Versão preliminar da Apostila de Xadrez Pedagógico

Versão preliminar da Apostila de Xadrez Pedagógico Porque pensar é o que nos diferencia! 1

INTRODUÇÃO Este é um copilado de didáticas já existentes de protoxadrez, algumas adaptadas das existentes e outras totalmente inéditas criadas entre 2009 e 2016. Esta compilação de material foi iniciada em 2009 quando eu me formei na faculdade de matemática em Ouro Fino MG, e fui chamado pelo colégio particular da mesma cidade, a Escola Rochel de Educação Infantil Ensino Fundamental e Ensino Médio, para lecionar matemática, e onde eu sugeri a coordenadora e a diretora da época em realizarmos oficinas de Damas e Xadrez. Sugeri estas oficinas porque na minha infância eu havia sido um damista, iniciado pelo senhor Alcides Sartori, conhecido por Tide. Percebi que, ao me aplicar nos livros, meu jogo melhorava. Foi fácil perceber que o mesmo ocorreria na escola com as disciplinas que fazem parte do currículo educacional. Aqui apresentaremos uma pequena amostra de atividades pedagógicas que podem ser realizadas com as peças e o tabuleiro de xadrez. Estas atividades foram retiradas da compilação realizada por mim ao longo dos anos e podem ser trabalhadas com crianças a partir de 4 anos. Espero que aproveitem as dinâmicas que discorrem pelas próximas paginas. Jair Bueno Socorro/SP, janeiro de 2018. 3

Sumário RESUMO DAS REGRAS BÁSICAS DO XADREZ:... 5 A CAPTURA EN PASSANT.... 8 GATO E RATO... 9 DESCOBRINDO A PEÇA PELA RELAÇÃO I... 12 DESCOBRINDO A PEÇA PELA RELAÇÃO II... 20 DESENCONTRO DOS MONARCAS... 32 PEÇAS NA BALANÇA... 35 XEQUE MATE E AS FRAÇÕES... 45 REFERÊNCIAS... 61 4

Resumo das Regras Básicas do Xadrez: É jogado por dois jogadores com cores de peças diferentes. Cada um inicialmente tem: 1 Rei, 1 Dama, 2 Torres, 2 Bispos, 2 Cavalos e 8 Peões. O posicionamento inicial das peças assim como o formato do tabuleiro é como o que se mostra na figura ao lado: v O Rei pode se mover em todas as direções somente uma casa de cada vez e não pode ir para uma casa já ameaçada. Ele também pode capturar qualquer peça adversária, desde que a mesma não tenha outra peça defendendo-a. Um Rei nunca poderá chegar a uma casa ao lado do rei adversário. A Torre se movimenta pelas linhas (horizontais) e colunas (verticais), não podendo se mover pelas diagonais. Ela pode mover quantas casas desejar ou estiver livre, pelas colunas e linhas, porém, apenas em um sentido em cada jogada. O Bispo se movimenta nas direções diagonais. Ele pode mover quantas casas desejar e estiverem livres pelas diagonais, porém, apenas em um sentido (cada jogada), existe o bispo da casa preta e o bispo da casa branca, e os mesmos não podem mudar de cor durante o jogo. 5

v A Dama pode movimentar-se quantas casas quiser ou puder, na diagonal, vertical ou horizontal, porém, apenas em um sentido em cada jogada, a dama se movimenta com os movimentos de todas as outras peças (exceto o cavalo). O movimento do Cavalo é em "forma de L" (anda duas casas na horizontal ou vertical e depois uma casa na vertical ou horizontal, ou vice-versa). O cavalo pode saltar sobre qualquer peça. A captura ocorre quando uma peça adversária se encontra na casa final do movimento realizado por ele. O Peão move-se em coluna (vertical) somente para frente e uma casa, nunca para trás, exceto no lance inicial que pode movimentar duas casas, para frente. Ele captura apenas na diagonal. Quando um peão alcança a última fileira do tabuleiro ele é coroado. Coroação: Se um peão avança até a oitava fileira é então coroado a uma dama, torre, bispo ou cavalo da mesma cor, sendo a escolha opção do jogador. Se a peça o qual deseja coroar o peão não estiver disponível, o jogador deve chamar o árbitro que proverá a peça. Roque maior Roque menor O roque consiste em mover o Rei duas casas em direção a torre, e então mover a torre para a casa do outro lado do Rei, adjacente a ele. O movimento só é permitido nas seguintes condições: O Rei e a Torre envolvida não tenham sido previamente movidos; Não existam peças entre o Rei e a Torre; O Rei não pode estar em xeque, passar ou terminar o movimento em uma casa ameaçada. Entretanto, a Torre pode estar sendo ameaçada ou passar por uma casa ameaçada e não pode terminar sendo atacada. 6

