ENERGIA SOLAR: CONCEITOS BASICOS

ENERGIA SOLAR: CONCEITOS BASICOS Uma introdução objetiva dedicada a estudantes interessados em tecnologias de aproveitamento de fontes renováveis de energia. Prof. M. Sc. Rafael Urbaneja

4. LEIS DA EMISSÃO Retomando alguns conceitos importantes... 4.1. CORPO NEGRO 4.1.1. Conceito geral a. Todo corpo à temperatura maior que K (zero Kelvin, zero absoluto) emite radiação num espectro contínuo de frequências, ou seja, não existem espaços vazios no espectro. b. Todo corpo absorve e emite radiação. Quando a temperatura do corpo é maior que a do ambiente a seu redor, a taxa de emissão é maior que a taxa de absorção. Quando a temperatura do corpo é menor que a do ambiente a seu redor, a taxa de emissão é menor que a taxa de absorção. 4.1.. Corpo negro (CN) Define-se como corpo negro o meio ou substância que absorve toda a radiação incidente sobre ele, independentemente do comprimento de onda, direção de incidência ou estado de polarização. Nenhuma componente da radiação incidente é refletida ou transmitida. Figura 4.1: Ilustração de corpo negro perfeito à temperatura K. Para entender o conceito, imagine um corpo isolado do seu meio externo, com paredes idealmente isolantes. Como não há trocas com o meio externo, dizemos que o corpo se encontra em equilíbrio termodinâmico, isto é, o corpo se apresenta em: Equilíbrio térmico: Não há gradientes de temperatura. A temperatura do corpo é constante e homogênea; Equilíbrio mecânico: Não há forças líquidas ou tensões, isto é, a pressão é constante em todas os pontos do corpo; Equilíbrio radiativo: O campo de radiação dentro do corpo é constante, isto é, o fluxo de radiação que entra no corpo é igual ao que sai; Equilíbrio químico: As taxas de todas as reações químicas são balanceadas por suas reações inversas, tal que a composição química é a mesma em todo o corpo; Suponha agora que esse corpo apresenta uma pequeníssima abertura. Toda a radiação incidente nesta abertura é absorvida e retida em seu interior, visto que a probabilidade de ser refletida dentro do corpo de forma a voltar pelo mesmo orifício é muito pequena. Por essa razão, a abertura é perfeitamente absorvedora ou negra. 1

A radiação que eventualmente saia pela abertura alcançou equilíbrio térmico com o material que constitui o corpo. Essa radiação emitida pela abertura é denominada radiação de corpo negro e apresenta as seguintes características: é isotrópica; não polarizada; independe da constituição e da forma do corpo em questão; depende apenas da temperatura do corpo e do comprimento de onda da radiação. Figura 4.: Ilustração de um corpo negro à temperatura T> K. Observa-se experimentalmente* o aumento da intensidade das radiações de maior frequência emitidas com o aumento com a temperatura do corpo emissor, ou seja, quanto maior a temperatura do corpo emissor maior abundância de radiação de alta frequência emitida pelo corpo considerado. Corpos a temperaturas mais altas tendem a emitir radiação na região do visível, enquanto corpos a temperaturas mais baixas emitem radiação na região do infravermelho. Da necessidade de análise dessas observações surgiu o estabelecimento da grandeza Radiância espectral L(ν) a ser definida formalmente oportunamente. Observe a Figura 4.3: Figura 4.3: Ilustração da variação da Radiância espectral do corpo negro em função da frequência de radiação. Note que quanto mais alta for a temperatura do corpo negro mais alta é a frequência da radiação de Radiância máxima no espectro. Dessa forma é possível determinar a temperatura de um corpo negro em função da distribuição de sua Radiância espectral.

