MATEMÁTICA Professor Haroldo Filho MÓDULO 6 ESTATÍSTICA
1.1 ESTATÍSTICA É a ciêcia que utiliza a coleta de dados, sua classificação, sua apresetação, sua aálise e sua iterpretação para se tomar algum tipo de decisão. 1.2 ESTATÍSTICA DESCRITIVA É o ramo da Estatística que se ocupa em coletar, orgaizar e descrever os dados que podem ser expressos por tabelas e gráficos. 1.3 ESTATÍSTICA INFERENCIAL É o ramo da Estatística que utiliza técicas de aálise e iterpretação de dados, a partir de uma amostra de uma população, e forece coclusões sobre este cojuto.
1.4. POPULAÇÃO Na coleta de dados sobre determiado assuto, chama-se população estatística, o cojuto formado por todos os elemetos que possam oferecer dados relativos ao assuto em questão. Podemos dizer que população é qualquer cojuto que reúa todos os elemetos que teham pelo meos uma característica comum, objeto de estudo. 1.5. AMOSTRA É um subcojuto de uma população. A seleção da amostra pode ser feita de várias maeiras, depededo, etre outros fatores, do grau de cohecimeto que temos da população, da quatidade de recursos dispoíveis e outros fatores. A seleção da amostra deve forecer um subcojuto de valores mais parecido possível com a população origial. Exemplo: Uma pesquisa típica de audiêcia a televisão utiliza uma amostra de 5000 lares e, com base estes dados, formula coclusões acerca de uma população de todos os milhões de lares o país.
1.6 DADOS ESTATÍSTICOS Os dados são deomiados quatitativos quado são represetados por úmeros ou medidas, como por exemplo as alturas de uma população, o úmero de filhos e o salário bruto. Quado os dados represetam cotages são discretos e quado represetam mesurações são cotíuos. Os dados são chamados de qualitativos ou omiais quado são defiidos por categorias tais como: cor dos olhos, sexo, ível de escolaridade, aturalidade. 1.7. AMPLITUDE DE UMA AMOSTRA A amplitude total dos dados é a difereça etre o valor máximo e o valor míimo da amostra. Exemplo: Um pesquisador, cotratado pela empresa de cervejas, deseja estudar quatas cervejas por semaa seus clietes bebem. A amostra com 10 clietes resultou os seguites úmeros: 2,3,7,1, 10, 11, 5, 2, 8, 9. A amplitude desta amostra é igual a 11-1=10.
1.8. ROL Os dados coletados em uma amostra podem ser orgaizados em tabelas ou gráficos. Para isso, ates devemos orgaizá-los em sequêcias crescetes ou decrescetes deomiadas Rol. Exemplo: No exemplo aterior orgaizado em ordem crescete temos: 1, 2, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11. 1.9 DADOS BRUTOS Podemos cosiderar como dados brutos aqueles que ão estão umericamete orgaizados. Exemplo: 2,3,7,1, 10, 11, 5, 2, 8, 9.
1.10 VARIÁVEIS Uma outra defiição que aparece a aálise de dados estatísticos é o coceito de variável. Uma variável é quatitativa quado seus valores podem ser represetados por cotagem (variáveis quatitativas discretas) ou mesuração (variáveis quatitativas cotíuas). Uma variável é qualitativa quado apresetam como resultado um atributo, qualidade ou preferêcia de um etrevistado, podem ser ordiais ou omiais.
