UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Função do o Grau Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
Função do o Grau 1.Definição.Gráfico 3.Concavidade 4.Forma canônica 5.Zeros 6.Máximo e mínimo 7.Vértice da parábola 8.Imagem 9.Eixo de simetria 10.Informações que auxiliam a construção do gráfico
Função do o Grau 11.Sinal da função quadrática 1.Inequação do o grau
1. Definição R R Uma aplicação f de em recebe o nome de função quadrática ou do o grau quando associa a cada x Ro elemento (ax + bx + c) R, em que a, b, c são números reais dados e a 0. f ( x) = ax + bx + c (a 0) 4
1. Definição Exemplos de funções quadráticas a) f ( x) = x 3x + em que a = 1, b = 3, c = b) f ( x) = x + 4x 3 em que a =, b = 4, c = 3 f x x x a b c c) ( ) = 3 + 5 1 em que = 3, = 5, = 1 f x x d) ( ) = 4 em qu e a = 1, b = 0, c = 4 e) f ( x) = x + 5 x em que a =, b = 5, c = 0 f x = x a = b = c = f) ( ) 3 em que 3, 0, 0 5
. Gráfico O gráfico da função quadrática é uma parábola. 6
. Gráfico Exemplos 1 o ) Construir o gráfico de y = x - 1. x -3 - -1 0 1 3 y = x - 1 8 3 0-1 0 3 8 7
. Gráfico (-3,8) (-,3) (-1,0) 9 8 7 6 5 4 3 1 0-4 -3 - -1-1 0 1 3 4 - y (3,8) (,3) x (0,-1) (1,0) 8
. Gráfico Exemplos o ) Construir o gráfico de y = -x + 1. x -3 - -1 0 1 3 y = -x + 1-8 -3 0 1 0-3 -8 9
. Gráfico (0,1) 1 0-4 -3 - -1-1 0 1 3 4 (-,-3) (-3,-8) (-1,0) - -3-4 -5-6 -7-8 -9 y (1,0) x (,-3) (3,-8) 10
. Gráfico Exercício 1: Determinar uma função quadrática f tal que f(-1) = -4, f(1) = e f() = -1. 11
3. Concavidade A parábola representativa da função quadrática y = ax + bx + c pode ter a concavidade voltada para cima ou voltada para baixo. Se a > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima. Se a < 0, a concavidade da parábola está voltada para baixo. 1
3. Concavidade y y a > 0 a < 0 x x 13
4. Forma canônica A construção do gráfico da função quadrática y = ax + bx + c com o auxílio de uma tabela de valores x e y, como foi feito no item anterior, torna-se às vezes um trabalho impreciso, pois na tabela atribuímos a x alguns valores inteiros e pode acontecer que em determinada função quadrática os valores de abscissa (valores de x), em que a parábola intercepta o eixo dos x ou a abscissa do ponto da parábola de maior ou menor ordenada, não são inteiros. 14
4. Forma canônica Para iniciarmos um estudo analítico mais detalhado da função quadrática, vamos primeiramente transformá-la em outra forma mais conveniente, chamada forma canônica. b c b b b c f ( x) = ax + bx + c = a x + x + a x x a a = + + + = a 4a 4a a b b b c b b 4ac = a x + x + a x = + a 4a 4a a a 4a 15
4. Forma canônica Representando b 4ac por, também chamado discriminante do trinômio do segundo grau, temos a forma canônica. b f ( x) = a x + a 4a 16
5. Zeros Zeros ou raízes Os zeros ou raízes da função quadrática f(x) = ax + bx + c são os valores de x reais tais que f(x) = 0 e, portanto, as soluções da equação do segundo grau. ax bx c + + = 0 17
5. Zeros Utilizando a forma canônica, temos: b + + = 0 + = 0 a 4a ax bx c a x b b x + 0 x a = 4a + = a 4a b b ± x + = ± x = a a a 18
5. Zeros Número de raízes Observe que a existência de raízes reais para a equação do segundo grau ax + bx + c fica condicionada ao fato de ser real. Assim, temos três casos a considerar: 19
5. Zeros 1 o ) > 0, a equação apresentará duas raízes distintas, que são: x b + b = e x = a a 1 o ) = 0, a equação apresentará duas raízes iguais, que são: x = x = 1 b a 3 o ) < 0, sabendo que nesse caso R, diremos que a equação não apresenta raízes reais. 0
5. Zeros Resumo b + b > 0 x = ou x = a a b + + = 0 = a < 0 não existem raízes reais ax bx c x 1
5. Zeros Significado geométrico das raízes Interpretando geometricamente, dizemos que os zeros da função quadrática são as abscissas dos pontos onde a parábola corta o eixo dos x. Exemplo Construindo o gráfico da função y = x 4x + 3 podemos notar que a parábola corta o eixo dos x nos pontos de abscissas 1 e 3, que são as raízes da equação x 4x + 3 = 0.
