Métodos Quantitativos Aplicados a Gestão

Métodos Quantitativos Aplicados a Gestão

Cálculos estatísticos para análise e tomada de decisão Responsável pelo Conteúdo: Prof. Carlos Henrique e Prof. Douglas Mandaji Revisão Textual: Profa. Ms. Alessandra Fabiana Cavalcante

Unidade Cálculos estatísticos para análise e tomada de decisão Nesta unidade, trabalharemos os seguintes tópicos: Medidas de tendência central Moda Mediana Medidas de Dispersão Absoluta Variância e Desvio Padrão Medidas de tendência central Introdução As medidas de posições mais importantes são as medidas de tendência central ou promédias (verifica-se uma tendência dos dados observados a se agruparem em torno dos valores centrais). As medidas de tendência central mais utilizadas são: média aritmética, moda e mediana. Outros promédios menos usados são as médias: geométrica, harmônica, quadrática, cúbica e biquadrática. As outras medidas de posição são as separatrizes, que englobam: a própria mediana, os decis, os quartis e os percentis.x Média aritmética X É igual à divisão entre a soma dos valores do conjunto e o número total dos valores. Formula da média aritmética: 5

Unidade: Cálculos estatísticos para análise e tomada de decisão Dados Não-Agrupados Quando desejamos conhecer a média dos dados não-agrupados em tabelas de freqüências, determinamos a média aritmética simples. Exemplo 1: Sabendo-se que a venda de arroz tipo A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 quilos. Qual foi a média de venda diária na semana de arroz? Resposta: A média diária de arroz na semana foi de 14 quilos por dia. Dados Agrupados: A Sem intervalos de classe, Variável Discreta (sem faixas): Exemplo 2: Consideremos a seguinte distribuição relativa a 34 famílias que possuem quatro filhos cada uma, tomando como variável o número de filhos do sexo masculino. Calcularemos a quantidade média de meninos por família. Como as freqüências são números indicadores da intensidade de cada valor da variável, elas funcionam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética ponderada, dada pela fórmula: Formula da média aritmética: 6

Para ajudar nos cálculos vamos organizar as variáveis na seguinte tabela: Resposta: A média é de 2,3 meninos, em famílias que possuem quatro filhos. B Com intervalos de classe, Variável Contínua (com faixas): Exemplo 3: Calcular a estatura média de bebês em uma certa comunidade conforme a tabela: 7

Unidade: Cálculos estatísticos para análise e tomada de decisão Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e determinamos a média aritmética ponderada por meio da fórmula: Para ajudar nos cálculos vamos organizar as variáveis na seguinte tabela: Respostas: A estatura média do bebes é de 61 centímetros. Moda É o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores. Simbolizamos por mo = moda. Por exemplo, o salário mais comum em uma fábrica é chamado de salário modal, isto é, o salário recebido pelo maior número de empregados dessa fábrica. Exemplos de Moda mo envolvendo Dados Brutos e Rol A Moda quando os dados não estão agrupados é facilmente reconhecida. Basta procurar o valor que mais se repete. 8

Por exemplo: Na série { 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12 } a moda é mo = 10. Há séries nas quais não exista valor modal, isto é, nas quais nenhum valor apareça mais vezes que outros. Por exemplo: Na série { 3, 5, 8, 10, 12 } não apresenta a moda mo, portanto, dizemos que a série é amodal. Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de concentração. Dizemos, então, que a série tem dois ou mais valores modais. Por exemplo: Na série { 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9 } apresenta duas modas mo = 4 e mo = 7. A série, então, é bimodal. Exemplos de Moda mo quando os dados estão agrupados: Na Variável Discreta Uma vez agrupados os dados, é possível determinar imediatamente a moda: basta fixar o valor da variável de maior freqüência. Exemplo 4: Qual a temperatura mais comum medida conforme a tabela abaixo: Resposta: Portanto, a temperatura modal é de 2º C, pois é a de maior freqüência da variável discreta. mo = 2º C. Na Variável Contínua Exemplo 5: Calcule a estatura modal conforme a tabela abaixo. 9

