Pontifícia Universidade Católica de Goiás Escola de Engenharia Sistemas de Controle 2 Cap.9 Projeto por Intermédio do Lugar das Raízes Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro
Sistemas de Controle 2 Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro Cap.9 Projeto por Intermédio do Lugar das Raízes 9. Projeto por Intermédio do Lugar das Raízes 9.1 Introdução 9.2 Melhorando o Erro de Estado Estacionário Através da Compensação 9.3 Melhorando a Resposta Transitória Através da Compensação 9.4 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta Transitória 9.5 Compensação por Retroação 9.6 Realização Física da Compensação Bibliografia principal: Engenharia de Sistemas de Controle Norman S. Nise
Aula anterior 9. Projeto por Intermédio do Lugar das Raízes 9.1 Introdução Compensadores Mudança no local geométrico das raízes Adição de pólos e zeros no sistema Circuitos eletrônicos ativos e passivos de compensação 9.2 Melhorando o Erro de Estado Estacionário Através da Compensação Compensação Integral Ideal (PI) - Inserção de um pólo exatamente na origem - Inserção de um zero próximo do pólo na origem Compensação por Atraso de Fase (passivo) - Inserção de um pólo próximo da origem - Inserção de um zero próximo deste pólo
Objetivo: Projetar uma resposta que tenha uma ultrapassagem percentual desejada e um tempo de acomodação menor que o sistema sem compensação. Técnicas: Controlador proporcional e derivativo (PD) Compensação derivativa ideal (derivador puro) Um derivador puro é adicionado ao caminho à frente do sistema de controle com realimentação Acréscimo de um zero Compensador de avanço de fase (passivo) Adiciona à função de transferência do caminho à frente um zero e um polo mais distante.
Compensação Derivativa Ideal (Controlador PD) Projetar uma resposta que tenha uma ultrapassagem percentual desejada e um tempo de acomodação menor que o sistema sem compensação. Acelera a resposta do sistema Realizado através da soma de um derivador e de um ganho puro. Adição de um único zero
Sistema sem compensação Adição de um zero movimenta o ponto de operação Zero em -2
Comparando 3 zeros em posições diferentes Zero em -2 Zero em -3 Zero em -4 Em todos os sistemas compensados os pólos dominantes estão mais distantes ao longo da reta de amortecimento do que o sistema sem compensação
Comparando distâncias Sistema sem compensação Zero em -2
Comparando distâncias Sistema sem compensação Zero em -3
Comparando distâncias Sistema sem compensação Zero em -4
Comparando 3 zeros em posições diferentes: Mesma ultrapassagem percentual Zero em -2 Zero em -3 Zero em -4 Todos os sistemas, compensados ou não, operam sobre a mesma reta de amortecimento. Portanto todos terão a mesma ultrapassagem percentual.
Tempo de assentamento menor nos 3 sistemas compensados Zero em -2 Zero em -3 Zero em -4 Todos os sistemas compensados operam em pólos com parte real mais negativa do que do sistema não compensado. Todos possuem tempo de assentamento menor (atingem o equilíbrio mais rápido)
Tempo de pico menor nos 3 sistemas compensados Zero em -2 Zero em -3 Zero em -4 Todos os sistemas compensados operam em pólos com parte imaginária mais negativa do que do sistema não compensado.
Tempo de pico menor nos 3 sistemas compensados Zero em -2 Zero em -3 Zero em -4 A medida que os zeros se distanciam dos pólos dominantes, o ponto de operação (pólos dominantes em malha fechada) se aproxima da origem.
Tempo de acomodamento reduziu mais de 2x em todos os sistemas compensados
Tempo de pico reduziu mais de 2x em todos os sistemas compensados
Compensação também reduziu o erro de regime permanente
Desvantagens do controlador PD Requer um circuito ativo para realizar a derivação A derivação é um processo ruidoso O nível de ruído é baixo Frequência do ruído é alta comparada com o sinal Pode gerar grandes sinais indesejados Pode saturar amplificadores e outros componentes
Realização física de um compensador PD
Laboratório 1 do capítulo 9
Compensação de Avanço de Fase (passivo) Estrutura passiva que se aproxima do controlador PD Como é passivo um único zero não pode ser gerado gera-se um polo e um zero Se o polo produzido estiver distante do eixo imaginário do que o zero produzido sua ação ainda é positiva. A contribuição angular do polo compensador é subtraída da contribuição angular do zero, portanto é preciso haver um saldo positivo. Vantagens em relação ao controlador PD Fontes de alimentação adicionais não são requeridas O ruído produzido é menor Desvantagens em relação ao controlador PD O polo adicional não reduz o número de ramos do lugar geométrico das raízes que cruzam o eixo imaginário para o semiplano da direita, enquanto que o controlador PD tende a reduzir esses ramos.
