámos o preenchimento e envio de um pequeno inquérito, de modo a podermos avaliar o que existe nas escolas, quais as suas necessidades e qual o interesse em desenvolver o projecto. Em Novembro de 2004, demos início às actividades nas escolas. Após a inscrição é feita uma reunião com o professor responsável pelo projecto. A 1 a sessão é uma visita à Horta da Formiga. A 2 a sessão é dedicada à compostagem caseira (como separar os resíduos orgânicos, como encher o compostor e como manter o compostor a funcionar). A 3 a sessão destina-se à horta (o que semear, plantar, que utensílios usar, como utilizar o composto e como manter a horta durante o ano respeitando sempre os métodos de produção biológica) A 4 a sessão será mais para o final do ano lectivo, para verificar se está tudo a correr conforme previsto. Para inscrições ligue 22 977 01 00 in http://www.hortadaformiga.com/conteudos.cfm?ss=6 1

1. (20/3 valores) O projecto Uma Horta na Escola, lançado no ano de 2004, não teve o impacto inicialmente previsto, foi portanto necessário contratar um novo responsável para o projecto, o Eng o Fernando Seguro, que tinha concluído recentemente um MBA. Fernando repensou o projecto Uma Horta na Escola tendo em mente dois objectivos: aumentar a atractividade do projecto para as escolas e reduzir custos, projectando hortas-tipo que seriam reproduzidas em todas as escolas. Para tal contratou uma equipa técnica para definir os tipos de legumes a semear na horta e a área mínima a ocupar com cada tipo de legume. Os canteiros da horta-tipo também têm dimensões pré-definidas. Esses dados estão disponíveis nas tabelas seguintes. A equipa também determinou o custo de semear 1 m 2 do legume l no canteiro n, c ln. Legume Área mínima (m 2 ) Tomate 20 Alface 10 Feijão 60 Couve 40 Feijão verde 30 Aipo 20 Área (m 2 ) Canteiro 1 100 Canteiro 2 150 Canteiro 3 200 Canteiro 4 250 Coentros 50 Rabanetes 10 Alcachofras 20 Pimentos 40 (a) Escreva o modelo de programação linear para o problema apresentado. (b) Considere agora que os tomates, as alfaces, o feijão, a couve e o feijão verde podem ser semeados em mais do que um canteiro, mas cada um dos outros legumes só pode ser semeado num canteiro. Escreva o modelo de programação linear para este novo problema. (c) Acrescente ainda ao modelo da alínea anterior as seguintes restrições: i) os rabanetes e as alcachofras não podem partilhar o mesmo canteiro; ii) no canteiro 1 devem ser plantados pelo menos 2 tipos de legumes de entre aipos, coentros, rabanetes, alcachofras e pimentos. 2

2. (20/3 valores) Definidos já os tipos de legumes a semear nas hortas-tipo das escolas, foi necessário tomar decisões quanto ao canteiro das flores que tinha sido previsto. Foram postas à consideração do grupo de trabalho responsável pela concepção da horta-tipo três misturas de flores, M1, M2 e M3, que foram avaliadas segundo os critérios Preço das sementes, Harmonia de cores e Harmonia de aromas. Quanto ao critério Harmonia de aromas, a comissão recebeu um quadro com a comparação dos três tipos de misturas. O número 3 na linha M1, coluna M2 significa que, avaliada segundo o critério Harmonia de aromas, a mistura M1 é moderadamente melhor que a mistura M2. M1 M2 M3 M1 1 3 5 M2 1/3 1 1 M3 1/5 1 1 Na tabela seguinte estão representadas as avaliações de cada uma das misturas segundo os outros dois critérios: Preço das sementes Harmonia de cores M1 50 euros Média M2 70 euros Grande M3 100 euros Grande (a) Usando o AHP obtenha, a partir do quadro apresentado, uma avaliação relativa das três misturas para o critério Harmonia de aromas. (b) Defina uma escala única para representar cada um dos três critérios e adapte as avaliações de cada um dos critérios a essa escala. Justifique detalhadamente todas as suas decisões. (c) Há alguma forma de a mistura M3 ser a escolhida? Refira-se à escolha e normalização das escalas, e a todos os outros factores que considere relevantes. 3

