CAPÍTULO 4 Cálculo proposicional

CÁLCULO PROPOSICIONAL 1. PROPOSIÇÕES Uma proposição é uma sentença declarativa que pode ser verdade ou falsa, mas não ambas. As proposições podem ser divididas em proposições simples e compostas. 1.1. Proposições simples a) Pedro é aluno do Curso de Informática. b) A terra gira em torno do sol. c) O leite é branco. d) 7 é quadrado perfeito. 1.2. Proposições compostas e) Cabral descobriu o Brasil e Colombo a América. f) Bruno cursa Informática e Mariel Estatística. g) O triângulo ABC é isóscele ou retângulo. h) Se Pedro é estudioso, então será aprovado. i) ABC é triângulo equilátero se, e somente se, é que iângulo. 1.3. Princípio da não contradição Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. São verdadeiras (a), (b) e (c) e falsa (d). 1.4. Princípio do terceiro excluído. Toda proposição ou é verdadeira ou falsa. Sempre ocorrem esses casos e nunca um terceiro. 2. OPERAÇÕES LÓGICAS O cálculo das proposições consiste nas operações fundamentais que partem de proposições simples para se chegar às proposições compostas. As operações que podem ser efetuadas são: A negação, a conjunção, a disjunção, a condicional e a bicondicional. 2.1. Conectivos O Cálculo das proposições destaca cinco operadores lógicos, a saber:...não...(denota-se )... e... (denota-se )...ou...(denota-se )...se,... então... (denota-se )...se, e somente se... (denota-se ) 33

O primeiro operador é dito unário, pelo fato de operar sobre um só operando, os demais são operadores binários, já que operam sobre dois operandos. 2.2. Negação ( ) É a mais simples operação-verdade. Se a proposição A é verdadeira, então falsa, então A é verdadeira. A é falsa, se A é A: 2/3 é um número racional. (verdade) A: 2/3 não é um número racional. (falso) ou A: 2/3 é um número irracional. (falso) Tabela verdade para a negação A A A A V F 1 0 F V 0 1 2.3. Conjunção ( ) Essa operação verdade corresponde ao termo e e seu símbolo é. Por meio da conjunção é possível, dadas duas proposições simples A e B obter-se outra composta A B que será verdadeira somente quando A e B forem verdadeiras. A: Recife é a capital de Pernambuco. B: Manaus é a capital do Amazonas. A B: Recife é a capital de Pernambuco e Manaus é a capital do Amazonas. A B A B A B A B V V V 1 1 1 V F F 1 0 0 F V F 0 1 0 F F F 0 0 0 Exemplo 1: Verifique se a composta é verdadeira ou falsa. a) José de Alencar escreveu o Guarani e Machado de Assis Capitu. ( V V = V) b) 5+2=7 e 3> 5. ( V F = F ) c) > 4 e 7 é número primo. ( F V = F ) d) > 4 e 8 é número ímpar. ( F F = F ) 34

2.4. Disjunção ( ) Essa operação verdade corresponde ao termo ou e seu símbolo é possível, dadas duas proposições simples A e B obter-se outra composta A quando A e B forem falsas.. Por meio da disjunção é B que será falsa somente A: Recife é a capital de Pernambuco. B: Manaus é a capital do Amazonas. A B: Recife é a capital de Pernambuco ou Manaus é a capital do Amazonas. A B A B A B A B V V V 1 1 1 V F V 1 0 1 F V V 0 1 1 F F F 0 0 0 Exemplo 2: Verifique se a composta é verdadeira ou falsa. a) 2+2=4 ou 5>3 ( V V = V) b) 4 ou 7 é número primo. ( F V =V) c) 4 ou 8 é número primo. ( F F =F ) 2.5. Condicional ( ) Essa operação verdade corresponde ao termo...se,... então.... Por meio da condicional é possível, dadas duas proposições simples A e B obter-se outra composta A B que será falsa somente quando A for V e B for falsa. Se chover, então irei ao cinema. Se estudar, então serei aprovado. Seja A: estudar B: serei aprovado A partir de duas proposições A e B, construímos uma nova proposição. A B (lê-se, se A, então B) ou A implica B. A tabela verdade é dada por: A B A B A B A B V V V 1 1 1 V F F 1 0 0 F V V 0 1 1 F F V 0 0 1 35

