0. Conjunto de oportunidade e a fronteira e ciente O retorno esperado de uma carteira é média ponderada dos retornos esperados ativos que o compõe. Mas o mesmo resultado não vale para a variância. A variância da carteira é normalmente menor do que a média ponderada das variâncias dos retornos dos ativos que compõe a carteira. Este fato está por trás da chamada diversi cação de risco. Nesta subseção nos dedicamos à derivação do conjunto de oportunidades no espaço desvio padrão X variância e da fronteira e ciente de carteiras. Uma carteira A domina em termos de média-variância a carteira B se A B e A < B ou se A > B e A B. De nimos a fronteira e ciente como o locus de todas as carteiras que não são dominadas no espaço médiavariância. Se os indivíduos escolhem suas carteiras com base somente na média e no desvio padrão dos retornos, isto é tem utilidade U( R ; R ), com U > 0 e U < 0, então eles escolherão entre todas as carteiras possíveis uma carteira na fronteira e ciente. Daí a importância da fronteira. 0.. Fronteiras de dois ativos Vamos aquecer encontrando fronteiras em uma economia com dois ativos, e, com retornos esperados e, variância de retornos e, e com correlação entre retornos ;. Seja uma carteira formada pela proporção w aplicada no ativo. Seu retorno esperado é dada por e sua variância por R w + ( w ) R w + ( w ) + w ( w ) () w + ( w ) + w ( w ) ; Temos a partir daí quatro casos de interesse:. Dois ativos arriscados perfeitamente positivamente correlacionados: ; Neste caso temos Logo R w + ( w ) + w ( w ) (w + ( w ) ) R w + ( w ) ou seja o desvio padrão da carteira é (de forma similar ao seu retorno esperado) uma média ponderada dos desvios padrões dos ativos que a compõe. Podemos explicitar w da equação acima, obtendo: w R
Substituindo na expressão de R obtemos: R R + + ( R ) R Portanto o retorno esperado tem uma relação linear com desvio padrão (ver grá co).. Dois ativos arriscados imperfeitamente correlacionados: < ; < É fácil ver que neste caso 0 < R < w + ( w ) contanto que 0 6 w 6. Logo o locus destas carteiras vai estar à esquerda da linha reta que liga os dois ativos, como mostra a gura. Quanto menor a correlação entre os ativos, mais à esquerda vai estar o locus, pois diferenciando em relação à ; obtemos: d R d ; w ( w ) o que é maior que zero para 0 < w <. 3. Dois ativos arriscados perfeitamente negativamente correlacionados: ;. Neste caso um ativo se constitui num hedge perfeito para o outro. Observe que pela equação : Então R w + ( w ) w ( w ) (w ( w ) ) R jw ( w ) j e w R + + Logo é possível fazer R 0 escolhendo w apropriadamente: w + Substituindo a expressão de w na expressão de R obtemos: R + + + + R O formato é então o de dois segmentos de reta que se interceptam no eixo das abcissas.