3. (20/3 valores) No âmbito do projecto Uma Horta na Escola a LIPOR terá que adquirir sementes de alface, cenoura e tomate. Dada a configuração tipo das hortas e as escolhas das escolas para cada canteiro, constatou-se serem necessários 1500 sacos de semente de alface, 1000 sacos de semente de cenoura e 500 sacos de semente de tomate. Para o fornecimento destas sementes concorreram 3 empresas: Feltrin Sementes, Fertiprado e Casa das Sementes. Dados os condicionalismos legais dos concursos envolvendo dinheiros públicos (as escolas terão que posteriormente pagar as sementes que vão consumir), não é possível adjudicar por ajuste directo a cada uma das empresas mais que 5000 euros de sementes. O preço praticado por cada saco de sementes é igual para todas as empresas: Tipo de semente Preço (euros) Alface 4 Cenoura 5 Tomate 6 No entanto, a taxa de transporte cobrada por cada empresa é diferente. Por cada euro de sementes transportado, cada empresa cobra alguns cêntimos: Tipo de semente Alface Cenoura Tomate Feltrin Sementes 0.01 e 0.01 e 0.04 e Fertiprado 0.02 e 0.03 e 0.02 e Casa das Sementes 0.02 e 0.05 e 0.03 e Pretende-se pois saber em que quantidades cada empresa deve fornecer cada tipo de sementes, de forma a minimizar os custos totais. (a) Formule este problema como um problema de transportes na forma standard. (b) Determine uma solução inicial pela regra dos custos mínimos e apresente o custo desta solução. (c) Faça uma iteração do algoritmo de transportes. (d) Considere agora que, por compromissos assumidos em contratos anteriores, terá que ser a Feltrin Sementes a fornecer as sementes de alface. Por outro lado, dada a fraca qualidade das suas sementes de cenoura, não se admite que seja a Fertiprado a fornecer este tipo de sementes. Altere o quadro que apresentou na primeira alínea de forma a contemplar estas restrições. 4

Resolução 1. (a) Índices l, l {1,..., 10} Legume; n, n {1,..., 4} Canteiro; Constantes Variáveis de decisão a l área a semear com legume l ac n área do canteiro n c ln custo de semear 1 m 2 do legume l no canteiro n x ln número de m 2 do legume l a semear no canteiro n Função objectivo Minimizar os custos totais de plantar o legume l no canteiro n min Z = l,n c ln x ln Restrições (b) Índices Limitação da área dos canteiros n x ln ac n Área mínima a plantar de cada legume l x ln a l Variáveis maiores ou iguais a zero l n ln x ln 0 l, l {1,..., 10} Legume; o, o {1,..., 5} Legumes que podem ser semeados em mais do que um canteiro; m, m {6,..., 10} Legumes que têm que ser semeados num só canteiro; n, n {1,..., 4} Canteiro; Constantes Variáveis de decisão a l área a semear com legume l ac n área do canteiro n c ln custo de semear 1 m 2 do legume l no canteiro n x on número de m 2 do legume o a semear no canteiro n { 1 se legume m for semeado no canteiro n y mn = 0 se não 5

Função objectivo Minimizar os custos totais de plantar o legume l no canteiro n min Z = o,n c on x on + m,n c mn a m y mn Restrições Limitação da área dos canteiros n x on + a m y mn ac n o m Área mínima a plantar de cada legume o x on a o m n y mn = 1 Variáveis maiores ou iguais a zero on x on 0 (c) Restrições adicionais 8 e 9 não podem partilhar o mesmo canteiro n y 8n + y 9n 1 Canteiro 1: mínimo 2 tipos de legumes y m1 2 n m 6

