Métodos Experimentais em Ciências Mecânicas Professor Jorge Luiz A. Ferreira
Estatística Descritiva Definição o É a parte da Estatística que procura somente descrever e avaliar um certo grupo, sem tirar quaisquer conclusões ou inferências sobre um grupo maior. Técnicas usadas na descrição dos dados: 1. Decrição Gráfica: São usados vários tipos de gráficos para sumarizar os dados. Por exemplo: Histogramas. 2. Descrição Tabular: Na qual se usam tabelas para sumarizar os dados. Por exemplo tabelas de Freqüências. 3. Descrição Paramétrica: Na qual estimamos os valores de certos parâmetros, os quais assumimos que completam a descrição do conjunto dos dados. Por exemplo: Média.
Estatística Descritiva Apresentação Gráfica e Tabular o Tabela é uma representação matricial, isto é, em linhas e colunas, dos dados coletados. As tabelas são realmente a conjugação entre o pensamento abstrato e a nossa necessidade de visualização. Mas elas têm um ponto muito forte que é a capacidade de nos dar muita informação em pouco espaço. o Um gráfico é a tentativa de se expressar visualmente dados ou valores numéricos, de maneiras diferentes, Visando facilitar a compreensão dos mesmos. A apresentação gráfica constitui uma das mais eficientes forma de apresentação de dados. 600 Ensaios Tensão Alternada, S a 353 400 440 509 1 2,27E+06 5,26E+05 2,60E+05 5,12E+04 2 1,75E+06 3,21E+05 2,62E+05 6,35E+04 3 8,50E+05 5,05E+05 2,60E+05 4,61E+04 4 1,70E+06 4,00E+05 5,60E+04 5 2,11E+06 4,38E+05 7,06E+04 6 1,75E+06 5,63E+05 8 5,06E+05 4,21E+05 Tensão Alternada, S a, [MPa] 500 400 300 10 4 10 5 10 6 10 7 Número de Ciclos para Falha, N
Estatística Descritiva Características Importantes de uma Tabelas a) Corpo: conjunto de linhas e colunas que contêm informações sobre a variável em estudo; b) Cabeçalho: parte superior da tabela que especifica o conteúdo das colunas; c) Coluna indicadora: parte da tabela que especifica o conteúdo das linhas; d) Linhas: retas imaginárias que facilitam a leitura, no sentido horizontal, de dados que se inscrevem nos seus cruzamentos com as colunas; e) Casa ou célula: espaço destinado a um só número; f) Título: conjunto de informações, as mais completas possíveis, respondendo às perguntas: O quê ( referente ao fato); Onde ( relativo ao lugar); Quando ( corresponde à época).
Estatística Descritiva Construção de Tabelas o Conforme comentado anteriormente, uma tabela pode ser construída na forma horizontal ou vertical, dependendo do número de dados ou grandezas apresentados. o Não utilize mais casas decimais do que o necessário para não mascarar as comparações de interesse. Os Números devem preferencialmente ser representados na forma inteira, ou, pelo menos, possuírem o mesmo número de casas decimais. o No topo da tabela deve-se representar as grandezas por meio de símbolos, e entre parênteses a sua unidade de medição. o Deve constar ainda, no espaço superior da tabela o título de forma sucinta. o Se os valores da tabela são representativos de uma faixa de medição, pode-se apresentar o comportamento médio seguido da incerteza.