5. Zeros (-1,8) y (5,8) (0,3) (4,3) (1,0) (,-1) (3,0) x 3
5. Zeros Exercício : Determine o zero real das funções abaixo. a) f ( x) = x x + b) f ( x) = x x 1 c) f ( x) = x x + 1
5. Zeros Exercício 3: Resolva o sistema abaixo. 1 1 7 + = x y 1 x y = 1
5. Zeros Exercício 4: Determinar os zeros reais das funções. 4 a) f ( x) = x 5x + 4 4 b) f ( x) = x + 5x + 36 4 c) f ( x) = x + 3x 3 4 d) f ( x) = 3x 1x
5. Zeros Exercício 5: Determinar os valores de m para que a função quadrática f(x) = (m 1)x + (m + 3)x + m tenha dois zeros reais e distintos. 7
5. Zeros Exercício 6: Determinar os valores de m para que a equação do o grau f(x) = (m + )x + (3 m)x + (m 1) = 0 tenha raízes reais. 8
5. Zeros Exercício 7: Determinar os valores de m para que a função f(x) = mx + (m + 1)x + (m + 1) tenha um zero real duplo. 9
5. Zeros Exercício 8: Determinar os valores de m para que a equação f(x) = x + (3m + )x + (m + m + ) = 0 tenha duas raízes reais iguais. 30
5. Zeros Exercício 9: Determinar os valores de m para que a função f(x) = (m + 1)x + (m + 3)x + (m - 1) não tenha zeros reais. 31
5. Zeros Exercício 10: Determinar os valores de m para que a equação f(x) = mx + (m - 1)x + (m - ) = 0 não tenha raízes reais. 3
5. Zeros Exercício 11: Mostre que na equação do o grau ax + bx + c = 0, de raízes reais x 1 e x, temos para a soma S das raízes S = x 1 + x = -b/a e para produto P das raízes P = x 1. x = c/a. 33
5. Zeros Exercício 1: Na equação do o grau x 5x 1 = 0 de raízes x 1 e x, calcular: ( ) ( ) 1 + 1 + a) x x d) x x x b) x1 x e) + x 1 1 1 1 1 c) + f) x + x x x x x ( ) ( ) 3 3 1
5. Zeros Exercício 13: Mostre que uma equação do o grau de raízes x 1 e x é a equação x Sx + P = 0, onde S = x 1 + x e P = x 1. x. 35
5. Zeros Exercício 14: Obter uma equação do o grau de raízes a) e 3 d) 1 e 1 3 b) e e) 1+ 3 e 1 3 c)0,4 e 5
5. Zeros Exercício 15: Determinar m na equação mx (m - 1)x + m = 0 para que se tenha x 1 /x + x /x 1 = 4, onde x 1 e x são as raízes da equação. 37
6. Máximo e mínimo Dizemos que o número y m Im(f) é o valor mínimo da função y = f(x) se, e somente se, y m y para qualquer y Im(f). O número x m D(f) tal que y m = f(x m ) é chamado ponto de mínimo da função. 38
6. Máximo e mínimo y Im(f) Ponto de mínimo x m x y m Valor mínimo V 39
6. Máximo e mínimo Dizemos que o número y M Im(f) é o valor máximo da função y = f(x) se, e somente se, y M y para qualquer y Im(f). O número x M D(f) tal que y M = f(x M ) é chamado ponto de máximo da função. 40
6. Máximo e mínimo y y M V Valor máximo x M x Ponto de máximo Im(f) 41
6. Máximo e mínimo I. Se a < 0, a função quadrática y = ax + bx + b c admite o valor máximo y M = para x. M = 4a a II. Se a > 0, a função quadrática y = ax + bx b + c admite o valor mínimo y m = para x. m = 4a a 4
6. Máximo e mínimo Demonstração I. Consideremos a função quadrática na forma canônica: b y = a x + a 4a (I) Sendo a < 0, o valor de y será tanto maior quanto menor for o valor da diferença x b + a 4a 43