2. TABELAS DE FREQUÊNCIAS Um processo que possibilita uma leitura mais sucita dos dados é a costrução de uma tabela de frequêcias. EXEMPLO 1 Uma etrevista com 20 pessoas é realizada o estado do Rio de Jaeiro. O objetivo da pesquisa era saber qual o time do etrevistado. Dos 20 etrevistados foram ecotrados os seguites resultados para a frequêcia absoluta dos etrevistados: Flamego(f 1 = 10) Vasco(f 2 = 6) Flumiese(f 3 = 2) Botafogo(f 4 = 1)
Note que f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =20. Defiimos frequêcia relativa absoluta assumido por uma variável como a razão etre a frequêcia absoluta e o úmero total de dados. f ri f i Time Frequêcia absoluta (f i ) Frequêcia relativa(f ri ) Porcetagem Flamego 10 Vasco 6 Flumiese 3 Botafogo 1 10 20 6 20 3 20 1 20 50% 30% 15% Total 20 1 100% 5%
EXEMPLO 2 Para avaliar o tempo de permaêcia em um supermercado, o gerete mesurou em miutos o tempo de permaêcia de 20 clietes a loja. Os tempos estão represetados a tabela abaixo. 49 52 56 52 50 54 57 60 48 59 48 49 57 53 55 51 53 52 55 57
Para represetar esses dados em uma tabela de frequêcia devemos: a) Calcular a amplitude da amostra. 60 48 = 12 cm b) Dividir o itervalo em subitervalos de mesmo comprimeto. Como exemplo, tomemos 4 subitervalos de comprimeto igual a 3: [48,51[ ; [51,54[ ; [54,57[; [57,60]. Esses subitervalos são chamados de classes e o comprimeto de cada um é chamado de amplitude da classe. c) Cote quatas observações se situam em cada classe, respeitado os itervalos fechados à esquerda e abertos à direita, e coloque as observações uma tabela do tipo abaixo.
Tempo fi fri fac frac [48, 51[ 5 [51, 54[ 6 [54, 57[ 4 [57, 60] 5 Total 20 5 20 = 0,25 = 25% 5 25% 6 20 = 0,3 = 30% 11 55% 4 20 = 0,20 = 20% 15 75% 5 20 = 0,25 = 25% 20 100%
Ode, fi: frequêcia que o itervalo aparece a distribuição; fri (Frequêcia relativa): É a percetagem do valor dos dados em relação ao total da amostra; fac ( frequêcia acumulada): É a soma das frequêcias absolutas começado pelo meor valor; frac (frequêcia relativa acumulada): É a porcetagem do valor das frequêcias acumuladas em relação ao total da amostra.
3. GRÁFICOS 3.1 GRÁFICO EM LINHA Esse tipo de gráfico é usado sobretudo quado temos observações temporais de uma variável em estudo e desejamos represetá-la o tempo (abscissa) afim de recohecer possíveis tedêcias e/ou sazoalidade (comportameto periódicos repetidos). O exemplo a seguir ilustra bem a utilidade do gráfico em liha para a evolução do preço da ação da empresa PETRO S.A.
Cotação da PETRO S.A 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 16/set 17/set 18/set 19/set cotação
3.2 GRÁFICO EM BARRAS HORIZONTAIS Os dados que estejam orgaizados em coluas ou lihas em uma tabela podem ser represetados em um gráfico de barras horizotais. Gráficos de barras ilustram comparações etre ites idividuais. É ormalmete usado em séries geográficas ou, também, a represetação de séries específicas.
Faturameto da Empresa BESTBURGER em milhões de doláres CANADÁ BRASIL EUA JAPÃO 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Faturameto da Empresa BESTBURGER
3.3 GRÁFICO DE COLUNAS A ideia é expressar iformações idividualizadas, e represetadas por barras cuja altura represeta a frequêcia as categorias. 250 200 150 100 50 POPULAÇÃO BRASILEIRA EM MILHÕES 0 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 POPULAÇÃO BRASILEIRA
3.4 GRÁFICO EM SETORES É utilizado quado se deseja mostrar partes do total, coforme ocorre em produções, vedas e orçametos de países e etc. Exemplo: CAUSAS DE MORTES ACIDENTAIS 40000 32000 10000 130000 ARMAS DE FOGO ACIDENTES DE AUTOMÓVEL AFOGAMENTO QUEDAS
3.5 HISTOGRAMA Quado as classes são itervalos reais, a iterpretação da distribuição de frequêcias em um sistema de eixos é feita por um tipo de gráfico chamado Histograma. Exemplo: Voltado ao exemplo 2 Tempo fi [48, 51[ 5 [51, 54[ 6 [54, 57[ 4 [57, 60] 5 Total 20
3.6 POLÍGONO DE FREQUÊNCIA O polígoo de frequêcia é obtido uido-se os potos médios da parte superior de cada retâgulo do histograma com segmetos de reta. É importate otar que tato o histograma quato o polígoo de frequêcia idicam a frequêcia absoluta de cada classe. Voltado ao exemplo 2 temos:
4. MEDIDAS DE CENTRALIDADE: MÉDIA ARITMÉTICA, MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA, MEDIANA, MODA. Para apresetar os coceitos a seguir, vamos cosiderar um grupo de 10 estudates com as seguites idades: 12, 13, 14, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17. 4.1 MÉDIA ARITMÉTICA E MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA Seja x uma variável quatitativa e x 1, x 2, x 3,..., x os valores assumidos por essa variável. A média aritmética (x) de x é igual a soma de todos os valores assumidos xi x x x pela variável dividida pelo úmero de valores, ou seja, x i1 1 2. Exemplo: 12 13 14 14 14 15 15 16 16 17 x 14,6 10
PROPRIEDADES DA MÉDIA 1. Ao adicioarmos um mesmo valor a cada um dos valores assumidos pela variável, a média aritmética fica adicioada desse valor. 2. Ao multiplicarmos cada um dos valores assumidos pela variável por um mesmo valor, a média aritmética fica multiplicada por esse valor. A média aritmética é muito iflueciada por valores discrepates ( outliers ).
