Transmissão Digital em Banda Base

Transmissão Digital em Banda Base Luis Henrique Assumpção Lolis 27 de maio de 2014 Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 1

Conteúdo 1 Introdução 2 Análise de erro de bits 3 Interferência Intersimbólica - ISI Critério de Nyquist - Transmissão Sem Distorção Canal Ideal de Nyquist 4 Diagramas de Olho 5 Receptor Linear Ideal Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 2

Sumário 1 Introdução 2 Análise de erro de bits 3 Interferência Intersimbólica - ISI Critério de Nyquist - Transmissão Sem Distorção Canal Ideal de Nyquist 4 Diagramas de Olho 5 Receptor Linear Ideal Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 3

Introdução Conceitos a serem abordados Filtro casado Cálculo de taxa de erro em presença de ruído Interferência intersimbólica Critério de Nyquist Filtragem do sinal em banda base. O canal tem uma resposta em frequência não uniforme. ISI - Inter Symbol Interference / Interferência Intersimbólica. Os filtros de forma limitam a banda mas podem causar ISI. Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 4

Detecção na presença de ruído e filtro casado O receptor linear recebe o sinal com um ruído e filtra por h(t), linear e invariante no tempo. x(t) = g(t) + w(t), g(t) o sinal enviado. h(t) é definido para otimizar a detecção de g(t) do ponto de vista estatístico. y(t) = g 0 (t) + n(t) Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 5

Definindo a relação sinal sobre ruído de pico Relação sinal ruído: η = g 0(T ) 2 E[n 2 (t)] Vamos definir g o (t) como a transformada inversa de G 0 (f) g 0 (t) = H(f)G(f) exp(j2πft)df Agora calculando o quadrado do módulo para t = T g 0 (T ) 2 = H(f)G(f) exp(j2πft )df Considerando um ruído branco de Densidade Espectral e Potência PSD (Power Spectral Density) N 0 /2, o ruído na saída do filtro fica. E[n 2 (t)] = N 0 2 H(f) 2 df 2 Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 6

Definindo a relação sinal sobre ruído de pico 2 H(f)G(f) exp(j2πft )df η = N 0 H(f) 2 df 2 O problema é achar G(f) que maxima η. Usando a desigualdade de Schwartz (prova omitida) o máximo do η fica: η max = 2 G(f) 2 df N 0 E para esse máximo H(f) deve ser o complexo conjugado de G(f) multiplicado por um fator exponencial e uma constante k: H opt (f) = kg (f) exp( j2πft ) Da propriedade G (f) = G( f), h(t) fica: h opt (t) = kg(t t) Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 7

Aplicando o filtro casado na relação sinal sobre ruído de pico Primeiro se define a energia do sinal E = Depois se aplica H opt (f) para a equação de η max η max = 2E N 0 G(f) 2 df A relação sinal ruído de pico de pulso de um filtro casado depende apenas da razão entre a energia do sinal e a densidade espectral de potência do ruído branco na entrada do filtro. Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 8

Exemplo - filtro casado retangular Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 9

Análise de Taxa de Erro de Bits Vamos aplicar o sinal NRZ polar de amplitude A e duração T b w(t) é considerado ruído branco gaussiano de média 0 e P SD = N 0 /2 W/Hz Aplica-se o filtro casado e faz-se a escolha em t = T com um limiar λ O sinal{ de chegada: +A + w(t), símbolo 1 foi enviado x(t) = A + w(t), símbolo 0 foi enviado Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 11

Análise de Taxa de Erro de Bits Dois tipos de erro Decidir 1 quando y > λ mas um 0 foi transmitido. Decidir 0 quando y < λ mas um 1 foi transmitido. Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 12

Decisão no Canal Gaussiano P e = P (y < λ A)P (A) + P (y > λ A)P ( A) P (A) = P 1 e P ( A) = P 0 Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 13

A função erfc está ligada à integral da gaussiana de maneira que: ( ) (λ A) P (y < λ A) = p y0 x 1 = F Y (λ) = Q = N0 /2T ( ) b 1 2 erfc A λ N0 /T b ) λ + A P (y > λ A) = p y1 x 0 = Q = N0 /2T ( ) b 1 2 erfc A + λ N0 /T b Logo a probabilidade de erro fica: ( P e = p(x 0 )p(y 1 x 0 ) + p(x 1 )p(y 0 x 1 ) Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 14

Um limiar ótimo λ opt minimiza p e, derivando a equação de p e para λ e definindo o resultado igual a zero (prova omitida): λ opt = N ( ) 0 p0 log 4AT b Para p 1 = p 0 = 1/2, λ opt = 0. ( ) ( ) P e = 1 2 Q +A + 1 N0 /2T b 2 Q +A N0 /2T b ( ) ( ) A P e = Q = 1 N0 /2T b 2 erfc A N0 /T b p 1 Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 15