2. Resolução 7

3. (a) Para formular este problema como um problema de transportes é necessário definir o que são as origens e os destinos, qual o bem ou serviço que é transportado e em que quantidades está disponível nas origens e é necessário nos destinos. É ainda necessário definir os custos unitários de transporte desse bem entre cada origem e cada destino. O que pretendemos decidir neste problemas é a quantidade de cada tipo de sementes a comprar a cada empresa. Assim as origens são as empresas fornecedoras de sementes e os destinos os tipos de sementes. O que não é tão claro é como vamos medir a quantidade de sementes. Do lado das origens temos que não podemos comprar em cada empresa mais que 5000 euros de sementes, isto é, a disponibilidade em cada origem é de 5000 euros. Nos destinos temos o número de sacos necessários. No entanto, para termos um problema de transportes temos que ter o mesmo bem do lado das origens e do lado dos destinos. Como temos o custo de cada saco de sementes e este é igual para todas as empresas, podemos transformar o número de sacos de cada tipo de sementes no valor, em euros, de sementes que é necessário. Por exemplo, a necessidade de 1500 sacos de semente de alface transforma-se numa necessidade de 6000 euros de sementes. Desta forma, as disponibilidades, as necessidades e o que se transporta mede-se tudo em euros. Esta formulação é completamente compatível com os custos de transporte que nos são dados e que se traduzem num custo por euro de sementes transportado. Neste enquadramento, o quadro de transportes será o seguinte: Feltrin Sementes 0.01 0.01 0.04 0 5000 Fertiprado 0.02 0.03 0.02 0 5000 Casa das Sementes 0.02 0.05 0.03 0 5000 6000 5000 3000 1000 15000 Note-se que houve a necessidade de criar um tipo de semente fictício para absorver os 1000 euros em excesso do lado da oferta. (b) Solução inicial pela regra dos custos mínimos: Feltrin Sementes 4000 1000 0.01 0.01 0.04 0 Fertiprado 2000 3000 0.02 0.03 0.02 0 Casa das Sementes 5000 0.02 0.05 0.03 0 Custo da solução = 4000 0.01 + 2000 0.02 + 5000 0.05 + 3000 0.02 + 1000 0 = 390 (c) Para fazer uma iteração teremos que ter 6 variáveis básicas. Na solução inicial anteriormente obtida temos apenas 5. Será preciso adicionar uma variável básica a valer zero que torne o grafo das variáveis básicas uma árvore (conexo e sem ciclos). Poderá ser, por exemplo, a variável que liga a origem 3 ao destino 4. 8

0 0.04 0-0.01 Feltrin Sementes 4000 Θ 1000-Θ 0.01 0.01-0.04 0.01 0.03 0.04 0 Fertiprado 2000 3000 0.02 0.02-0.03 0.03 0.02-0.01 0 Casa das Sementes 5000-Θ 0+Θ 0.01 0.01 0.02 0.05 0.02 0.03 0 Θ = min{1000, 5000} = 1000 Dando origem ao quadro seguinte: Feltrin Sementes 4000 1000 0.01 0.01 0.04 0 Fertiprado 2000 3000 0.02 0.03 0.02 0 Casa das Sementes 4000 1000 0.02 0.05 0.03 0 (d) A introdução de custos infinitos, conforme o quadro abaixo, garante as novas restrições: Feltrin Sementes 0.01 0.01 0.04 0 5000 Fertiprado 0.02 0 5000 Casa das Sementes 0.05 0.03 0 5000 6000 5000 3000 1000 15000 Repare-se no entanto que estas novas restrições tornam o problema impossível pois há uma necessidade de 6000 euros de sementes de Alface e a Feltrin Sementes só pode fornecer 5000 euros. Para tornar o problema admissível seria necesssário reduzir a necessidade de sementes de Alface ou aumentar a oferta da Feltrin Sementes. 9