Observação 01: Da teoria dos conjuntos sabemos que A B B ou A B A, assim, se x A B, então x B, isto é, sempre é verdade que se x está em A B, então x está em B. Logo, na tabela A B B é sempre verdadeira. A B A B A B B V V V V V V V F F F V F F V F F V V F F F F V F Observando as três últimas colunas podemos escrever: V V = V F F = V F V = V Observação 02: Uma proposição A valor de B. B é sempre Verdadeira (V) desde que A seja Falsa (F), independente do Exemplo 3: Verifique se a composta é verdadeira ou falsa. 1) Se 2 + 2 =5, então 1 1. (verdade) 2) Se 2 + 2 =5, então 1 = 1. (verdade) 3) Se o Papa joga no Corinthians, então o Palmeiras será campeão. (verdade) 4) Se o Papa joga no Corinthians, então todos os alunos de Matemática Discreta serão aprovados. (verdade) Observação 03: As proposições no Exemplo 03 são trivialmente verdadeiras pois, sendo a hipótese falsa, como em, A : 2 + 2 = 5 ou A: O Papa joga no Corinthians, então a composta é verdadeira. 2.6. Bicondicional ( ) Para definirmos a tabela verdade da bicondicional escrevemos: A se, e somente se, B e é definida por (A B) ( B A) A B A B B A (A B) ( B A) V V V V V V F F V F F V V F F F F V V V 36

Segue, portanto, a tabela verdade para a bicondicional. A B A B A B A B V V V 1 1 1 V F F 1 0 0 F V F 0 1 0 F F V 0 0 1 Exercícios de aplicação 9: Escreva em linguagem corrente. 1) A: Está frio. B: Está chovendo. a) A: b) A B: c) A B: d) A B; e) A B: f) A B: g) A B: 2) Analogamente: A: Pedro é aluno de ADS B: ADS é Curso da Fatecsp a) A: b) A B: c) A B: d) A B; e) A B: f) A B: g) A B: 37

3) Escreva em linguagem simbólica as sentenças. p: Carolina é alta. q: Carolina é elegante. a) Carolina é alta e elegante. b) Carolina é alta, mas não é elegante. c) É falso, que Carolina é baixa ou elegante. d) Carolina não é nem baixa nem elegante. e) Carolina é alta, ou ela é baixa e elegante 4) Dar o valor lógico das proposições. a) Porto Alegre é a capital do Estado do Paraná ou 10 é par. ( ) b) Se 3 >, então 2 é racional. ( ) c) Se 3 >, então o Corinthians será campeão Paulista de 2011. ( ) d) Se 1 1, então 4 9 5. ( ) e) 2+3=5 se, e somente se 36 6. ( ) f) 3 2 6 se, e somente se 2+2+2=6. ( ) 2.7. Formas sentenciais Quando estudamos as expressões numéricas, observamos expressões com as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão organizadas com parênteses, colchetes e chaves. Da mesma forma ocorrem as formas sentenciais usando,,, e. 38

2.8. Tabela verdade Para cada forma sentencial podemos montar uma tabela verdade. Exemplo 4: Construir a tabela verdade relativa à forma sentencial [( A B) ( A C)] ( B C ) A B C A B A A C C B C V V V V F V F F F V V F V F F F V V V F V F F V V F F V F F F F F V V F F V V V V V F F F F V F V V V V V V F F V V V V F F F F F F V V V F V F Exemplo 5: Construir a tabela verdade relativa à forma sentencial [( A B) ( B C] ( A C ) A B C A B B C A C V V V V V V V V V F V F V F V F V F V V V V F F F V V F F V V V V V V F V F V F V V F F V V V V V F F F V V V V 39

Exemplo 6: Tabela verdade pode ser feita do modo simplificado como segue. ( A B) ( A B ) V V V V F V V V F F V F F F F V V V V V V F V F V V V F Exercícios de aplicação 10: Construir a tabela verdade relativa à forma sentencial (Simplificada ou não). 1) ( p q) ( p q ) 2) [ A ( B C)] ( A C ) 40

3) [( A B) ( C D)] ( D A ) 4) [( A C) ( B C)] [( B A) ( A C )] 5) [( A B) ( C A)] [( A B) ( C A )] 41

6) [( A B) ( C A)] [( A B) ( C B )] 2.9. Tautologia contradição Uma forma sentencial diz-se tautologia, se assumir valor V (verdade) para quaisquer que sejam os valores atribuídos às variáveis e se assumir o valor F diremos que é uma contradição. Exemplo 7: A forma sentencial que segue é uma tautologia. ( A B) ( A B ) V V V V F V V V F F V F F F F V V V V V V F V F V V V F Exemplo 8: A forma sentencial que segue é uma contradição. ( ) ( ) A B A B V V V F F F F V V F F F F V F V V F V F F F F F F V V V 42

