O PENSAMENTO ALGÉBRICO E A TAREFA DE PADRÕES: RELATO DE UMA EXPERIÊNCIA NOS ANOS INICIAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL Heloísa de Jesus de Paula 1 Universidade Estadual de Londrina heloisa.helo.2@hotmail.com Keila Tatiana Boni 2 Universidade Estadual de Londrina keilaboni@hotmail.com Magna Natalia Marin Pires 3 Universidade Estadual de Londrina magnapires@yahoo.com.br Resumo: Neste trabalho temos como intuito relatar os resultados de uma experiência com estudantes do 5º ano do Ensino Fundamental de uma escola municipal localizada no norte do Paraná. Nessa experiência objetivamos investigar o que estudantes do 5º ano do Ensino Fundamental manifestam ao se envolverem com uma tarefa que envolve padrões e regularidades, partindo do pressuposto de que o pensamento algébrico precisa ser fomentado mais cedo, já nos anos iniciais de escolaridade, e que tarefas envolvendo padrões podem ser profícuas para essa finalidade, uma vez que, por meio da percepção de semelhanças e diferenças entre termos de uma sequência, o estudante desenvolve sua capacidade de generalização. Por meio de uma análise de caráter descritivo-interpretativa dos registros escritos dos estudantes, evidenciamos que alguns deles manifestaram generalização, porém, para termos próximos e sem determinar uma regra geral. Contudo, esta manifestação nos leva a concluir que, por mais elementar que seja a capacidade de generalização, esta representa a base para a emergência do pensamento algébrico. Palavras-chave: Educação Matemática. Anos Iniciais do Ensino Fundamental. Pensamento Algébrico. 1 Estudante do Curso de Licenciatura em Matemática UEL. 2 Estudante do Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática (PECEM) UEL. 3 Doutora em Ensino de Ciências e Educação Matemática/UEL-PR, Docente da Licenciatura em Matemática UEL, e Docente Colaboradora do Projeto Educação Matemática de professores que ensinam matemática CAPES.
Introdução Neste estudo, o qual é vinculado ao Projeto Observatório da Educação 4 Educação Matemática de professores que ensinam matemática desenvolvido numa escola municipal do norte do Paraná, apresentamos os resultados de uma investigação cuja abordagem focaliza a possibilidade de desenvolvimento do pensamento algébrico nos anos iniciais do Ensino Fundamental. A aritmética, por muito tempo, tem sido o maior foco no ensino de Matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Porém, acreditamos que a maneira como os conteúdos aritméticos são abordados precisam ser reconsiderados: é preciso que desde os primeiros anos escolares a aritmética e a álgebra sejam trabalhadas de maneira articulada, uma vez que, dessa forma, possibilita aos estudantes construírem gradativamente formas matemáticas de pensar, essenciais para a aprendizagem da álgebra nos próximos anos escolares. Nessa perspectiva, alguns estudos (KIERAN, 2004; FALCÃO, 2003) defendem a importância do desenvolvimento do pensamento algébrico nos primeiros anos de escolaridade, ensinando conceitos aritméticos de maneira a desenvolver esta forma de pensamento. Blanton e Kaput (2005), focalizam pensamento funcional 5 por um processo em que tarefas aritméticas são transformadas em oportunidades para generalizar relações e padrões matemáticos, por meio da variação de um único parâmetro de tarefa (por exemplo, o número de pessoas em um grupo, ou o número t de camisas compradas). Nesse sentido, é recomendável que, na escola, as crianças tenham uma experiência que cultiva um maior exercício da mente e que proporcione o contato e a percepção de regularidades, com o objetivo dos alunos estabelecerem padrões e chegarem a generalizações. Assim, o repensar do tipo de currículo e instrução para os anos iniciais levou a um reconhecimento de que o raciocínio algébrico pode, 4 O programa é o resultado de uma parceria entre a Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) e o Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (Inep). 5 Entendemos por pensamento funcional o conjunto de capacidades do estudante em apreender a mudança e o crescimento, ou seja, a variação entre as quantidades no caso dos padrões, sendo a função uma forma de representar essa variação, podendo essa ser expressa por meio de diversificadas ferramentas e representações (MESTRE e OLIVEIRA, 2011).
