O pomo da discórdia Daniel Zampieri Loureiro 1, Dulcyene Maria Ribeiro 2 1 Acadêmico do Curso de Matemática Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas da Universidade Estadual do Oeste do Paraná 2 Professora do Curso de Matemática, Doutora em Educação Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas da Universidade Estadual do Oeste do Paraná Caixa Postal 711 85.819-110 Cascavel PR Brasil zampiieri@hotmail.com Resumo. Este artigo tem por objetivo apresentar os estudos iniciais sobre as curvas geométricas ciclóide, tautocrona braquistócrona 3. Tais curvas geométricas que atraíram a atenção de matemáticos do século XVII por suas propriedades únicas, inúmeras vezes passam despercebidas no cenário atual por serem pouco conhecidas, e pouco trabalhadas tanto nas escolas quanto nas universidades. Elas apresentam propriedades que podem ser aplicadas a situações reais, tais como o menor tempo percorrido por um objeto, caso da Braquistócrona, ou ainda objetos que se deslocam em tempos iguais lançados de diferentes distâncias, caso da Tautócrona. Por isso considera-se relevante o trabalho com essas curvas já que nos proporcionam mostrar aplicações diretas da matemática no cotidiano. Palavras chaves. Ciclóide, Braquistócrona, Tautocrona, Curvas Geométricas, História da matemática. 1. Introdução As curvas, ciclóide, tautócrona e braquistócrona são pouco conhecidas, e pouco trabalhadas tanto nas escolas quanto nas universidades. Elas apresentam propriedades que podem ser aplicadas a situações reais, tais como o menor tempo percorrido por um objeto ou ainda objetos que se deslocam em tempos iguais lançados de diferentes distâncias. Por isso considera-se relevante o trabalho com essas curvas já que nos proporcionam mostrar aplicações diretas da matemática no cotidiano. Vale ressaltar que de certa forma os conteúdos de Geometria Analítica relacionados às curvas, enfatizam as curvas fundamentais parábola, hipérbole e elipse, tornando a Ciclóide e suas propriedades coadjuvantes no processo de ensino e aprendizagem da matemática. Objetiva-se nesse texto apresentar um estudo histórico sobre a ciclóide, 3 Trabalho que está sendo desenvolvido como pesquisa na Monografia cumprindo assim o requisito necessário para obtenção de licenciado em matemática. Curso de Matemática - Unioeste - Cascavel Pág. 1
braquistócrona e a tautocrona e as propriedades dessas curvas, como também sobre os matemáticos que trabalharam com ela ao longo da história da matemática. 2. Surge a Helena da Geometria O estudo das curvas sempre representou um fascínio na história de homens envolvidos com a matemática, como os gregos antigos que se destacaram com seus estudos sobre geometria. Ressaltam-se os trabalhos de Euclides em sua obra de primazia Os Elementos. Seus sucessores Arquimedes (287 a.c. 212 a.c.) e Apolônio de Perga (262 a.c. 190 a.c.) também desenvolveram trabalhos de grande relevância aos estudos da geometria. A Medida de um Círculo, A Quadratura da Parábola e Sobre as Espirais são três dos trabalhos de Arquimedes. Neles ele inaugura o método clássico 4 para o estudo do π (pi) e mostra que a área de um segmento parabólico é quatro terços da área de um triângulo inscrito de mesma base e de vértice no ponto onde a tangente é paralela a base. Segundo Eves (2004, p. 140) o terceiro trabalho de Arquimedes apresentou ainda as propriedades da curva hoje conhecida como espiral de Arquimedes cuja equação polar é. Arquimedes ao desenvolver seus tratados os fez em uma linguagem tão bem acabada, objetiva e com tamanha originalidade que perduram como uma das contribuições mais notáveis da matemática. Apolônio de Perga, hodierno de Arquimedes, dá início aos estudos das denominadas curvas cônicas: a elipse, a parábola e a hipérbole que na matemática atual sobressaem-se em relação aos estudos de outras curvas não menos importantes. A ciclóide foi estudada primeiramente no século XV por Nicholas Cusa (1401-1464), quando estava tentando encontrar a área de um círculo pela integração. Nicholas de Cusa era um padre alemão que se interessava por Geometria, Lógica e também por Filosofia e Astronomia, mas foi Galileu quem deu esse