4.1.. Emissividade (ελ) É definida como a razão entre a energia emitida por um determinado corpo, num determinado comprimento de onda, e a correspondente energia emitida por um CN à mesma temperatura do corpo considerado. ε λ = U λ,t U CN λ,t Portanto, εcn= 1. 4.1.3. Absortância (aλ) É a razão entre a quantidade de energia absorvida e o total de energia que incide sobre um determinado corpo, para um dado comprimento de onda. a λ = U absλ U inc λ Portanto, acn= 1. 4.1.4. Refletância (rλ) É a relação entre a energia refletida para o hemisfério de origem e a radiação incidente, para um dado comprimento de onda. r λ = U ref λ U inc λ Pela definição de CN, rcn=. 4.1.5. Transmitância (tλ) É a relação entre a energia transmitida e o total incidente, para um dado comprimento de onda. t λ = U transλ U inc λ Para o CN tem tcn=. Naturalmente, pela Lei da Conservação da Energia: a λ + r λ + t λ = 1 4.. Lei de Kirchoff Relaciona as propriedades refletivas, emissoras e absorvedoras de um material. Vamos imaginar um sistema fechado em que existem apenas dois corpos diferentes A um corpo negro e B um corpo não negro, com áreas infinitas e espessuras semi-infinitas em equilíbrio térmico (a temperatura de ambos os corpos não variam com o tempo). Para que ocorra o equilíbrio, a radiação incidente em B proveniente de A deve ser igual à radiação incidente em A proveniente de B. Vamos representar a radiação proveniente do corpo negro A que incide em B (em equilíbrio à temperatura T): Mλ(T); e que A absortância de B é aλ e a refletância de B é rλ. Então a radiação refletida por B é: r λ. M λ (T) = (1 a λ ). M λ (T) Admitindo que a emissão própria de B como sendo: Eλ(T) Então necessariamente: (1 a λ ). M λ (T) + E λ (T) = M λ (T) E λ (T) = a λ. M λ (T) 3

Ou seja, para cada comprimento de onda (λ) a energia emitida por um corpo está diretamente ligada à energia que absorve naquele mesmo comprimento de onda, através de sua absortância (ou coeficiente de absorção). Por exemplo: a. Se a absortância da superfície do corpo é 1 (corpo negro) então o corpo absorve toda a energia naquele comprimento de onda e emite em condições de corpo negro no mesmo comprimento de onda; b. Se a absortância da superfície do corpo é então o corpo não absorve nenhuma energia naquele comprimento de onda e consequentemente não emite energia comprimento de onda; Propriedades: 1. em condições de equilíbrio, a capacidade de um corpo irradiar está diretamente relacionada com sua capacidade de absorver radiação, ou seja, um corpo emite radiação em comprimentos de onda que ele pode absorver;. a emissão de radiação em determinado comprimento de onda (λ) é determinado apenas pelas características físicas do corpo emissor (αλ) e da temperatura (Mλ(T)); 3. todos os corpos negros à mesma temperatura emitem absorvem radiação exatamente da mesmo forma*; * Analise a situação seguinte: sejam dois corpos negros A e B, por hipótese à mesma temperatura, e próximos de tal forma que um absorve a radiação que o outro emite. Logo, se B absorve mais radiação que emite, então sua temperatura vai aumentar enquanto A absorve menos radiação que emite então a temperatura de A diminui, o que contraria a hipótese. 4. a radiação emitida pelos corpos negros em um dado comprimento de onda depende apenas da temperatura do corpo; 5. à mesma temperatura um corpo não negro emite menos radiação que outro corpo negro. 4.3. Lei de Planck Estabelece a distribuição espectral associada à máxima Radiância espectral que pode ser emitida por um corpo em equilíbrio termodinâmico a uma dada temperatura T.. h. c L λcn = λ 5. [exp( h. c λ. k. T ) 1] onde: c= velocidade da luz no vácuo= 99.79.458 m/s 3.1 8 m/s; h= constante de Planck = 6,66.1-34 J.s; K= constante de Boltzmann= 1,387.1-3 J/K; T= temperatura do corpo negro (K); λ= comprimento de onda (m). (W. m. sr 1 /m) 4