4. Um ativo arriscado e outro sem risco: 0. Neste caso e portanto R w w R Substituindo na equação do retorno esperado resulta em: R R R + + R Logo o locus é o linear. Mais precisamente é o segmento de reta que une os dois pontos, conforme mostrado na gura. 0.. O problema com n ativos Quando existem vários ativos a fronteira pode ser calculada como solução de um problema de otimização matemática. Para cada retorno esperado, calcula-se a carteira de menor variância. Formalmente: min nx fw ;w ;:::;w ng i j s:a nx w i w j ij nx w i i () i nx w i i Este problema pode ser resolvido formalmente usando álgebra matricial. Mas na prática muitas vezes introduzimos várias outras restrições, o que faz a solução analítica ser de menos utilidade. Na prática resolve-se o problema computacionalmente, podendo-se usar inclusive o Excel, como será mostrado na monitoria. Se não existir ativo sem risco a fronteira será uma hipérbole no espaço média X desvio padrão. Mas somente a parte superior da fronteira será e ciente. A solução formal do problema pode ser obtida mais facilmente através de álgebra matricial. Seja R e o vetorde retornos, E : : n o vetor de retornos esperados e P ::: n ::: n ::: ::: ::: ::: n n ::: n a 3
w w matriz de variância-covariância dos retornos, e w : o vetor de pesos da : w n carteira, então o problema pode ser reescrito em forma matricial: min w w0 P w s:a w 0 E ; w 0 onde é o vetor coluna de uns. Para resolver forme o Lagrangiano L (w; ; ) w 0 P w + (w 0 E ) + (w 0 ) A condição de primeira ordem é dada por: Explicitando w obtemos: P w E 0 w P (E + ) (3) Os multiplicadores de Lagrange podem ser encontrados através das restrições: E 0 w E 0 P (E + ) 0 w 0 P (E + ) o que dá um sistema linear de duas equações e duas incógnitas que pode ser facilmente resolvido: P E0 E E 0 P 0 P E 0 P A B B C A solução é C B AC B A B AC B Substituindo em 3 obtemos a solução desejada: w P E (C B) + (A B) AC B (4) P P P P A B E C E B AC B + AC B (5) g + h (6) 4
onde g e h são vetores e é o escalar que representa a média do retorno da carteira. Observe que w é uma função linear de. A variância é: var(r p ) w X w C B + A AC B (7) A variância é uma função quadrática da média, e portanto num grá co que relaciona a variância com a média a fronteira é uma parábola. A raiz quadrada de uma parábola é uma hipérbole, portanto num grá co que relaciona o desvio padrão e a média, a fronteira é uma hipérbole. Uma carteira interessante é a de variância mínima. Ela pode ser encontrada minimizando 7 com relação à, obtendo-se min var B C, o que resulta em: P w min var P 0 Observe também que a carteira da variância mínima tem uma propriedade especial: a covariância de qualquer carteira com ela é um número xo. Obviamente este número tem que ser igual a própria variância da carteira de variância mínima. Formalmente, seja q uma carteira qualquer: cov (R min var ; R q ) w min var0 P w q 0 P P wq 0 P 0 w q 0 P C Separação em dois fundos Vamos mostrar que toda a fronteira é gerada por quaisquer dois ativos na fronteira. Sejam dois ativos da fronteira com média e, respectivamente. Seja um ativo da fronteira com média 3. Então existe tal que 3 + ( ). Como o ativo 3 pertence a fronteira, os seus pesos são dados pela equação 4, que pode ser reescrita como: w 3 g + h 3 g + h [ + ( ) ] [g + h ] + ( ) [g + h ] w + ( ) w Na hipótese de que qualquer investidor escolherá um ativo na fronteira os investidores escolherão diferentes combinações das mesmas duas carteiras. Esta propriedade é chamada de separação em dois fundos. É fácil ver também que qualquer combinação convexa de duas carteiras de fronteira é uma carteira de fronteira. Portanto a fronteira é um conjunto convexo. 5