nome à curva em 1599. Os estudos sobre a ciclóide geraram polêmicas entre os matemáticos do século XVII desde Mersenne (1588 1648) à família Bernoulli. Suas propriedades apresentam tantas belezas e controvérsias matemáticas que a ciclóide passou a ser chamada de a Helena da Geometria ou Pomo da Discórdia, intitulada dessa maneira pela desarmonia gerada entre os matemáticos da época. Boyer conta que em 1615, Mersenne tinha chamado a atenção dos matemáticos da época para a curva ciclóide. Em 1634 Mersenne propôs a Roberval (1602-1675) que estudasse a curva, o qual em 1634 pode provar que a área sob um arco da curva é exatamente três vezes a área do circulo gerador, em 1638 descobriu como traçar a tangente a curva em qualquer ponto, problema que fora resolvido ao mesmo tempo também por Fermat e Descartes. Ainda segundo Boyer em 1643 Torricelli (1608-1647), enviou a Mersenne a quadratura da ciclóide, e em 1644 publicou uma obra intitulada De parabole que incluía tanto a quadratura da ciclóide, quanto a construção da tangente. Ressalta-se o fato de Torricelli não mencionar que Roberval havia chegado nesse resultado antes dele, e por isso em 1646 Roberval escreveu uma carta acusando Torricelli de plágio, dele e de Fermat, é relevante mencionar que isso fora um dos acontecimentos polêmicos gerados 4 Consiste em calcular o perímetro de polígonos inscritos e circunscritos de 12, 24, 48, e 96 lados, chegando à conclusão de que o valor de π deve estar situado entre e (em notação decimal com aproximação de duas casas eqüivale a dizer que π vale 3,14). Curso de Matemática - Unioeste - Cascavel Pág. 2
por essa curva, que merecidamente faz jus ao pseudônimo Helena da Geometria ou Pomo da Discórdia. Galileu (1564-1643) um dos primeiros a estudar a ciclóide propôs que arcos de pontes fossem feitos com base em suas propriedades. Pascal por sua vez resolveu problemas que relacionavam superfícies e volumes de revolução utilizando essa curva. Jakob e Johann Bernoulli estudaram a curva do menor tempo sendo ela denominada braquistócrona, que pode ser definida como segue. Dado dois pontos num plano vertical, a alturas diferentes, é a trajetória que uma partícula material deve seguir no plano para ir do ponto mais alto, ao ponto mais baixo no menor espaço de tempo possível. Mostraram também que uma partícula material atinge um ponto dado da trajetória num espaço de tempo que não depende do ponto de onde ela saiu, problema esse chamado de problema da tautócrona, que também foi discutido por Huygens (1629-1695) e Newton (1642-1727). Também é relevante indagar qual o motivo dessas curvas serem tão pouco trabalhadas e conhecidas na matemática atual. 3. Problema Novum, o desafio da Braquistócrona Após o alvoroço que a ciclóide trouxe a sociedade matemática no decorrer do século XV e XVII, Johann Bernoulli, professor de matemática em Gröningen e membro da celebre revista Acta Eruditorum 5, propôs como desafio que matemáticos determinassem qual seria a curva de descida mais rápida. Desse modo, propôs em junho de 1696, o seguinte problema: PROBLEMA NOVUM, ad cujus Solutionem Mathematici invitantur. Datis in plano verticali duobus punctis A et B, assignare mobili M viam AMB, per quam gravitate sua descendens, et moveri incipiens a puncto A, brevissimo tempore perveniant ad alterum punctum B. Dados um plano vertical e dois pontos A e B sobre o plano, com A mais alto do que B, e um ponto móvel M, determinar uma curva ao longo da qual uma partícula material desliza no menor tempo possível de A até B, considerando apenas a ação da gravidade, sem atrito. (COELHO, 2008, p. 22) 5 Revista matemática fundada1682 na cidade de Leipzig por Otto Mencke e Gottfried Wilhelm Leibniz. Curso de Matemática - Unioeste - Cascavel Pág. 3
