LIÇÕES DE TEORIA DOS JOGOS

LIÇÕES DE TEORIA DOS JOGOS Marilda Antônia de Oliveira Sotomayor e Maurício Soares Bugarin São Paulo, maio de 2007 Direitos autorais reservados. Qualquer forma de reprodução é expressamente proibida. Marilda Sotomayor e Maurício Bugarin, 2007 1

CAPÍTULO 5 JOGOS COALIZIONAIS SEM PAGAMENTOS LATERAIS Obetivos: Analisar os aspectos cooperativos de um mercado modelado como um ogo coalizional sem pagamentos laterais. Discutir a noção de núcleo como o conceito de solução apropriado. Determinar o núcleo de uma economia de trocas e mostrar que ele contém toda alocação competitiva. 5.1-INTRODUÇÃO No capítulo anterior estudamos ogos nos quais alguns ogadores podem formar uma coalizão S para distribuir entre si o resultado assegurado por essa coalizão. Naquele modelo supôs-se que esse resultado podia ser visto como um bem infinitamente divisível, em geral interpretado como dinheiro. Existem situações, no entanto, em que o produto gerado por uma coalizão não é infinitamente divisível. Considere, por exemplo, um grupo de alunos ao final de um curso que envolve muita leitura. Cada aluno adquiriu uma série de livros durante o curso, sendo que os livros adquiridos por um aluno podem ser diferentes daqueles adquiridos por outro. Além disso, cada aluno tem uma certa preferência sobre o universo total de livros adquiridos: por exemplo, um aluno pode gostar mais dos livros envolvendo aplicações de teoria dos ogos enquanto outro gosta mais de livros de economia internacional, etc. Os ogadores se reúnem para negociar a troca dos livros, que não podem ser divididos... Não existe, nesse contexto, utilidade transferível. Situações dessa natureza serão analisadas neste capítulo. Marilda Sotomayor e Maurício Bugarin, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005, 2012. 2

5.2-JOGOS NA FORMA COALIZIONAL SEM PAGAMENTOS LATERAIS Definição 5.1-Forma coalizional. Um ogo cooperativo na forma coalizional sem pagamentos laterais (N, X, V, ( ) N ) é dado por: (i) Um conunto de ogadores N={1, 2,..., n}. (ii) Um conunto de resultados X. (iii) Uma função característica ou coalizional V: 2 N 2 X. (iv) Para cada ogador N, uma relação de preferências definida sobre os resultados em X. Observação 5.1-As notações 2 N e 2 X são usadas para representar o conunto de todos os subconuntos de N e o conunto de todos os subconuntos de X, respectivamente. O conunto X é a coleção de todos os possíveis resultados do ogo e não precisa ser unidimensional. O conunto V(S) X é interpretado como a coleção de resultados em X que pode ser assegurada pela coalizão S, independentemente dos outros ogadores; V(S) também é chamado de conunto de resultados para os quais S é efetiva. Exemplo 5.1-Mercado de casas (Shapley & Scarf, 1974). Considere a seguinte situação estratégica. Seis indivíduos possuem cada um uma casa. As casas são distintas uma da outra e cada ogador tem definida uma relação de preferências sobre as seis casas. As relações de preferências estritas são dadas abaixo. Jogador 1: 3 > 1 4 > 1 2 > 1 1 > 1 5 > 1 6 Jogador 2: 1 > 2 3 > 2 2 > 2 4 > 2 6 > 2 5 Jogador 3: 2 > 3 1 > 3 3 > 3 4 > 3 5 > 3 6 Jogador 4: 2 > 4 3 > 4 5 > 4 1 > 4 4 > 4 6 Jogador 5: 1 > 5 2 > 5 6 > 5 4 > 5 3 > 5 5 Jogador 6: 3 > 6 1 > 6 5 > 6 2 > 6 4 > 6 6 Assim, o ogador 1 prefere estritamente a casa 3 à 4, a 4 à 2, etc. A questão natural que se coloca nesse ogo é: Que alocação final, descrevendo que ogador fica com que casa, deve-se esperar como resultado da negociação entre os ogadores? 3