Exemplo 9: Se a forma sentencial ( A ( B C)) ( B C ) é falsa, quais valores possíveis de verdade que podem assumir A, B e C? ( A ( B C)) ( B C ) 0 1ª conclusão _1 0 2ª conclusão 1 0 1 0 3ª conclusão 0 4ª conclusão _0 0 5ª conclusão Assim, A=0, B=1 e C=0 Exercícios de aplicação 11: As formas sentencias que seguem são falsas, quais valores possíveis de verdade, que podem assumir A, B, C, D e E? 1) [ A ( B D)] A ( B C ) 2) ( A B) [( B C) C ] 43

3) A ( ( B C) D) (( B E) ( C D ) 4) A B B C 5) Se a forma sentencial ( ) ( ) A B C B C A é falsa, e a sentença C Bé verdadeira. Quais os valores possíveis de verdade que podem assumir A, B e C? 44

6) Se a forma sentencial ( A B) C { D [ B ( C E )]} é falsa. Quais os valores possíveis de verdade que podem assumir A, B, C, D e E? 7) [( ( B C) D) (( B E) ( C D))] A 8) ( A B) [(( C B) A) ( B ( B D ))] 45

2.10. Implicações e equivalências lógicas (~) Dizemos que uma forma sentencial X implica logicamente uma forma sentencial Y, se a forma sentencial X Y for uma tautologia. Exemplo 10. Seja X: A B e Y: A B, mostremos que X ~ Y isto é ( A B ) ( A B ) A B A B A B V V V V F V V V F F V F F F F V V V V V V F F V V V V F 2.11. Equivalências lógicas fundamentais E : Lei da dupla negação: A~ 1 A A A A V F V F V F Exemplo 11. Não entendi nada desta explicação ~ entendi tudo. A: Entendi essa explicação. A: Não entendi essa explicação. A: Não entendi nada essa explicação A: entendi tudo. E : Lei da idempotência: A A ~ A e A A ~ A 2 A A A A V V V V F F V F A A A A 46

E : Lei da Comutatividade: 3 V V V V F F V F a) A B ~ B A A B B A V V V V V V V V F F V F F V F F V V V F F F F F V F F F b) A B ~ B A A B B A V V V V V V V V F F V F F V F F V V V F F F F F V F F F E : Leis da associatividade: 4 a) ( A B) C ~ A ( B C ) b) ( A B) C ~ A ( B C ) E : Leis de De Morgan 5 a) ( A B) ~ ( A B ) b) ( A B) ~ ( A B ) Demonstração: Usaremos 1 para V e 0 para F a) ( A B) ~ ( A B ) A B A B 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 47

b) ( A B) ~ ( A B ) A B A B 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 Mostre as equivalências lógicas usando as tabelas verdade. E : Leis distributivas ou de fatoração 6 a) A ( B C) ~ ( A B) ( A C ) b) A ( B C) ~ ( A B) ( A C ) E : Leis de absorção 7 1) A ( A B) ~ A 2) A ( A B) ~ A 3) ( A B) B ~ ( A B ) 4) ( A B) B ~ ( A B ) 5) Se T é tautologia e F uma contradição, então a) ( T A) ~ A b) ( T A) ~ T c) ( F A) ~ F d) ( F A) ~ A Mostremos, a) ( T A) ~ A T A A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 Mostre as propriedades b) c) d) usando as tabelas verdade. 48

E : Contra positivo. 8 ( A B) ~ ( B A ) A B B A 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 E : Eliminação da condicional 9 a) ( A B) ~ ( A B ) A B A B 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 b) ( A B) ~ ( A B ) A B A B B 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 E : Eliminação da Bicondicional 10 a) ( A B) ~ ( A B) ( A B ) A B A B A B 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 49

b) ( A B) ~ ( A B) ( B A ) A B A B B A 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 Exercícios de aplicação 12: Nota: Nos exercícios que se seguem use as equivalências lógicas apresentadas, indicando qual está sendo usada para a solução do exercício. 1) A forma sentencial ( A B) ( A B) B é logicamente equivalente a a) A B b) A B c) A B d) A B 2) A forma sentencial [( B C) A] ( C B ) é logicamente equivalente a a) C ( A B ) b) C ( A B ) c) C ( A B ) 50