6. Máximo e mínimo Nessa diferença, é constante (porque 4a não depende de x; só depende de a, b, c) e b x + 0 a para todo x real. Então a diferença assume o menor b valor possível quando x + = 0, ou seja, quando a x = b a 44
6. Máximo e mínimo Para x = b a, temos na expressão (I): b b y = a + a 0 a a = = 4a 4a 4a 45
6. Máximo e mínimo Demonstração II. Prova-se de modo análogo 46
6. Máximo e mínimo Aplicações 1 o ) Na função real f(x) = 4x 4x 8, temos: a = 4, b = -4, c = -8 e = 144. 47
6. Máximo e mínimo Como a = 4 > 0, a função admite um valor mínimo: 144 ym = =, isto é: ym = 9 4a 4 4 em x m b 4 1 = =, isto é: xm = a 4 48
6. Máximo e mínimo Aplicações o ) Na função real f(x) = -x + x + ¾, temos: a = -1, b = 1, c = ¾ e = 4. 49
6. Máximo e mínimo Como a = -1 < 0, a função admite um valor máximo: y M em x M 4 = =, isto é: ym = 1 4a 4 ( 1) b 1 1 = =, isto é: xm = a ( 1) 50
7. Vértice da parábola O ponto b V, é chamado vértice da a 4a parábola representativa da função quadrática. 51
7. Vértice da parábola Exercício 16: Determinar o valor máximo ou o valor mínimo, e o ponto de máximo ou ponto de mínimo das funções abaixo. a) y = 3x + 1x b) y = 4x 8x + 4
7. Vértice da parábola Exercício 17: Determinar o valor de m na função real f(x) = 3x - x + m para que o valor mínimo seja 5/3.
7. Vértice da parábola Exercício 18: Determinar o valor de m na função real f(x) = -3x + (m 1)x + (m + 1) para que o valor máximo seja.
7. Vértice da parábola Exercício 19: Determinar o valor de m na função real f(x) = mx + (m - 1)x + (m + ) para que o valor mínimo seja.
7. Vértice da parábola Exercício 0: Determinar o valor de m na função real f(x) = (m 1)x + (m + 1)x - m para que o valor mínimo seja 1.
7. Vértice da parábola Exercício 1: Dentre todos os números reais de soma 8 determine aqueles cujo produto é máximo.
7. Vértice da parábola Exercício : Dentre todos os números reais x e z tais que x + z = 8 determine aqueles cujo produto é máximo.
7. Vértice da parábola Exercício 3: Dentre todos os retângulos de perímetro 0 cm, determine o de área máxima.
7. Vértice da parábola Exercício 4: Dentre todos os números de soma 6 determine aqueles cuja soma dos quadrados é mínima.
7. Vértice da parábola Exercício 5: Determine o retângulo de área máxima localizado no primeiro quadrante, com dois lados nos eixos cartesianos e um vértice na reta y = -4x + 5.
7. Vértice da parábola Exercício 6: É dado uma folha de cartolina como na figura abaixo. Cortando a folha na linha pontilhada resultará um retângulo. Determinar esse retângulo sabendo que a área é máxima.
7. Vértice da parábola Exercício 7: Determine o retângulo de maior área contido num triângulo equilátero de lado 4 cm, estando a base do retângulo num lado do triângulo.
7. Vértice da parábola Exercício 8: Num triângulo isósceles de base 6 cm e altura 4 cm está inscrito um retângulo. Determine o retângulo de área máxima sabendo que a base do retângulo está sobre a base do triângulo.