Exemplo 5.2-Economias de trocas. Considere uma economia formada por n consumidores e m bens, na qual cada w = w,, w R+ m m consumidor N={1,...,n} é dotado da alocação inicial ( ) N 1 K. Naturalmente, supõe-se que w >> 0, ou sea, existe uma quantidade não nula de cada um dos bens na economia. Pode-se definir o conunto de consumo para cada ogador k por: economia por: m Dk = xk R+ 0 xk w N Analogamente, define-se o conunto de resultados ou alocações factíveis dessa m X = x = ( x1, K, xn ) xk R+, k e x = w N N Para cada ogador N é definida uma relação de preferências sobre o conunto X, suposta monótona, contínua e quase-côncava. Nessa economia os bens podem ser trocados livremente de forma infinitamente divisível. No entanto, não existe nenhum payoff que sea livremente transferível. A questão natural que se coloca nesse contexto é: Que alocação factível x X resultará do processo de negociação e trocas entre os ogadores? Na próxima seção será descrito o conceito natural de solução que responde às questões dos dois exemplos estudados. 5.3-DOMINÂNCIA E NÚCLEO Definição 5.2-Resultado factível e dominância. Sea (N, X, V, ( ) N ) um ogo cooperativo na forma coalizional em que N={1, 2,..., n}, e seam x, y X. Então, (i) O vetor x é um resultado factível se x V(N). (ii) O resultado x X domina o resultado y X se existir uma coalizão S N tal que: (a) S é efetiva para x: x V(S). 4

(b) x > s y, s S. Observação 5.2-A condição (i) garante que a grande coalizão formada por todos os ogadores consegue assegurar o resultado x. A condição (ii)(a) acima diz que a coalizão S consegue garantir o resultado x se seus membros concordarem. Já a condição (ii)(b) garante que todos os membros de S preferem estritamente x a y. Nesse caso, y não pode ser um resultado esperado da interação entre os ogadores. Diz-se ainda nesse caso que x domina y via S ou que S bloqueia o resultado y. Exemplo 5.3-No mercado de casas do exemplo 1, a alocação y=(1, 2, 3, 4, 5, 6), segundo a qual cada agente fica com sua própria casa, é dominada pela alocação x=(2, 1, 3, 4, 5, 6), na qual os proprietários 1 e 2 trocam de casa entre si. Observação 5.3-É importante observar que a interpretação de V(S) pode se tornar sutil em algumas situações. Por exemplo, dizer que alocação x=(2, 1, 3, 4, 5, 6) pertence a V({1,2}) não significa dizer que os proprietários 1 e 2 conseguem impor aos demais ogadores que mantenham suas casas sem trocas enttre si. De fato, os proprietários 5 e 6 preferem trocar suas casas entre si a permanecer conforme sugere a alocação x. Portanto, o significado mais preciso de x V({1,2}) é que os proprietários 1 e 2 podem trocar suas casas entre si independentemente do que os demais façam. Vale ainda observar que a condição (ii)(b) da definição de dominância exige que todos os ogadores em S prefiram x a y para que x domine y. Uma definição alternativa, que chamaremos de dominância fraca, pode ser dada por: (ii) O resultado x X domina fracamente o resultado y X se existir uma coalizão S N tal que: (a) S é efetiva para x: x V(S). (b) x s y, s S, sendo a preferência estrita para pelo menos um ogador em S: S, x > y. 5

O conceito de dominânica fraca torna mais fácil o bloqueio de uma alocação, pois não é mais necessário que todos os ogadores de uma coalizão bloqueante prefiram estritamente a alocação alternativa. Definição 5.3-Núcleo. O núcleo de um ogo coalizional sem pagamentos laterais é o conunto dos resultados factíveis que não são dominados. casas. A próxima seção mostra como encontrar alocações no núcleo do mercado de 5.4-CICLOS MÁXIMOS DE TROCA: O ALGORITMO DE GALE Considere o mercado de casas de Shapley e Scarf e aplique o seguinte algoritmo. Passo 1: Escolha um agente aleatoriamente. Siga para o agente cua casa é aquela preferida por. Em seguida, siga para o agente cua casa é aquela preferida por, e assim sucessivamente. Como existe um número finito de agentes, esse processo levará a um ciclo. Quando um ciclo for formado pela primeira vez: (k) = (t), t k, separe os ogadores nesse ciclo ( de (t) a (k 1) ) e efetue as trocas das casas de acordo com a indicação do ciclo. Um tal ciclo é chamado ciclo máximo de troca, ou top trading cycle (TTC) para N. Passo 2: Considere o ogo reduzido, obtido a partir do ogo original eliminando-se os ogadores no ciclo acima, assim como suas casas respectivas. Repita o passo 1 para esse ogo reduzido. Como existe um número finito de agentes, esse processo permite definir uma alocação das casas entre os ogadores. Exemplo 5.4-No exemplo 5.1, iniciando com o ogador =1 têm-se: 1 3 2 1: ciclo máximo: (1, 3, 2) 6