Xeque: É um termo que indica uma ameaça imediata de captura ao Rei adversário. Neste momento ele é obrigado a se salvar em apenas um lance. Na figura ao lado pode-se observar um xeque, pois a torre branca está ameaçando o Rei preto. Xeque-mate: Termo que indica que o Rei está sofrendo uma ameaça e não tem como escapar. Neste momento o jogo é finalizado e a vitória é de quem aplicou o xeque-mate. No caso da figura ao lado a vitória foi das brancas. Xeque descoberto: Posição em que um rei é posto em xeque pela movimentação de uma peça obstrutora (que está a frente de outra em qualquer direção, seja na horizontal, vertical ou diagonal). Na figura ao lado é possível dar um xeque descoberto movimentando o cavalo, retirando, assim, a peça que está na frente impedindo o xeque. Afogamento: É uma situação no xadrez em que o enxadrista tem a vez de jogar, não está em xeque e não tem movimentos válidos. afogamento. O afogamento termina o jogo com um empate. Na figura ao lado é a vez das brancas. Não está em xeque e não tem nenhum lance válido para executar, caracterizando o 7

A Captura en passant. Do francês en passant, que significa; a passagem. Acontece quando um peão atinge a 5ª fila e o peão adversário está em sua casa inicial e avança duas casas, se colocando ao lado do peão inimigo. Obs: A captura en passant acontece somente entre peões. Se a captura não for feita de imediato, o jogador não poderá utilizá-la mais durante a partida, a captura em Passant entre aqueles dois peões, mas, se ocorrer outra possibilidade de captura em passant o jogador poderá aplica-la logo após o movimento duplo do peão adversário. 8

Gato e Rato Assim como o captura peão, atividade disponível somente na versão completa, o gato e rato é um jogo para iniciar as aulas de xadrez onde o objetivo é desenvolver no jogador a habilidade de criar estratégias e reversibilidade. Por sua simplicidade de aprendizado este jogo atrai muito as pessoas por não ser nada complexo, porém para ter um bom desenvolvimento necessita-se de uma linha de raciocínio bem interessante de análise de jogadas e uma grande noção de reversibilidade, por isso, esse jogo e o captura peão são o carro chefe para o início de um trabalho com jogos, ambos mostram ao praticante que qualquer pessoa pode jogar esses jogos de tabuleiro e aprender a desenvolver estratégias e táticas para uma boa evolução nos jogos. Este pré-jogo, tem princípios facilmente assimiláveis por crianças, ele exercita e treina conceitos que serão uteis no aprendizado do xadrez, tais como a noção de cooperação que deve haver entre as peças; e a noção de como captura o peão. Este jogo e o captura peão pode ser ensinado e trabalhado com a criança antes de qualquer conteúdo enxadrístico. Como jogar: i) Utiliza-se um tabuleiro de 64 casas (8x8) fig 19 ii) iii) iv) Peças: quatro gatos, cores negras e um rato cor branca; Como no xadrez a branca sempre inicia o jogo; Na posição inicial as pretas ocupam as casas da linha 8 e a branca pode iniciar em qualquer casa a sua escolha da linha 1 fig. 19; na diagonal; v) Os gatos se movem de uma em uma casa somente pra frente e vi) e para trás vii) viii) da fig 20; ix) O rato se move de uma em uma casa pela diagonal para a frente Não há captura Os gatos vencem se bloquearam o rato como mostra um exemplo O rato vence se consegue passar pelo cerco do gato e chegar até uma das casas de início dos Gatos fig 21. 9

