Indução Matemática Princípio da Indução Matemática: P(1) verdadeira ( k)[p(k) verdadeira P(k+1) verdadeira] ENTÃO P(n) verdadeira para todos os n inteiros positivos O Princípio da Indução Matemática é uma implicação, cuja tese é: Uma sentença da forma P(n) é verdadeira para todos os inteiros n positivos. Portanto, quando desejarmos demonstrar que alguma propriedade é válida para qualquer inteiro positivo n,podemos tentar usar a indução matemática como técnica de demonstração. Demonstração por indução: estabelecemos inicialmente a veracidade da sentença P(1), que é chamada BASE DA INDUÇÃO ou PASSO BÁSICO DA INDUÇÃO Estabelecer que P(k) P(k+1), que é chamado PASSO INDUTIVO P(k) é chamada SUPOSIÇÃO INDUTIVA ou HIPÓTESE INDUTIVA quando assumimos que P(k) é verdadeira com o objetivo de demonstrar o passo indutivo A indução, apesar do nome, é uma técnica de demonstração dedutiva, isto é, uma forma de demonstrar uma conjectura que possivelmente foi formulada por um raciocínio indutivo. EXEMPLOS: 1. Prove que 1 + 3 + 5 +... + (2n 1) = n 2 (1) para qualquer inteiro positivo n A propriedade P(n) é a equação (1) acima (a soma de todos os inteiros positivos ímpares menores que n são igual ao quadrado de n) Podemos provar que a equação (1) é verdadeira para um determinado valor de n, pela substituição de n na equação. Contudo não poderemos substituir todos os valores inteiros positivos. Demonstração por indução matemática: 1 = 1 2 1 + 3 + 5 +... + (2k 1)= k 2 (2) valor de k+1, é igual (k+1) 2 (3)
1 + 3 + 5 +... + (2k 1) + (2(k + 1) 1) = k 2 + 2k + 2 1 = k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2 cqd 2. Prove que 1 + 2 + 2 2 + 2 3 +... + 2 n = 2 n+1 1 (1) para qualquer inteiro n 1 1 + 2 = 2 n+1 1 = 4 1 = 3 (verdadeira) 1 + 2 + 2 2 + 2 3 +... + 2 k = 2 k+1 1 (2) valor de k+1, é igual 2 k+1+1 1 (3) 1 + 2 + 2 2 + 2 3 +... + 2 k + 2 k+1 = 2 k+1 1 + 2 k+1 = 2(2 k+1 ) 1 = 2 1 (2 k+1 ) 1 = 2 k+1+1 1 cqd 3. Prove que 1 + 2 + 3 +... + n = n(n + 1)/2 (1) para qualquer inteiro positivo n 1 = 1(1 + 1)/2 = 1 (verdadeira) 1 + 2 + 3 +... + k = k(k + 1)/2 (2)
valor de k+1, é igual (k + 1)[(k + 1) + 1]/2 (3) 1 + 2 + 3 +... + k + k + 1 = k(k + 1)/2 + k + 1 = (k 2 + k)/2 + k + 1 = [k 2 + k + 2(k + 1)]/2 = [k 2 + k + (k + 1)+ (k + 1)]/2 = [(k 2 + 2k + 1)+ (k + 1)]/2 = (k + 1)[(k + 1)+ 1] cqd 4. Prove que 2 n > n (1) para qualquer inteiro positivo n 2 1 > 1 (verdadeira) 2 k > k (2) valor de k+1, é igual 2 k+1 > k+1 (3) 2 k+1 = 2.2 k 2 k > k 2.2 k > 2.k = k + k K + 1, logo 2 k+1 > k+1cqd
5. Prove que o número 2 2n 1 (1) para qualquer inteiro positivo n é divisível por 3 2 2.1 1 = 3 (verdadeira) 2 2k 1 = 3.m 2 2k = 3.m + 1 (2) valor de k+1, é igual 2 2(k+1) = 3.n (3) 2 2(k+1) 1 = 2 2k+2 1 = 2 2k.2 2 1 = 4.2 2k 1 = 4.(3m + 1) 1 = 12m + 4 1 = 12m + 3 = 3(4m + 1) = 3n cqd
INDUÇÃO COMPLETA OU INDUÇÃO FORTE Princípio da Indução Matemática (INDUÇÃO FRACA): P(1) verdadeira ( k)[p(k) verdadeira P(k+1) verdadeira] ENTÃO P(n) verdadeira para todos os n inteiros positivos INDUÇÃO COMPLETA ou INDUÇÃO FORTE 1. P(1) verdadeira 2. ( k)[p(r) verdadeira para todo r, 1 r k, P(k+1) verdadeira] ENTÃO P(n) verdadeira para todos os n inteiros positivos Em algumas situações não conseguimos realizar uma demonstração por indução usando apenas a indução fraca. Nesses casos o uso da INDUÇÃO FORTE é