4 5 6 5: ciclo máximo: (5, 6) 4: ciclo máximo final: (4) Assim, o algoritmo gera a seguinte alocação: x=(3, 1, 2, 4, 6, 5) ou ainda, usando a notação permutacional: x=(132)(4)(56). A proposição a seguir garante que a alocação x está no núcleo do mercado de casas. Proposição 5.1-A alocação gerada pelo algoritmo de Gale está no núcleo do ogo correspondente. Demonstração: Seam C 1, C 2,..., C p os ciclos obtidos ao aplicar o algoritmo. Estes formam uma partição de N: N= C 1 C 2... C p em que C 1 é um TTC para N, C 2 é um TTC para N C 1, etc. Sea ainda x a alocação obtida pelo algoritmo e suponha, por contradição, que x não está no núcleo, ou sea, x é bloqueada por uma coalizão S N. Sea o menor índice tal que S C φ. Então: S C C +1 C p =N (C 1 C 1 ). Sea agora k S C. Então k está recebendo a casa que prefere dentre aquelas ainda disponíveis na etapa em que se formou C. Logo k está recebendo, pela alocação x, a mais alta utilidade possível em S. Assim, k não pode melhorar recebendo uma casa em S. Logo S não bloqueia x, uma contradição. Observação 5.4-(i) Pelo resultado acima, o núcleo do mercado de casas é sempre não vazio, uma vez que o algoritmo sempre gera um elemento do núcleo. Além disso, se todos os agentes tem preferências estritas sobre o conunto de alternativas, então podese mostrar que o algoritmo leva ao mesmo resultado, independentemente da ordem em que os ogadores iniciais vão sendo escolhidos. Este último resultado é deixado ao leitor como exercício. (ii) Existem condições semelhantes àquela de balanceamento para ogos com utilidades transferíveis, que asseguram a existência de alocações no núcleo para ogos sem pagamentos laterais (Scarf (1967), Billera (1970) e Shapley (1973)). 7

(iii) Se nenhum agente é indiferente entre duas casas, então o núcleo definido por dominação fraca da economia sempre existe e tem um único elemento (Roth e Postlewaite (1977)). (iv) O algoritmo de Gale foi definido para preferências estritas. No entanto, é fácil estendê-lo para preferências quaisquer. Em geral, podem existir mais de uma aresta partindo de um ogador: se ele for indiferente entre duas casas, qualquer uma delas pode fazer parte de um TTC. Assim, escolhe-se aleatoriamente uma das casas preferidas e continua-se o processo. Nesse caso podem existir vários elementos do núcleo gerados pelo algoritmo, dependendo das escolhas que são feitas quando há indiferença; a proposição anterior, no entanto, continua válida 1, no sentido de que qualquer alocação obtida pelo algoritmo de Gale (austado) pertence ao núcleo do ogo. O exemplo a seguir ilustra esta observação. Exemplo 5.5-Considere a seguinte configuração alternativa das preferências no exemplo 1. Jogador 1: 2 > 1 6 > 1 3 1 4 > 1 5 1 1 Jogador 2: 3 2 5 > 2 2 > 2 4 2 6 > 2 1 Jogador 3: 2 > 3 3 > 3 1 > 3 4 > 3 6 > 3 5 Jogador 4: 1 > 4 5 > 4 4 > 4 2 > 4 3 > 4 6 Jogador 5: 1 > 5 2 > 5 6 > 5 4 > 5 3 > 5 5 Jogador 6: 3 > 6 1 > 6 5 > 6 2 > 6 4 > 6 6 Iniciando pelo ogador 1 têm-se a duas alocações do núcleo abaixo: 1 2 3 2: ciclo máximo (2,3) 1 6 1: ciclo máximo (1,6) 4 5 4: ciclo máximo (4,5) Alocação correspondente: x=(6, 3, 2, 5, 4, 1) 1 2 5 1: ciclo máximo (1,2,5) 3 3: ciclo máximo (3) 1 O resultado é válido quando usa-se o conceito de dominância forte conforme a definição 5.2. Se for admitida a dominância fraca, então Shapley e Scarf (1974) mostram que se indiferença é permitida, então o núcleo definido por dominância fraca pode ser vazio. 8