Fig. 19. Fig. 20 10

Fig. 21 Este jogo tem um grande impacto na parte de estratégia e cálculo mental. Pode se trabalhar este jogo com crianças a partir dos 4 anos, pois pela a simplicidade dele atrairá as crianças para que se desenvolva em aprender e jogar esta dinâmica. Para quem for aplicar o jogo salientamos a importância de deixar que quem o pratica desenvolva sua própria estratégia. Um bom uso aqui para a criação de estratégia é propor aos jogadores que cada um vá escrevendo a sua estratégia de jogo para que depois de algumas horas de jogo os mesmos conversem sobre suas estratégias e procurem chegar em algumas estratégias importantes, tanto para jogar com o rato quanto para jogar com o gato. Quando aplicado em sala de aula, procure olhar os níveis dos alunos e como esta a disputa entre si, se a disputa estiver comn uma diferença muito grande, procure trocar as duplas para que motive a todos uma disputa, mas acirrada em seu nível de jogabilidade. Normalmente quando jogam dois jogadores sem experiência em jogo de tabuleiro é comum a afirmação que o rato sempre vence, mas isso é uma inverdade pois se tiver um padrão correto o gato vence com uma facilidade muito maior que o rato. Procure estimular o experimento de anotar os lances que forem realizando para depois voltar a partida e tentar melhorar o lance realizado na partida anotada. Assim estuma e muito quem pratica ao habito de estudar, e assim pode se mostrar de uma maneira quase que imediata que o estudo tem uma valiosa recompensa que é o aprendizado e o desenvolvimento. 11

Descobrindo a Peça pela Relação I Esta é uma atividade desenvolvida durante as observações das dificuldades dos alunos nas aulas de matemática de relacionarem pares ordenados com funções ou até mesmo gráficos com funções em seus anos iniciais de estudos deste conteúdo. O objetivo com esta atividade lúdica é que os alunos saibam observar as maneiras diferentes de escrever localizações ou pontos no tabuleiro, fazendo mais tarde uma relação com o plano cartesiano. Nesta atividade o aluno terá que encontrar as casas ocupadas ou de alcance da peça através das relações abaixo, onde daremos o nome de pares ordenados, pois são pares com uma letra e um número que ordenam, ou demarcam uma localização, podendo ser das maneiras explicitadas a seguir: {(COLUNA;LINHA),(COLUNA;LINHA),...} ou pela relação biunívoca; C O L U N L I N H A A. O aluno encontrará quais as casas que o alcance da peça tem através de sua posição atual. O aluno terá um tabuleiro em branco para marcar quais as casas de alcance da peça e assim observar o desenho (ou poderemos chamar de gráfico), que formará no tabuleiro, para que o aluno observe e diga qual peça faz aquele movimento e onde a mesma se encontra. 12

Exemplo de como ocorrerá a atividade: B C E F RELAÇÃO BIUNÍVOCA 2 3 5 6 Recebe se numa folha a marcação com setas, ou no formato de pares ordenados. Ao receber essa folha deverá marcar em um tabuleiro vazio com um x as casas que estão descritas na marcação com setas ou nos pares ordenados. Para assim descobrir qual a peça que consegue atingir todas as casas marcadas com um x no tabuleiro e onde essa peça se encontra. PAR ORDENADO {(B;3), (B;5), (C;2), (C;6), (E;2), (E;6), (F;3), (F;5)} Num segundo momento o aluno encontrará as casas de alcance da peça e o passará para o tabuleiro em branco que terá na folha de exercício, assinalando com um x a casa onde a peça tem o alcance: X X X X X X RESPOSTA: X X PEÇA: CAVALO CASA: D4 Com esse desenho, ou diagrama, observamos que o alcance da peça será as casas (B3, B5, C2, C6, E2, E6, F3, F5) com essa configuração, e sabendo que é o alcance de somente uma peça, observamos que a única peça que tem esse alcance é um cavalo que se encontra posicionado na casa D4. 13

Abaixo segue folhas de atividades da atividade acima descrita e explanada: a) B C D E F G H 2 3 4 5 6 7 8 RESPOSTA: PEÇA: CASA: 14

b) { (A,5); (B,5); (C,5); (E,5); (F,5); (G,5); (H,5); (D,1), (D,2); (D,3), (D,4); (D,6); (D,7); (D,8)} RESPOSTA: PEÇA: CASA: c) A B D E 2 3 REPOSTA: PEÇA: CASA: 15

d) {(B;8), (C;8), (D;8), (B;7); (D;7), (B;6), (C;6), D;6)} RESPOSTA: PEÇA: CASA: e) {(A;1), (B;2), (C;3), (D;4), (E;5), (F;6), (G;7), (A,8), (B;8), (C;8), (D;8), (E;8), (F;8), (G;8), (H;1), (H;2), (H;3), (H;4), (H;5), (H;6), (H,7)} RESPOSTA: PEÇA: CASA: 16

