Circuitos RL com onda quadrada e corrente alternada

Circuitos RL com onda quadrada e corrente alternada 7 7.1 Material resistores de 1 kω e 100 Ω; indutor de 23,2 mh. 7.2 Introdução O objetivo desta aula é estudar o comportamento de indutores acoplados a circuitos resistivos com corrente constante e com corrente alternada. Serão realizadas medidas das constantes de tempo para os circuitos RL (resistor e indutor em série) com CC e medidas da diferença de fase e da reatância indutiva com AC. 7.3 Indutores Um indutor é um solenóide ou bobina, construído por várias voltas (ou espiras) de fio de metal condutor enrolado em uma forma que permite a geração de campos magnéticos axiais. O uso do indutor em circuitos elétricos está baseado na lei de Faraday-Lenz que diz que quando ocorre uma variação do fluxo magnético Φ através das espiras do solenóide, aparece uma voltagem induzida nos seus terminais, de modo a se opor a essa variação de fluxo. Isto é expresso pela equação característica do indutor: V L (t) = dφ dt = Ldi dt. (7.1) Nessa equação V L é a voltagem induzida pela taxa de variação do fluxo Φ(t) = Li(t) no interior do solenóide. Observe que, neste caso, a taxa de variação do fluxo está associada à taxa de variação da corrente que passa pelo indutor. A constante de proporcionalidade en-

7.4 Circuitos RL com corrente constante 72 tre Φ(t) e i(t) é chamada de auto-indutância ou simplesmente indutância do indutor. O sinal negativo representa o fato da voltagem induzida gerar um fluxo magnético de forma a se opor à variação do fluxo original. A unidade de indutância no sistema internacional é o henry (H) que, assim como no caso de capacitores, é uma unidade muito grande. Por isso, em geral os indutores que aparecem nos equipamentos do nosso dia-a-dia são representados por sub-múltiplos do henry: mili-henry (mh) e micro-henry (µh). Como pode ser verificado a partir da equação característica do indutor (equação 7.1), a voltagem induzida (também chamada de força eletromotriz) somente estará presente no circuito enquanto a corrente elétrica estiver variando. No caso de correntes alternadas, como veremos mais adiante, o indutor está sempre atuando como tal. Já no caso de correntes contínuas a lei de Faraday atuará apenas durante o transiente correspondente ao tempo que o sistema gasta para entrar em equilíbrio na nova voltagem aplicada. Como os indutores são fabricados com fios condutores, após esse transiente o efeito da indutância desaparece e ele se comporta apenas como um condutor ôhmico, em geral com resistência bastante baixa, correspondendo à resistência do fio condutor com o qual ele é fabricado. Num circuito elétrico representamos o indutor pelo símbolo mostrado na figura 7.1. Figura 7.1: Representação esquemática de um indutor em circuitos elétricos. 7.4 Circuitos RL com corrente constante No caso real, o fato do indutor possuir uma resistência ôhmica, faz com que ele possa ser pensado como um indutor ideal (resistência nula) em série com um resistor. Generalizando, podemos associar qualquer outro resistor em série com a resistência do indutor, e teremos a situação real representada pelo circuito da figura 7.2, onde R pode ter qualquer valor a partir do valor da resistência interna do indutor. No caso representado na figura 7.2, quando ligamos a chave na posição A, a lei das malhas nos diz que V B = V R + V L (7.2) e, utilizando as expressões para a queda de voltagem no resistor e no indutor, obtemos que V B = Ri(t) + L di(t) dt. (7.3)

7.4 Circuitos RL com corrente constante 73 Figura 7.2: Diagrama de um circuito RL. Esta equação diferencial para a corrente é semelhante à equação diferencial que encontramos para a carga q nas placas do capacitor (equação 4.5). Sua solução, assumindo que para t = 0 a corrente também é igual a zero (i(0) = 0), é dada por: onde i(t) = V B R ( ) 1 e t τ, (7.4) τ = L R, (7.5) o que nos mostra que a evolução da corrente no circuito depende do valor da razão L/R, que será a constante de tempo do circuito RL. A equação 7.4 é análoga ao caso do capacitor e, portanto, todos os resultados obtidos para os capacitores se aplicam também aos indutores. Também neste caso, τ é o tempo necessário para o argumento da exponencial chegar a 1. Nesse intervalo de tempo, a corrente atinge 63% do seu valor máximo quando a chave da figura 7.2 é comutada para a posição A e a voltagem da fonte passa de zero volt a V B. Em função desses resultados e usando também a lei das tensões de Kirchhoff obtemos: ) V R (t) = V B (1 e t τ (7.6) e V L (t) = V B V R (t) = V B e t τ. (7.7) As equações 7.6 e 7.7 nos mostram que para tempos próximos de zero, a voltagem no resistor é próxima de zero, enquanto no indutor ela tem valor próximo de V B, a voltagem da fonte. Após um intervalo de tempo muito maior que τ, V L cai a zero e V R se torna igual a V B. Se nesse momento, a chave da figura 7.2 for comutada para a posição B, uma nova