7. Vértice da parábola Exercício 9: Determinar os vértices das parábolas abaixo a) y = x 4 b) y = x 5x +
8. Imagem Para determinarmos a imagem da função quadrática, tomemos inicialmente a função na forma canônica: ou seja, b f ( x) = a x + a 4a a x b + a 4a 66
8. Imagem x Observemos que b x + 0 para qualquer a R; então temos que considerar dois casos: 67
8. Imagem 1 o caso: a > 0 a x b + a 0, e, portanto: y b = a x + a 4a 4a 68
8. Imagem o caso: a < 0 a x b + a 0, e, portanto: y b = a x + a 4a 4a 69
8. Imagem Resumindo: a > 0 y, x R 4a a < 0 y, x R 4a 70
8. Imagem ou ainda: a > 0 Im(f) = y R / y a < 0 Im(f) = y R / y 4a 4a 71
8. Imagem Exemplos 1 o ) Obter a imagem da função f deremr definida por f x x x ( ) = 8 + 6 7
8. Imagem Na função f x x x ( ) = 8 + 6 a =, b = -8 e c = 6 logo: = b 4ac = (-8) 4.. 6 = 16 16 e portanto: = = 4a 4, temos: Como a = > 0, temos: { R } Im( f ) = y / y 73
8. Imagem 8 y 6 4 0-1 0 1 3 4 5 6 x - -4 74
8. Imagem Exemplos 1 o ) Obter a imagem da função f deremr definida por x 5 f ( x) = + x 3 3 75
8. Imagem x 5 Na função f ( x) = + x, temos: 3 3 a = -1/3, b = e c = -5/3 logo: = b 4ac = 4. (-1/3). (-5/3) = 16/9 16 4 e portanto: = 9 = 4a 4 ( 1 ) 3 3 Como a = -1/3 < 0, temos: Im( f ) = y R / y 4 3 76
8. Imagem y 4/3 1 0-1 0 1 3 4 5 6 x -1 - -3 77
8. Imagem Exercício 30: Determinar a imagem das funções definidas em R. a) y = x + 4 1 b) y = x + x + 1
8. Imagem Exercício 31: Determinar m na função f(x) = 3x 4x + m definida em R para que a imagem seja Im = {y R / y }.
8. Imagem Exercício 3: Determinar m na função f(x) = -x /3 + mx 1/ definida em R para que a imagem seja Im = {y R / y 7 }.
9. Eixo de simetria O gráfico da função quadrática admite um eixo de simetria perpendicular ao eixo dos x e que passa pelo vértice. Os pontos da reta perpendicular ao eixo dos x e que passa pelo vértice da parábola obedecem à b equação x =, pois todos os pontos dessa reta a têm abscissa b. a 81
9. Eixo de simetria y A M B b a b a r v b + r a x 8
10. Informações que auxiliam a construção do gráfico Para fazermos o esboço do gráfico da função quadrática f(x) = ax + bx + c, buscaremos, daqui para a frente, informações preliminares que são: 1 o ) O gráfico é uma parábola, cujo eixo de simetria é a reta x. x = b a perpendicular ao eixo dos o ) Se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima. Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo. 83
10. Informações que auxiliam a construção do gráfico 3 o ) Zeros da função. Se > 0, a parábola intercepta o eixo dos x em dois pontos distintos. b b + P1, 0 e P, 0 a a ponto. Se = 0, a parábola tangencia o eixo dos x no b P1, 0 a 84
10. Informações que auxiliam a construção do gráfico dos x. Se < 0, a parábola não tem pontos no eixo coordenadas 4 o ) O vértice da parábola é o ponto de é mínimo se a > 0. obter: b V, a 4a, que é máximo se a < 0 ou Seguem os tipos de gráficos que podemos 85
10. Informações que auxiliam a construção do gráfico y a > 0 e > 0 y a > 0 e = 0 y a > 0 e < 0 V P 1 P x V x x V y V y y P 1 P V x x V x a < 0 e > 0 a < 0 e = 0 a < 0 e < 0 86
