Halliday & Resnick Fundamentos de Física Mecânica Volume 1 www.grupogen.com.br http://gen-io.grupogen.com.br
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Capítulo 11 Rolagem, Torque e Momento Angular
11-1 Rolagem como uma Combinação de Translação e Rotação
Objetivos do Aprendizado 11.01 Saber que uma rotação pode ser considerada uma combinação de translação pura e rotação pura. 11.02 Conhecer a relação entre a velocidade do centro de massa e a velocidade angular de um objeto que está rolando. Figura 11-2
Vamos considerar apenas objetos que rolam sem escorregar O centro de massa do objeto se move em uma linha reta paralela à superfície O objeto gira em torno do centro de massa enquanto se move O movimento de rotação é definido por Fundamentos de Física Mecânica Vol. 1 11-1 Rolagem como uma Combinação de Translação e Rotação Eq. (11-1) Eq. (11-2) Figura 11-3
11-1 Rolagem como uma Combinação de Translação e Rotação Figura 11-4 A figura mostra o modo como as velocidades de translação e rotação se combinam em diferentes pontos da roda Respostas: (a) igual (b) menor
11-2 As Forças e a Energia Cinética da Rolagem
11-2 As Forças e a Energia Cinética da Rolagem Objetivos do Aprendizado 11.03 Calcular a energia cinética de um objeto rolante como a soma da energia cinética de translação do centro de massa com a energia cinética de rotação em torno do centro de massa. 11.04 Conhecer a relação entre o trabalho realizado sobre um objeto rolante e a energia cinética do objeto. 11.05 Usar a lei de conservação da energia mecânica para relacionar a energia inicial de um objeto rolante à energia em um instante posterior. 11.06 Desenhar o diagrama de corpo livre de um objeto rolante que está se movendo em uma superfície horizontal ou em um plano inclinado sob a ação de uma ou mais forças.
11-2 As Forças e a Energia Cinética da Rolagem 11.07 Conhecer a relação entre a aceleração do centro de massa e a aceleração angular de um objeto rolante. 11.08 No caso de um objeto rolante que está subindo ou descendo um plano inclinado, conhecer a relação entre a aceleração do objeto, o momento de inércia do objeto e o ângulo do plano inclinado.
11-2 As Forças e a Energia Cinética da Rolagem Combinando as energias cinéticas de translação e rotação, obtemos: Eq. (11-5) Se a roda acelera, a velocidade angular aumenta A força de atrito estático impede que a roda escorregue Nesse caso, Eq. (11-6) Figura 11-7
11-2 As Forças e a Energia Cinética de Rolagem No caso em que um objeto rola para baixo sem escorregar em um plano inclinado, 1. A força gravitacional aponta verticalmente para baixo 2. A força normal é perpendicular ao plano inclinado 3. A força de atrito é paralela ao plano inclinado e aponta para cima Figura 11-8
11-2 As Forças e a Energia Cinética de Rolagem A aceleração do objeto é dada por Note que é o atrito que faz o objeto rolar Eq. (11-10) Na ausência de atrito, o objeto desceria o plano inclinado sem rolar, apenas escorregando Resposta: A altura máxima atingida pelo disco B é menor que h. No caso do disco A, toda a energia cinética é convertida em energia potencial. No caso do disco B, como ele continua a girar quando chega à altura máxima, apenas a energia cinética de translação é transformada em energia potencial e, portanto, a altura atingida é menor.
11-3 O Ioiô
11-3 O Ioiô Objetivos do Aprendizado 11.09 Desenhar um diagrama de corpo livre de um ioiô em movimento. 11.10 Saber que ioiô é um objeto que rola para cima e para baixo em uma rampa com uma inclinação de 90. 11.11 Conhecer a relação entre a aceleração e o momento de inércia de um ioiô. 11.12 Calcular a tração da corda que sustenta um ioiô em movimento.