Unidade: Cálculos estatísticos para análise e tomada de decisão A classe que apresenta a maior frequência é denominada classe modal. Pela definição, podemos afirmar que a moda, neste caso, é o valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal. Para o cálculo da moda em variável contínua utilizaremos a fórmula de Czuber, pois, em sua fórmula, levou em consideração, a freqüência simples da classe anterior, a freqüência simples da classe posterior, além da freqüência simples da classe modal. É, portanto, uma fórmula mais completa para o cálculo da moda em variável contínua. FÓRMULA DE CZUBER PARA MODA mo : onde: li(mo) = limite inferior da classe modal. fi(mo) = freqüência da classe modal. fi(ant) = freqüência da classe anterior à classe modal. fi(post) = freqüência da classe posterior à classe modal. Resposta: Portanto, a moda da estatura é igual a 59,6. Obs: A moda é utilizada quando desejamos obter uma medida rápida e aproximada de posição ou quando a medida de posição deva ser o valor mais típico da distribuição. Já a média aritmética é a medida de posição que possui a maior estabilidade. Mediana A mediana de um conjunto de valores, dispostos segundo uma ordem (crescente ou decrescente), é o valor situado, de tal forma no conjunto, que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos. Símbolo da mediana md. Mediana em dados não-agrupados: Por exemplo: Dada uma série de valores como: { 5, 2, 6, 13, 9, 15, 10 } De acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado é o da ordenação (crescente ou decrescente) dos valores, então: { 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 } O valor que divide a série acima em duas partes iguais é o número 9, logo, a md = 9. 10

Método prático para o cálculo da Mediana: Se a série dada tiver número ímpar de termos, o valor mediano será o termo de ordem dado feita fórmula: Por exemplo: Calcule a mediana da série { 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5 } n = 9 (elementos), logo: Resposta: Então, a mediana será o termo que ocupa a 5ª posição, ou seja, md =2. Se a série dada tiver número par de termos, o valor mediano será o termo de ordem dado feita fórmula: Obs: Os elementos valor correspondente. são termos de ordem e devem ser substituídos pelo Por exemplo: Calcule a mediana da série { 0, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6 } n = 10 (elementos), substituindo na fórmula, temos: Obs: Os números 5 e 6 (numerador) são na realidade a 5ª + 6ª posição, então: 5ª posição = 2 6ª posição = 3 Resposta: Então, a mediana será a média aritmética dos termos centrais da série, no caso, são os termos da 5ª e 6ª posição, ou seja, md = 2. Obs: Quando o número de elementos da série estatística for ímpar, haverá coincidência da mediana com um dos elementos da série. Quando o número de elementos da série estatística for par, nunca haverá coincidência da mediana com um dos elementos da série. A mediana será sempre a média aritmética dos dois elementos centrais da série. 11

Unidade: Cálculos estatísticos para análise e tomada de decisão Em uma série a mediana, a média e a moda não têm, necessariamente, o mesmo valor. A mediana depende da posição e não dos valores dos elementos na série ordenada. Essa é uma da diferenças marcantes entre mediana e médias (que se deixa influenciar, e muito, pelos valores extremos). Por exemplo: Na seqüência: { 5, 7, 10, 13, 15 } a média = 10 e a mediana = 10. Cálculo da média: Na seqüência: { 5, 7, 10, 13, 65 } a média = 20 e a mediana = 10. Cálculo da média: Isto quer dizer que, a média do segundo conjunto de valores é maior do que a do primeiro, por influência dos valores extremos, ao passo que a mediana permanece a mesma. Na Variável Discreta (sem intervalos de classe) Neste caso, é o bastante identificar a freqüência acumulada f(ac) imediatamente superior à metade da soma das freqüências. A mediana será aquele valor da variável que corresponde a tal freqüência acumulada. Exemplo 6: Dada a tabela abaixo, identifique o valor da mediana: Obs: Quando o somatório das freqüências for ímpar o valor mediano será o termo de ordem dado pela fórmula: 12

