Investigação Operacional

Ano lectivo: 2014/2015 Universidade da Beira Interior - Departamento de Matemática Investigação Operacional Ficha de exercícios n o 5 Problemas de Transportes e Afectação. Cursos: Economia, Gestão e Optometria 1. Uma companhia de aço possui duas minas e três fábricas. Em cada mina (1 e 2) encontram-se disponíveis 3 e 197 toneladas de minério. A companhia transporta o minério por mar até às fábricas. O custo de transporte é apresentado na tabela seguinte (em euros por tonelada). Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Mina 1 45 80 140 Mina 2 70 145 95 As fábricas 1, 2 e 3 requerem a utilização de 71, 133 e 96 toneladas de minério. (a) Formule, em Programação Linear, o problema que minimiza o custo total de transporte. (b) Obtenha uma solução básica admissível (SBA) inicial com: i. O método do Canto Noroeste. ii. O método do custo mínimo. iii. O método das penalidades (ou método de Vogel). (c) Partindo de uma das SBA iniciais obtidas em (b), determine o plano óptimo 2. Uma companhia tem três fábricas a produzir um dado produto que depois é transportado para quatro centros de distribuição. As fábricas (1, 2 e 3) produzem 12, 17 e 11 carregamentos por mês. Cada centro precisa de carregamentos por mês. As distâncias de cada fábrica a cada centro (em quilómetros) constam da tabela seguinte. Transportar um carregamento implica um custo de 25e acrescido de 0,25e por quilómetro. Centro 1 Centro 2 Centro 3 Centro 4 Fábrica 1 80 130 40 70 Fábrica 2 1 140 60 0 Fábrica 3 60 120 80 90 Formule o problema linear que minimiza o custo total de transporte. Indique uma SBA inicial para o problema e obtenha a solução óptima. 3. Determinada empresa pretende transportar um certo produto, fabricado nas suas três fábricas, para três centros de distribuição. A capacidade de produção diária de cada fábrica é a que consta ma última coluna da tabela que se segue. A última linha da mesma tabela, indica-nos as necessidades máximas de cada centro de distribuição. Os custos de transporte, por unidade de produto, das fábricas para cada centro, completam a tabela. Centro 1 Centro 2 Centro 3 Disponibilidades Fábrica 1 2 6 4 50 Fábrica 2 6 8 80 Fábrica 3 4 7 3 60 Necessidades 70 40 50

Pretende-se determinar a solução mais económica para transportar o produto das fábricas para os centros de distribuição. Uma das soluções é a que consta no quadro seguinte: Centro 1 Centro 2 Centro 3 Fábrica 1 40 0 Fábrica 2 50 0 0 Fábrica 3 0 50 (a) Verifique, e justifique, porque a solução apresentada não é óptima. (b) A partir da solução dada, determine a solução óptima. 4. Uma empresa tem três fábricas a produzir um dado produto que deve ser depois transportado para três centros de distribuição. As fábricas (1,2 e 3) produzem 50, 60 e 30 unidades por mês, respectivamente. Os centros (1,2 e 3) necessitam de receber, 70 e 20 unidades por mês, respectivamente. Os custos unitários de transporte são os seguintes: Centro 1 Centro 2 Centro 3 Fábrica 1 5 4 3 Fábrica 2 3 5 2 Fábrica 3 2 1 3 Determine o plano óptimo de transporte que a empresa deve adoptar. 5. Pretende-se transportar um produto de dois armazéns (A1 e A2) para três destinos (D1, D2 e D3). Os armazéns A1 e A2 dispõem de 4 e 6 unidades do produto, respectivamente. Em D1, D2 e D3 são requeridos 2, 3 e 5 unidades do produto, respectivamente. Os custos unitários de transporte são: (a) Formule o problema em termos de P.L. D1 D2 D3 A1 4 4 5 A2 5 3 8 (b) Resolva o problema, calculando uma SBA inicial com: i. O método do custo mínimo; ii. O método das penalidades (ou método de Vogel). 6. Uma empresa pretende determinar o plano óptimo de transporte de uma dada matéria-prima, armazenada em dois centros de distribuição, para três fábricas. Nos centros de distribuição existem 20 e 18 toneladas de matéria-prima. Nas fábricas são necessárias 12, e 16 toneladas de matéria-prima. Os custos unitários de transporte são apresentados no quadro. O trajecto entre o centro 2 e a fábrica 2 não pode ser utilizado. Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Centro 1 5 2 3 Centro 2 4 2 Determine o plano óptimo de transporte que a empresa deve adoptar. 7. Uma empresa tem três fábricas a produzir um dado produto que deve ser depois transportado para três centros de distribuição. As fábricas (1, 2 e 3) produzem 20, 40 e 30 unidades por mês, respectivamente. Os centros (1, 2 e 3) necessitam de receber 30, 20 e 20 unidades por mês, respectivamente. Os custos unitários de transporte são:

Centro 1 Centro 2 Centro 3 Fábrica 1 1 2 1 Fábrica 2 0 4 5 Fábrica 3 2 3 3 Considere a seguinte solução admissível para o problema dado: F1 F2 x ij 30 C1 C2 F3 C3 (a) Verifique se se trata de uma solução óptima e, no caso de o não ser, determine uma solução óptima considerando-a como a solução inicial. Justifique a sua resposta. (b) Justifique a existência, ou não, de óptimos alternativos. 8. No problema de Transportes seguinte, para cada unidade da origem i que não for expedida incorre-se num custo de armazenagem. Sejam estes custos, por unidade, de 5e, 4e e 3e nas origens 1, 2 e 3, respectivamente. Os custos de transporte entre origens e destinos, os valores da oferta e da procura são dados por: Destino 1 Destino 2 Destino 3 Oferta Origem 1 1 2 1 20 Origem 2 0 4 5 40 Origem 3 2 3 3 30 Procura 30 20 20 Considere a seguinte solução admissível para o problema dado: 20 1 30 1 30 40 2 2 20 30 3 3 20 Origens Destinos Verifique se se trata de uma solução óptima e, no caso de não o ser, determine uma solução óptima considerando-a a solução inicial. Justifique os passos dados na resolução desta questão. 9. (Frequência) Considere o Problema de Transportes com três origens (O 1, O 2 e O 3 ) e quatro destinos (D 1, D 2, D 3 e D 4 ), cujos dados se encontram no quadro seguinte.

Custos unitários (e) D 1 D 2 D 3 D 4 Oferta (a) Obtenha uma SBA do problema exposto. O 1 4 3 6 5 20 O 2 7 5 6 30 O 3 8 9 7 7 50 Procura 15 30 25 30 (b) Determine a solução óptima, indicando as quantidades que deverão ser transportadas de uma origem i (i = 1, 2, 3) para um destino j (j = 1, 2, 3, 4) e o custo mínimo de transporte. (c) Se o custo do transporte unitário de O 1 para D 1 fosse alterado para 3, qual seria o efeito sobre a solução óptima?. (Exame) Considere o Problema de Transportes com a seguinte tabela de custos, necessidades e disponibilidades: Destinos 1 2 3 4 5 Oferta Origens 1 8 6 3 7 5 30 2 5 M 8 4 7 20 3 6 3 9 6 8 30 4 0 0 0 0 2 20 Determine o plano óptimo de transporte. Procura 24 26 20 20 11. (Exame Recurso) Uma companhia aérea regional pode comprar o combustível para os seus aviões a três fornecedores. As necessidades da companhia aérea para o próximo mês, em cada um dos três aeroportos em que ela opera, são os seguintes: 0.000 litros no aeroporto 1, 180.000 litros no aeroporto 2 e 350.000 litros no aeroporto 3. Cada fornecedor pode abastecer cada um dos aeroportos de acordo com os preços (e/l) indicados no seguinte quadro: Aeroporto Fornecedor 1 2 3 1 92 88 90 2 91 91 95 3 87 90 92 Cada fornecedor, no entanto, não pode ultrapassar as disponibilidades previstas para o próximo mês: 320.000 litros, 270.000 litros, 190.000 litros para o fornecedor 1, 2 e 3, respectivamente. (a) Determine o plano óptimo de abastecimento que satisfaz as necessidades da companhia aérea em cada aeroporto, com um custo total mínimo. (b) Verifique, justificando, que existem soluções óptimas alternativas. Indique como se obteria outra solução óptima. 12. (Frequência) A Petro-Greedy possui três depósitos de crude e dois clientes principais, cujas disponibilidades e necessidades diárias, em barris, se encontram na tabela seguinte assim como os custos de transporte, em euros, de um barril de crude entre qualquer depósito e qualquer cliente:

C 1 C 2 a i D 1 9 6 20 D 2 7 8 11 D 3 13 9 3 b j 15 9 Existem custos de armazenagem por cada barril retido nas origens: 2e, 2e e 1e para as origens 1, 2 e 3, respectivamente. Pretende-se minimizar o custo total de transporte diário entre os depósitos e os clientes. Encontre a solução óptima deste problema. 13. (Exame Normal) O Bê-Cê-Pê terá de contratar trabalhadores para três novos departamentos, D 1, D 2 e D 3, que necessitam de 5, e 30 pessoas, respectivamente. Existem duas empresas, E 1 e E 2, a que o banco pode recorrer para preencher as vagas existentes, podendo cada uma delas fornecer 20 trabalhadores. A tabela seguinte apresenta os custos associados de contratação de um trabalhador à empresa i, com i = 1, 2, para o departamento j, com j = 1, 2, 3: D 1 D 2 D 3 E 1 5 7 5 E 2 1 6 2 Sabe-se ainda que o departamento D 2 tem maior urgência em contratar trabalhadores. Pelo que, caso não veja a sua necessidade totalmente satisfeita, o banco incorre num custo de 3 por trabalhador em falta. Pretende-se minimizar o custo total de contratação de trabalhadores. Encontre (i) uma S.B.A. para este problema através do Método das Penalidades e (ii) a solução óptima do mesmo. 14. (Exame de Recurso) Uma empresa possui três unidades fabris F 1, F 2 e F 3 onde existem, 15 e 5 unidades de um dado produto, respectivamente. Os clientes dessa empresa, C 1 e C 2, requerem 12 e 8 unidades de produto, respectivamente. Os custos de transporte unitários entre qualquer unidade fabril e qualquer cliente, em euros, são dados na seguinte tabela: C 1 C 2 F 1 1 3 F 2 2 3 F 3 6 6 A unidade fabril F 3 não deseja ficar com o produto em armazém, pelo que existe um custo de 3e por cada unidade que F 3 não expedir para os clientes (C 1 ou C 2 ). (a) Indique uma S.B.A. para o problema através do Método das Penalidades. (b) A partir da solução obtida em (a), determine uma solução óptima em que o cliente C 2 seja abastecido em parte ou totalmente pela unidade fabril F 3. 15. (Frequência 2005/2006) Uma empresa possui duas fábricas, onde produz um determinado bem, e três clientes. As disponibilidades e necessidades mensais encontram-se na tabela seguinte, assim como os custos de transporte, em euros, de uma unidade de produto entre cada fábrica e cada cliente. C 1 C 2 C 3 a i F 1 8 4 15 F 2 6 5 7 b j 9 11 5