11-3 O Ioiô Quando o ioiô desce, ele perde uma energia potencial mgh, que é transformada em energia cinética de rotação e translação Para calcular a aceleração linear de um ioiô, basta considerar que o ioiô: 1.Sobe ou desce uma rampa com um ângulo de 90 2.Gira em torno de um eixo 3.É freado pela tração T da corda Figura 11-9
11-3 O Ioiô De acordo com a Eq. 11-10, temos: Eq. (11-13) Exemplo Calcule a aceleração com as seguintes características: o M = 150 g, R 0 = 3 mm, I CM = Mr 2 /2 = 3 10 5 kg m 2 o Temos: a CM = 9,8 m/s 2 /[1 + 3 10 5 /(0,15 0,003 2 )] = 0,4 m/s 2
11-4 Revisão do Torque
11-4 Revisão do Torque Objetivos do Aprendizado 11.13 Saber que o torque é uma grandeza vetorial. 11.14 Saber que o ponto em relação ao qual o torque é calculado deve ser especificado. 11.15 Determinar o torque produzido por uma força sobre uma partícula calculando o produto vetorial do vetor posição da partícula pelo vetor que representa a força. 11.16 Usar a regra da mão direita para determinar a orientação de um torque.
11-4 Revisão do Torque Anteriormente, o torque foi definido apenas para um corpo em rotação em torno de um eixo fixo Agora vamos definir o torque de uma partícula em relação a um ponto fixo A trajetória da partícula não precisa ser uma circunferência; o torque agora é um vetor A orientação do torque é determinada pela regra da mão direita Figura 11-10
11-4 Revisão do Torque A equação geral do torque é e o módulo do torque é Eq. (11-14) Eq. (11-15) Usando a componente perpendicular da força ou o braço de alavanca de F, também podemos escrever Eq. (11-16) Eq. (11-17)
11-4 Revisão do Torque Respostas: (a) +z ou -z (b) +y (c) +x
11-4 Revisão do Torque Exemplo Cálculo do torque total Figura 11-11
11-5 Momento Angular
11-5 Momento Angular Objetivos do Aprendizado 11.17 Saber que o momento angular é uma grandeza vetorial. 11.18 Saber que deve ser especificado o ponto fixo em relação ao qual o momento angular é calculado. 11.19 Determinar o momento angular de uma partícula calculando o produto vetorial do vetor posição da partícula pelo vetor que representa o momento. 11.20 Usar a regra da mão direita para determinar a orientação de um momento angular.
11-5 Momento Angular O momento angular é o equivalente angular do momento linear Temos: Note que a partícula não precisa girar em torno do ponto O para ter um momento angular em relação a O Eq. (11-18) A unidade de momento angular é o kg m 2 /s ou J s Figura 11-12
11-5 Momento Angular Para determinar a orientação do momento angular, use a regra da mão direita Para determinar o módulo do momento angular, use a equação do módulo do produto vetorial: Eq. (11-19) que também pode ser escrito nas formas Eq. (11-20) Eq. (11-21)
11-5 Momento Angular O momento angular tem significado apenas em relação a um ponto dado O momento angular é perpendicular ao plano formado pelos vetores posição e momento Resposta: (a) 1 e 3 empatadas, 2 e 4 empatadas, 5 (b) 2 e 3 (supondo que o sentido anti-horário é positivo)
11-6 A Segunda Lei de Newton para Rotações
11-6 A Segunda Lei de Newton para Rotações Objetivo do Aprendizado 11.21 Usar a segunda lei de Newton para rotações para relacionar o torque que age sobre uma partícula à variação do momento angular da partícula.
11-6 A Segunda Lei de Newton para Rotações Podemos escrever a segunda lei de Newton na forma Eq. (11-23) O torque e o momento angular devem ser definidos em relação ao mesmo ponto (quase sempre a origem) Note a semelhança com a forma linear: Eq. (11-22)
11-6 A Segunda Lei de Newton para Rotações (b) F3 (supondo que o sentido anti- Resposta: (a) F 3, F 1, F 2 e F 4 empatados horário é positivo)
11-7 Momento Angular de um Corpo Rígido
11-7 Momento Angular de um Corpo Rígido Objetivos do Aprendizado 11.22 Usar a segunda lei de Newton para rotações para relacionar o torque que age sobre um sistema de partículas à variação do momento angular do sistema. 11.23 Conhecer a relação entre o momento angular de um corpo rígido em relação a um eixo fixo, o momento de inércia do corpo e a velocidade angular do corpo em torno do eixo. 11.24 Calcular o momento angular resultante de um sistema de dois corpos rígidos que giram em torno do mesmo eixo.