Estatística Descritiva Construção de Tabelas - Exemplos Tabela 4.5 Parâmetros da Curva S-N do Aço ASTM A743 CA6NM Parâmetro Valor Esperado Limites do Intervalo de Confiança Estimativa Erro Padrão Inferior Superior A 1406,94 102,91 1197,05 1616,83 b -0,094 0,006-0,106-0,082 Tabela 2.1. Definições de carregamentos cíclicos com amplitude constante. Amplitude de tensão Tensão média σ máx σ mín σ a = Representação gráfica 2 σ σ = m máx + σ 2 mín Variação de tensão σ = σ máx σ mín Razão de carregamento mín R = σ σ máx Tabela 2 Caracterização Química do Material Resultados Analíticos Critério de Conformidade/ Normas Elementos ASTM A 743/A 743M - 06 DIN EN 10283 Amostra Carbono(C) 0,06 0,06 0,016±0,002 Cobre (Cu) 0,5 N/I 0,15±0,01 COTAÇÃO Compra Venda Cromo (Cr) 11,5-14,0 12,0-13,5 12,5±0,02 Enxofre (S) 0,03 0,025 0,016±0,001 Fósforo (P) 0,04 0,035 0,03±0,01 Manganes (Mn) 1,0 1,0 0,70±0,01 Dólar Comercial 1,7940 1,7960 Dólar Paralelo 1,8700 1,9700 Euro (Dólar) 1,3420 1,3410 Euro (Real) 2,4080 2,4090 Molibdênio (Mo) 0,40-1,0 0,7 0,45±0,01 Níquel (Ni) 3,5-4,5 3,5-5,0 3,7±0,03 Silício (Si) 1,0 1,0 0,43±0,02 Atualizado 30/03/2010 13h45 Vanádio (V) 0,05 N/I 0,03±0,01
Estatística Descritiva Construção de Gráficos Requisitos Fundamentais: Simplicidade O gráfico deve ser destituído de detalhes de importância secundária, assim como de traços desnecessários que possam levar o observador a uma análise inconsistente. Clareza O gráfico deve possibilitar uma correta interpretação dos valores representativos do fenômeno em estudo. o Veracidade o gráfico deve expressar a verdade sobre o fenômeno em estudo
Estatística Descritiva Construção de Gráficos o Propor um título auto explicativo. o Escolher o tipo de gráfico apropriado para a apresentação dos dados. o Rotular os eixos apropriadamente, incluindo unidades de medida. o Escolher adequadamente as escalas dos eixos para não distorcer a informação que se pretende transmitir. Se o objetivo for comparar as informações de dois os mais gráficos, use a mesma escala. o Incluir indicações de quebra nos eixos para mostrar que a origem (zero) está deslocada. o Alterar as dimensões do gráfico até encontrar o formato adequado. o Incluir uma legenda. o Tomar cuidado com a utilização de áreas para comparações, pois elas variam com o quadrado das dimensões lineares. o Não exagerar nas ilustrações que acompanham o gráfico para não o poluir visualmente, mascarando seus aspectos mais relevantes.
Estatística Descritiva Tipos de Gráficos É importante escolher um tipo de gráfico apropriado para o tipo de dados que você está apresentando. Isto determinará como os dados podem ser interpretados quando colocados em formato de gráfico. Gráficos de Linha Gráficos de barras Gráficos de colunas Gráficos de Área Gráficos de Setores Gráficos polares Gráficos de Intervalo Gráficos de dispersão Gráficos de formas Gráfico de Caixa Gráficos de estoque
Estatística Descritiva Tipos de Gráficos Gráfico de Dispersão O gráfico, ou diagrama, de dispersão exibe uma série como um conjunto de pontos. Os valores são representados pela posição dos pontos no gráfico. As categorias são representadas por diferentes marcadores no gráfico. Normalmente, os gráficos de dispersão são usados para comparar dados agregados por categorias. constitui a melhor maneira de visualizar a relação entre duas variáveis quantitativas
Estatística Descritiva Tipos de Gráficos Gráfico de Linha Sua construção é feita colocando-se no eixo vertical (y) a mensuração da variável em estudo e na abscissa (x), as unidades da variável numa ordem crescente. Este tipo de gráfico permite representar séries longas, o que auxilia detectar suas flutuações tanto quanto analisar tendências. Variável Resposta, Simbolo (Unidade) 180 165 150 135 120 105 90 75 60 45 30 15 0 Variável Resposta, Simbolo (Unidade) 180 165 150 135 120 105 90 75 60 45 30 15 0 0.2 0.6 1 1.4 1.8 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 Variável de Controle, Simbolo (Unidade) 0.2 0.6 1 1.4 1.8 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 Variável de Controle, Simbolo (Unidade)
Estatística Descritiva Tipos de Gráficos Gráfico Polares Um gráfico polar exibe uma série como um conjunto de pontos agrupados por categoria em um círculo de 360 graus. Os valores são representados pelo comprimento do ponto, conforme medido do centro do círculo. É o gráfico ideal para representar séries temporais que apresentam em seu desenvolvimento determinada periodicidade, por exemplo: -a variação da precipitação pluviométrica ao longo do ano ou da temperatura ao longo do dia; -o consumo de energia elétrica durante o mês ou o ano; - o número de passageiros de uma linha de ônibus ao longo da semana.
Estatística Descritiva Tipos de Gráficos Gráfico de Estoque (stock) É especificamente projetado para dados financeiros ou científicos que usam até quatro valores por ponto de dados. Esses valores se alinham com os valores alto, baixo, aberto e fechado usados para plotar dados de estoque financeiro. Esse tipo de gráfico exibe valores de abertura e fechamento usando marcadores, que geralmente são linhas ou triângulos.