FIGURA 1: O problema da Braquistócrona 6 Johann por sua vez noticiava possuir uma solução e provocava os matemáticos da época para que em seis meses fizessem o mesmo, este receberia as glórias de sua proclamação 7. Segundo Marques, Oliveira e Jafelice (2008, p. 256) em janeiro de 1697, Johann publicou uma nova proclamação a qual mencionava que apenas Leibniz lhe comunicara ter resolvido o desafio proposto. Frente a isso solicitou um adiamento do prazo até a Páscoa para uma maior divulgação da questão junto do meio científico, o qual fora aceito. No decorrer do prazo foram apresentadas cinco soluções na Acta Eruditorum, de 1697, a do próprio Johann Bernoulli, a do seu irmão mais velho Jacob Bernoulli, a de Leibniz, a de L Hôpital e uma em anonimato, que posteriormente foi revelada ser de Newton (idem). Ainda segundo Marques, Oliveira e Jafelice (2008, p. 256), a ideia do problema proposto por Johann era direcionar ao erro pela intuição, o percurso mais rápido de uma esfera ao longo de um trajeto que una dois pontos a diferentes alturas, não é um plano inclinado em linha reta como se pensa. A solução para esse problema é exatamente uma das propriedades da ciclóide no caso a braquistócrona, nome dado por Galileu, que havia se interessado por outras de suas propriedades no início de 1600. - 4. Conclusão Com base nesse trabalho espera-se conhecer mais sobre as curvas estudadas e não estudadas na matemática escolar, as contribuições que a família Bernoulli e outros matemáticos deixaram sobre os estudos das curvas iniciadas no séc. XVII, as disputas 6 Fonte: A história dos problemas da tautocrona e da braquistócrona / http://www.dominiopublico.gov.br/download/texto/cp056453.pdf 7 Que aquele que consiga solucionar este problema conquiste o prêmio que prometemos. Este prêmio não é ouro nem prata (...) mas antes as honras, os elogios e os aplausos; (...) exaltaremos, pública e privadamente, por palavra e por carta, a perspicácia do nosso grande Apollo. Johann Bernoulli - proclamação de 1697. (MARQUES, OLIVEIRA, JAFELICE; 2008, p. 256) Curso de Matemática - Unioeste - Cascavel Pág. 4
matemáticas na época pelo reconhecimento matemático e as aplicações e propriedades dessas curvas. Na maioria das vezes o ensino da matemática é tratado como algo desinteressante pelos alunos, o que pode ser explicado pelo fato de não estabelecerem um significado histórico para o conhecimento matemático. Os alunos desconhecem como foi o desenvolvimento científico e matemático de uma determinada época, como o homem chegou a um dado conhecimento e as mudanças que este sofreu ao longo do tempo. Por tudo isso, acredita-se que o conhecimento histórico pode ser uma poderosa ferramenta na construção do conhecimento matemático. 5. Referências ALENCAR, Hilário; SANTOS, Walcy. Geometria diferencial das curvas planas. Disponível em: <http://www.im.ufal.br/posgraduacao/posmat/download_files/livro.geometria.difer encial.das.curvas.planas02.07.2003.pdf>. Acesso: em 16 mai. 2011. BOYER, Carl Benjamin, História da Matemática; tradução: Elza F. Gomide. São Paulo, Edgard Blücher, 1974. COELHO, Rejeane Alexandre. A historia dos problemas da tautócrona e da braquistócrona. 2008. 106 f. Dissertação (Educação Matemática) - Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2008. Disponível em: <http://www.dominiopublico.gov.br/download/texto/cp056453.pdf>. Acesso: em 16 mai. 2011. CONTADOR, Paulo Roberto Martins. Matemática, uma breve história. 3 ed. São Paulo: Livraria da Física, 2008. CORRÊA, Wellington José. et al. Resolução do Problema da Braquistócrona usando o Maple. (Ed) Simpósio Nacional de Ensino de Ciência e Tecnologia, 1, 2009. Ponta Grossa, PR. Anais... Ponta Grossa: PPGECT / UTFPR, p. 1153-1167, 2009. EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Campinas, SP: Editora da Unicamp, 2004. GRABINSKY, Guillermo. La ciclóide. Disponível em: <http://laberintos.itam.mx/>. Acesso em: 23 mar. 2011. JUNIOR, José Ribamar A. de Souza. O cálculo variacional e o problema da braquistócrona. 2010 44 f. Dissertação (Matemática) - Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2010. MARQUES, Danilo A. et al. Modelagem Matemática das Pistas de Skate. FAMAT em Revista, 10, 2008, Uberlândia MG, Universidade Federal de Uberlândia, p. 253 270, 2008. Disponível em: <http://www.cienciadoskate.com/paper/0278.pdf>. Acesso em: 18 mai. 2011. MENDES, Cláudio Martins. Curvas Parametrizadas. Disponível em: <http://www.icmc.usp.br/~cmmendes/calculoii/calculo2curvas.pdf >. Acesso em: 17 mai. 2011. Curso de Matemática - Unioeste - Cascavel Pág. 5