simultaneamente, emergir e melhorar a Matemática do Ensino Fundamental (NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS, 2007). Em concordância com o exposto, a exploração de tarefas que envolvem padrões e regularidades podem ser um meio profícuo de promover o pensamento funcional, uma vez que permite a expressão de generalizações em linguagem natural e linguagem simbólica, incentivando e valorizando diferentes formas de representação de ideias e relações matemáticas. Neste âmbito, este estudo apresenta uma reflexão a partir das produções escritas de estudantes do 5º ano do Ensino Fundamental ao se envolverem com uma tarefa de padrões, confrontando-as com a literatura estudada. Assim sendo, com essa investigação objetivamos investigar o que estudantes do 5º ano do Ensino Fundamental manifestam ao se envolverem com uma tarefa que envolve padrões e regularidades. Pensamento algébrico nos anos iniciais: nosso olhar teórico De acordo com Blanton e Kaput (2005), o raciocínio algébrico pode ser caracterizado pelo processo no qual os alunos generalizam ideias matemáticas a partir de um conjunto de dados particulares, estabelecem essas generalizações a partir da observação de regularidades e, podem expressar de uma maneira cada vez mais formal para a idade em questão. No ensino de álgebra, quando as concepções de educação algébrica acabaram por enfatizar a linguagem simbólica, evidencia-se a crença de que o pensamento algébrico só se manifesta e se desenvolve através da manipulação sintática da linguagem concisa e específica da álgebra (FIORENTINI, MIORIN e MIGUEL, 1993, p. 85). Porém, a álgebra como uma maneira de pensar, envolve formas de aprender e de ensinar que diferem das abordagens de ensino em que a linguagem é o foco principal. Nesse sentido, Fiorentini, Miorin e Miguel (1993) defendem que entre pensamento algébrico e linguagem deva existir uma relação dialética. iniciais envolve De acordo com Kieran (2004, p. 149), o pensamento algébrico nos anos o desenvolvimento de formas de pensar no âmbito das atividades para as quais a linguagem simbólica pode ser usada como uma ferramenta, mas que não são exclusivas para álgebra e com as quais podem se envolver sem usar qualquer linguagem simbólica, tais como analisar
relações entre quantidades, observar a estrutura, estudar variações, generalizar, resolver problemas, modelar, justificar, provar e prever. Assim sendo, a linguagem simbólica não é o foco do pensamento algébrico nos anos iniciais, mas o foco é a construção de uma base sólida que possibilite o trabalho futuro com a álgebra simbólica. Essa base sólida pode ser construída por meio da conceitualização da aritmética de maneira algébrica, bem como na experiência sistemática com padrões que poderá vir a desenvolver a compreensão da noção de função (MESTRE e OLIVEIRA, 2011, p. 202). Nessa perspectiva, buscamos investigar na produção escrita de estudantes do 5º ano do Ensino Fundamental o que eles manifestam ao se envolverem com uma tarefa de padrões e regularidades, considerando a possibilidade de manifestação de pensamento algébrico de crianças desse ano escolar, uma vez que, tal como verificamos na literatura estudada, este tipo de pensamento não se limita à linguagem simbólica, mas envolve aritmética generalizada e pensamento funcional (BLANTON e KAPUT, 2005). Procedimentos Metodológicos Para realização da investigação que culminou neste trabalho, selecionamos, arbitrariamente, seis estudantes do 5º ano de uma escola municipal do norte do Paraná. A escolha por esse ano escolar deu-se pelo fato desse ser o último ano escolar ofertado na instituição e, portanto, estes estudantes já tiveram contato com maior quantidade de conceitos matemáticos. Além disso, a opção por realizarmos essa investigação com apenas seis estudantes deve-se ao fato de consideramos que com estes já conseguiríamos informações suficientes para alcançarmos nosso objetivo com essa investigação. A tarefa que propomos foi realizada individualmente e não houve nenhum questionamento por parte dos estudantes ou interferência por parte do aplicador durante todo o momento de aplicação. Apenas no início da aplicação foi explicado aos estudantes que eles poderiam resolver a tarefa da maneira que acreditassem que era a mais adequada.