Se a procura do cliente 1 não for satisfeita, a empresa é penalizada em 4 e por unidade de produto em falta. Pretende-se minimizar o custo total de transporte mensal entre fábricas e clientes. (a) Encontre a solução óptima deste problema. (b) Suponha que a empresa consegue baixar para 3e o custo unitário de transporte da fábrica 2 para o cliente 2. A solução encontrada em (a) mantém-se óptima? Caso não se mantenha encontre a nova solução óptima. 16. (Exame 2005/2006) A TSP, uma empresa de distribuição de valores, terá de transportar paletes de notas de 0eentre duas caixas-fortes do Banco de Portugal e três sedes de bancos nacionais. Cada sede (S 1, S 2 e S 3 ) precisa de 20, 20 e 5 paletes, respectivamente. Nas caixas-fortes (CF 1 e CF 2 ) existem 5 e paletes, respectivamente. A tabela seguinte apresenta os custos associados ao transporte de uma palete de notas entre as caixas-fortes e as referidas sedes. S 1 S 2 S 3 CF 1 5 1 0* CF 2 7 6 3 (*) favorecimento político Sabe-se ainda que S 1 e S 2 têm maior urgência em receber as paletes, pelo que, caso não vejam a sua necessidade totalmente preenchida, a empresa incorre num custo de 5 e 2, respectivamente, por cada palete em falta. (a) Encontre a solução que minimiza o custo total. (b) Quais os valores possíveis para o custo de transporte de uma palete entre CF 2 e S 1 que mantêm a base, obtida em (a), óptima? 17. Uma empresa pretende abrir 4 sucursais em diferentes zonas do país, devendo apontar um gestor ou economista para a direcção de cada uma das mesmas. Dada a especificidade de cada região e de cada trabalhador, são conhecidos os salários que cada trabalhador i pretende auferir se for destacado para a zona j, com i, j = 1,..., 4, conforme os dados da seguinte tabela (valores em milhares de euros): Sucursal 1 2 3 4 Trabalhador 1 2 4 5 4 2 5 2 1 2 3 3 6 2 5 4 1 4 3 4 Pretende-se determinar a afectação de trabalhadores a sucursais com custo mínimo. 18. O treinador de uma equipa de natação necessita de seleccionar nadadores para a equipa de estafeta 4 0 metros estilos. Dado que os nadadores são muito rápidos em mais do que um estilo, o treinador sente alguma dificuldade em afectá-los a cada um dos 4 estilos. Os 5 melhores nadadores e os melhores tempos (em segundos) que obtiveram em cada um dos estilos são dados na tabela: A B C D E Costas 37 32 33 37 35 Bruços 43 33 42 34 41 Mariposa 33 28 38 30 33 Livre 29 26 29 28 31

O treinador pretende determinar o modo como deve afectar cada nadador a cada estilo, de modo a minimizar a soma dos correspondentes melhores tempos. Encontre a solução óptima deste problema. 19. Numa secção de uma fábrica existem quatro máquinas. Um dado processo de produção consiste em quatro tarefas que devem ser levadas a cabo nessas máquinas. Cada máquina só pode cumprir uma tarefa. Os custos de realização da tarefa j (j = 1, 2, 3, 4) na máquina i (i = 1, 2, 3, 4) são apresentados na tabela: J 1 J 2 J 3 J 4 M 1 9 7 8 M 2 5 8 7 7 M 3 5 4 6 5 M 4 2 3 4 5 Como se devem afectar as tarefas às máquinas, de modo a minimizar o custo total? 20. Considere o problema de afectação de três tipos de máquinas, M 1, M 2 e M 3, a quatro tipos de tarefas, T 1, T 2, T 3 e T 4. O número de máquinas disponíveis de cada tipo é: 20 de M 1, 30 de M 2 e 40 de M 3. As tarefas que é necessário realizar são: 8 de T 1, 12 de T 2, 40 de T 3 e 30 de T 4. Admitindo que o critério de afectação se baseia no lucro unitário estimado, presente no quadro seguinte, obtenha a solução de lucro total máximo. T 1 T 2 T 3 T 4 M 1 8 7 8 8 M 2 8 9 15 5 M 3 4 1 20 21. De entre os seus 3 trabalhadores (A, B e C), uma empresa pretende destacar um e um só responsável pela gestão de cada uma das suas regiões de negócio (Norte, Centro, Sul e Ilhas). Por razões de ordem geográfica, no máximo cada trabalhador só poderá ficar responsável por uma região. Os volumes de vendas, em milhões de euros, que se esperam obter com a atribuição de cada trabalhador a cada região do país, encontram-se na seguinte tabela: Norte Centro Sul Ilhas A 5 8 2 B 6 4 3 9 C 2 8 3 1 Não ignorando o facto do trabalhador A não poder ficar responsável pela região "Sul", encontre a solução que maximiza o volume de vendas total. 22. (Frequência 20/2011) Na matriz seguinte, encontram-se as notas (numa escala de 0 a 15) que representam a aptidão de cada um de 5 candidatos a cada um de cinco empregos: Candidato Emprego 1 2 3 4 5 1 3 7 1 9 2 9 3 11 12 3 7 9 2 11 15 4 5 3 6 0 5 3 9 7 9 2 De que modo se devem distribuir os candidatos pelos empregos, maximizando a aptidão total?