Teoria da Medida e Integração (MAT505)

Modos de convergência Teoria da Medida e Integração (MAT505) Modos de convergência. V. Araújo Instituto de Matemática, Universidade Federal da Bahia Mestrado em Matemática, UFBA, 2014

Modos de convergência Neste ponto já conhecemos quatro modos de convergência de uma sequência de funções: pontual (em todo ponto); em quase todo ponto; uniforme; convergência em L p. Existem mais dois modos de convergência importantes para lidar com funções mensuráveis e vamos apresentá-los aqui; depois veremos inter-relações entre estes modos de convergência. No que segue vamos fixar um espaço de medida (X, A, μ) e considerar funções reais. Por vezes será necessário considerar funções na reta real estendida. Em alguns casos veremos brevemente como lidar com funções complexas.

Convergência pontual e convergência uniforme Convergência pontual: (f n ) n 1 converge pontualmente para f (f n f ) se, para todo ϵ > 0 e todo x X, existe N(ϵ, x) N tal que se n N(ϵ, x), então f n (x) f (x) < ϵ; Convergência uniforme: (f n ) n 1 converge u uniformemente para f (f n f ) se, para todo ϵ > 0, existe N(ϵ) N tal que, se n N(ϵ), então f n (x) f (x) < ϵ para todo x X. Sabemos que convergência uniforme implica convergência pontual; mas que convergência pontual não garante convergência uniforme. Contra-exemplos são bem conhecidos dos cursos de Análise: tome f n : [0, 1] R, x x n que converge pontualmente para f = 1 {1}, mas não converge uniformemente.

Convergência em quase todo ponto Convergência em quase todo ponto: (f n ) n 1 converge qtp q.t.p. para f (f n f ) se existe Z A tal que μ(z) = 0 tal que para todo ϵ > 0 e todo x X \ Z, existe N(ϵ, x) N tal que se n N(ϵ, x), então f n (x) f (x) < ϵ; É claro que convergência pontual garante convergência em quase todo ponto, e que a implicação inversa não vale em geral (a não ser que o único conjunto de medida nula seja o vazio: neste caso convergência qtp. e pontual coincidem; ou que o espaço seja formado por número finito de pontos, caso em que a convergência pontual coincide com a convergência uniforme).

Convergência em L p Uma sequência (f n ) n 1 em L p = L p (X, A, μ) (com 1 p < ) converge em L p L para f (f p n f ) se, para todo ϵ > 0, existe N(ϵ) N tal que, se n N(ϵ), então f n f p = f n f p dμ 1/p < ϵ. Uma sequência (f n ) n 1 em L p é de Cauchy em L p se, para cada ϵ > 0, existe N(ϵ) > 0 tal que, se m, n N(ϵ), então f n f m p = f n f m p dμ 1/p < ϵ. Já vimos que toda sequência de Cauchy em L p converge para alguma função f de L p.

Convergência uniforme e em L p Teorema Se μ(x) < e (f n ) n 1 é sequência em L p que converge uniformemente para f, então f está em L p e f n converge para f em L p. Demonstração. Sejam ϵ > 0 e N(ϵ) N tais que f n (x) f (x) < ϵ para todo n N(ϵ) e x X. Se n N(ϵ), então f n f p ϵ p dμ 1/p = ϵμ(x) 1/p e portanto f = f n (f n f ) L p L e f p n f. Este pode ser falso se X não tiver medida finita (exercício 7.B, Bartle). Mas vale se a sequência é dominada por uma função de L p.

Convergência qtp. dominada em L p Teorema Seja (f n ) n 1 é sequência em L p que converge qtp. para f mensurável. Se existe g L p tal que f n (x) g(x) para todos os x X, n 1, então f L p L e f p n f. Demonstração. Pela hipótese, f p g p <, logo f L p e temos também f n (x) f p (2g(x)) p, μ-qtp. e 2 p g p L 1. Portanto, pelo Teorema da Convergência Dominada lim f n f p dμ = lim f n f p dμ = 0 e segue que L f p n f.

Convergência qtp. limitada em L p Corolário Se μ(x) < e (f n ) n 1 é sequência em L p que converge qtp. para f mensurável. Se existe constante K tal que f n (x) K para todos x X e n 1, então f L p e L f p n f. Demonstração. Com μ(x) < as funções constantes estão em L p e aplicamos o teorema anterior com g K. Vamos agora ver que convergência em L p não garante convergência em quase todo ponto.