7.5 Indutores com corrente alternada 74 equação diferencial passa a governar o comportamento do circuito: 0 = R i(t) + L di(t) dt. (7.8) A condição inicial neste caso passa a ser i(0) = V B /R e a solução da equação diferencial descrita na equação 7.8 será dada por: i(t) = V B t R e τ. (7.9) e Teremos então neste caso: V R (t) = V B e t τ (7.10) V L (t) = V B e t τ. (7.11) Como no caso do circuito RC, utilizaremos elementos de circuito com valores de indutância e resistência que levam a tempos de relaxação muito pequenos, da ordem de milissegundos. Assim, para observarmos a variação da voltagem será necessário chavear o circuito da posição A para a posição B, e vice-versa, com uma frequência muito grande, da ordem de kilohertz. Isso é possível se utilizarmos um gerador de sinais, escolhendo a forma de onda quadrada para simular o chaveamento do circuito. A determinação dos tempos característicos de um circuito RL pode ser feita de maneira análoga à de um circuito RC. A voltagem no indutor descrita na equação 7.7 tem a mesma expressão que a voltagem no capacitor quando o mesmo está descarregando (equação 4.13). Assim, podemos determinar τ: a) diretamente a partir da tela do osciloscópio, observando o intervalo de tempo que leva para a voltagem no resistor atingir 63% do valor máximo ou a voltagem no indutor cair a 37% de seu valor inicial; b) medindo diretamente o tempo de meia-vida t 1/2 e utilizando sua relação com τ (equação 4.19); c) utilizando medidas de V L em função de t, uma linearização e uma regressão linear. 7.5 Indutores com corrente alternada Para entendermos o papel dos indutores em circuitos RL alimentados com tensões alternadas, seguiremos o mesmo procedimento utilizado no estudo dos circuitos RC com corrente alternada. Veremos que as soluções formais das equações do circuito RL e RC são as mesmas.

7.5 Indutores com corrente alternada 75 Considere um circuito composto apenas de um gerador de ondas e um indutor. O indutor é um componente linear, o que significa que se aplicarmos uma voltagem senoidal de uma dada frequência a ele, esperamos que a corrente que o atravessa também seja uma função senoidal, oscilando na mesma frequência da voltagem. Isso significa que se a tensão do gerador for descrita como V G = V 0 sen(ωt), a corrente, em sua forma mais geral, pode ser expressa como i(t) = i 0 sen(ωt + ϕ). (7.12) Note que estamos deixando aberta a possibilidade de haver uma diferença de fase ϕ entre a corrente e a tensão. Substituiremos então essa expressão para i(t) na equação 7.1, lembrando que como só temos esses dois elementos no circuito, V L (t) = V G (t): V 0 sen(ωt) = ωli 0 cos(ωt + ϕ). (7.13) Escrevendo cos(ωt + ϕ) como cos(ωt)cosϕ sen(ωt)senϕ, podemos comparar os dois lados da equação termo a termo, e obtemos duas equações: ωli 0 cosϕ = 0 ; (7.14) V 0 = (ωli 0 ) senϕ. (7.15) A equação 7.14 mostra que ϕ = ± π/2, enquanto que a equação 7.15 indica que ϕ deve ter o valor π/2, uma vez que V 0, L, i 0 e ω são todas grandezas positivas. Portanto a corrente num indutor ideal é dada por i(t) = i 0 sen(ωt π/2), (7.16) com i 0 = V 0 ωl. (7.17) Note que a corrente está atrasada de π/2 radianos em relação à voltagem. A partir da equção 7.17 obtemos que a relação entre as amplitudes de tensão e corrente pode ser escrita como V 0 = ωl i 0 = X L i 0. (7.18) A equação 7.18 é o equivalente da Lei de Ohm para indutores com correntes alternadas. A grandeza chamada de reatância indutiva é definida por X L ωl, (7.19) tem dimensão de resistência e desempenha papel análogo ao da resistência na lei de Ohm, mas com valor diretamente proporcional à frequência angular do sinal. Vamos agora aplicar o formalismo de números complexos a este mesmo circuito, com-