4.2 MEDIANA Seja x 1 x 2 x 3... x os valores ordeados assumidos pela variável quatitativa x. A mediaa (Me) é dada por: x 1 2 Me x x, se é ímpar 1 2 2 2, se é par Dessa forma, a mediaa é tal que a quatidade de valores meores ou iguais à mediaa é igual à quatidade de valores maiores ou iguais à mediaa. A mediaa é uma medida de cetralidade meos sesível a valores discrepates. Exemplo: No osso exemplo a mediaa é x 5+x 6 2 = 14+15 2 =14,5.
4.3 MODA A moda de um cojuto é o valor que ocorre mais vezes ou de maior frequêcia simples (absoluta ou relativa) uma distribuição de frequêcias. No osso exemplo a moda é igual a 14. A moda pode também ão existir ou ão ser úica. Exemplo: 0,1,1,2,2, 3 tem modas 1 e 2 (bimodal). 5. MEDIDAS DE DISPERSÃO: DESVIO MÉDIO; VARIÂNCIA; DESVIO PADRÃO Cosidere uma turma de 5 aluos em que todos tiraram ota 5 e outra com a mesma quatidade de aluos com as seguites otas: 1, 3, 5, 7 e 9. Essas duas turmas têm a mesma média aritmética e a mesma mediaa que é 5. Mas a dispersão dos valores é completamete diferete e pode ser calculada.
5.1 DESVIO MÉDIO ABSOLUTO (DMA) O desvio em relação à média aritmética é a difereça etre cada valor e a média aritmética. x A soma de todos os desvios em relação à média aritmética é sempre ula. i O desvio médio absoluto (DMA) é a média aritmética dos desvios em módulo. xi DMA i i1 i1 x i x O desvio médio absoluto da seguda turma do osso exemplo é 4 2 0 2 4 DMA 2,4 5
5.2 VARIÂNCIA POPULACIONAL A variâcia populacioal (σ 2 ) é a média aritmética da soma dos quadrados dos desvios em relação à média de um cojuto de úmeros. 2 i 2 i1 i1 x i x 2 A variâcia da seguda turma do osso exemplo é 1 5 2 + 3 5 2 + 5 5 2 + 7 5 2 + 9 5 2 =8 5
5.3 PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA Se adicioarmos um mesmo valor a cada um dos valores assumidos pela variável, a variâcia ão se altera. Se multiplicarmos cada um dos valores assumidos pela variável por um mesmo valor, a variâcia fica multiplicada pelo quadrado desse valor. Se a variâcia for calculada sobre uma amostra em vez de sobre toda a população, teremos etão a chamada variâcia amostral que é dada por S 2 i1 x i x 1 2
5.4 DESVIO PADRÃO POPULACIONAL O desvio padrão populacioal (σ) é a média quadrática dos desvios em relação à média de um cojuto de úmeros ou a raiz quadrada da variâcia. 2 i i1 i1 x i x 2 O desvio padrão da seguda turma do osso exemplo é 2 2 2 2 2 (1 5) 3 5 (5 5) (7 5) (9 5) 5 16 4 0 4 16 8 5