Calculando a Posição Elemento Mediano = Resposta: Então, a mediana será o termo que ocupa a 18ª posição, ou seja, pela coluna da f(ac) temos md = 3. Exemplo 7: Dada a tabela abaixo, identifique o valor da mediana: Obs: Quando o somatório das freqüências for par o valor mediano será o termo de ordem dado pela fórmula: Calculando a Posição Elemento Mediano = 15 + 16 31 Posição Elemento Mediano = = = 15,5 2 2 Resposta: Então, a mediana será a média aritmética dos termos centrais da série, no caso, são os termos da 4ª e 5ª posição, ou seja, md = 15,5. 13

Unidade: Cálculos estatísticos para análise e tomada de decisão Na Variável Contínua (com intervalos de classe) Neste caso, é preciso seguir as etapas: 1º Calculamos a posição da mediana na série n/2. 2º Para identificarmos o intervalo de classe da mediana determinamos as freqüências acumuladas f(ac). 3º Calculamos a mediana md pela seguinte fórmula de Czuber: Fórmulas de czuber para mediana md onde: li(md) = limite inferior da classe mediana. f(ac)ant = freqüência acumulada da classe anterior à classe mediana. fi(md) = freqüência simples da classe mediana. h = amplitude do intervalo da classe mediana. Exemplo 8: Dada a tabela abaixo, calcule o valor da mediana: Calculando a mediana: 1º Passo: n/2 40/2 = 20ª posição, logo a classe da mediana será 58 62. 2º Passo: Construindo o f(ac), para encontrarmos a 20ª posição, logo temos as seguintes informações: li(md) = 58 f(ac)ant = 13 fi(md) =11 h = 4 3º Passo: Substituindo esses valores na fórmula de Czuber, obtemos: 14 Resposta: Portanto, a mediana estimada da variável contínua é igual a 60,55.

Medidas de Dispersão Absoluta Amplitude Total É a única medida de dispersão que não tem na média o ponto de referência. Em um Rol: Quando os dados não estão agrupados a amplitude total é a diferença entre o maior e o menor valor observado: A T = X máximo X mínimo. Por exemplo: Dada à seqüência { 40, 45, 48, 62, 70 } a Amplitude total será: A T = 70 40 = 30 Em uma Variável Discreta: Quando os dados estão agrupados sem intervalos de classe a amplitude total também é: A T = X máximo X mínimo. Por exemplo: Dada a tabela abaixo, calcule o valor da Amplitude Total: Calculando a Amplitude Total: A T = X máximo X mínimo A T = 20 12 = 8 Em uma Variável Contínua: Com intervalos de classe a Amplitude Total é a diferença entre a média do limite superior da última classe e a média do limite inferior da primeira classe. Por exemplo: Dada à tabela abaixo, calcule o valor da Amplitude Total: 15

Unidade: Cálculos estatísticos para análise e tomada de decisão Calculando a Média do Limite superior Calculando a Média do Limite inferior Então, A T = X máximo X mínimo A T = 9 5 = 4 Nota: A amplitude total tem o inconveniente de só levar em conta os dois valores extremos da série, descuidando do conjunto de valores intermediários. Faz-se uso da amplitude total, por exemplo, quando se quer determinar a amplitude da temperatura em um dia, no controle de qualidade ou como um cálculo rápido de uma medida sem muita exatidão. Variância e Desvio Padrão É a maior ou menor diversificação dos valores de uma variável em torno de um valor de tendência central (média ou mediana) tomado como ponto de comparação. A média ainda que considerada como um número que tem a faculdade de representar uma série de valores, não pode, por si só, destacar o grau de homogeneidade ou heterogeneidade que existe entre os valores que compõem o conjunto. A Variância é uma média aritmética calculada a partir dos quadrados dos desvios obtidos entre os elementos da série e a sua média e o Desvio Padrão é a raiz quadrada positiva da variância. O Desvio Padrão é a medida de dispersão que mais é empregada, pois leva em consideração a totalidade dos valores da variável em estudo. É um indicador de variabilidade bastante estável. O Desvio Padrão baseia-se nos desvios em torno da média aritmética e a sua fórmula básica pode ser traduzida como: a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios da amostra e é representada pela letra s(x) e sua variância é representada s²(x). Fórmula da Variância S 2 (x): Fórmula do Desvio S(x): 16