10. Informações que auxiliam a construção do gráfico Exercício 33: Fazer o esboço do gráfico y = x 4x + 3.
10. Informações que auxiliam a construção do gráfico Exercício 34: Fazer o esboço do gráfico y = -x + 4x - 4.
10. Informações que auxiliam a construção do gráfico Exercício 35: Fazer o esboço do gráfico y = 1/x + x + 1.
11. Sinal da função quadrática Consideremos a função quadrática f(x) = ax + bx + c (a 0) e vamos resolver o problema: para que valores de x temos: R a) f(x) > 0 b) f(x) < 0 c) f(x) = 0? Na determinação do sinal da função quadrática, devemos começar pelo cálculo do discriminante, quando três casos distintos podem aparecer: a) < 0 b) = 0 c) > 0 90
11. Sinal da função quadrática Vejamos como prosseguir em cada caso. 1 o caso: < 0 Se < 0, então - > 0. Da forma canônica, temos: b a f ( x) = a x + a f ( x) 0, x a + > 4a não negativo positivo R positivo 91
11. Sinal da função quadrática Isso significa que a função f(x) = ax + bx + c, quando < 0, tem o sinal de a para todo x R, ou melhor: a > 0 f ( x) > 0, x R a < 0 f ( x) < 0, x R 9
11. Sinal da função quadrática A representação gráfica da função f(x) = ax + bx + c, quando < 0, vem confirmar a dedução algébrica. f(x) < 0 x f(x) > 0 x 93
11. Sinal da função quadrática Exemplos f x x x ( ) = + 1 o ) apresenta = ( ) 4 1 = 4 < 0 e, como a = 1 > 0, concluímos que: f ( x) > 0, x R 94
11. Sinal da função quadrática Exemplos f x x x ( ) = + 1 o ) apresenta = 1 4 ( 1) ( 1) = 3 < 0 e, como a = -1 < 0, concluímos que: f ( x) < 0, x R 95
11. Sinal da função quadrática positivo o caso: = 0 Da forma canônica, temos: a f ( x) = a x + a x a + 4a + a não negativo zero b 0 b a f ( x) 0, x R então. 96
11. Sinal da função quadrática Isso significa que a função, quando = 0, tem o sinal de a para todo, sendo x 1 b = a f ( x) = ax + bx + c zero duplo de f(x), ou melhor: a > 0 f ( x) 0, x R a < 0 f ( x) 0, x R { } x R x 1 97
11. Sinal da função quadrática A representação gráfica da função f(x) = ax + bx + c, quando = 0, vem confirmar a dedução algébrica. f(x) < 0 f(x) < 0 x 1 = x x x 1 = x f(x) > 0 f(x) > 0 x 98
11. Sinal da função quadrática Exemplos f x x x ( ) = + 1 1 o ) apresenta = ( ) 4 1 1= 0 então f(x) tem um zero duplo para x b a 1 = = 1 e, como a = 1 > 0, concluímos: f ( x) > 0, x R 1 f ( x) = 0, se x = 1 { } 99
11. Sinal da função quadrática Exemplos f x x x ( ) = + 8 8 o ) apresenta = 8 4 ( ) ( 8) = 0 então f(x) tem um zero duplo para x b a 1 = = e, como a = - < 0, concluímos: f ( x) < 0, x R f ( x) = 0, se x = { } 100
11. Sinal da função quadrática 3 o caso: > 0 Da forma canônica, temos: ( ) b b b a f ( x) = a x + a x + + x + a a a a a a Lembremos que a fórmula que dá as raízes de uma equação do segundo grau é: x b x1 = b ± a = isto é a b + x = a 101
11. Sinal da função quadrática fica evidente que a forma canônica se transforma em: b b + a f x = a x x = a x x x x a a ( ) ( ) ( ) 1 O sinal de a. f(x) depende dos sinais dos fatores (x x 1 ) e (x x ). Admitindo x 1 < x, temos que: 10
11. Sinal da função quadrática I) se x < x 1, temos: x x 1 x x x < 1 e ( ) ( ) ( ) 0 1 1 0 x < x < x a f x = a x x x x > x x < 0 + - - 103