Convergência L p que não é qtp. Seja X = [0, 1] com A a γ-álgebra de Borel e λ medida de Lebesgue. Consideremos os intervalos [0, 1], [0, 1/2], [1/2, 1], [0, 1/3], [1/3, 2/3], [2/3, 1] [0, 1/4], [1/4, 2/4], [2/4, 3/4], [3/4, 1], [0, 1/5], [1/5, 2/5],... e seja ξ n a função característica do n-ésimo intervalo desta lista, e ξ 0. Para n 1 + 2 + + m = m(m + 1)/2, ξ n é uma função característica de um intervalo com medida no máximo 1/m, logo ξ n ξ p = ξ n ξ p dμ = ξ m dμ 1 m e ξ n L p ξ.

Porém, fixado qualquer x [0, 1], a sequência (ξ n (x)) n 1 tem subsequência constante igual a 1 e outra subsequência constante igual a 0. De fato, para n = 1 + 2 + + m temos que ξ n+1,..., ξ n+m+1 é sequência de funções características de uma família de conjuntos cuja união é X e cuja interseção dois a dois tem medida nula, portanto alguma destas funções vale 1 em x e alguma outra vale 0 em x. Portanto ξ n (x) não converge, seja qual for o ponto x [0, 1]! Em particular, não converge qtp.. (Notemos que podemos escolher uma subsequência de ξ n (x) que converge para ξ(x).)

Convergência em medida Uma sequência (f n ) n 1 de funções mensuráveis (reais ou complexas) converge em medida para f (f n μ f ) mensurável se, para cada α > 0, se tem que μ([ f n f α]) n + 0. Um sequência (f n ) n 1 é de Cauchy em medida se, para cada α > 0, dado ϵ > 0 existe N(ϵ) N tal que para n, m N(ϵ) se tem μ([ f n f m α]) < ϵ. Note que se f n unif. f, então [ f n f α] = para todo n suficientemente grande. Portanto, convergência uniforme garante convergência em medida.

Convergência em L p garante convergência em medida Se f n L p f então, para cada α > 0, o conjunto E n (α) = [ f n f α] satisfaz f f n p p = f n f p dμ e portanto μ(e n (α)) α p f f n p p n f n μ f. f n f p dμ α p μ(e n (α)) E n (α) 0. Ou seja, Exercício: a sequência ξ n também mostra que uma sequência pode convergir em medida mas não convergir em nenhum ponto!!

Convergência em medida e subsequência convergente qtp. Teorema Seja (f n ) n 1 sequência de funções mensuráveis (reais ou complexas) que é de Cauchy em medida. Então existe subsequência que converge μ-qtp. e em medida para uma função mensurável f. Para provar, seja g k subsequência de f n tal que E k = [ g k+1 g k 2 k ] satisfaz μ(e k ) < 2 k. Tomando F k = j k E j, então F k A e μ(f k ) < 2 k+1. Para i j k e x X \ F k g i (x) g j (x) g i (x) g i 1 (x) + + g j+1 (x) g j (x) 1 2 i 1 + + 1 2 j < 1 2 j 1 1 2 k 1.

Se F = k 1 F k, então μ(f) = 0 e pelo que vimos (g j ) j 1 converge em X \ F. Definimos agora μ qtp f (x) = 1 X\F (x) lim j g j (x) e obtemos g j f. De fato, pela desigualdade anterior, fazendo i vem f (x) g j (x) 1 2 j 1 1 2 k 1 para j k e x X \ F k. Então g j converge uniformemente para f em X \ F k, ou seja, g j converge para f em quase todo ponto. Para convergência em medida, sejam ϵ, α > 0. Existe k N tal que μ(f k ) < 2 k+1 < min{ϵ, α}. Para j k obtemos do que já fizemos [ f g j α] [ f g j > 2 k+1 ] F k e assim μ([ f g j α]) μ(f k ) < ϵ para todo j k.

Sequências de Cauchy em medida Corolário Seja (f n ) n 1 sequência de funções mensuráveis (reais ou complexas) que é de Cauchy em medida. Então existe função mensurável f para a qual (f n ) converge em medida, e f é unica μ-qtp.. Já temos f nk μ f e como f (x) f n (x) f (x) f nk (x) + f nk (x) f n (x) vem μ([ f f n α]) μ f f α nk + μ f nk 2 f n α 2 para qualquer α > 0. Como (f n ) é de Cauchy em medida, isto garante a convergência em medida de f n para f.