0..3 Quando existe um ativo sem risco e n arriscados Se existir ativo sem risco o problema ca bastante facilitado, como é fácil ver gra camente. O conjunto de oportunidade aumenta muito incluindo agora qualquer semi-reta que liga o ativo sem risco à fronteira de ativos arriscados. Entretanto somente a semi-reta que tangencia o conjunto de ativos arriscados é e ciente. Observe então que a fronteira vai ser gerada por combinações do ativo sem risco com uma única carteira de ativos arriscados, correspondente ao ponto de tangência da semi-reta com a fronteira de ativos arriscados. Temos portanto de novo a propriedade da separação em dois fundos. É fácil ver que a carteira de ativos arriscados é a carteira com o maior índice de Sharpe entre as carteiras arriscadas, pois o índice de Sharpe de uma carteira arriscada é idêntico à inclinação da reta que liga o ativo sem risco à carteira. Isto sugere um procedimento para achar a fronteira e ciente. Achar a carteira de tangência w t resolvendo o problema: max w S p w0 E r f p w 0 P w s:a w 0 (8) 6
. A fronteira então tem a seguinte forma: w ( ) w t ( ) w t ( ) w t n onde a primeira posição corresponde ao peso no ativo sem risco e é um número real qualquer. Voltando ao problema da escolha do investidor, a carteira escolhida por ele é a que tangencia a sua curva de indiferença mais alta, como mostrado no grá co abaixo. Indivíduos mais avessos ao risco tendem a escolher carteira com maior, enquanto os menos avessos ao risco tendem a escolher carteiras com menor. Mais tradicionalmente, podemos resolver o mesmo problema que antes: min w w0 P w s:a w 0 E + ( w 0 ) r f 7
Formando o lagrangeano: L (w; ) w0 P w + (w 0 E + ( w 0 ) r f ) As condições de primeira ordem são: @L (w; ) P w + (E r f ) 0 @w @L (w; ) w 0 E + ( w 0 ) r f 0 @ A primeira condição implica em: w P (E r f ) Falta achar. Substituindo a expressão acima na restrição obtemos: (E 0 r f 0 ) P (E r f ) + r f 0 A Br f + Crf rf r f A Br f + Crf 8
Substituindo de volta na expressão de w obtemos: w P (E r f ) r f H onde H A Br f + Crf, onde A, B e C são de nidos da mesma forma que antes. A expressão acima expressa matematicamente que se quizermos maior retorno esperado devemos investir mais no ativo arriscado de tal forma que as proporções entre ativos arriscados permaneçam inalteradas. Estas proporções são dadas por P (E r f ). Podemos calcular a variância de uma carteira na fronteira de variância mínima, que tenha média. w 0 P w (9) Logo: r f H (E0 r f 0 ) P P P (E r f ) r f H ( r f ) H (E 0 r f 0 ) P (E r f ) ( r f ) H H ( r f ) H ( rf ph r ph f se r f se < r f (0) Explicitando obtemos a curva que representa a fronteira de variância mínima no espaço desvio-padrão X retorno esperado: rf + p H se r f r f p H se < r f Temos portanto duas semi-retas que partem do ponto (0; r f ), uma com inclinação positiva e outra com a inclinação simétrica (negativa). Será útil obter a expressão da covariância de uma carteira qualquer q com uma carteira de fronteira p: cov (r p ; r q ) w 0 p P wq () E (r p) r f H E (r p) r f H (E (r p) r f ) (E (r q ) r f ) H (E 0 r f 0 ) P P wq () (E 0 r f 0 ) w q (3) (4) 9
para qualquer carteira q e carteira de fronteira p. Resolvendo para E (r q ) dá: Resolvendo 0 para H em encontramos: E (r q ) r f Hcov (r q; r p ) E (r p ) r f (5) H [E (r p) r f ] p Subsituindo de volta em 5 obtemos nalmente: ou E (r q ) r f cov (r q; r p ) E (r p ) r f (E (r p ) r f ) p E (r q ) r f cov (r q; r p ) (E (r p ) r f ) p qp (E (r p ) r f ) Esta expressão diz o seguinte. Fixemos uma carteira e ciente p. Então o excesso de retorno de uma carteira qualquer q pode ser encontrado a partir do produto do beta desta carteira em relação à carteira p (o quanto o retorno desta carteira responde a variações da carteira p) com o excesso de retorno da carteira e ciente p. Esta equação será a base do CAP M, mas por enquanto ela é só uma conseqüência da matemática da fronteira e ciente no espaço retorno esperado/desvio-padrão. 