f) F H 5 G RESPOSTA: PEÇA: CASA: g) F G 2 3 RESPOSTA: PEÇA: CASA: 17

h) {(B;1), (C;2), (E;4), (F;5), (G;6), (H;7), (A;6), (B;5), (C;4). (E;2), (F;1)} RESPOSTA: PEÇA: CASA: i) A B 7 8 RESPOSTA: PEÇA: CASA: 18

j) B C D 3 4 RESPOSTA: PEÇA: CASA: RESPOSTAS a) Bispo, A1 b) Torre, D5 c) Cavalo, C1 d) Rei, C7 e) Dama, H8 f) Peão (branco), G4 g) Cavalo, H1 h) Bispo, D3 i) Rei, A8 j) Peão (branco), C2 19

Descobrindo a Peça Pela Relação II Esta é uma atividade bem parecida com a atividade anterior (Descobrindo a Peça Pela Relação I) foi desenvolvida com a intenção de que o praticante consiga fazer o caminho inverso que o mesmo fez na atividade anterior, trabalhando assim a reversibilidade de suas táticas e técnicas para desenvolver o mesmo raciocínio. O aluno observará a peça e onde a mesma se encontra e deverá relacionar quais as casas que o alcance da peça tem através de sua posição atual. Exemplo: O aluno terá este tabuleiro. Observará que é a peça do rei que se encontra na casa D4 e sabendo que a mesma só pode andar uma casa em cada direção o aluno deverá num segundo momento encontrar as casas de alcance da peça e o passará para a marcação por relação biunívoca e por par ordenado como descrita a seguir: RELAÇÃO BIUNÍVOCA PAR ORDENADO C 3 {(C;3), (C;4), (C;5), (D;3), (D;5), (E;3), (E;4), (E;5)} D 4 E 5 20

Abaixo segue folhas de atividades da atividade acima descrita. Através da posição do tabuleiro onde a peça se encontra, desenvolva o diagrama formando a relação biunívoca e a relação em par ordenado: a) RELAÇÃO BIUNÍVOCA PAR ORDENADO: {( b) 21

RELAÇÃO BIUNÍVOCA PAR ORDENADO: {( c) 22

RELAÇÃO BIUNÍVOCA PAR ORDENADO: {( d) 23

RELAÇÃO BIUNÍVOCA PAR ORDENADO: {( 24

e) RELAÇÃO BIUNÍVOCA PAR ORDENADO: {( 25

f) RELAÇÃO BIUNÍVOCA PAR ORDENADO: {( g) 26

RELAÇÃO BIUNÍVOCA PAR ORDENADO: {( h) 27

RELAÇÃO BIUNÍVOCA PAR ORDENADO: {( i) 28

RELAÇÃO BIUNÍVOCA PAR ORDENADO: {( j) 29

RELAÇÃO BIUNÍVOCA PAR ORDENADO: {( 30

As atividades: Descobrindo a peça pela relação I e II, são atividades para trabalhar em sala de aula antes de iniciar a aula de introdução às funções pois os alunos sempre tem uma pequena dificuldade de trabalhar a relação biunívoca e sua aplicação no caso de função e também nos casos de gráficos. Nesta atividade não tem a pretensão de trabalhar o conceito matemático de ser ou não ser função, mas sim queremos dar a noção intuitiva da relação biunívoca e sua relação no plano cartesiano. Ao professor de matemática iniciar com esta atividade, ele deixa um conteúdo abstrato um pouco lúdico, procurando assim atrair um pouco mais a atenção do aluno e procurar despertar um interesse no mesmo. 31

Desencontro dos Monarcas Esta é uma atividade retirada de [2] tem como objetivo fazer com que o praticante desenvolva diversas metodologias de como resolver um problema proposto. Esta atividade em séries iniciais pode ser trabalhada com o método de tentativa e erro e observar como cada aluno desenvolve seu método de resolução e colocar para os alunos as resoluções uns dos outros e assim incentivar que eles desenvolvam soluções diferentes e ir explorando até quando houver possibilidades de trabalhar o lúdico sem ficar monótono. Para alunos do ensino médio pode ser trabalhada também por tentativa e erro, porém depois é interessante que o professor monte a resolução dessa atividade aplicando os conceitos matemáticos de analise combinatória vista pelos alunos durante o ensino médio. Para os professores que trabalham com xadrez pedagógico e não trabalham com matemática podem pesquisar em análise combinatória, exercícios em que temos que separar o problema em casos para resolver. Propor aos alunos para que descubram de quantas maneiras distintas podemos organizar os dois reis sozinhos no tabuleiro. E lembrar aos alunos que um rei não pode ficar adjacente ao outro rei. É muito interessante organizar os alunos em pequenos grupos para que eles socializem suas abordagens sobre o problema levantado. Após certo tempo de tentativas dos alunos e com o professor mediando às discussões e ideias, o professor deverá pegar as ideias assertivas de cada grupo e assim montar a resolução do problema. 32