Com E b = A 2 T - Energia por bit: ( ) ( ) P e = Q 2Eb N 0 = 1 2 erfc Eb N 0 Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 16

BER da Sinalização Binária no Canal Gaussiano Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 17

Exercícios Em um sistema de comunicação binária digital, a saída do receptor de correlação é a i (T ) = +1 ou 1 com igual probabilidade. Se o ruído na saída do receptor tem variância unitária, qual a probabilidade de erro binária? Um sinal binário bipolar s i (t) é um pulso +1 ou 1 com duração T. Um ruído aditivo branco branco gaussiano tem uma densidade espectral de potência bilateral de 10 3 W/Hz é adicionado ao sinal. Se aplicado um filtro casado perfeito, qual a máxima taxa de bits pode ser transmitida para que a probabilidade de erro seja de P B 10 3 Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 18

BER da Sinalização Binária no Canal Gaussiano Ex 1 da lista 7. (8.1 Haykin 5a. edição). Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 19

Receptor Ótimo com ISI No pulso retangular a energia de um bit jamais entra no tempo do bit seguinte. s(t) = { a k = k a kg(t kt b ) +1 se o símbolo bk é 1 +1 se o símbolo b k é 0 g(t kt b ) é um pulso que inicialmente é retangular de duração T b. O canal h(t) pode mudar a situação pois pode ser um filtro que se espalha para além de T b e c(t) é o filtro do receptor. Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 21

Saída do filtro c(t): y(t) = k a k p(t kt b ) + n(t) Amostrando y(t) para instantes t i = it b : y(t i ) = µ a k p[(i k)t b ] + n(t i ) = µa i + µ k= k= k i a k p[(i k)t b ] + n(t i ) g(t) é a resposta ao impulso do filtro de transmissão. p(t) é o resultado de passar g(t) pelo canal h(t) por um filtro de recepção c(t) mas um fator multiplicativo µ: µp (f) = G(f)H(f)C(f) Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 22

Ex: Canal Telefônico SNR alto mas limitado em banda, gerando ISI. Não passa componente DC e corta rapidamente depois de 3,5KHz. Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 23

Ex: Canal Telefônico R=1600bps. Manchester não tem componente DC e NRZ tem. Manchester ocupa mais banda. Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 24

Ex: Canal Telefônico R=3200bps. Maior velocidade não impacta na distorção do NRZ em alta frequência. Já o Manchester passa a ser rejeitado para frequências > 3, 5KHz Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 25

A forma do pulso final passando pelos filtros de transmissão, canal e recepção definido por p(t). Para evitar ISI: { 1, i = k p(it b kt b ) = 0, i k Dessa maneira a saída do receptor fica y(t i ) = µa i para todo i. Se a condição for respeitada, os instantes ideais de amostragem contêm unicamente a informação de a k no instante i: y(t i ) = µa i Recepção perfeita na ausência de ruído. Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 26

Critério de Nyquist para transmissão - Análise frquencial O espectro do pulso amostrado é uma versão periódica do espectro de origem: P δ (f) = R b m= P (f nr b ) Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 27

Critério de Nyquist para transmissão - Análise frquencial Identificando o espectro da função amostrada de p(t), p(mt b ) = p((i k)t b ), então m = i k P δ (f) = [p(mt b )δ(t mt b )] exp( j2πft)dt m= Da condição anterior, se i k, ou seja m 0, p(mt b ) = 0, então o único que sobra m = 0, p(0) = 1: P δ (f) = p(0)δ(t) exp( j2πf t)dt = p(0) m= E que p(0) = 1 Para normalizar a recepção: P (f nr b ) = T b m= Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 28

Ex: ( ) t Sequência 001101001. E filtro de forma p(t) = sinc T b 1 0.8 0.6 0.4 0.2 s(t) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 10 Luis Henrique 5Assumpção Lolis 0Transmissão Digital 5em Banda Base 10 29

Ex: 1.5 600 1 400 0.5 200 s(t) 0 y(t) 0 0.5 200 1 400 1.5 10 5 0 5 10 tempo(s) 600 15 10 5 0 5 10 15 tempo(s) Na saída do modulador. Na saída do filtro casado. Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 30

Canal Ideal de Nyquist ( ) P (f) = 1 2W rect f 2W, onde W = R b 2 = 1 2T b p(t) = sin(2πw t) 2πW t = sinc(2w t) Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 31

Sequência de Pulsos sem ISI Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 32

Sinalização 4-PAM 1/T em símbolos por segundo T = T b log 2 M Para mesmo desempenho em BER, a potência deve ser aumentada de M 2 / log 2 M Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 33