0..4 Carteira ótima com restrições Talvez seja irrealista supor que podemos vender a descoberto qualquer ativo. Para adicionar a restrição de que não se pode vender a descoberto o ativo i basta adicionar ao problema de otimização ou 8 a restrição w i 0. Os problemas ou 8 podem ser resolvidos com estas ou outras restrições adicionais utilizando o solver do Excel ou qualquer programa numérico (ex. Matllab). Por exemplo, fundos de pensão têm limites máximos por classes de ativos, que poderiam ser facilmente incorporados ao problema, que seria então resolvido numericamente. Uma restrição comum em certas classes de fundos, cujo efeito é facilmente visualizável diz respeito ao ativo sem risco. Se a carteira não pode ser alavancada tomando-se emprestado à taxa de juros sem risco para aplicar mais do que a riqueza em ativos arriscados, a fronteira e ciente ca composta pelo segmento de reta de R f até a carteira de tangência e a partir daí pela fronteira de ativos arriscados. Assim um investidor bastante avesso ao risco escolheria uma carteira no segmento de reta e um pouco avesso ao risco poderia escolher uma carteira na fronteira de ativos arriscados. 0
Uma outra modi cação se dá quando a taxa de juros paga quando se toma um empréstimo é maior do que a taxa de aplicação. Duas carteiras de ativo arriscados se tornam proeminentes: a carteira no ponto de tangência do segmento de reta que passa pela taxa de aplicação e a carteira no ponto de tangência do segmento de reta que passa pela taxa de empréstimo. Neste caso a fronteira passa a ter três partes: o segmento que ligar R l (taxa de aplicação à carteira de tangência); a parte da fronteira arriscada entre os dois pontos de tangência; e a parte da reta que liga R b ao outro ponto de tangência, mas somente a partir do ponto de tangência (ver gura). Um investidor muito avesso ao risco vai ter carteira na primeira parte, um moderadamente avesso ao risco na segunda, e um pouco avesso ao risco na terceira. 0. O poder da diversi cação Nesta seção veremos os ganhos de redução de risco que podem ser obtidos através da diversi cação, e como eles dependem essencialmente da correlação entre os ativos. Suponha que existam n ativos com a mesma variância e mesma correlação entre eles. Vamos examinar a variância de uma carteira em que n é aplicado
em cada ativo. Neste caso temos: P p n np w i w j cov(r i ; r j ) i j P n wi cov (r i ; r i ) + i P n n + i n n + n P n n P ii6j j np ii6j j + n (n ) n n P ii6j j np np w i w j cov(r i ; r j ) n corr(r i; r j ) i j n n + n n Podemos ver o poder da diversi cação fazendo hipóteses sobre e tomando o limite da expressão acima quando n tende a in nito. Lim n! p Vemos que quando os ativos são não correlacionados, 0, a variância do retorno da carteira tende a ser n da variância de um ativo, onde n é o número 3
de ativos. Portanto o poder da diversi cação é ilimitado e a variância tende a 0 quando o número de ativos tende a in nito. Mas na realidade tende a haver correlação positiva entre os ativos. Isto limita o poder da diversi cação. Se no nosso exemplo a correlação entre os ativos é 30%, então a variância da carteira pode ser reduzida no limite para 30% da variância do ativo, mas não mais. (Obviamente, se todos os ativos forem perfeitamente correlacionados,, não existe redução de risco). O outro fato interessante é que a correlação afeta também a taxa à qual o risco é reduzido. Para ver isto, note que: d p dn n (n ) + n n n + n ( ) n Quanto maior a correlação, menor a taxa à qual o risco é reduzido. Mas qual é a redução proporcional do risco? Para isto calculamos a elasticidade do risco com relação ao número de ativos 4
d p dn n p ( ) + (n ) ( ) + n Vemos que quando é zero, a redução proporcional do risco é sempre. Mas que que quando é superior a zero, a redução proporcional se reduz, quando o número de ativos aumenta. Portanto os ganhos de diversi cação tendem a atingir valores pertos do seu limite mais rapidamente quando a correlação é positiva. Por exemplo, suponha que o desvio padrão seja de 50% ( 0; 5), e comparemos os casos em que a correlação é zero e 40%. Se temos uma carteira de 0 ativos, no caso de correlação zero teremos desvio padrão da carteira de 0; ainda bastante acima do desvio padrão assintótico, que é zero. 0;5 p 0 No outro caso teremos desvio padrão igual a q 0;5 0 + 9 0 0; 4 0; 5 3; 79%, enquanto o desvio padrão assintótico é igual a p 3; 6%. Vemos portanto que os ganhos de diversi cação depois de vinte ativos são muito pequenos. 5