Algebra 6 : XII EPREM Encontro Paranaense de Educação Matemática A tarefa aplicada foi adaptada de Mestre e Oliveira (2011) e do site da Early 1) Marta trabalha num restaurante. O seu chefe pediu-lhe que organizasse mesas para um jantar com 14 pessoas. Marta começou a colocar as mesas quadradas e reparou que em uma mesa poderiam sentar 4 pessoas. Se juntasse 2 mesas, poderiam sentar 6 pessoas. a) Seguindo a mesma regra, quantas pessoas poderiam sentar se juntasse 4 mesas em fila? Explique como pensou. b) Para sentar as 14 pessoas que irão jantar quantas mesas Marta precisa juntar? Explique como pensou. c) Consegue descobrir quantas pessoas poderiam se sentar se Marta juntasse 20 mesas? Explique como pensou. d) O patrão de Marta disse que estavam sentadas 33 pessoas no restaurante e que estavam organizadas 15 mesas. Marta disse que isso não era possível. Por que razão Marta disse isso? As informações que foram submetidas à análise foram recolhidas por meio do registro escrito dos seis estudantes relativos aos seus envolvimentos com a tarefa apresentada e, essas informações, foram analisadas de maneira descritivo-interpretativa, por item da tarefa. Ressaltamos, ainda, que para preservar a identidade dos estudantes, nos referimos a eles como E1, E2,..., E6. 6 A Early Algebra é uma área de pesquisa que visa uma abordagem para o ensino e aprendizagem da Álgebra inicial.
Análise das informações Análise do item a Após observar quantas pessoas poderiam ser dispostas em uma mesa (quatro pessoas) e em duas mesas (seis pessoas), no item a pede-se para determinar a quantidade de pessoas que poderiam se sentar se juntasse quatro mesas. Para este item, apenas os estudantes E2 e E3 apresentaram resposta correta. Suas resoluções são apresentadas nas Figuras 1 e 2. Figura 1 Resolução do item a de E3 Figura 2 Resolução do item a de E2 Conforme podemos observar na figura 2, o estudante E2 apresenta duas formas de disposição das mesas: na primeira ele encosta as quatro mesas, formando um quadrado, e conta os oito lugares. Na segunda disposição apresentada, ele desenha de acordo com o padrão pedido nesse item da questão, e percebe que, dessa maneira, haverá dez lugares. O estudante E3, conforme observamos na figura 1, também recorre ao desenho para resolver o problema. Ambos os estudantes utilizam para resolver esse item o que Stacey (1989), citado por Mestre e Oliveira (2011), chama de método de contagem, que consiste em contar os elementos da sequência a partir da representação pictórica até a ordem
desejada. Nisso inferimos que esses estudantes foram capazes de generalizarem, porém, essa inferência limita-se a um termo próximo (quarto termo). Os estudantes E1 e E5, ainda que tenham apresentado respostas incorretas, inferimos que manifestaram generalização, pois perceberam uma regularidade no segundo termo (duas mesas) sobre a qual se apoiaram para descobrir quantas pessoas poderiam se sentar em quatro mesas enfileiradas. Como exemplo, na figura 3 apresentamos a resolução do estudante E5. Figura 3 Resolução do item a de E5 O estudante E5 percebeu que ao juntar duas mesas, cada mesa teria três cadeiras e, assim, concluiu que ao juntar quatro mesas, cada uma delas também ficaria com três cadeiras, totalizando doze cadeiras. Porém, o estudante não atentou para o fato de que duas cadeiras estão nas pontas das mesas enfileiradas e que, dispondo quatro mesas enfileiradas as duas mesas que estariam no meio, cada uma teria uma cadeira a menos. De maneira análoga, o estudante E1 encontrou algo comum entre juntar duas mesas e juntar quatro mesas: ele concluiu que se ao juntar duas mesas haveriam seis cadeiras, então, ao juntar quatro mesas haveriam doze cadeiras, justificando que duas mesas é metade de quatro. Assim, inferimos que, ainda que de maneira equivocada, E1 e E5 manifestaram generalização para um termo próximo (quatro mesas), pois, encontraram aspectos comuns e regularidades entre termos, bem como se apoiaram em regularidades numéricas (por exemplo, metade de um número). Já os estudantes E4 e E6 erraram este item e apresentaram justificativas incoerentes para os resultados que obtiveram, não nos permitindo inferir se houve manifestação de pensamento algébrico.