Em Dados Brutos e Rol Exemplo 9: Calcular a variância e o desvio padrão da seqüência, com n = 4 (elementos), em dados brutos temos { 4, 5, 8, 5 }, organizando em ordem crescente temos Rol { 4, 5, 5, 8 }. 1º Passo: Calculando a Média Aritmética: 2º Passo: Calculando os quadrados da diferença de cada elemento com a média aritmética calculada. 3º Passo: Calculando a Variância e o Desvio Padrão da amostra: Variância Desvio Padrão Resposta: Portanto, o Desvio Padrão é aproximadamente 1,73, isso quer dizer que, a medida de dispersão dos valores { 4, 5, 5, 8 } em torno de sua média aritmética que foi de 5,5 é igual ao Desvio Padrão de 1,73. Obs: Para facilitar os cálculos estatísticos, podemos também montar a seguinte tabela: 17

Unidade: Cálculos estatísticos para análise e tomada de decisão Em Variável Discreta Exemplo 10: Dada a tabela abaixo, calcule o valor da Variância e do Desvio Padrão: Obs: Como há repetições de elementos no conjunto, definimos a Variância como sendo uma Média Aritmética Ponderada dos quadrados dos desvios dos elementos da série para a média da série. 1º Passo: Calculando a Média Aritmética Ponderada Agora, para facilitar os cálculos, vamos utilizar a seguinte tabela: Resposta: A Variância vale aprox. 0,98 e o Desvio Padrão é de aprox. 0,99. 18

Em Variável Contínua Exemplo 11: Dada a tabela abaixo, calcule o valor da Variância e do Desvio Padrão: 1º Passo: Calculando a Média Aritmética Ponderada Agora, para facilitar os cálculos, vamos utilizar a seguinte tabela: Resposta: A Variância vale aproximadamente 11,4 e o Desvio Padrão é de aproximadamente 3,4. Exemplo 12: Calcule a variância e o desvio padrão das notas de três turmas de estudantes. Notas de estudantes das Turmas A, B e C: 19

Unidade: Cálculos estatísticos para análise e tomada de decisão Cálculo da variância e desvio padrão da turma A: Média: Variância: Desvio Padrão Cálculo da variância e desvio padrão da turma B: Média: Variância: Desvio Padrão Cálculo da variância e desvio padrão da turma C: Média: Variância: Desvio Padrão Resposta: Analisando os dados da tabela acima verificamos através da média que as três turmas tenderam a ter as notas em torno de seis, porém a seqüência de notas que geraram esta média são bastante diferentes. A turma A foi quem apresentou menor desvio padrão e a turma B o maior desvio. O Desvio Padrão fornece informação sobre a dispersão (variância ou heterogeneidade) dos valores em estudo. 20

Material Complementar DOWNING, D., Estatística Aplicada, 2ª Edição, São Paulo, Saraiva, 2002. SILVA, E.M., Estatística Para os Cursos de; Economia, Administração e Ciências Contábeis, 3ª Edição, São Paulo, Atlas, 1999. 21

Unidade: Cálculos estatísticos para análise e tomada de decisão Referências MORETTIN, L.G., Estatística Básica, 7ª Edição, São Paulo, PEARSON, 2000. NEUFELD, J.L., Estatística Aplicada a Administração Usando o Excel, São Paulo, PEARSON, 2003. SPIEGEL, M.R., Estatística, 3ª Edição, Coleção Schaum, São Paulo, PEARSON, 1994. SPIEGEL, M.R., Probabilidade e Estatística, Coleção Schaum, São Paulo, PEARSON, 1977. 22

Anotações 23