absolutamente necessário. Prove que para todo n 2, n é um número primo ou é um produto de números primos. Porque não podemos usar a INDUÇÃO FRACA? Propriedade: Todo inteiro n 2 é um número primo ou é um produto de números primos. Usando a indução fraca: Base: 2 é primo VERDADE Hipótese indutiva: k é primo ou produto de primos se k é primo, tudo bem se k NÃO É PRIMO, então k=a.b onde a e b são primos ou produtos de primos a e b devem estar nos intervalos: 1<a<k e 1<b<k, respectivamente, caso contrário, isto é, se 1 a k e 1 b k, e k=a.b, então k é primo (uma contradição) Logo, a< k e b< k De onde se conclui que precisamos de uma hipótese indutiva que possa valer para inteiros menores que k; na verdade, para inteiros no intervalo (fechado) [2,k] Isso nos obriga a tentar a INDUÇÃO FORTE, como descrito a seguir. Base: 2 é primo ou produto de primos. VERDADE Hipótese indutiva: Vamos supor que para qualquer r no intervalo 2 r k, P(r) é verdadeira, isto é, r é primo ou é produto de números primos. Tomemos agora o número k+1. Se k+1 é primo, o resultado se verifica. Se k+1 não é primo, então ele é um número composto e pode ser escrito como k+1=a.b, onde 1<a< k+1 e 1<b< k+1, ou 2 a k e 2 b k. Observe que a hipótese indutiva se aplica a a e b. Logo, ou a e b são primos ou são produto de primos. Isso verifica P(k+1) C.Q.D. (Como Queríamos Demonstrar)
Prove que qualquer valor postal maior ou igual a oito unidades monetárias pode ser obtido usando se apenas selos com valores de 3 e 5. Em outras palavras, um inteiro positivo n, para todo n 8, pode ser representado como a soma de 3s e 5s Porque não podemos usar a INDUÇÃO FRACA? Propriedade: Todo inteiro n 8 pode ser representado como a soma de 3s e 5s Usando a indução fraca: Base: 8 = 3 + 5 VERDADE Hipótese indutiva: k pode ser representado como a soma de 3s e 5s vamos verificar se k + 1 pode ser representado como a soma de 3s e 5s k + 1 = [(soma de 3s e 5s) + 1] (soma de 3s e 5s) não consigo realizar a demostração indutiva considerando verdadeira a hipotese apenas para o item imediatamente anterior (k) é necessário considerar a hipótese verdadeira para um inteiro menor que k isso nos obriga a tentar a INDUÇÃO FORTE, como descrito a seguir. Base: a base, por motivos óbvios será o 8. P(8) é a sentença de que 8 resulta da soma de 3s e 5s. De Fato, 8 = 3 + 5 e P(8) é verdadeira. Hipótese indutiva: Vamos supor agora que para qualquer r, 8 r k, P(r) é verdadeira, isto é, P(r) é a sentença de que r resulta da soma de 3s e 5s. Vejamos agora o ocorre com k+1. Queremos mostrar que k+1 pode ser representado como a soma de 3s e 5s. Então, para usar a hipótese indutiva, isto é, usar o fato de que a propriedade é verdadeira para r, onde 8 r k, devo considerar um inteiro menor que k A fim de que a hipótese indutiva (8 r k) seja verdadeira, é necessário que (k+1) 3 8. Assim k+1 precisa ser 11. Logo não podemos usar a hipótese indutiva para verificar P(9) e P(10). Mas podemos verificar P(9) e P(10) diretamente. P(9) = 3 + 3 + 3 P(10) = 5 + 5 Uma vez que P(r) é verdadeira para 8, 9 e 10 (8 r k), podemos assumir que k+1 é no mínimo 11, isto é, k+1 11. (k+1) 3 (11 3) (k 2) 8 Pela H.I. P(r) é verdadeira para 8 r k Logo P(k 2) é verdadeira (pode ser escrita como a soma de 3s e 5s) (k 2)+3 = soma de 3s e 5s (k 2+3) = k + 1 = soma de 3s e 5s c.q.d