Análise do item b No item b, pede-se para determinar a quantidade de mesas necessárias para as 14 pessoas que vão jantar. Ao analisarmos esse item evidenciamos que apenas o estudante E3 apresentou resposta correta (seis mesas) e que, mais uma vez, ele recorreu ao desenho para resolver o problema. Figura 4 Resolução do item b de E3 Desse modo, mais uma vez, E3 recorreu ao método de contagem (MESTRE e OLIVEIRA, 2011), visto que o estudante realizou a contagem de cadeiras necessárias, tomando isso como base para desenhar o número de mesas necessárias, ou seja, a posição do termo que conteria a quantidade de elementos apresentados pelo enunciado do problema. Os demais estudantes não apresentaram resultados corretos. Quanto às justificativas para as respostas que obtiveram: o estudante E2, mais uma vez, recorreu à representação pictórica, mas, ainda, assim, errou em sua contagem e, em sua explicação, não apresentou o número de mesas necessárias; os estudantes E4 e E6 não apresentaram justificativas coerentes; e, os estudantes E1 e E5, por se apoiarem nos resultados que apresentaram no item anterior, erraram o item b. Para ilustrar essa última situação, observemos o registro de E5: Figura 5 Resolução do item b de E5
No item a, E5 percebeu uma regularidade quando duas mesas eram juntadas: cada uma delas teria três cadeiras. Porém, ele não considerou que, ao dispor mesas em fileira, a partir de três mesas, as do meio teriam apenas duas cadeiras, tendo três cadeiras apenas as mesas localizadas nas extremidades da fileira. Esse mesmo raciocínio que utilizou ao se envolver com o item a, percebemos que utilizou no item b: se cada mesa terá três cadeiras, e ele já sabe que, desse modo, quatro mesas terão 12 cadeiras, então, se juntar cinco mesas, terá 15 cadeiras, podendo dispor as 14 pessoas que vão jantar e, ainda, sobra uma cadeira. Inferimos assim, que E5, ainda que de maneira equivocada, e tal como já mencionamos na análise do item anterior, manifestou generalização, pois encontrou aspectos comuns e regularidades entre termos. Assim sendo, consideramos que, mais uma vez, E1 também manifestou generalização. Análise do item c No item c, E2 e E3 utilizaram, novamente, a representação pictórica e realizaram o método de contagem (MESTRE e OLIVEIRA, 2011), porém, E2não apresentou a resposta que esperávamos. Na figura a seguir apresentamos sua resolução. Figura 6 Resolução do item c de E2 Como podemos observar, o estudante E2 dispôs as mesas de uma maneira diferente. Ao se envolver com o item a esse mesmo estudante, além de apresentar um desenho na maneira padrão que o item pedia, ele fez outro desenho disposto de maneira diferente. Porém, nesse item c não podemos considerar que a resolução de E2 está errada, pois, no item c consta Consegue descobrir quantas pessoas poderiam se sentar se Marta juntasse 20 mesas? Explique como pensou, ou seja, não específica de que maneira as mesas precisam ser dispostas.
O estudante E5, mais uma vez, se apoiou na ideia de que cada mesa terá três cadeiras. Dessa forma, multiplicou o número de mesas, 20, por três, obtendo como resultado 60, manifestando, mais uma vez, generalização, mesmo que de maneira diferente da disposição sugerida na questão. Os estudantes E1 e E4 apresentaram como resultado 80, pois se apoiaram na ideia de que cada mesa teria quatro cadeiras e, portanto, bastaria multiplicar 20 por quatro. Nisso, consideramos que não houve manifestação de pensamento algébrico: até o momento, E4 não havia manifestado esse tipo de pensamento, mas E1 havia, porém, inferimos que nesse item não houve manifestação uma vez que este estudante não conseguiu aplicar as regularidades que havia apreendido (ainda que de maneira equivocada) nesse item. Nesse sentido, Mestre e Oliveira (2011), apoiadas em estudos de Radford (2010), sugerem que [...] a generalização algébrica de padrões reside na capacidade de, ao evidenciar uma característica comum em alguns elementos de uma sequência, analisar se essa característica aparece em todos os termos dessa sequência [...] (MESTRE e OLIVEIRA, 2011, p. 205). Também não houve manifestação por parte de E6, uma vez que este não apresentou resposta e justificativa coerentes para a questão. Análise do item d No item d, os estudantes E1, E2, E4, E5 e E6 não apresentaram respostas ou não apresentaram justificativas coerentes para a questão e, portanto, não houve manifestação de pensamento algébrico. O estudante E3, mais uma vez, fez uso da representação pictórica e do método de contagem (MESTRE e OLIVEIRA, 2011), culminando no resultado correto e em uma justificativa coerente para responder a questão. Figura 7 Resolução do item d de E3