4 4: ciclo máximo (4) 6 6: ciclo máximo (6) Alocação correspondente: y=(2, 5, 3, 4, 1, 6) Ambas as alocações x e y estão no núcleo do ogo. Observação 5.5-Um mercado de casas pode ser visto como um caso especial de uma economia de trocas, no qual os bens a serem negociados não são divisíveis. Na próxima seção mostra-se a existência de alocações no núcleo para essa segunda classe de ogos em que os bens são infinitamente divisíveis. 5.5-ECONOMIAS DE TROCAS E EQUILÍBRIOS COMPETITIVOS Uma forma de se prever os resultados de interações entre os agentes em uma economia de trocas é introduzir um sistema de preços para os bens da economia, e permitir que os agentes tomem suas decisões de compra e venda baseados nos preços das mercadorias. Definição 5.4-Equilíbrio competitivo. Um equilíbrio competitivo para uma economia de trocas é um par (p, x) em que x é uma alocação factível (x X) e p R m +, tal que: (1) p.x p.w, N. (2) y X, y > x p.y > p.w. Observação 5.6-(i) A condição (1) diz que se vender toda sua dotação ao preço de mercado, então terá dinheiro suficiente para comprar a alocação x. Trata-se da restrição orçamentária do agente ou ainda de uma restrição de factibilidade para. (ii) A condição (2) diz que se prefere a alocação y à alocação x, então ele não a adquiriu porque não tinha condições de comprá-la: y é demasiadamente cara para. 9

(iii) O requerimento na definição de que o perfil de cestas escolhidas sea uma alocação factível significa que, para todo bem, a soma das demandas individuais é igual à soma de suas ofertas. Assim, no equilíbrio competitivo, cada ogador está recebendo a cesta preferível dentre todas as que pode comprar, e a demanda agregada é igual à oferta agregada em todos os mercados. (iv) Uma definição equivalente para o conceito de equilíbrio competitivo é a seguinte: O par (p, x) é um equilíbrio competitivo se x X e para cada N, x D (p) em que, D ( p) m m { x R px pω e y R, ( py p y x )} = + + ω O conunto D (p) é chamado conunto de demanda do consumidor ao preço p. (v) Um resultado padrão em teoria econômica é que toda economia de trocas possui um equilíbrio competitivo, sob condições mínimas de regularidade das preferências dos agentes. O teorema a seguir relaciona equilíbrio competitivo com alocações no núcleo, mostrando que, em geral, o núcleo de uma economia de trocas não é vazio. Teorema 5.1-Se (p, x) for um equilíbrio competitivo de uma economia de trocas, então x está no núcleo dessa economia. Em particular, x é uma alocação eficiente. Demonstração: Suponha, por contradição, que S N e y X seam tais que a alocação y domina a alocação x via S. Então, para todo s S, y s > s x s. Como (p,x) é um equilíbrio competitivo, py s > pw s, para todo s S. Logo, s S py > > s pws p ys p ws. s S s S s S Nesse caso, tem que existir k N tal que p k >0 e s S y k s > s S w k s. Mas então y não é factível para S: y V(S), o que é uma contradição. Exemplo 5.6-Considere uma economia de trocas com dois consumidores 1 e 2, e dois 1 x y 2 x y bens x e y. As alocações iniciais respectivas são ( w, w ), w = ( w, w ) w 1 1 2 2 =. O conunto das alocações factíveis pode ser representado pela Caixa de Edgeworth 10