Contribuição do polo e zero adicional 1) Para projetar esse controlador é preciso escolher a posição do polo desejado no plano s (em cima de uma determinada reta de amortecimento ou não).
Contribuição do polo e zero adicional 1) Para projetar esse controlador é preciso escolher a posição do polo desejado no plano s (em cima de uma determinada reta de amortecimento ou não). 2) A soma dos ângulos a partir dos polos e zeros do sistema sem compensação até o ponto escolhido menos 180 graus fornece a contribuição angular do compensador Exemplo: Polos possuem ângulos negativos Zeros possuem ângulos positivos Contribuição angular do polo e zero adicionais:
Contribuição do polo e zero adicional θ c : Contribuição angular ângulo do feixe que parte do ponto de projeto e intercepta o eixo real nos valores do polo e do zero compensador.
Contribuição do polo e zero adicional Como a contribuição angular é sempre o ângulo desse feixe, se ele deslocar, a contribuição angular matematicamente continua sendo a mesma. Portanto o número de soluções é infinita. A diferença entre as soluções está: - na constante de erro estático - no ganho - na dificuldade de se justificar a aproximação de segunda ordem - na resposta transitória.
Projeto - Escolher arbitrariamente o polo ou zero do compensador de avanço de fase - Somar ângulos de todos os polos e zeros em relação ao ponto escolhido. Exemplo: - A diferença entre 180 graus e essa soma será a contribuição angular necessária para compensar o sistema. - Encontrar o segundo ponto (polo ou zero) de acordo com o ponto arbitrariamente escolhido. - Verificar cada projeto através de simulação
Exemplo É preciso simular para selecionar qual compensação é capaz de fornecer a resposta desejada.
Comparando sistemas: Nenhum zero Observar a posição do zero arbitrário para verificar possíveis cancelamentos de polos e se a aproximação se segunda ordem esta OK Zero em -5 Nenhum zero Zero em -2
Comparando sistemas: Erro de regime permanente 0.38 Observar melhora no erro de regime permanente 0.145 0.173 0.312
Comparando sistemas: Ganho Observar ganho necessário 63.21 1423 698.1 345.6
Realização física de um compensador por avanço de fase Função de transferência
Laboratório 2 do capítulo 9
9.4 Melhorando o Erro em Regime Permanente e a Resposta Transitória Combinação das técnicas anteriores para melhorar o erro de regime permanente e a resposta transitória de forma independente. Método 1) Primeiro, melhorar a resposta transitória com as técnicas de - Controle PD - Compensação por avanço de fase 2) Depois, melhorar erro de regime permanente com as técnicas de: - Controle PI - Compensação por atraso de fase Desvantagem Pequena redução na velocidade da resposta quando o erro de regime permanente é melhorado
9.4 Melhorando o Erro em Regime Permanente e a Resposta Transitória É possível seguir outra sequência de projeto, corrigindo primeiro o erro e depois a resposta transitória, as consequências podem ser: - Correção da resposta transitória pode degradar a correção do erro. - Melhoria na resposta transitória resulta em melhoria adicional na correção do erro provocando superdimensionamento do sistema de controle (projeto em excesso) Normalmente não é um problema para o funcionamento Pode afetar o custo ou gerar outros problemas de projeto.
9.4 Melhorando o Erro em Regime Permanente e a Resposta Transitória Projeto do Controlador PID Função de transferência
9.4 Melhorando o Erro em Regime Permanente e a Resposta Transitória Projeto do Controlador PID - Possui 2 zeros e um polo na origem - 1 zero e 1 polo na origem Podem ser projetados como controlador PI - Outro zero Pode ser projetado como controlador PD
9.4 Melhorando o Erro em Regime Permanente e a Resposta Transitória Projeto do Controlador PID 8 Passos da Técnica de Projeto 1. Avalie o desempenho do sistema sem compensação para determinar quanta melhoria na resposta transitória é requerida. 2. Projete o controlador PD para atender às especificações de resposta transitória. O projeto inclui a posição do zero e o ganho de malha. 3. Simule o sistema para ter certeza de que todos os requisitos foram atendidos. 4. Projete novamente se a simulação mostrar que os requisitos não foram atendidos. 5. Projete o controlador PI para resultar no erro em regime permanente desejado 6. Determine os ganhos K1, K2 e K3. 7. Simule o sistema para ter certeza de que todos os requisitos foram atendidos. 8. Projete novamente se a simulação mostrar que os requisitos não foram atendidos.