Figura 4.4: Irradiância monocromática para corpo negro para várias temperaturas. Do diagrama acima podemos observar as seguintes características importantes: a) Se a temperatura (T) do irradiador aumenta a irradiação L(λmax,T) aumenta; b) Se a temperatura (T) do irradiador aumenta a o comprimento de onda máximo (λmax) diminui; c) Observa-se também a constatação da Lei de Wien, a ser apresentada no próximo item. Podemos escrever a Lei de Planck introduzindo como variável a frequência da radiação (ν). Temos então. h. ν 3 L νcn = c. [exp( h. ν (W. m. sr 1 /Hz) k. T ) 1] Note que: para hν/kt>> 1, a expressão acima se reduz a. h. ν3 L νcn = c. [exp ( h. ν k. T )] que é o limite de Wien, para altas energias. para hν/kt<< 1, a expressão acima se reduz a. ν L νcn =. k. T c que é o limite de Rayleigh-Jeans, útil na região espectral das microondas (λ> 1 mm), e que está de acordo com o modelo clássico. 4.4. Lei de Wien A lei do deslocamento de Wien apresentada abaixo possibilita estimar a temperatura de uma fonte a partir de seu espectro de emissão. λ max. T = 898 μm. K onde λmáx é o comprimento de onda da radiação mais intensa para a irradiação de um corpo a uma dada temperatura T. A lei de Wien permite prever que a radiação solar é principalmente concentrada nas regiões do visível e infravermelho próximo, enquanto a radiação emitida pela Terra e sua atmosfera, é principalmente confinada ao infravermelho. 5

Figura 4.5: Deslocamento do comprimento de onda da radiação para várias temperaturas. Note que quanto maior a temperatura do corpo radiante, menor é o comprimento de onda da máxima radiação, se T 1 > T λ max (T 1 ) < λ max (T ) Para ilustrar apresentamos dois exemplos práticos: sabendo-se que a máxima emissão solar ocorre no comprimento de onda ~,475 m teremos λ max. T = 898 μm. K (,475). T Sol = 898 T Sol = 898 = 6.11 K,475 ou ainda, sabendo-se que a máxima emissão terrestre ocorre no comprimento de onda ~ 1, m teremos λ max. T = 898 μm. K (1,). T Terra = 898 T Terra = 898 = 89,8 K 1, 4.5. Lei de Stefan-Boltzmann Estabelece uma relação de proporção direta entre a irradiância emitida por um corpo negro, já integrada sobre todo espectro eletromagnético, e a quarta potência da temperatura deste corpo. Se integrarmos a equação que apresenta a Lei de Plank em todo espectro eletromagnético, vamos obter a radiância integrada, ou seja: ( h5.c 5 x 5.k 5.T L(T) = L λcn dλ. h. c L(T) = λ 5. [exp( h. c dλ = λ. k. T ) 1] Para integrar essa expressão é recomendável efetuar uma substituição de variáveis: faremos h. c h. c h. c = x λ = = λ. k. T x. k. T k. T. h. c x 1 dλ = k. T. x. dx então. h. c L λcn. dλ = λ 5. [exp( h. c λ. k. T ) 1]. dλ =. h. c h. c. ( h.c k. T. x. dx x.k.t )5. [exp(x) 1] logo. h. c h. c L λcn. dλ =. 5). [exp(x) 1] k. T.. h. c h. c x. dx = h 5. c 5.. [exp(x) 1] k. T. x. x 5. k 5. T 5. dx 6

logo então e portanto L λcn. dλ =. k4. T 4 h 3. c. x 3 [exp(x) 1]. dx. h. c L(T) = λ 5. [exp( h. c λ. k. T ) 1] ENERGIA SOLAR: CONCEITOS BASICOS dλ =. k4. T 4 h 3. c. x 3 L(T) =. k4. T 4 h 3. c. x 3 [exp(x) 1]. dx. dx [exp(x) 1] L(T) =. π4. k 4 15. h 3. c. T4 Para calcular a Emitância devemos integrar a Irradiância (L(T)) num hemisfério (ver aula anterior). Então portanto ou E(T) = π π cos θ. L(T). sin θ. dθ. dφ = π. L(T) E(T) = π.. π4. k 4 15. h 3. c. T4 E(T) =. π5. k 4 15. h 3. c. T4 = 5,67. 1 8. T 4 ou E(T) = σ. T 4 onde σ = 5,67. 1 8 kg. s 3. K 4 Como exemplo vamos determinar a emitância radiante total de um corpo negro à temperatura do Sol (~ 577K) e à temperatura da Terra (~ 3 K) Resolução: Dado que E(T) = σ. T 4 onde σ = 5,67. 1 8 kg. s 3. K 4 Para o Sol (T~ 577 K) teremos E(577 K) = 5,67. 1 8. (577) 4 = 6,8. 1 7 W/m e para o Terra (T~ 3 K) teremos E(3 K) = 5,67. 1 8. (3) 4 = 459,3 W/m 7