Para a unicidade: suponhamos que f n μ f e fn μ g. Novamente porque f (x) g(x) f (x) f n (x) + f n (x) g(x) segue que μ([ f g α]) μ f f n α + μ f n g α 2 2 para qualquer α > 0 e qualquer n 1. Fazendo n vem μ([ f g α]) = 0 para qualquer α > 0, o que mostra que f = g, μ qtp..

Convergência dominada em medida e em L p Em geral, convergência em medida não garante convergência em L p (exercício). Mas se acrescentarmos dominação obtemos a convergência em L p. Teorema Seja (f n ) n 1 sequência em L p que converge em medida para f e seja g L p tal que f n g, μ-qtp.. Então f L p e L f p n f. Por redução ao absurdo, se (f n ) não convergisse para f em L p, existiria subsequência (g k ) k 1 de (f n ) e ϵ > 0 tal que g k f p > ϵ para todo k 1. μ Mas então g k f e portanto existe subsequência (hl ) l 1 de g k que converge μ-qtp. e em medida para alguma função h.

Pela unicidade do limite em medida, h que tem de ser igual a f, μ-qtp.. Porém, como f n é dominada por g e g L p, então h l é L dominada por g e sabemos que h p l f. Mas isto contradiz a escolha de g k tal que g k f p > ϵ para todo k 1, já que h l é subsequência de g k. Esta contradição mostra que f n L p f, como no enunciado do Teorema.

Convergência quase uniforme Uma sequência (f n ) n 1 de funções é quase uniformemente convergente a uma função q.u. mensurável f (f n f ) se, para cada δ > 0, existe E δ A com μ(e δ ) < δ tal que f n converge uniformemente para f em X \ E δ. Uma sequência (f n ) n 1 de funções é quase uniformemente de Cauchy se, para cada δ > 0, existe E δ A com μ(e δ ) < δ tal que f n é uniformemente convergente em X \ E δ. É claro que convergência uniforme implica convergência quase uniforme, mas o recíproco não é verdadeiro! (Exercício: apresente um exemplo.)

Sequência quase uniformente de Cauchy Lema Seja (f n ) n 1 sequência de funções quase uniformemente de Cauchy. Então existe f mensurável q.u qtp. tal que f n f e f n f. Seja E k tal que μ(e k ) < 2 k e (f n ) é uniformemente convergente em X \ E k. Tomemos F = j k E j tal que μ(f) < 2 k+1 e (f n ) converge uniformemente em X \ F k X \ E k. Podemos definir g k = 1 X\Fk lim f n. Temos F k+1 F k e F = k F k satisfaz μ(f) = 0. Portanto se h k, então g h (x) = g k (x) para x F h. Segue que g k converge pontualmente para uma função f.

Além disto, para x X \ F k, temos f (x) = g k (x) = lim f n (x) e assim f n converge para f, μ-qtp.. Falta ver que a convergência é quase uniforme. Fixemos ϵ > 0 e k tão grande que 2 k+1 < ϵ. Então μ(f k ) < ϵ e f n converge uniformemente para g k em X \ F k, mas g k = f em X \ F k. Isto conclui a prova do lema. Podemos agora relacionar convergência em medida com convergência quase uniforme.

Convergência em medida vs. quase uniforme Teorema Se uma sequência (f n ) n 1 converge quase uniformemente para f, então converge em medida. Reciprocamente, se (h n ) n 1 converge em medida para h, então alguma sequência converge quase uniformemente para h. q.u. De fato, se f n f e α, ϵ > 0, então existe E ϵ A com unif. μ(e ϵ ) < ϵ tal que f n 1 X\Eϵ f 1 X\Eϵ. Assim, para n grande o suficiente, [ f n f α] E ϵ e μ([ f n f α]) < ϵ, o que mostra que f n μ f.

μ Reciprocamente, suponha que h n h. Por resultado anterior, existe subsequência (g k ) de (h n ) que converge μ-qtp. para uma função g, mas esta convergência é realmente quase uniforme (veja a prova de que convergência em medida garante subsequência convergente qtp.). Como (g k ) converge em medida para g e para h, então h = g, μ-qtp. e, portanto, (h n ) converge quase uniformemente para h. Ja vimos que convergência quase uniforme garante convergência qtp.. Mas o recíproco é falso em geral (exercício). Mas se μ(x) <, então podemos obter o resultado seguinte.

