Solução MMC, MDC, Regra de Três Simples e Composta & Porcentagem

Enem e Uesb Matemática Cursinho: Universidade para Todos Professor: Cirlei Xavier Lista: 3 a Lista de Matemática Aluno a): Disciplina: Matemática Conteúdo: Matemática Básica Turma: A e B Data: Agosto de 016 Solução MMC, MDC, Regra de Três Simples e Composta & Porcentagem 01. Fatore os números abaixo: a) 90 90 = 9 10 = 3 5 = 3 5 b) 7 7 = 36 = 4 9 = 3 3 c) 300 300 = 3 = 3 4 5 = 3 5 = 3 5 0. Dado o número inteiro 60: a) decomponha-o em fatores primos; Decomposição prima do número 60: 60 = 6 10 = 3 5 = 3 5 b) determine todos os seus divisores naturais; Divisores de 60: 0 3 0 5 0 = 1 1 3 0 5 0 = 0 3 1 5 0 = 3 3 0 5 0 = 4 0 3 0 5 1 = 5 1 3 1 5 0 = 6 1 3 0 5 1 = 10 3 1 5 0 = 1 0 3 1 5 1 = 15 3 0 5 1 = 0 1 3 1 5 1 = 30 3 1 5 1 = 60 Portanto, os divisões naturais de 60, D + 60), são: D + 60) = {1,,3,4,5,6,10,1,15,0,30,60} c) determine todos os seus divisores inteiros. D60) = {±1,±,±3,±4,±5,±6,±10,±1,±15,±0,±30,±60} 1

Matemática Enem e Uesb d) determine o seu número de divisores naturais O número de divisores naturais de um número natural N é igual ao produto dos expoentes dos seus fatores primos aumentado, cada expoente, do número 1. Assim, se N = a α b β c λ, com a, b e c primos, temos: n[d + N)] = α + 1) β + 1) λ + 1) Dessa forma, como 60 = 3 5, temos n[d + N)] = + 1) 1 + 1) 1 + 1) = 3 = 1 e) determine o seu número de divisores inteiros; O número de divisores inteiros de um número natural é o dobro do número de divisores naturais, ou seja, n[dn)] = n[d + N)] Portanto, o número de divisores inteiros de 60 é n[dn)] = 1 = 4. 03. Resolva as expressões: a) b) x y + y x 41 8 + 5 6 c) d) 3a 4 + 4b 3 1 5 + 7 5 + 17 a) x y + y x = x x + y y = x + y yx xy b) 41 8 + 5 6 = 41 3 + 5 4 13 + 0 = = 143 4 4 4 c) 3a 4 + 4b 3a 3 + 4b 4 9a + 16b = = 3 1 1 d) 1 5 + 7 5 + 17 = 1 10 + 7 + 17 5 50 = 10 + 14 + 45 50 = 649 50 04. ESPM-SP) O valor da expressão 1 + 1 é igual a: + 1 1 a) b) c) 0 d) 4 e) 4

Enem e Uesb Matemática Resposta letra e. 1 + 1 = 1) 1) + 1) + 1) + 1 1 + 1) 1) = 1) + 1) [ ) 1 ] = [ ) 1 + 1] [ ) + 1 + 1]] [ 1] = [ + 1] [ + + 1] = 4 05. PUC-MG) Se x = a) b) 3 + e y = 56 4, então x + y é igual a: c) 8 d) + e) 160 + 4 x + y = 3 + + 56 4 = 4 ) + 56 3 + ) 3 + ) 4 ) = 8 ) + 168 + 11 ) 1 3 + 8 4) = 176 + 110 8 + 5 ) = 8 + 5 ) 8 + 5 ) = Resposta letra a. 06. Uma casa de 3 quartos é construída em 1 dias por 10 operários. Em quantos dias será construída uma outra de 5 quartos, se o número de operários aumentar para 35? Quartos Tempo dias) Operários 3 1 10 5 x 35 Aumentando o número de quartos a ser construido, permanecendo o mesma quantidade de operários, o tempo também aumentará, então as grandezas, quartos e dias, são diretamente proporcionais. Agora, aumentando o número de operários, fazendo o mesmo serviço, o tempo de trabalho diminuirá, então as grandezas, operários e tempo, são inversamente proporcionais. Então, temos: 3 5 35 10 = 1 x 1 10 = 1 x x = 10 Portanto, os 5 quartos serão construidos em 10 dias. 07. Uma pessoa recebe R$300,00 por 18 dias de trabalho. Quanto receberá por 30 dias de trabalho? As grandezas, o valor em reais e os dias de trabalho, são diretamente proporcionais. Então, pela regra de três simples, temos: 3