EXERCÍCIOS EXERCÍCIO 1. Uma estrela, admitida esférica, de raio R e temperatura T apresenta Irradiância E W/m (J/s. m ), de forma isotrópica para todo espaço. Calcule o fluxo de energia (W= J/s) e a intensidade de radiação(w/st= J/s.st) emitida por essa estrela. RESOLUÇÃO: 8

Obs.: neste trabalho adotaremos a nomenclatura da Organização Meteorológica Mundial (O. M. M.). 1. Ângulo sólido (Ω) Dada uma superfície esférica de raio de curvatura r, definimos como elemento infinitesimal de ângulo sólido (dω) de um elemento infinitesimal de área (ds) daquela superfície como a razão entre a área do elemento de área (ds) e o quadrado do raio de curvatura (r) da superfície, ou seja: dω = ds r Obs.: Embora medidas de ângulos sejam grandezas adimensionais para quantifica-las, no Sistema Internacional de Unidades (S. I. U.), emprega-se como unidade o esterradiano (sr). Conforme a Figura 3.1, e com a aplicação de um sistema de coordenadas esféricas, com origem (O) no centro da circunferência S Figura 3.1: Ilustração de um sistema de coordenadas esféricas. podemos escrever que o elemento infinitesimal de área ds é dado por ds = (r. dφ). (r. sinφ. dθ) (eq. 3.) Então o elemento infinitesimal de ângulo sólido (dω) é dado por dω = ds (r. dφ). (r. sinφ. dθ) = r r e portanto dω = sinφ. dφ. dθ (eq. 3.3) Obs.: Como ilustração vamos calcular o ângulo solido definido por uma esfera. Como dω = sinφ. dφ. dθ então como então e π π dω = sinφ. dφ. dθ = sinφ. dφ. dθ π π π dθ = π π dω = sinφ. dφ. (π) = π. sinφ. dφ π 9

então π sinφ. dφ ENERGIA SOLAR: CONCEITOS BASICOS = cosφ π = (cos π cos ) = ( 1 1) = π dω = π. sinφ. dφ = π. () = 4π Obs.: 1. Para ângulos sólidos pequenos, a área da calota pode ser aproximada à área de um círculo, o que permite facilitar os cálculos. Neste caso, fazendo θo ângulo plano de abertura do ângulo solido, podemos escrever: dω = π. r. sin θ r = π. sin θ. Segundo Slater (198), o angulo é dado com exatidão pela expressão dω =. π. (1 cos θ) 1. Fluxo (φ): É a potência radiante. Ou seja, é quantidade de energia (U) observada (ou detectada) por unidade de tempo. φ = du dt unid(φ) = joule (J) = watt (W) segundo (s). Irradiância (I): É o quociente entre o fluxo energético observado através de dado elemento de área de dada superfície, perpendicular à direção de propagação. I = φ da = (du) dt da = du dt da unid(i) joule (J) = segundo (s). metro (m ) watt = metro (m ) ( W m ) Obs.: quando consideramos a Irradiância para uma determinada fonte de radiação aplica-se a denominação específica de Emitância. 1

Então, como a energia que incide num observador daquela estrela é proveniente de uma esfera de área A = 4. π. R e, como I = φ da E = φ 4. π. R φ = E. 4. π. R 3. Intensidade radiante (P): É a razão entre o fluxo de energia observado através de dado elemento de área e o ângulo sólido determinado pelo elemento de área. P = φ dω = (du) dt dω = du dt. dω unid(p) = joule (J) Nessas condições a intensidade de radiação emitida pela estrela é: segundo (s). esterradiano(sr) = watt esterradiano (W sr ) então P = φ dω onde φ = E. 4. π. R e para a estrela esferica dω = 4. π P = φ dω = E. 4. π. R = E 4. π. R 11

EXERCÍCIO. Um planeta de raio RP realiza uma órbita em torno de uma estrela de raio RE. Esta estrela é isotérmica à temperatura TE e emite radiação como um corpo negro. Qual é o fluxo total emitido por essa estrela? RESOLUÇÃO: Sabemos que a Irradiância (I) que para o caso específico de uma fonte de energia (como no caso de uma estrela) recebe a denominação especifica de Emitância é dada por onde, para a estrela da= 4.π. RE, então E como pela Lei de Stefan-Boltzman então para a estrela na temperatura TE logo, I = I = φ da φ 4. π. R E φ = I. 4. π. R E I = σ. T 4 I = σ. T E 4 φ = I. 4. π. R E = (σ. T E 4 ).4. π. R E φ = 4. π. σ. R E. T E 4 1