abaixo. O ponto w representa as dotações dos agentes em que a dotação do bem x do x x w 2 2 y t y y w 1 w y w 2 1 x w 1 x Figura 5.1. Caixa de Edgeworth. agente 1 é medida da esquerda para a direita no eixo horizontal inferior, a dotação do bem x do agente 2 é medida da direita para a esquerda no eixo horizontal superior, a dotação do bem y do agente 1 é medida de baixo para cima no eixo vertical esquerdo e finalmente a dotação do bem y do agente 2 é medida de cima para baixo no eixo vertical direito. Assim, toda alocação factível dessa economia corresponde a um ponto no retângulo da figura 5.1. As curvas convexas correspondem às curvas de indiferença do agente 1 (conunto de pontos que são equivalentes do ponto de vista das preferências desse agente), enquanto as curvas côncavas correspondem às curvas de indiferença do agente 2. Dada a hipótese de que os agentes preferem ter mais unidades de cada bem que menos, conclui-se que as alocações mais à direita e acima são preferidas por 1 enquanto as alocações mais à esquerda e abaixo são preferidas por 2. Considerando a dotação w, o agente 1 não aceitará trocar sua dotação por nenhuma alocação que estea à esquerda (abaixo) de sua curva de indiferença que passa por w (essas alocações serão bloqueadas por {1}). Analogamente, 2 não aceitará trocar sua dotação por nenhuma alocação que estea à direita (acima) de sua curva de indiferença passando por w (alocações bloqueadas por {2}). Assim, o conunto de alocações aceitáveis a ambos os ogadores é dado pela lente delimitada pelos pontos 11

w e t e pelas curvas de indiferença que por eles passa. Essas são as alocações individualmente racionais. No entanto, nem todas essas alocações estão no núcleo. De fato, se uma alocação z na lente é tal que as curvas de indiferença dos ogadores passando por ela são secantes, então existem alocações que são preferidas por ambos os ogadores (a alocação z é bloqueada por {1, 2}) Na figura 5.2, que corresponde a um ampliação da figura 5.1, a alocação z é dominada pela alocação k, por exemplo. Por outro lado, a alocação k, situada num ponto em que as curvas de indiferença dos dois agentes são tangentes, não é dominada por nenhuma outra alocação, sendo portanto um elemento do núcleo. De fato, o conunto de todas as alocações que se encontram em pontos de tangência de uma curva de indiferença de 1 com uma curva de indiferença de 2 formam um conunto de alocações eficientes do ponto de vista de Pareto, chamado de Curva de Contrato. O núcleo da economia é formado pelo trecho da curva de contrato que se encontra na lente, qual sea, a curva ligando os pontos A e B na figura 5.2. Finalmente, o equilíbrio competitivo é dado pelo ponto de tangência simultânea entre a reta que passa pela dotação w e as duas curvas de indiferença dos agentes 1 e 2. Trata-se do ponto k na figura 5.2. x 2 t y B A k z w 1 Figura 5.2. Lente, curva de Pareto e núcleo. 12

Observação 5.7-No exemplo acima o núcleo é bem maior que o conunto (unitário) de equilíbrios competitivos. Esse resultado deve-se à existência de apenas dois agentes na economia. É de se esperar que à medida que as economias se tornem mais competitivas, os ogadores atuem mais como tomadores de preços e o núcleo encolha para o conunto de alocações competitivas. Debreu e Scarf (1963) mostraram que, de fato, quando o número de agentes cresce, o núcleo converge para o conunto de alocações competitivas. Isto é, numa economia grande o suficiente, as predições do equilíbrio competitivo um conceito que é baseado nos agentes que negociam a preços fixos estão muito próximas àquelas do núcleo um conceito que é baseado na habilidade de um grupo de agentes melhorar o seu lote formando uma sub-economia autônoma, sem referência aos preços. Colocando diferentemente, numa economia suficientemente grande os únicos resultados que são imunes a desvios por grupos de agentes são as alocações competitivas. Debreu e Scarf investigaram este problema replicando a economia k vezes, i.e., para cada agente N são feitas k cópias de : 1,, k, cada cópia com a mesma função de utilidade u (estritamente quase-côncava) e dotação inicial w. Eles mostraram que quando o número de cópias tende ao infinito o núcleo tende para o conunto de alocações competitivas. Este tratamento suscita algumas críticas por ser um pouco artificial. De fato, embora o número de ogadores tenda ao infinito, o número de tipos permanece fixo em n. Um enfoque alternativo, desenvolvido por Aumann (1964) consiste em modelar os consumidores como elementos de um conunto continuo ( não-atômico ), de forma a caracterizar matematicamente a idéia de que o agente é insignificante no sentido de que não pode afetar preços via suas decisões de consumo. A modelagem é descrita a seguir. (i) O conunto de consumidores é dado pelo intervalo T=[0,1]. (ii) As dotações são descritas por uma função mensurável w:t R m +, tal que w(t)>0 é a alocação inicial do agente t T. (iii) Os resultados factíveis, ou alocações são os elementos do conunto: X m { x : T R x é mensurável e xdt = wdt } = + T (iv) Uma coalizão S (um subconunto mensurável de T) é efetiva para x se x V(S), em que = { = } V ( S) x X xdt S S wdt T 13