7.6 Circuitos RL com corrente alternada 76 posto apenas de um indutor ideal e um gerador. Se a tensão do gerador é dada por V G (t) = V 0 sen(ωt), podemos definir uma tensão complexa ṼG(t) como Ṽ G (t) V 0 e jωt, (7.20) de maneira que a tensão que tem sentido físico (ou seja, a grandeza que pode ser medida) V G (t) pode ser obtida como ] V G (t) = Im[ ṼG (t). (7.21) Para esse circuito vimos que a corrente é dada por i(t) = i 0 sen(ωt π/2), (7.22) com i 0 = V 0 /(ωl). Como no caso da voltagem, podemos definir uma grandeza complexa associada à corrente. Essa corrente complexa é ĩ(t) i 0 e j(ωt π/2), (7.23) e a corrente que tem sentido físico pode ser obtida como [ ] i(t) = Im ĩ(t). (7.24) Assim como vimos no caso dos circuitos capacitivos, este formalismo de números complexos nos permite escrever uma relação análoga à Lei de Ohm, mas para circuitos alimentados com correntes alternadas: Ṽ G (t) = Z ĩ(t), (7.25) onde Z é a impedância complexa. Como já temos as expressões para Ṽ (t) e ĩ(t), podemos encontrar Z para este circuito puramente indutivo: Z L = ṼG(t) ĩ(t) = V 0 e jωt ωl ωl = = (V 0 /ωl) e j(ωt π/2) e jπ/2 j = jx L. (7.26) Vemos portanto que para um indutor a impedância complexa é um número imaginário puro positivo, resultado do comportamento do indutor, que sempre causa um atraso de fase da corrente em relação à voltagem da fonte. 7.6 Circuitos RL com corrente alternada Aplicando a lei das tensões de Kirchhoff ao circuito mostrado na figura 7.3 obtemos: V G (t) = V L (t) + V R (t) (7.27) V 0 sen(ωt) = L di(t) dt + Ri(t). (7.28)

7.6 Circuitos RL com corrente alternada 77 Figura 7.3: Circuito RL com gerador de sinal senoidal. Como possui apenas componentes lineares, quando este circuito é alimentado por uma tensão V G (t) = V 0 sen(ωt), esperamos que a corrente tenha como forma mais geral i(t) = i 0 sen(ωt + ϕ), (7.29) onde ϕ representa a diferença de fase entre a corrente e a tensão da fonte. Substituindo a expressão para i(t) na equação 7.28 encontramos V 0 sen(ωt) = ωli 0 cos(ωt + ϕ) + Ri 0 sen(ωt + ϕ). (7.30) Mas a equação 7.30 pode ser reescrita após aplicarmos identidades trigonométricas simples, e obtemos ] [ ] sen(ωt) [Ri 0 cosϕ ωli 0 senϕ V 0 + cos(ωt) ωli 0 cosϕ + Ri 0 senϕ = 0. (7.31) Para que a equação seja satisfeita, é necessário que os coeficientes dos termos em sen(ωt) e cos(ωt) sejam nulos, o que nos leva a duas igualdades: (Ri 0 ) cos ϕ (ωli 0 ) sen ϕ = V 0, (7.32) e (ωli 0 ) cos ϕ + (Ri 0 ) sen ϕ = 0. (7.33) Resolvendo a equação 7.33, obtemos que a diferença de fase entre a corrente e a voltagem é dada por tan ϕ = ωl R = X L R. (7.34) A figura 7.4 mostra a variação da diferença de fase com a frequência angular para um certo par de valores R e L. Pode-se observar que ϕ pode assumir valores entre π/2 (frequências mais altas) e 0 (frequências mais baixas), mostrando que num circuito RL a corrente sempre está atrasada em relação à tensão da fonte.

7.6 Circuitos RL com corrente alternada 78 Figura 7.4: Variação da diferença de fase entre corrente e tensão com a frequência angular, para um circuito RL com R = 10 Ω e L = 10 mh. Já a equação 7.29 pode ser simplificada escrevendo sen ϕ e cos ϕ em função de tan ϕ utilizando as relações tan ϕ sen ϕ = 1 + tan 2 ϕ, (7.35) e cos ϕ = 1 1 + tan 2 ϕ. (7.36) Substituindo essas relações na equação 7.32 e fazendo uso de 7.34, obtemos V 0 = R i 2 + X 2 L. (7.37) 0 Esta razão entre as amplitudes de tensão e de corrente é o que definimos como a impedância do circuito RL: Z V 0 = R i 2 + XL 2. (7.38) 0 Assim como no caso do circuito RC, a impedância do circuito RL tem a dimensão de resistência; e novamente vemos que a impedância desempenha, em circuitos com corrente alternada, um papel análogo ao da resistência em circuitos com corrente contínua. Por último, note que a relação entre Z, R e X L é uma equação que tem a mesma forma da relação entre o módulo de um número complexo e suas componentes real e imaginária. Isso sugere que postulemos a existência de uma impedância complexa, com a parte real igual à resistência e a parte imaginária igual à reatância indutiva (veja a figura 7.5): Z = R + jx L. (7.39)