3) A forma sentencial ( A A) B [ A ( B B )] é logicamente equivalente a a) ( A B ) b) A B c) A B d) ( B A ) 4) A forma sentencial A ( B C) [( A B) C ] é logicamente equivalente a a) C ( A B ) b) C ( A B ) c) A ( B C ) 5) A forma sentencial ( A B) ( B A) {[ ( A B) ( B A) ( C A)] ( C C )} é logicamente equivalente a a) ( A B ) b) C ( A B ) c) A ( B C ) d)( A B) C 51

6) A forma sentencial [( A B) ( A B)] ( A B ) é logicamente equivalente a a) A B b) A B c)tautologia d)contradição 7) A forma sentencial A ( C [( B ( B C)) ( A B )] é logicamente equivalente a A B b) A B c)tautologia d)contradição 8) A forma sentencial ( A C) ( B C) [( A B) C ] é logicamente equivalente a A B b) A B c) A B d) A ( B C ) 9) A forma sentencial {[( A C) ( B C)] [ B ( B C)]} {[( A C) B] A } é logicamente equivalente a A B b) A B c) A B d) A ( B C ) e) A B) C 52

Observação: Nos exercícios que seguem é importante conhecer a leitura das proposições e sua simbologia. Assim, A B: lê-se: Se A, então B A, somente se B A é condição suficiente para B. B é condição necessária para A. A B: A é condição necessária é suficiente para B. Exemplo 12: Indique em quais dos seguintes casos, A é condição necessária (c.n) para B, em quais A é condição suficiente (c.s) para B e em quais A é condição necessária e suficiente (c.n.s) para B. a) A: n é divisível por 6 B: n número par (c.s) b) A: x < 0 e y < 0 B: x.y > 0 (c.s) c) A: x é ímpar 2 B: x é impar (c.n.s) d) A: x = 2 2 B: x =4 (c.s) 2 e) A: x =4 B: x = 2 (c.n) Exemplo 13: Dar a negação em linguagem corrente da proposição. As rosas são amarelas e os cravos brancos. Solução: Definindo: A: As rosas são amarelas. B: Os cravos brancos. Assim, podemos escrever: A B Negação de A B é ( A B ) ~ A B (Leis de De Morgan).Assim em linguagem corrente escrevemos: As rosas não são amarelas ou os cravos não são brancos. Exemplo 14: Dar a negação em linguagem corrente da proposição. Se estiver cansado ou com fome, não consigo estudar. Definindo: C: estiver cansado F: com fome E: consigo estudar E: não consigo estudar. 53

Da proposição podemos escrever: ( C F) E, negando e usando as equivalências lógicas, segue: [( C F) E] ~ [ ( C F) E ] ~( C F) E. Portanto, em linguagem corrente escrevemos: Mesmo cansado ou com fome eu estudo ou ainda Estando cansado ou com fome consigo estudar. Exemplo 15: Dar a negação em linguagem corrente da proposição. A temperatura diminuirá somente se chover ou nevar. Definindo: D: A temperatura diminuirá C: chover N: nevar Assim, podemos escrever: D ( C N ), negando e usando as equivalências lógicas, segue: [ D ( C N )] ~ [ D ( C N )] ~ D ( C N ) ~ D C N ) Em linguagem corrente escrevemos: A temperatura diminuirá mesmo não chovendo e não nevando. Não choverá e não nevará e mesmo assim a temperatura diminuirá. Exercícios de aplicação 13: Dar a negação em linguagem corrente das proposições. 1) Fará sol se, e somente se não chover. 2) Bruno é aluno MD ou pesquisador. 54

3) Existe menina feia. 4)Todo menino gosta de futebol. 5) Nenhuma menina gosta do Corinthians. 6) Tudo que é bom engorda. 7) Todos os homens são mortais. 8) Thaís é inteligente e estuda. 55

9) O Corinthians ganhará o campeonato brasileiro se o juiz roubar ou os santos ajudarem. 10)Se eu estudar matemática discreta e tiver sorte na prova, então serei aprovado. 11) Se é domingo ou faz chuva, então é feriado e é noite. 12) Ficarei rico, se estudar ou ganhar na loteria. 13) A laranja não cai do pé, a menos que esteja madura ou haja uma forte ventania. 56