Matemática Enem e Uesb x 300 = 30 30 300 x = = 9 1.000 x = 500 18 18 9 Portanto, a pessoa receberá R$500,00 reais por 30 dias de trabalho. 08. Um carro faz um percurso a uma velocidade constante de 60 km/h durante 7 horas. Se viajar pelo mesmo percurso durante 4 horas, qual a velocidade média) desenvolvida por este carro? Velocidade km/h) Tempo horas) x 4 60 7 As grandezas velocidade e o tempo, em horas, são inversamente proporcionais. Então, temos x 60 = 7 4 x = 7 60 x = 105 4 Portanto, o carro desenvolverá uma velocidade de 105 km/h. ou A velocidade de um corpo em movimento é dado por v 1 = d t 1 d = v 1 t 1 d = 60 7 km Dessa forma, a nova velocidade viajando pelo mesmo percurso durante 4 horas é: v = d t = 60 7 km 4 h v = 105 km/h 09. Oitenta operários constroem um muro de m de comprimento e 3 m de altura em 5 dias, trabalhando 6 h por dia. Em quantos dias, 60 operários deverão trabalhar para construir um muro semelhante ao primeiro com 150 m de comprimento, 4 m de altura, trabalhando 8 h por dia? Operários Tempo dias) Área m ) Tempo horas) 80 5 3=300 6 60 x 150 4=600 8 Diminuindo o número de operários, para construir uma muro com as mesmas dimensões, os dias aumentará, então as grandezas são inversamente proporcionais. Se uma certa quantia de operários constroem um muro de área 300 m, em 5 dias, então, aumentando a área a ser construida, o número de dias aumentarão, dessa forma, são grandezas proporcionais. Por fim, vamos analisar o tempo em horas. Se em 6 horas, uma certa quantidade de operários constroem um muro, então, aumentando a horas de 6 para 8 horas de trabalho, os dias diminuirão, assim as grandezas são inversamente proporcionais. Portanto, temos: 60 80 300 600 8 6 = 5 x 3 4 1 4 3 = 5 x 1 = 5 x x = 10 Assim, os 60 operários gastarão 10 dias, trabalhando 8 horas por dia, para construir o novo muro de 600 m. 10. Uesc-BA) Com suas próprias despesas e da sua loja, um comerciante gasta, a cada 30 dias, uma quantia igual à que ele arrecada com a loja a cada 40 dias. Se, num dado instante, o capital 4

Enem e Uesb Matemática que o comerciante possui é igual ao dobro dessa quantia, calcule o tempo para que o seu capital seja reduzido a zero. Chamado de x a quantia gasta por mês pelo comerciante, então o gasto diário é x/30. Por outro lado, chamando de y o capital que o comerciante possui, num certo instante, e dado que essa quantia é o dobro de x, então temos y = x. A quantia diária arrecadada pelo comerciante é x/40. Dessa forma, o comerciante gasta x/30 e arrecada x/40 por dia. A quantia que ele deve pegar do capital para ajudar nos gastos das despesas diárias é: x 30 x 40 = x 4 x 3 4x 3x = 10 10 = x 10 Fazendo a razão do capital total, x, pelo valor retirado diariamente, x/10, temos: Portanto, o capital acabará em 40 dias. x x 10 = = 40 x/10 x 11. Se um objeto foi comprado por R$0,00 e depois foi revendido por R$6,00, qual foi a taxa percentual de lucro obtida? Sabemos que lucro obtido na venda de um objeto é dado por L = P v, onde P v é o preço de venda e é o preço de compra. Então, dividindo a equação do lucro, por exemplo, por, temos o lucro sobre o preço de compra, L c, ou seja: Portanto, o lucro foi de 30%. L c = L = P v 6,00 0,00 = = 6,00 = 0,30 30% 0,00 0,00 1. Um aluno acertou 4 das 5 questões de uma prova. Qual o seu percentual de acerto? Se um aluno acertou 4 das 5 questões de uma prova, então o seu percentual de acerto, p, é dado por p = 4 % p = 0,8 % = 80% 5 Portanto, o aluno obteve 80% de acerto na prova aplicada. 13. Unicap-PE) Determine, em reais, 10% do valor de um bem, sabendo que 15% do preço do citado bem é R$18,00. Chamando de x o preço do citado bem. Então, 15% de x é 0,15x. Temos Portanto, 10% de R$10,00 é R$1,00. 0,15x = 18,00 x = R$10,00 14. Calcule o valor de: a) 30% de 84 30% de 84 0,30 84 = 5,0 b),5% de 44,5% de 44 0,05 44 = 1,10 15. Fuvest-SP) 10%) é igual a: 5