(v) As funções de utilidade u t são contínuas e monótonas. Para essa versão não-atômica de uma economia de trocas, existe coincidência entre os conceitos de equilíbrio competitivo e núcleo, conforme o teorema enunciado a seguir. Teorema 5.2: Na economia de trocas descrita acima, o núcleo coincide com o conunto de alocações competitivas. Observação 5.8-Equilíbrio competitivo para a economia de Shapley-Scarf. Esta seção apresentou o conceito de equilíbrio competitivo e o relacionou com o núcleo de economias de trocas com bens divisíveis. Conforme mencionado anteriormente, o mercado de casas pode ser visto como um caso particular de economia de trocas em que uma restrição de não divisibilidade é incluída. Pode-se então definir naturalmente o conceito de equilíbrio competitivo. As propriedades básicas dessa economia podem ser sumariadas como se segue. (i) Quando as preferências dos ogadores são estritas, o núcleo do ogo é sempre nãovazio (Shapley e Scarf, 1974). (ii) De fato, e nenhum agente é indiferente entre duas casas e usamos o conceito fraco de dominância, então o núcleo da economia é sempre não-vazio e tem um único elemento (Roth e Postlewaite, 1977). (iii) O conunto de equilíbrios competitivos é sempre não-vazio (Algoritmo de Gale). (iv) Na situação em (ii), o único ponto do núcleo é a única alocação competitiva da economia (Roth e Postlewaite, 1977). Defina por W o conunto de alocações competitivas (walrasianas) do mercado de casas e N o núcleo desse mercado. Então, a tabela a seguir sumaria as observações anteriores. 14

Tabela 5.1-Núcleo e alocações competitivas no marcado de casas (W: conunto de alocações competitivas, N: conunto de alocações no núcleo) Critério de dominância Forte Fraca Estritas N φ W N N φ W=N Preferências Pode-se ter W >1 N =1 Com indiferença Pode-se ter N > W Pode-se ter N=φ Pode-se ter W N Exemplo 5.7-Considere o exemplo 5.1. Foi visto que a alocação x=(3, 1, 2, 4, 6, 5) é o resultado obtido pelo algoritmo de Gale. Trata-se pois de elemento do núcleo e de equilíbrio competitivo da economia. Considere agora a alocação y=(4, 5, 6, 1, 2, 3) e os preços p=(2, 2, 1, 0, 1, 1), p =(1, 2, 0, 1, 2, 0) e p =(3, 3, 3, 1, 2, 2). Então, (a) (p, x) não é um equilíbrio competitivo pois o ogador 3 não tem como pagar pela casa de 2. (b) (p, y) não é um equilíbrio competitivo pois o ogador 2 prefere a casa de 1 e pode pagar seu preço. (c) (p, x) é um equilíbrio competitivo do mercado. Qualquer outro equilíbrio competitivo é obtido a partir de (p, x), multiplicando-se p por uma constante positiva. 5.6-EXERCÍCIOS Exercícios 5.1-Considere o mercado de casas formado por oito ogadores no qual o ogador i possui a casa i. Os ogadores podem trocar as casas entre si, de forma a satisfazer da melhor maneira possível suas preferências respectivas pelas casas, descritas a seguir. Jogador 1: 4 > 1 3 > 1 2 > 1 1 > 1 5 > 1 6 > 1 7 > 1 8 15