Resolução: Podemos dividir o tabuleiro em três grupos: canto, borda e meio, assim temos: i) Primeiramente podemos montar a configuração com o rei branco ocupando qualquer casa do canto do tabuleiro, como mostrado na figura abaixo; O rei preto pode ocupar as outras 64 4 = 60 casas. Como o rei branco pode ocupar os cantos, e o tabuleiro possui 4 cantos, temos então 4 x 60 = 240 posições possíveis de montar os dois reis com o rei branco ocupando uma casa do canto. ii) Posteriormente, montar a configuração do rei branco ocupando qualquer uma casa da borda do tabuleiro que não seja o canto, como mostrado na figura abaixo; Neste caso o rei preto poderá ocupar as outra 64 6 = 58 casas. Como o rei branco poderá ocupar todas as casas da borda exceto o canto, temos que o rei branco poderá ocupar 6 x 4 = 24 casas da borda, totalizando 24 x 58 = 1392 posições que podemos obter com o rei branco na borda do tabuleiro. 33

iii) E finalmente, montar a configuração com o rei branco ocupando qualquer casa não periférica do tabuleiro, como na figura abaixo; Neste caso o rei preto poderá ocupar as outra 64 9 = 55 casas. Como o rei branco poderá ocupar todas as casas não periféricas, temos que o rei branco poderá ocupar 6x6=36 casas da borda, totalizando 36 x 55 = 1980 posições que podemos obter com o rei branco em casa não periféricas. Então concluímos que, como as posições possíveis no tabuleiro de posicionar os dois reis são somente i, ii ou iii; temos que temos 240 + 1392 + 1980 = 3612 posições distintas de colocar somente os dois reis no tabuleiro. 34

Peças na Balança Esta foi uma atividade desenvolvida durante aulas de matemática, quando se percebia a grande dificuldade dos alunos em entender o conceito de equação e também pelo grande número de alunos que tinham um macete pronto em suas cabeças para a realização de equações, que era somente decorado pelos alunos e muito mal aplicado. O macete em si é a seguinte frase: passa para lá e muda de sinal, onde os alunos se acometiam de erros gravíssimos, como por exemplo a equação (-5x=15), o aluno passava o número cinco para o outro lado do sinal de igual dividindo, e além disso o tornava positivo, ficando dessa maneira ( x=15/5). Para evitar que isso ocorra inicie mostrando aos alunos que equacionar é igualar, e podemos igualar como se iguala os pesos numa balança de braço, daí surge a ideia das peças na balança. Mostre para os alunos o valor de cada peça, e como se a balança medisse o valor das peças propondo algumas situações para que os alunos possam descobrir o valor da peça ou das peças que faltam, assim podemos realizar esta atividade com crianças a partir de 7 anos de idade, porém sem usar o termo equação. Esta é uma atividade para ser realizada como uma lição extra ou lição de casa para que o aluno comece a entender o conceito de equação sem citar o nome e trabalhando assim seus conceitos abstratos. O aluno poderá e deverá desenvolver seu raciocínio da maneira que achar mais conveniente, porém esta maneira tem que ser registrada no papel e não poderá ser somente oral. Estimule a criança a registrar, caso a mesma tenha dificuldade em processos matemáticos, diga para escrever o passo a passo ou registrar com desenhos esses passos. E depois o professor deve pedir para que o mesmo desenvolva com números, (modelo algébrico), ou com escrita, (dissertativa) 35

Valor das Peças: Peão: 1 ponto Cavalo: 2,5 pontos Bispo: 3 pontos Torre: 5 pontos Dama: 9 pontos Peça desconhecida, pode se chamar de x 36

Observe que a balança está em equilíbrio, e o ponto de interrogação indicam quantas peças faltam para equilibrá-la. Levando em consideração o valor de cada peça, descubra a peça que está faltando. Registre seu raciocínio: a) Registre seu raciocínio: b) 37

Registre seu raciocínio: c) Registre seu raciocínio: d) Registre seu raciocínio: e) 38