Exercício - 8.11 do Haykin Um sinal analógico é amostrado, quantizado e codificado em uma onda PCM binária. As especificações do sistema PCM inclem: fs=8khz. Nb=6 bits. Determine a mínima largura de banda se for permitido que cada pulso assume o seguinte número de níveis de amplitude: 2, 4 e 8. Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 34

Pulso Cosseno Levantado A janela no tempo do Sinc tem de ir de menos infinito a infinito (impraticável) Vamos procurar outro P (f) que respeito o critério de Nyquist de transmissão sem ISI e que é mais fácil de implementar (resposta ao impulso de decaimento rápido) O resultado é um filtro um pouco menos seletivo na frequência, porém realizável Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 35

Pulso Cosseno Levantado p(t) = [sinc(2w t)] α = 1 f 1 W [ ] cos(2παw t) 1 16α 2 W 2 t 2 P (f) = 1 2W, { [ ]} 0 f < f 1, 1 π( f W ) 1 sin, f 4W 2W 2f 1 f < 2W f 1 1 0, f > 2W f 1. B T = 2W f 1 = W (1 + α), W = 1 = R b 0T b 2 Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 36

Ex: Pulso Cosseno Levantado Reconsiderando o sistema T1 com PCM de 8 bits e fs=8khz, e TDMA com 24 canais mais um bit de sincronismo. Qual a largura de banda mínima para transmitir considerando dois níveis de pulso? Qual a banda ocupada pelo sistema T1 se os pulsos forem na forma de cosseno elevado com α = 0.5? Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 37

Pulsos de Nyquist e Square-root Nyquist Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 38

Sequências Formatadas com Pulsos de Nyquist e Square-root Nyquist Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 39

O Diagrama de Olho Indica várias amostras do sinal em banda base com duração de um período de símbolo, todas elas sobrepostas. Em um osciloscópio com a opção persistent e com uma janela de T s de observação. D A - Distorção do diagrama de olho no ponto ótimo de amostragem (ISI). J T - Distorção no tempo dos cruzamentos por zero, jitter. M N - Margem de ruído (espaço que resta antes de atravessar o limiar). S T - Sensibilidade no tempo. Olho fechado - alto ISI Olho aberto - baixo ISI Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 41

Diagrama de Olho Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 42

Sistema com Limitação de Potência (a) Diagrama de Olho Sistema Quaternário sem Ruído. (b) Diagrama de Olho Sistema Quaternário com SNR = 20dB. (c) Diagrama de Olho Sistema Quaternário com SNR = 10dB.

Sistema Limitado em Banda (a) Diagrama de Olho Sistema Quaternário Limitado em Banda sem Ruído: frequência de corte f 0 = 0, 975 Hz. (b) Diagrama de Olho Sistema Quaternário Limitado em Banda sem Ruído: frequência de corte f 0 = 0, 5 Hz.

O ruído e a ISI foram tratados separadamente até agora. Equalizador Forçador a Zero - Forçando a ISI a zero para todo t = kt, exceto para k = 0 onde o símbolo de interesse é enviado. Mas há perda de desempenho com o aumento do ruído que se amplifica. O erro médio quadrático é um compromisso entre ISI e ruído. Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 46

Sistemas Limitados por Ruído e por ISI Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 47

Saída do filtro Rx - y(t) = c(τ)x(t τ)dτ Saída do canal x(t) = a k q(t kt b ) + w(t) k q(t) - é a convolução de g(t) (filtro de forma Tx) e h(t) (filtro do canal). O sinal recebido é separado em ruído e sinal com componentes de ISI: y(it b ) = ξ i + n i ξ i = a k c(τ)q(it b kt b τ)dτ k n i = c(τ)w(it b τ)dτ Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 48

Forçar ξ i máximo para i = k e zero para i k faria aumentar n i Tudo isso está em definir o melhor c(t) para isso. O símbolo transmitido é a i e o erro fica: e i = ξ i + n i a i O erro quadrático médio é definido como J = 1/2E[e 2 i ] Aplicando a definição do erro acima e usando a definição da integral para o valor esperado (considerando o sinal e o ruído gaussianos e estacionário), derivando e igualando a zero. (demonstração omitida Haykin pgs. 284-286) Q (f) C(f) = S q (f): S q (f) + N 0 2 Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 49

S q (f) = 1 ( T b Q f + k ) 2 T b k C(f) é periódica em 1/T b. c(t) é a cascata dos seguintes componentes: Filtro casado q( t) onde q(t) = q(t) h(t) Um equalizador transversal (com derivações após os retardos) cuja resposta em frequência é o inverso da função periódica S q (f) + (N 0 /2) Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 50