Matemática Enem e Uesb a) % b) 0% c) 5% d) 1% e) 0,1% Temos 10%) = 10% 10% = 0,10 0,10 = 0,01 1%. Portanto, a resposta é letra d. 16. Fuvest-SP) Uma certa mercadoria, que custava R$1, 50, teve um aumento, passando a custar R$13,50. O aumento percentual sobre o preço antigo é de? Usando a expressão de aumento percentual, isto é, considerando um valor inicial V que teve um aumento de p% de seu valor e V A o valor após o aumento. Então, o valor após o aumento é dado por: V A = 1 + p ) V Se queremos o aumento, ou seja, o valor de p%, devemos reescrever a equação que nos dá o valor após o aumento, isto é: V A = 1 + p ) V p = V A V 1 p = 13,50 1,50 1 = 1,08 1 p = 0,08 p% = 8% Portanto, teve um aumento de 8% na mercadoria. 17. Dado o valor de R$00,00, determine: a) o valor de um aumento de 5%; Um aumento de 5% de 00,00 0,5 R$00,00 = R$50,00 b) o valor após um aumento de 5%; V A = 1 + 0,5) R$00,00 = R$00,00 + R$50,00 = R$50,00 c) o valor de um desconto de 45%; Um desconto de 45% de 00,00 0,45 R$00,00 = R$90,00 d) o valor após um desconto de 45%. V D = 1 0,45) R$00,00 = R$00,00 R$90,00 = R$110,00 18. Fuvest-SP) Um vendedor ambulante vende os seus produtos com lucro de 50% sobre o preço de venda. Então, o seu lucro sobre o preço de custo é de: a) 10% b) 5% c) 30% d) % e) 10% Sabemos que lucro é dado pela expressão: L = P v, onde P v é o preço de venda e é o preço de custo. Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas: lucro sobre o custo, L v = L/ %, e o lucro sobre a venda L v = L/P v %. O lucro de 50% sobre o preço de venda é L v = 0,50 L = 0,50P v, então da expressão lucro temos: L = P v 1 0,50P v Portanto, o lucro sobre o preço de custo é: Resposta letra d. L c = 0,50P v = P v 1 0,50 Pv = 1 P v = P v = % = 0,50 % = % 19. Enem) Para se obter 1,5 kg do dióxido de urânio puro, matéria-prima para a produção de combustível nuclear, é necessário extrair-se e tratar-se 1,0 tonelada de minério. Assim, o rendimento dado em % em massa) do tratamento do minério até chegar ao dióxido de urânio puro é de: 6

Enem e Uesb Matemática a) 0,10% b) 0,15% c) 0,0% d) 1,5% e),0% O rendimento dado em porcentagem é Resposta letra b. 1,5 kg % = 0,15% 1.000 kg 0. Uespi-PI) Joana e Marta vendem um perfume a domicílio. Joana dá desconto de R$10, 00 sobre o preço de perfume e recebe de comissão 15% do preço de venda. Marta vende o mesmo perfume com desconto de R$0,00 e recebe 30% de comissão sobre o preço de venda. Se as duas recebem o mesmo valor de comissão, qual o preço do perfume? a) R$6,00 b) R$7,00 c) R$8,00 d) R$9,00 e) R$30,00 Chamando de x o preço de venda do perfume. Joana dá desconto de R$10,00 sobre o preço do perfume, então o preço de venda é P v = x 10 e recebe de comissão 15% sobre o preço de venda, assim, temos C J = 0,15x 10). Marta vende o mesmo perfume com desconto de R$0,00 e recebe 30% de comissão sobre o preço de venda, então temos C M = 0,30x 0). Se as duas recebem o mesmo valor de comissão, C J = C M, então 0,15x 10) = 0,30x 0) x 10 = x 0) x = 40 10 = 30 Portanto, o preço do perfume é R$30,00. Resposta letra e. 1. Uneb-BA) O fabricante de determinada marca de papel higiênico fez uma maquiagem no seu produto, substituindo as embalagens com quarto rolos, cada um com 40 metros, que custavam R$1,80, por embalagens com quatro rolos, cada um com 30 metros, com custo de R$1,6. Nessas condições, pode-se concluir que o preço de papel higiênico foi: a) aumentado em 10% b) aumentado em 0% c) aumentado em 5% d) reduzido em 10% e) mantido o mesmo. Uma embalagem com quatro rolos, cada um com 40 metros, custa R$1,80, então o valor por metro é R A = 1,80/4 40. Agora, um nova embalagem com quatro rolos, cada um com 30 metros, custa R$1,6, então o valor por metro é R D = 1,6/4 30. Portanto, o preço do papel teve: um aumento de 0%. Resposta letra b. R D R A = 1,6 4 30 4 40 1,80 = 1,6 4 3 1,80 = 81 4 3 90 = 1 10 = 1,. Uespi-PI) Um artigo é vendido à vista com 15% de desconto ou em duas parcelas iguais, sem desconto, uma paga no ato da compra e a outra após um mês. Quais os juros mensais embutidos na compra a prazo? Indique o inteiro mais próximo. a) aumento de 41% b) aumento de 4% c) aumento de 43% d) aumento de 44% e) aumento de 45% 7