7.7 Procedimentos experimentais 79 Figura 7.5: Componentes real e imaginária da impedância complexa Z. As equações 7.34 e 7.38 nos permitem obter uma relação entre as amplitudes de tensão nos três componentes do circuito (gerador, resistor e indutor) V 0 2 = V 2 0R + V 2 0L. (7.40) e uma forma alternativa para calcular a diferença de fase a partir das amplitudes de tensão: tan ϕ = V 0L V 0R. (7.41) 7.7 Procedimentos experimentais 7.7.1 Procedimento I: medidas de τ e t 1/2 com onda quadrada Vamos estudar um circuito RL con onda quadrada e obter experimentalmente o valor de sua constante de tempo τ. 1. Monte o circuito da figura 7.6 utilizando um resistor R = 1 kω e um indutor de L = 23, 2 mh. Ajuste no gerador de sinais uma forma de onda quadrada de frequência f = 5 khz e com tensão pico-a-pico V pp = 6 V, variando entre V min = 0 V e V max = 6 V. 2. Faça a medida de t 1/2 e τ para o circuito RL montado usando o mesmo método dos circuitos RC, ou seja, através da medida do tempo necessário para a tensão no indutor, V L, cair à metade e a 37% de seu valor inicial, respectivamente. Anote os valores obtidos com suas incertezas. 3. A partir do valor medido de t 1/2 e usando a expressão 4.19, calcule o valor de τ com sua incerteza. Compare com o valor obtido através da medida direta da constante de tempo.

7.7 Procedimentos experimentais 80 Figura 7.6: Montagem a ser realizada para medidas da constante de tempo do circuito RL. Observe que o sinal da fonte de tensão, V B, será visualizado no canal 1 do osciloscópio e o sinal da tensão no indutor, V L, será visualizado no canal 2. 7.7.2 Procedimento II: medida de τ do gráfico de V L 1. Utilizando o mesmo circuito utilizado para o Procedimento I, figura 7.6, ajuste novamente o osciloscópio para apresentar na tela uma imagem semelhante à que é mostrada na figura 4.8. 2. Utilize um dos métodos de medida, gratícula ou cursor, para medir sete pares de valores de t e V L. Anote os valores obtidos em uma tabela, com suas respectivas incertezas. Anote também os valores das escalas de tempo e voltagem utilizadas nas medidas. Meça os valores de R e L usando um multímetro. 3. Os pontos obtidos correspondem à função 7.7. Queremos, a partir de um gráfico desta função, obter o valor da constante de tempo τ através de um ajuste. Para facilitar este trabalho, vamos linearizar a equação 7.7, isto é, fazer uma mudança de variáveis que irá torná-la uma equação linear, com a seguinte forma: ln(v L ) = ln(v B ) t τ. (7.42) 4. Faça o gráfico de ln(v L /Volt) versus t e obtenha o valor de τ fazendo um ajuste linear. Os valores de V L são divididos por 1 volt para que o argumento do logaritmo seja uma grandeza adimensional. 5. Compare o valor medido da constante de tempo com seu valor nominal, dado pela equação 7.5.

7.7 Procedimentos experimentais 81 7.7.3 Procedimento III: medida da diferença de fase e da reatância indutiva de um circuito RL com corrente alternada Vamos caracterizar um circuito RL, verificando a diferença de fase entre a corrente que flui no circuito e a tensão aplicada pelo gerador. Poderemos então calcular a reatância indutiva para a frequência escolhida e comparar com seu valor esperado. 1. Monte o circuito da figura 7.3 utilizando um resistor R = 100 Ω e um indutor de L = 23, 2 mh. Meça com um multímetro os valores de R e L. 2. Ajuste o gerador para que ele alimente o circuito com uma tensão senoidal com frequência próxima a f 2 = 500 Hz e uma amplitude próxima a 4 V. Com o osciloscópio meça a frequência do sinal com sua respectiva incerteza. 3. Observe que existe uma diferença de fase ϕ 2 entre o sinal do canal 1 (tensão do gerador) e o sinal do canal 2 (tensão sobre o resistor). Utilizando o mesmo método empregado no circuito RC, meça a diferença de fase entre a corrente e a tensão do gerador, com sua incerteza. Não esqueça de utilizar o valor de f 2 medido no item anterior. 4. A partir do valor obtido para ϕ 2, calcule o valor da reatância indutiva X L para a frequência f 2 e compare com o valor nominal. 5. Meça no osciloscópio as amplitudes das voltagens do gerador (V 0 ) e do resistor (V 0R ). A partir da equação 7.40 calcule a amplitude da tensão no indutor, V 0L e sua incerteza. 6. Calcule de maneira alternativa, a partir da equação 7.41 e das amplitudes medidas e calculadas na pergunta anterior, a diferença de fase ϕ 2 e sua incerteza. Compare o valor com o valor obtido na questão 3 deste procedimento. Os valores são compatíveis?