Exemplo Projeto do Controlador PID
Projeto do Controlador PID Passo 1 Avaliar o sistema sem compensação operando com 20% de ultrapassagem. %UP=20% ζ = 0.456 Polos dominantes em 5.415 ± j10.57 com ganho de 121.5 Terceiro polo em -8.169
Previsão de resultados Projeto do Controlador PID Passo 1 Avaliar o sistema sem compensação operando com 20% de ultrapassagem. Curva simulada OK Reduzir para 2/3 deste valor Reduzir para zero
Previsão de resultados Projeto do Controlador PID Passo 2 Determinar a posição dos polos dominantes para o sistema compensado para reduzir Tp para 2/3 do tempo sem compensação Parte imaginária do polo dominante: Parte real do polo dominante: Reduzir para 2/3 deste valor
x j15,87 Projeto do Controlador PID Passo 2 Determinar a posição dos polos dominantes para o sistema compensado para reduzir Tp para 2/3 do tempo sem compensação Parte imaginária do polo dominante: Parte real do polo dominante:
x j15,87 Projeto do Controlador PID Passo 2 Determinar a posição dos polos dominantes para o sistema compensado para reduzir Tp para 2/3 do tempo sem compensação. Projetar o compensador calculando a posição do zero de compensação. θ 3 θ 1 θ 2 θ 4 = 198.37 Contribuição requerida: 198.37 180 = 18.37 θ 4 θ 3 θ 2 θ 1
Projeto do Controlador PID Passo 2 Projetar o compensador calculando a x j15,87 posição do zero de compensação. Contribuição requerida: 198.37 180 = 18.37 θ c = 18.37-8.13 Controlador PD:
Projeto do Controlador PID Novo local das raízes com o controlador PD
Previsão de resultados OK Passos 3 e 4 Projeto do Controlador PID Simulamos o sistema compensado com PD e observamos a redução do instante de pico e a melhoria no erro em regime permanente em relação ao sistema sem compensação. Reduzir para 2/3 deste valor: OK Reduzir para zero (mas já reduziu bastante)
Projeto do Controlador PID Passos 5 Projetar o controlador PI para reduzir o erro em regime permanente para zero quando a entrada é um degrau. Posicionar o zero próximo da origem: - Esboçar o lugar geométrico das raízes para o sistema compensado com PID - Procurar na reta de fator de amortecimento de 0.456 os polos dominantes e seu ganho associdado.
Projeto do Controlador PID Passos 5 Projetar o controlador PI para reduzir o erro em regime permanente para zero quando a entrada é um degrau. Polos: 7,516 ± j14.67 Ganho: 4.6
Previsão de resultados OK Previsão de resultados, é preciso simular a curva Reduzir para 2/3 deste valor: degradou um pouco Reduziu para zero
Projeto do Controlador PID Passos 6 Agora determinamos os ganhos K1, K2 e K3 Controlador PD Controlador PI Controlador PID
Projeto do Controlador PID Passos 7 e 8 Simulando a curva e verificando resultados no tempo A compensação PD melhorou a resposta transitória, reduzindo o tempo necessário para alcançar o primeiro pico e também resultou em alguma melhoria no erro em regime permanente. O controlador PID completo melhorou ainda mais o erro em regime permanente sem alterar significativamente a resposta transitória projetada com o controlador PD. Controlador PID apresenta uma resposta mais lenta. Caso isso seja indesejável, a velocidade do sistema deve ser aumentada projetando-se novamente o compensador derivativo ideal ou movendose o zero do controlador PI para mais longe da origem.
Projeto do Controlador PID Passos 7 e 8 Simulando a curva e verificando resultados no tempo A compensação PD melhorou a resposta transitória, reduzindo o tempo necessário para alcançar o primeiro pico e também resultou em alguma melhoria no erro em regime permanente. O controlador PID completo melhorou ainda mais o erro em regime permanente sem alterar significativamente a resposta transitória projetada com o controlador PD. Controlador PID apresenta uma resposta mais lenta. Caso isso seja indesejável, a velocidade do sistema deve ser aumentada projetando-se novamente o compensador derivativo ideal ou movendose o zero do controlador PI para mais longe da origem.
9.4 Melhorando o Erro em Regime Permanente e a Resposta Transitória Realização física do compensador PID Função de transferência