Resultados e considerações finais Por meio dessa investigação inferimos que apenas dois estudantes (E4 e E6) não manifestaram pensamento algébrico em nenhum dos itens da tarefa aplicada, três estudantes manifestaram esse tipo de pensamento em alguns itens da tarefa (E1, E2 e E5) e apenas um estudante manifestou pensamento algébrico em todos os itens (E3). Essas manifestações de pensamento algébrico foram evidenciadas por meio de nossas inferências sobre a capacidade de generalização. Contudo, as generalizações que observamos, no geral, foram realizadas por meio de representação pictórica, seguido da contagem de cadeiras em volta das mesas. Deste modo, evidenciamos a capacidade de generalização diante da tarefa proposta apenas na exploração dos diferentes padrões nas questões de generalização próxima (MESTRE e OLIVEIRA, 2011, p. 218), até mesmo porque não abordamos termos mais distantes na sequência proposta. Contudo, com a investigação realizada, ainda que esta tenha nos permitido evidenciar, em primeira instância, manifestações elementares de pensamento algébrico apenas por alguns estudantes, concluímos que a exploração de padrões pode representar uma maneira profícua para o desenvolvimento da capacidade de generalização, sendo esta uma capacidade central no pensamento algébrico (MESTRE e OLIVEIRA, 2011, p. 219). E, essa capacidade de generalização pode ser aperfeiçoada mediante a estimulação e o refinamento em reconhecer características diferentes e comuns entre os termos de uma sequência, e, em conseguinte, reconhecer as relações existentes entre as variáveis envolvidas na tarefa de padrões e criar uma regra que permita determinar qualquer termo da sequência, podendo esta regra ser expressa, num primeiro momento, em linguagem natural e, mais tarde, por simbolismo algébrico (MESTRE e OLIVEIRA, 2011). Em nossa pesquisa evidenciamos que alguns estudantes foram capazes de reconhecer aspectos comuns entre os termos (mesmo quando de maneira equivocada) e aplicar esse aspecto comum para determinar outros termos da sequência. Desse modo, acreditamos que uma tarefa de padrões, ao ser abordada nos anos iniciais do Ensino Fundamental e bem trabalhada pelo professor, pode contribuir para que os estudantes passem de estratégias recursivas para estratégias que possibilitem obter qualquer termo da sequência sem necessitarem conhecer o anterior e construir, assim, a regra geral de
formação do padrão (MESTRE e OLIVEIRA, 2011, p. 219), podendo contribuir, assim, para a emergência do pensamento algébrico. Agradecimentos Agradecemos à CAPES pelo apoio financeiro via Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática da Universidade Estadual de Londrina e ao programa Observatório da Educação Edital 2010 Fomento a Estudos e Pesquisas em Educação EDITAL Nº 38/2010/CAPES/INEP projeto Educação Matemática de professores que ensinam Matemática UEL. Referências BLANTON, M.; KAPUT, J. Characterizing a classroom practice that promotes algebraic reasoning. Journal of Research in Mathematics Education, v. 36, n.5, p. 412-446. 2005. FALCÃO, J. T. R. Alfabetização algébrica nas séries iniciais. Como começar? Boletim GEPEM, v. 42, p. 27-36, 2003. FIORENTINI, D.; MIORIM, M.A.; MIGUEL, A. Contribuição para um repensar... a Educação Algébrica Elementar. Pro-Posições. Campinas: Cortez Editora, v.4, n.1, ano 10, p. 78-91, mar. 1993. KIERAN, C. Algebraic thinking in the early grades: What is it? The Mathematics Educator, v. 8, n. 1, p. 139-151, 2004. MESTRE, C., OLIVEIRA, H. O pensamento algébrico e a capacidade de generalização de alunos do 3.º ano de escolaridade do ensino básico. In: GUIMARÃES, C.; REIS, P. (Org.). Professores e infâncias: estudos e experiências. São Paulo: Junqueira & Marin Editores, 2011. p. 201-223. NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS. Princípios e normas para a matemática escolar. Tradução portuguesa. Lisboa: APM, 2007. RADFORD, L. The eye as a theoretician: seeing structures in generalizing activities. For the Learning of Mathematics, v. 30, n. 2, p. 2-7, 2010. STACEY, K. Finding and using patterns in linear generalizing problems. Educational Studies in Mathematics, v. 20, n. 2, p. 147-164, 1989.