Jogador 2: 8 > 2 6 > 2 4 > 2 2 > 2 1 > 2 3 > 2 5 > 2 7 Jogador 3: 2 > 3 3 > 3 1 > 3 5 > 3 4 > 3 7 > 3 8 > 3 6 Jogador 4: 1 > 4 8 > 4 7 > 4 6 > 4 2 > 4 3 > 4 4 > 4 5 Jogador 5: 3 > 5 2 > 5 1 > 5 8 > 5 7 > 5 4 > 5 5 > 5 6 Jogador 6: 8 > 6 7 > 6 6 > 6 5 > 6 4 > 6 3 > 6 2 > 6 1 Jogador 7: 5 > 7 6 > 7 7 > 7 8 > 7 1 > 7 2 > 7 3 > 7 4 Jogador 8: 6 > 8 2 > 8 4 > 8 1 > 8 3 > 8 8 > 8 7 > 8 5 (i) (ii) Aplique o algoritmo de Gale para determinar a alocação do núcleo correspondente. Determine o equilíbrio competitivo correspondente. Exercício 5.2-Considere um mercado de casas com preferências estritas. O algoritmo de Gale mostra que o núcleo desse ogo não é vazio. Prove que o algoritmo de Gale produz a mesma alocação independentemente da ordem (aleatória) em que os ogadores iniciais são escolhidos a cada etapa do algoritmo. Exercício 5.3-Considere agora um mercado de casas em que as preferências dos ogadores não são necessariamente estritas e aplique o teorema de Gale com a seguinte modificação: se um ogador for indiferente entre mais de uma casa, então escolha qualquer uma dessas casas. (i) Mostre que o algoritmo converge, ou sea, produz uma alocação em um número finito de etapas. (ii) Mostre que a alocação gerada pelo algoritmo está no núcleo do ogo, definido por dominância forte. Exercício 5.4-Considere novamente um mercado de casas com preferências quaisquer e aplique o algoritmo de Gale modificado descrito no exercício anterior com a seguinte modificação: toda vez que houver indiferença, considere todas as possíveis escolhas de um ogador. Assim, o novo algoritmo produzirá, possivelmente, várias alocações. 16

(i) (ii) Mostre que todas as alocações assim obtidas estão no núcleo do ogo, definido por dominância forte. Mostre, por meio de um exemplo, que não vale a recíproca: nem toda alocação do núcleo pode ser obtida aplicando-se o algoritmo. Exercício 5.5-Considere o mercado de casas formado por três ogadores no qual o ogador i possui a casa i. Os ogadores podem trocar as casas entre si, de forma a satisfazer da melhor maneira possível suas preferências respectivas pelas casas, descritas a seguir. Jogador 1: 3 > 1 2 > 1 1 Jogador 2: 3 > 2 1 > 2 2 Jogador 3: 1 > 3 2 > 3 3 Aplique o algoritmo de Gale para determinar uma alocação do núcleo do ogo, definido por dominância forte. Existem outras alocações do núcleo? Exercício 5.6-Considere o mercado de casas formado por três ogadores no qual o ogador i possui a casa i. Os ogadores podem trocar as casas entre si, de forma a satisfazer da melhor maneira possível suas preferências respectivas pelas casas, descritas a seguir. Jogador 1: 3 > 1 2 1 1 Jogador 2: 3 > 2 1 > 2 2 Jogador 3: 1 3 2 > 3 3 Aplique o algoritmo de Gale descrito no exercício anterior para determinar alocações do núcleo do ogo, definido por dominância forte. Existem outras alocações do núcleo? Exercício 5.7-Ainda no mercado descrito no exercício anterior, considere o conceito de núcleo baseado em dominância fraca. Mostre que, nesse caso, o núcleo é vazio. Exercício 5.8-Considere o mercado de casas formado por quatro ogadores no qual o ogador i possui a casa i. Os ogadores podem trocar as casas entre si, de forma a 17

satisfazer da melhor maneira possível suas preferências respectivas pelas casas, descritas a seguir. Jogador 1: 4 1 3 > 1 2 1 1 Jogador 2: 3 > 2 4 > 2 2 > 2 1 Jogador 3: 1 3 2 > 3 3 > 3 4 Jogador 4: 1 4 2 4 4 > 4 3 Aplique o algoritmo de Gale descrito no exercício anterior para determinar alocações do núcleo do ogo. Existem outras alocações do núcleo? Exercício 5.9-Considere o mercado de casas formado por quatro ogadores no qual o ogador i possui a casa i. Os ogadores podem trocar as casas entre si, de forma a satisfazer da melhor maneira possível suas preferências respectivas pelas casas, descritas a seguir. Jogador 1: 2 1 4 > 1 1 > 1 3 Jogador 2: 1 > 2 3 > 2 2 > 2 4 Jogador 3: 1 3 2 > 3 4 > 3 3 Jogador 4: 1 > 4 3 > 4 4 > 4 2 (i) Mostre que a alocação x=(2,1,4,3) é uma alocação competitiva (encontre os preços p que fazem de (x,p) um equilíbrio competitivo. (ii) Mostre que a alocação y=(4,1,2,3) não é uma alocação competitiva. (iii) Mostre que y é Pareto superior (no sentido fraco) a x. 18