Mini_Lista11: Rotação de Corpos Rígidos: Eixo Fixo Lembrete 11.1 Em equações rotacionais, deve usar ângulos expressos em radianos. Lembrete 11.2 Na resolução de problemas de rotação, deve especificar um eixo de rotação. A escolha é arbitrária, mas, uma vez feita, deve ser mantida consistentemente em todo o problema. Lembrete 11.3 O torque depende da escolha do eixo. Como o momento de inércia, não há um valor único para o torque sobre um corpo. Seu valor depende da escolha do eixo de rotação. 1.) Perguntas: (A) O momento de inércia de um corpo pode ser nulo? Explicar. (B) O momento de inércia depende da velocidade? Explicar. (C ) Tanto o momento de inércia como o torque depende da posição do eixo de rotação? Explicar. (D) Se o torque resultante é nulo ou o corpo está em repouso, ou não gira, ou se mantém a velocidade linear constante, ou se mantém a velocidade angular constante? Explicar cada uma de suas respostas. 2.) Um corpo cilíndrico possui massa M e raio R. Pode sua massa ser distribuída ao longo do corpo de tal modo que seu momento de inércia em relação ao seu eixo de simetria seja maior do que MR 2? 3.) Um corpo rígido gira em sentido anti-horário ao redor de um eixo fixo. Cada um dos pares de quantidades seguintes representa uma posição angular inicial e uma posição angular final do corpo rígido. (I) Qual dos pares pode ocorrer somente se o corpo rígido gira por mais de 180 0? (a) 3 rad, 6 rad (b) -1 rad, 1 rad (c) 1 rad, 5 rad. (II) Suponha que a variação na posição angular para cada um destes pares de valores ocorra em 1 s. Qual escolha representa a menor velocidade angular média? Resp. (II) (c) (II) (b). 4.) Um corpo sólido de momento de inércia I 1 gira sobre seu eixo de simetria com velocidade angular ω 1. Aumenta-se em dobro o tamanho do corpo e novo momento de inércia do corpo, I 2, é determinado mantendo-se a mesma massa e girando em torno de seu eixo de simetria com velocidade angular ω 1 /4. (I) Qual é a razão entre os momentos de inércia, I 1 /I 2? (II) Determinar a razão entre as energias cinéticas rotacionais do primeiro corpo e do segundo. 5.) Você desliga s furadeira elétrica e vê que o intervalo de tempo para a broca parar de girar completamente, por causa do torque de atrito na furadeira, é t. Você substitui a broca por uma maior, que resulta no dobro do momento de inércia de todo o mecanismo de rotação da furadeira. Quando esta broca maior é girada na mesma velocidade angular da primeira e a furadeira é deligada, o torque de atrito permanece o mesmo da situação anterior. Qual é o intervalo de tempo necessário para a broca atingir o repouso? (a) 4 t. (b) 2 t. (c) t. (d) 0,5 t. (e) 0,25 t. (f) impossível determinar. Resp.(b) 6.) Suponha que somente duas forças externas atuem sobre um corpo rígido estacionário, e que elas são iguais em módulo e de direções opostas. Sob que condição o corpo começa a girar? Resp. Se uma delas atua sobre o corpo no eixo de rotação. Se elas atuam sobre o corpo em distâncias diferentes ao eixo de rotação.
7.) Qual é a velocidade angular do ponteiro menor de um relógio analógico? ( O ponteiro menor é o de segundos.) 8.) Explique por que mudar o eixo de rotação de um corpo altera seu momento de inércia. 9.) Um corpo tem que estar girando para ter momento de inércia não zero? 10.) Se você vê um corpo girando, há necessariamente um torque resultante atuando sobre ele? 11.) É possível mudar a energia cinética translacional de um corpo sem alterar sua energia rotacional? Resp. Sim. Um corpo que inicia a queda girando em um meio sem atrito. A força externa (força gravitacional) atua sobre o o corpo no seu centro de massa cujo torque resultante é nulo. Consequentemente, a aceleração angular é nula e a velocidade angular se mantem constante. A energia cinética rotacional é constante e a translacional aumenta à medida que o corpo se move para baixo. ( Isto também vale ao lançar um corpo para cima e girando. Exemplo: uma régua, um cabo de vassoura. ) 12.) O momento de inércia de um corpo sólido é I 1 em relação ao eixo que passa pelo seu centro de massa. Outro corpo de mesma forma geométrica e mesma massa, mas dobro de tamanho em comparação ao primeiro corpo possui momento de inércia I 2 em relação ao eixo que passa pelo seu centro de massa... Qual é a razão I 1 /I 2? Problema 1: Um disco de 2,0 kg de raio 4,0 cm gira em torno de um eixo fixo e sem atrito que passa pelo seu centro de massa. Ver a figura. Um cabo inextensível de massa desprezível passa ao redor do disco e em suas extremidades são aplicadas as forças indicadas na figura. O disco é mantido, inicialmente, em repouso. (a) Calcule o torque resultante sobre o disco. (b) Qual é o sentido de rotação do disco? (c) Determine a aceleração angular do disco quando ele é liberado. (Procurar a expressão de momento de inércia do disco.) (d) No instante 10s após, determine a velocidade angular do disco. (e) Determine a variação de energia cinética de rotação do disco no instante 10 s. (f) Determinar o deslocamento angular, θ, utilizando o teorema trabalho-energia cinética, trabalho = τ θ = K rot. (g) Determinar o deslocamento angular, θ, utilizando as equações cinemáticas de rotação. Resp. (a) -0,40 k N m ; (b) sentido horário; (c) -250 k rad/s 2 ; (d) -2500k rad/s; (e) 5000J; (f) e (g) 12,5 x 10 3 rad
Problema 2. Dois blocos são conectados por um fio inextensível e de massa desprezível passando sobre uma roldana de raio r = 0,250 m e momento de inércia I, como mostrado na figura. O bloco na rampa sem atrito move-se com aceleração constante de módulo a = 2,00 m/s 2 A partir destas informações, queremos encontrar o momento de inércia da roldana (a) Que modelo de análise é adequado para os blocos? (b) Que modelo de análise é adequado para a roldana? (c) A partir do modelo de análise na parte (a), encontre as tensões T 1 e T 2. (d) A partir do modelo de análise na parte (b), encontre uma expressão simbólica para o momento de inércia da roldana em termos das tensões, o raio da roldana e a aceleração linear a dos blocos. (e) Encontre o valor numérico do momento de inércia da roldana. Resp. (a) partícula sob a ação de força resultante; (b) corpo rígido sob a ação de torque resultante. (c) 118N; 156N. (d) r 2 (T 2 T 1 )/a. (e) 1,17 kg m 2
Quatro resoluções do mesmo problema são apresentadas nas páginas seguintes.
Obs. A eq. 13.11 é apresentada SEGUIR.