Convergência qtp. garante convergência quase uniforme Teorema (de Egoroff) Suponha que μ(x) < e que (f n ) n 1 é sequência de funções mensuráveis que converge μ-qtp. em X para q.u. μ uma função f. Então f n f e f n f. A última conclusão é consequência da primeira, como já vimos. Basta então mostrar que f n q.u. f. Modificando f n e f num conjunto de medida nula, podemos assumir que f n f em todo ponto. Para cada m, n N seja E n (m) = k n [ f k f 1/m]. Então E n+1 (m) E n (m) e, como f n f pontualmente, segue que n 1 E n (m) = para cada m 1.

Uma vez que μ(x) <, deduzimos que μ(e n (m)) n + 0. Para cada δ > 0 seja n m tal que μ(e nm (m)) < δ2 m e E δ = m 1 E nm (m). Então μ(e δ ) < δ. Note que se x X \ E δ, então x X \ E nm (m) e portanto f n (x) f (x) < 1/m para todos n n m. Assim f n converge uniformemente para f em X \ E δ, com δ > 0 arbitrariamente escolhido. Resumiremos os resultados provados via algumas tabelas relacionando os diferentes modos de convergência.

Diagrama de relações entre modos de convergência: caso geral O caso geral em qualquer espaço de medida: quase todo ponto quase uniforme em L p em medida Seta dupla = indica implicação; seta tracejada indica que existe subsequência. Ausência de seta indica que existe contra-exemplo.

Diagrama de relações entre modos de convergência: espaço de medida finito Nos espaços de medida finita: quase todo ponto quase uniforme em L p em medida As novas implicações são consequência do Teorema de Egoroff.

Diagrama de relações entre modos de convergência: com dominação por g L p Assumindo que vale dominação por uma função g L p : quase todo ponto quase uniforme em L p em medida Adicionaram-se três implicações. Exercício: verificar estas implicações e também que, onde não há setas, se pode fornecer um contra-exemplo. (Isto é parte da lista de exercícios do livro-texto de Bartle.)

Condições necessárias e suficientes para convergência em L p Teorema (de Vitali) Seja (f n ) n 1 sequência em L p (X, A, μ), 1 p <. Então as três condições seguintes são necessárias e L suficientes para que f p n f : 1 f n μ f ; 2 ϵ > 0 E ϵ A, μ(e ϵ ) < e X\E ϵ f n p dμ < ϵ p, n 1; 3 ϵ > 0 δ(ϵ) > 0 tal que se E A e μ(e) < δ(ϵ), então E f n p dμ < ϵ p, n 1. Que f n L p f implica as três condições é um exercício (da lista de exercícios do livro-texto de Bartle).

Prova da suficiência das condições de Vitali Se ϵ > 0 e E ϵ é como na ítem 2, seja F = X \ E ϵ e apliquemos a desigualdade triangular na norma L p a f n f m = (f n f m )1 Eϵ + f n 1 F f m 1 F : para m, n 1 f n f m p E ϵ f n f m p dμ 1/p + f n 1 F p + f m 1 F p. Tomemos α = ϵμ(e ϵ ) 1/p e H n,m = [ f n f m α]. Pelo ítem 1, existe K(ϵ) tal que, se n, m K(ϵ), então μ(h n,m ) < δ(ϵ), on δ(ϵ) > 0 é dado pelo ítem (3) do enunciado. Aplicamos novamente a desigualdade triangular como antes: escrevemos (f n f m )1 Eϵ = (f n f m )1 Eϵ \H n,m + f n 1 Eϵ H n,m f m 1 Eϵ H n,m para m, n 1 fixados e obtemos a seguinte desigualdade.

f n f m p dμ E ϵ 1/p + 1/p f n f m dμ p + E ϵ \H n,m 1/p f m p dμ. E ϵ H n,m Usando agora o item 3, deduzimos E ϵ H n,m f n p dμ 1/p f n f m dμ p αμ(e ϵ ) 1/p + ϵ + ϵ = 3ϵ E ϵ pela escolha de α, sempre que m, n K(ϵ). Combinando com a desigualdade anterior, obtemos f n f m p 5ϵ e assim (f n ) é de Cauchy em L p, e portanto convergente em L p. Como já sabemos que f n μ f, então fn L p f. 1/p