3. ARGUMENTOS Sejam P, P,..., P e Q proposições. Denomina-se argumento a toda afirmação de que uma 1 2 n dada seqüência finita de proposições P, P,..., P acarreta uma proposição final Q. 1 2 n P, P,..., P, denominam-se premissas, e Q conclusão. Lê-se 1 2 n P, P,..., P, acarreta Q ou Q decorre de P, P,..., P. 1 2 n 1 2 n Um argumento que consiste em duas premissas e uma conclusão denomina-se silogismo. Um argumento P, P,..., P Q é valido se, e somente se a condicional 1 2 n ( P P... P ) Q é uma tautologia. 1 2 n Exemplo 16: Verifique em cada um dos casos abaixo, se a argumentação é válida ou é uma falácia. 1) Sejam as Premissas: i) Se um homem é feliz, ele não é solteiro. ii) Se um homem não é feliz, ele morre cedo. Conclusão: Homens solteiros morrem cedo. Chamando F: Homem é feliz S: Solteiro C: morre Cedo Podemos escrever a forma simbólica argumentação como: [( F S) ( F C)] ( S C ) 1 1 1 hip_1 1ª conclusão 1 2ª conclusão 0 3ª conclusão _0 0 4ª conclusão 1 1 1_ 5ª conclusão 1 1 final Portanto, a argumentação é verdadeira. 2) Sejam as Premissas: i) Se um homem não fuma, então é atleta ou não é alcoólatra. ii) Se um homem fuma, então tem câncer. iii) Paulo não é atleta, mas alcoólatra. Conclusão: Paulo tem câncer. 57

Chamando F: Fuma C: Câncer A t : Atleta A l : Alcoólatra ( F ( A A)) F C ( A A) C t l t l 1 1 1 1ª conclusão 1 1 2ª conclusão 0 1 0 3ª conclusão 0 4ª conclusão 0 5ª conclusão 0 6ª conclusão 1 1 1 1_ 7ª conclusão 1 Verdade Portanto, a argumentação é verdadeira. 3) Sejam as Premissas: i) Se eu não jogar xadrez, jogarei futebol. ii) Se estiver machucado, não jogarei futebol. Conclusão: Se estiver machucado jogarei xadrez. Chamando X: jogar Xadrez F: Futebol M: Machucado X F M F M X V V 1ª conclusão V V(hip) 2ª conclusão V 3ª conclusão F F 4ª conclusão F 5ª conclusão V V 6ª conclusão V 7ª conclusão V Verdade Portanto, a argumentação é verdadeira. 58

Exercícios de aplicação 14: Verifique em cada um dos casos abaixo, se a argumentação é válida ou é uma falácia. 1) Sejam as Premissas: i) Os bebes não são lógicos. ii) Quem consegue amestrar um crocodilo não é desprezado. iii) Pessoas não lógicas são desprezadas. Conclusão: Bebes não conseguem amestrar crocodilo. 2) Sejam as Premissas: i) O professor não erra. ii) Andréia é distraída. iii) Quem é distraído erra Conclusão: a) Andréia não é professora. b) Nenhum professor é distraído. 59

3) Sejam as Premissas: i) Ana Carolina é estudiosa. ii) Todo estudioso é aprovado em Matemática discreta. Conclusão: Ana Carolina será reprovada em Matemática discreta. 4) Sejam as Premissas: i) Se uma mulher é do signo de câncer, então não deve ser dançarina ou deve ser cozinheira e manequim. ii) Toda mulher que não é do signo de câncer é carinhosa. iii) Luíza não é cozinheira, mas é dançarina. Podemos concluir que: Luíza é carinhosa. 5) Sejam as Premissas: i) Se trabalho, não posso estudar. ii) Trabalho ou serei aprovado em Matemática Discreta. iii) Trabalhei Podemos concluir que: Fui reprovado em M. D. 60

6)Suponha que: Se o representante sindical ou o dirigente industrial forem teimosos, então a greve será decretada se, e somente se, houver uma injunção governamental sem o envio de tropas policiais junto à fabrica. i) Verifique se é possível o fato. O representante sindical ser teimoso, o dirigente não, a greve se decretada e haver uma injunção governamental com envio de tropas 6i) Não é possível ii) Dirigente e representante são ambos teimosos, a greve não é decretada, não há injunção governamental mas envio de tropas policiais. 6ii) Esse fato é possível 7) Sejam as premissas: i) Se um aluno é feliz, ele faz matemática discreta. ii) Se um aluno não é feliz, ele não é estudioso. Podemos concluir que: Alunos que não fazem matemática discreta, não são estudiosos. 61