11-7 Momento Angular de um Corpo Rígido Para determinar o momento angular resultante de um sistema de partículas, basta somar os momentos angulares das partículas do sistema: A taxa de variação do momento angular resultante é dada por O torque resultante é definido por essa variação: Eq. (11-26) Eq. (11-28) Eq. (11-29)
11-7 Momento Angular de um Corpo Rígido Note que o torque e o momento angular devem ser medidos em relação ao mesmo ponto Se o centro de massa está acelerando, o ponto de referência deve ser o centro de massa Podemos calcular o momento angular de um corpo sólido usando um somatório: Eq. (11-30) O último somatório é o momento de inércia I do corpo
11-7 Momento Angular de um Corpo Rígido Assim, temos: Eq. (11-31) Figura 11-15
11-7 Momento Angular de um Corpo Rígido Respostas: (a) Todos empatados, já que o torque é o mesmo nos três casos (b) esfera, disco, anel
11-8 Conservação do Momento Angular
11-8 Conservação do Momento Angular Objetivo do Aprendizado 11.25 Se nenhuma força resultante age sobre um sistema ao longo de um eixo, aplicar a esse eixo a lei de conservação do momento angular para relacionar o momento angular inicial do sistema ao momento angular em um instante posterior.
11-8 Conservação do Momento Angular Como temos uma nova versão da segunda lei de Newton, também temos uma nova lei de conservação: Eq. (11-32) De acordo com a lei de conservação do momento angular, em um sistema isolado, (momento angular inicial) = (momento angular final) Eq. (11-33)
11-8 Conservação do Momento Angular Como essas são equações vetoriais, equivalem a três equações escalares Isso significa que podemos separar as componentes e escrever: Se a distribuição de massa muda sem que haja um torque externo, temos: Eq. (11-34)
11-8 Conservação do Momento Angular Exemplo Conservação do momento angular Um aluno girando sentado em um banco: a velocidade de rotação aumenta quando o aluno fecha os braços e aumenta quando o aluno abre os braços Salto de trampolim: a velocidade de rotação do mergulhador aumenta na posição carpada e diminui na posição esticada Salto em distância: o momento angular causado pelo torque no início do salto pode ser transferido para o movimento dos braços, evitando assim que o corpo da atleta gire no ar. Figura 11-18
11-8 Conservação do Momento Angular Respostas: (a) diminui (b) permanece o mesmo (c) aumenta
11-9 Precessão de um Giroscópio
11-9 Precessão de um Giroscópio Objetivos do Aprendizado 11.26 Saber que a ação da força gravitacional sobre um giroscópio em rotação faz com que o vetor momento angular (e o próprio giroscópio) gire em torno do eixo vertical, um movimento conhecido como precessão. 11.27 Calcular a taxa de precessão de um giroscópio. 11.28 Saber que a taxa de precessão de um giroscópio não depende da massa do giroscópio.
11-9 Precessão de um Giroscópio Um giroscópio parado, como o da Fig. 11-22 (a), não se sustenta Um giroscópio em movimento, como o da Fig. 11-22 (b), gira em torno de um eixo vertical Esse movimento é chamado de precessão Figura 11-22
11-9 Precessão de um Giroscópio O módulo do momento angular de um giroscópio em movimento é constante e dado por Eq. (11-43) O torque da força gravitacional produz uma variação incremental em um intervalo de tempo dt: Eq. (11-44) Como o módulo do momento angular é constante, dado pela Eq. 11-43, o torque pode mudar apenas a orientação de. De acordo com a Eq. 11-44, a única maneira de a orientação de mudar sem que o módulo de mude é o eixo do giroscópio girar em torno do eixo do suporte
11-9 Precessão de um Giroscópio A taxa de precessão é dada por Eq. (11-46) A Eq. 11-46 é válida apenas se o giroscópio estiver girando rapidamente A taxa de precessão não depende da massa (porque I é proporcional a M), mas depende de g A Eq. 11-46 é válida, mesmo que o eixo do giroscópio não esteja na horizontal (é o caso de um pião, por exemplo)
11 Resumo
11 Resumo Corpos Rolantes Eq. (11-2) Eq. (11-5) O Torque como um Vetor Orientação dada pela regra da mão direita Eq. (11-14) Eq. (11-6) Momento Angular de uma Partícula A Segunda Lei de Newton para Rotações Eq. (11-18) Eq. (11-23)
11 Resumo Momento Angular de um Sistema de Partículas Momento Angular de um Corpo Rígido Eq. (11-31) Eq. (11-26) Eq. (11-29) Conservação do Momento Angular Precessão de um Giroscópio Eq. (11-32) Eq. (11-46) Eq. (11-33)