11. Sinal da função quadrática II) se x 1 < x < x, temos: x 1 x x 1 x x > 1 e ( ) ( ) ( ) 0 1 0 x < x < x a f x = a x x x x x x < 0 + + - < 104
11. Sinal da função quadrática III) se x > x, temos: x 1 x x x x > 1 e ( ) ( ) ( ) 0 1 1 0 x > x > x a f x = a x x x x > x x > 0 + + + 105
11. Sinal da função quadrática Isso significa que: 1) O sinal de f(x) é o sinal de a para todo x, tal que x < x 1, ou x > x ; ) O sinal de f(x) é o sinal de -a para todo x, tal que x 1 < x < x. Em resumo: x = x 1 x = x x < x 1 x 1 < x < x x > x f(x) tem o sinal de a f(x) tem o 0 sinal de -a 0 f(x) tem o sinal de a 106
11. Sinal da função quadrática O gráfico da função f(x) = ax + bx + c, quando > 0, vem confirmar a dedução algébrica. f(x) > 0 f(x) > 0 x 1 f(x) < 0 x x x 1 x f(x) > 0 f(x) < 0 f(x) < 0 x 107
11. Sinal da função quadrática Exemplos f x x x ( ) = 6 1 o ) apresenta = ( 1) 4 1 ( 6) = 5 > 0 então f(x) tem dois zeros reais e distintos: x b 1 5 b + 1+ 5 = = = e x = = = 3 a a 1 108
11. Sinal da função quadrática e, como a = 1 > 0, concluímos que: f ( x) > 0, para x < ou x > 3 f ( x) = 0, para x = ou x = 3 f ( x) < 0, para < x < 3 109
11. Sinal da função quadrática Exemplos f x x x ( ) = + 3 + o ) apresenta = 3 4 ( ) = 5 > 0 logo f(x) tem dois zeros reais e distintos: x b 3 + 5 1 b + 3 5 = = = e x = = = a 4 a 4 1 110
11. Sinal da função quadrática e, como a = - < 0, concluímos que: 1 f ( x) < 0, para x < ou x > 1 f ( x) = 0, para x = ou x = 1 f ( x) > 0, para < x < 111
1. Inequação do º grau Se a 0, as inequações ax + bx + c > 0, ax + bx + c < 0, ax + bx + c 0 e ax + bx + c 0 são denominadas inequações do o grau. Resolver, por exemplo, a inequação ax + bx + c > 0 é responder à pergunta: existe x real tal que f(x) = ax + bx + c seja positiva? A resposta a essa pergunta se encontra no estudo do sinal de f(x), que pode, inclusive, ser feito através do gráfico da função. Assim, no nosso exemplo, dependendo de a e de, podemos ter uma das seis respostas seguintes: 11
1. Inequação do º grau a > 0 e > 0 a > 0 e = 0 a > 0 e < 0 x 1 x x x 1 = x x x { R / ou } S = x x < x x > x 1 { R / } S = x x x 1 S =R x 1 x x 1 = x x x x a < 0 e > 0 a < 0 e = 0 a < 0 e < 0 { R / } S = x x < x < x 1 S = S = 113
1. Inequação do º grau Exercício 36: Resolver a inequação x x + > 0. 114
1. Inequação do º grau Exercício 37: Resolver a inequação x x + 1 0. 115
1. Inequação do º grau Exercício 38: Resolver a inequação -x + 3x + 0. 116
1. Inequação do º grau Exercício 39: Resolver em R as inequações ( ) ( ) a) x x 6 x + x 1 > 0 3 b)x 6x + x 3 0 117
1. Inequação do º grau Exercício 40: É dada a função ( ) ( 9 5 ) y = x x x x + Determinar: a) os pontos de intersecção do gráfico da função com o eixo das abscissas. b) o conjunto dos valores de x para os quais y 0. 118
1. Inequação do º grau Exercício 41: Resolver em R as inequações 4x + x 5 a) y = > 0 x 3x x + 3x 16 b) y = 1 x + 7x 10 119
1. Inequação do º grau Exercício 4: Resolver as inequações a)4 < x 1 4x b)4x 5x + 4 < 3x 6x + 6 < x + 3x 4 10
1. Inequação do º grau Exercício 43: Resolver os sistemas de inequações a b x + x > ) 3 x x 0 0 ) x x + 1 0 4 8 + 3 0 x < x 11
1. Inequação do º grau Exercício 44: Resolver em R as inequações 4 a) x + 8x 9 < 0 4 b)x 3x + 4 < 0 1