Matemática Enem e Uesb Se o artigo for vendido por x, então à vista pagará 0,85x. Agora, a prazo pagamos duas parcelas iguais, sem desconto, de 0,50x uma no ato da compra e a outra após um mês. Podemos pensar da seguinte forma: Na primeira parcela pagamos 0, 50x em ambas a forma de pagamento. Já na segunda parcela pagamos 0,35x na forma à vista e 0,50x na forma a prazo, isto é: Forma de Pagamento Primeira Parcela Segunda Parcela À Vista 0, 50x 0, 35x A Prazo 0, 50x 0, 50x Dessa forma, o fator de aumento é: f A = 0,50 1,4 0,35 Portanto, temos um juro mensais embutido na compra a prazo de aproximadamente 4%. Resposta letra b. 3. Uneb-BA) O preço da laranja teve dois aumentos consecutivos: 10% e 0%. Se hoje o cento da laranja custa R$5,8, antes dos aumentos custava, em reais: a) 5,00 b) 4,30 c) 4,00 d) 3,50 e) 3,0 Se o preço da laranja teve dois aumentos consecutivos de 10% e 0%, passando a custar V A = R$5,8, então temos: V A = 1 + p ) 1 1 + p ) V 5,8 = 1 + 0,10) 1 + 0,0) V V = 1,10 1,0 V = 5,8 5,8 1,10 1,0 = 5,8 1,3 = 4,00 O preço da laranja antes dos aumentos custava R$4,00. Resposta letra c. 4. PUC-SP) Descontos sucessivos de 0% e 30% são equivalentes a um único desconto de: a) 5% b) 6% c) 44% d) 45% e) 50% A expressão para o descontos sucessos é: V D = 1 p ) 1 1 p ) V onde o fator de desconto é f D = 1 p 1 f D = 1 0 ) 1 p ) 1 30 f D = 1 0,0) 1 0,30) f D = 0,8 0,70 = 0,56 = 1 0,44) Portanto, equivale a um único desconto de 44%. ) ) 8

Enem e Uesb Matemática Resposta letra c. 5. Fuvest-SP) O preço de uma mercadoria subiu 5%. Calcule a porcentagem que se deve reduzir do seu preço atual para que volte a custar o que custava antes do aumento. Se o preço de uma mercadoria subiu 5%, então o valor após o aumento é dado por V A = 1,5 V, onde V é o valor antes do aumento e 1,5 é o fator de aumento, f A = 1,5. Tendo um desconto, o valor após o desconto é V D = f D V A com V D = V, onde f D é o fator de desconto. Dessa forma, temos: Portanto, o desconto será de 0%. V = f D V A V = f D 1,5 V f D = 1 = 0,80 = 1 0,0) 1,5 6. Uneb-BA) Um objeto que custa R$40, 00 à vista poderá ser comprado com uma entrada R$60,00 e o restante, a prazo, com um acréscimo de 10%. Nessas condições, preço final do objeto será: a) R$300,00 b) R$64,00 c) R$58,00 d) R$198,00 e) R$180,00 O valor restante é R$40,00 R$60,00 = R$180,00, então o preço final do objeto será: R$60,00 + 1 + 0,10)R$180 = R$60,00 + 1,10 R$180 = R$60,00 + R$198,00 = R$58,00 Resposta letra c. 7. Uneb-BA) Determine o preço normal de uma mercadoria que, com desconto de 30%, está sendo oferecida por R$10,00. O preço de uma mercadoria após um desconto de 30% é: V D = 1 p ) V R$10,00 = 1 0,30) V Portanto, o preço normal é R$300,00. V = R$10,00 0,70 = R$300,00 8. Uesc-BA) Um terreno foi comprado por R$10.000,00. Pretendendo-se ganhar 5% de lucro sobre o preço de venda, calcule o valor que o terreno deve ser vendido. O preço de custo foi = R$10.000,00. Pretendendo-se ganhar 5% de lucro sobre o preço de venda, então temos L v = L/P v % = 5% L = 0,5P v. Assim, temos L = P v 0,5P v = P v 0,75P v = P v = P v = R$10.000,00 0,75 Portanto, o terreno deve ser vendido por R$160.000,00. = R$160.000, 00 0,75 9. Uesc-BA) Determine o preço de tabela de um eletrodoméstico que está sendo oferecido com desconto de 15% a preço de R$1,00. 9

Matemática Enem e Uesb O valor após o desconto de 15% é V D = R$1,00, então temos: V D = 1 p ) V R$1,00 = 1 0,15) V V = R$1,00 0,85 = R$60,00 10