EXERCÍCIO 3. A órbita do planeta em torno da estrela do exercício anterior é excêntrica a ponto da distância que os separa sofrer variações de cerca de % em relação à média. Avalie a Irradiância incidente no planeta nos pontos de máximo e mínimo afastamento. RESOLUÇÃO: Sabemos que a Irradiância é definida por I = φ da e que através da superfície da estrela a Emitância é dada por φ I = 4. π. R E logo, o fluxo de energia através da superfície da estrela e dado por φ = I. 4. π. R E Agora vamos considerar uma segunda esfera de raio R centrada no centro da estrela e que envolve a referida estrela. O fluxo de energia através dessa segunda esfera é φ = I r. 4. π. r onde IR é a Emitância produzida pela estrela sobre a superfície de raio R. Aplicando o principio da conservação de energia, o fluxo através da superfície da estrela e da esfera de raio R é o mesmo, então I. 4. π. R E = I r. 4. π. r I. R E = I r. r I r = I. R E E aplicando a lei de Stefan-Boltzman Então, no periélio, onde r=rmin=,8 R teremos I = σ. T E 4 I r = σ. T E 4. R E R E I R min = σ. T E 4. (,8R) = 1,56. σ. T E 4. R E e no afélio,onde r= Rmax= 1, R teremos R E r R I R max = σ. T E 4. (1,R) =,69. σ. T E 4. R E R r 13

EXERCÍCIO 4. Admitindo conhecidos a distância média entre Sol e Terra e o diâmetro do Sol e que não há perdas de energia no trajeto calcular o fluxo de energia que o Sol emite admitindo que o valor da constante colar é 1353 W/m. RESOLUÇÃO: Sabemos que a Irradiância é definida por I = φ da e que através da superfície do Sol a Emitância é dada por φ I S = 4. π. R S logo, o fluxo de energia através da superfície da estrela e dado por φ = I S. 4. π. R S Agora vamos considerar uma segunda esfera de raio RST centrada no centro do Sol e que o envolve. O fluxo de energia através dessa segunda esfera é φ = I ST. 4. π. R ST onde IST é a Emitância produzida pelo Sol sobre a superfície de raio RST, e portanto IST= Go= 1353 W/m Aplicando o principio da conservação de energia, o fluxo através da superfície do Sol e da esfera de raio RST é o mesmo, então I S. 4. π. R S = G o. 4. π. R ST I S. R S = G o. R ST I S = G o. R ST R S 14

EXERCÍCIO 5. Admita uma lâmpada incandescente de potência nominal 1 W que emite de forma isotrópica. Calcule a que distância dessa fonte deve ser colocado um anteparo para que incida sobre ele o mesmo fluxo energético que o Sol produz sobre a Terra. RESOLUÇÃO: Sabemos que a Irradiância é definida por Para o Sol, no topo da atmosfera Para a lâmpada à distância d I = φ da I = G o = 1353 W/m I = φ da = 1 4. π. d Para que o fluxo energético da lâmpada no anteparo tenha mesma intensidade que o Sol produz sobre a Terra I = φ da = 1 4. π. d = G o d = 1 4. π. G d = 1 4. π. G =,77 m 15

EXERCÍCIO 6. Em 1967 a Volkswagen lançou o fusca com motor de 13 cc e potência de 45 cv (1 hp= 1,138 cv= 745,7 W). Admitindo que à velocidade de cruzeiro o fusca desenvolva a potência de 3 hp calcule a área de coletor solar necessária para produzir essa potência. Admita eficiência 1 % e incidência normal para os raios solares. RESOLUÇÃO: Sabemos que a Irradiância é definida por I = φ da da = φ I Para o Sol, no topo da atmosfera I = G o = 1353 W/m A potência necessária para mover o fusca nas condições do problema φ = 3 hp = 3 hp. 745,7 W = 371 W hp então, como da = φ I = 371 W 1353 W m = 16,5 m 16