Registre seu raciocínio: f) Registre seu raciocínio: g) Registre seu raciocínio: h) 39

Registre seu raciocínio: i) Registre seu raciocínio: j) Registre seu raciocínio: k) 40

l) Registre seu raciocínio: Registre seu raciocínio: m) Registre seu raciocínio: n) 41

Registre seu raciocínio: o) Registre seu raciocínio: p) Registre seu raciocínio: q) 42

Registre seu raciocínio: r) Registre seu raciocínio: s) Registre seu raciocínio: t) 43

u) Monte você um probleminha ao seu amigo Registre seu raciocínio: v) Monte você um probleminha ao seu amigo Registre seu raciocínio: w) Monte você um probleminha ao seu amigo Registre seu raciocínio: 44

Xeque Mate e as Frações Esta é uma atividade que vem como nota de aula de um professor da Colômbia, Professor Cesar Monroy. A atividade tem como objetivo além de trabalhar o conceito de xeque mate, trabalhar também as frações, e apresentar aos alunos uma outra forma de ver as frações, além da nossa tradicional forma inicial que é dividir algo em partes iguais e pegar um certo número de partes. Esta é uma atividade que em primeiro momento tem que identificar qual a peça que produz o cheque-mate em uma jogada. Após descobrir como aplicar o mate, o aluno deve contar todas as casas possíveis de movimento que possa realizar a peça que aplica o mate e marcar esse número no espaço DENOMINADOR, e depois contar os números de casas que utilizou para aplicar o mate e colocar no espaço NUMERADOR, e após isso, com um numerador e um denominador deverá escrever a fração correspondente de casas que a peça se movimentou para aplicar o mate. Exemplo : Para aplicar o mate o aluno deverá jogar Torre na casa A8, ou seja, Ta8. Para achar o denominador o aluno deverá contar todas as casas possíveis que a torre pode andar, ou seja, 14 casas, e no numerador o aluno deverá colocar somente as casas que a torre utilizou e passou para aplicar o mate, ou seja, 07 casas. Assim o aluno representará o lance pela fração. Para alunos com o maior conhecimento em frações pode se, e deve se, trabalhar com equivalências de frações, simplificando as; e neste caso teríamos =. 45

Pode-se e deve-se também mostrar aos alunos que a torre usou 7 das 14 casas possíveis que poderia usar para dar o Mate, mostrando assim e enfatizando mais uma maneira de empregar as frações no seu dia a dia. 46

Respostas: (40) 1.De7# (39) 1.Dg8# (38) 1.Dh8# (37) 1.Dxh7# (36) 1.Dd7# (35) 1.Tg8# (34) 1.Th2# 59

(33) 1.Th8# (32) 1.Th1# (31) 1.Th8# (30) 1.Bd5# (29) 1.Ch7# (28) 1.Bh6# (27) 1.Cc7# (26) 1.Cb7# (25) 1.Cg6# (24) 1.Cd6# (23) 1.Cc6# (22) 1.f7# (21) 1.g7# (20) 1.Txa7# (19) 1.Cd5# (18) 1.Ba3# (17) 1.d8=D# (16) 1.Dh1# (15) 1.Cc7# (14) 1.Dxg7# (13) 1.Th8# (12) 1.Dxa8# (11) 1.Dxc8# (10) 1.Bxf6# (09) 1.Ch6# (08) 1.Dg7# (07) 1.Th5# (06) 1.Tc8# (05) 1.Ch7# (04) 1.Bc6# (03) 1.Cf5# (02) 1.Dd4# (01) 1.Th1# 60

REFERÊNCIAS [1] http://www.cex.org.br/html/ensino/apostilas/pdf/apostila_completa.pdf, acessado em 03/03/2015 às 16:36 [2] http://www.docfoc.com/xadrez-matematica-e-computacao, acessado em 19/07/2016 ás 23:15 [3] LASKER, Emmanuel. Manual de ajedrez. Madrid: Jaque XXI, 1997. [4] NOTA DE AULA [5] PETKOVÍC, Miodrag. Mathematics and chess. First publishedby Dover Publications, Inc., in 1997 [6] SANTOS, Fatima Lucia Bispo. Xadrez Escolar Uma abordagem psicopedagógica. Rio de Janeiro : Editora Ciência Moderna Ltda,2012. [7] WATKINS, Jonh J. Across the board: the mathematics of chessboard problems. Princenton University Press, 2007 first paperback printing 61