Estatística Descritiva Tipos de Gráficos Gráfico de Intervalo Um gráfico de intervalos exibe um conjunto de pontos de dados que são definidos por diversos valores para a mesma categoria. Os valores são representados pela altura do marcador, de acordo com a medição feita pelo eixo y. Os rótulos de categoria são exibidos no eixo de categoria. O gráfico de intervalos comum preenche a área entre os valores superior e inferior de cada ponto de dados.
Estatística Descritiva Tipos de Gráficos Gráfico de Área Um gráfico de áreas exibe uma série como um conjunto de pontos conectados por uma linha, com toda a área preenchida abaixo da linha
Estatística Descritiva Tipos de Gráficos 180 158.5 Gráfico de Colunas Um gráfico de coluna exibe uma série como um conjunto de barras verticais agrupadas por categoria. Os gráficos de coluna são úteis para mostrar alterações de dados em um período de tempo ou para ilustrar comparações entre itens. Variável Resposta, Simbolo (Unidade) 150 120 90 60 30 0 68.99 42.41 30.03 22.97 18.46 15.34 13.07 11.35 10 8.919 8.035 7.299 6.678 6.147 5.6895.29 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 Variável de Controle, Simbolo (Unidade) OS D EZ EST A D OS EM QUE A C OLET A D E LIXO UR B A N O É M A IS P R EC Á R IA - EM % D A P OP ULA ÇÃ O A T EN D ID A 80 70 60 50 40 30 20 10 0 75 76 68 71 66,5 62 48 51,5 55 26,5 M A PI PA TO AP AC CE AM RR BA EST ADOS
Estatística Descritiva Tipos de Gráficos Gráfico de Barras O gráfico de barras é o único tipo de gráfico que exibe dados horizontalmente. Por esse motivo, é conhecido por representar dados que ocorrem com o tempo, com uma data inicial e final finita. Também é conhecido por mostrar informações categóricas uma vez que as categorias podem ser exibidas horizontalmente
Estatística Descritiva Tipos de Gráficos Gráfico de Setores É a representação gráfica de uma série estatística, em círculos, por meios de setores. É utilizado principalmente quando se pretende comparar cada valor da série com o total. Gráficos de setores (pizza) e de rosca junto com os gráficos pirâmide e funil, compõem um grupo de gráficos conhecido como gráficos de Forma
Altura dos Membros da Turma - Dados Brutos - ] Individuo Altura 1 1.93 2 2.03 3 1.66 4 1.76 5 1.86 6 1.77 7 1.83 8 1.90 9 1.79 10 1.81 11 1.79 12 1.77 13 1.90 14 2.00 15 2.02 16 1.77 17 1.74 18 1.91 19 1.80 20 1.82 21 1.77 22 1.76 23 1.61 24 1.90 25 1.84 26 1.69 27 1.79 Aspectos da Forma de Distribuição dos Dados Aspectos Quantitativos de como os Dados se Localizam no espaço Análise Descritiva Bloco Freqüência 1.55 1 1.66 8 1.76 29 1.86 35 1.97 22 2.07 5 Mais 0 Medidas que Permitam representar por meio de um valor único o lugar mais provável de encontra os elementos da amostra, bem como sua variabilidade (MEDIDAS RESUMO)
Distribuição de Freqüências É uma técnica estatística para apresentar uma coleção de objetos classificados de modo a mostrar o número existente em cada classe. O uso desta técnica é conveniente quando se dispõem de uma massa grande de dados Embora se perca alguma informação a respeitos dos dados, a distribuição é útil na investigação das características da variável em estudo.
Distribuição de Freqüências Conceitos Importantes Dados Brutos: são os valores numéricos obtidos após a crítica dos dados. Rol: é o arranjo dos dados brutos em ordem de freqüência crescente ou decrescente. Amplitude total ou range ( R ): é a diferença entre o maior e o menor valor observados. Classes: Intervalos de divisão dos dados Freqüência ( F i ): é o número de vezes que o elemento aparece na amostra, ou o número de elementos pertencentes a uma mesma classe.
Distribuição de Freqüências Conceitos Importantes Número de classes ( K ): não há uma fórmula exata para o cálculo do número de classes. Tipicamente, a estimativa do número de classes é realizado com base número total de observações, n. As duas formas mais usuais são: a) Regra prática : k 5 n 25 = n n > 25 b) Fórmula de Sturges: k = 1+ 3. 22 Log( n)
Distribuição de Freqüências Conceitos Importantes Amplitude das classes, ou intervalo ( h ): é a amplitude total ( R ) dividida pelo número de classes:. Assim como no caso do número de classes ( k ), a amplitude das classes ( h) deve ser aproximada para o maior inteiro. Limites das classes: são os extremos de cada classe e existem diversas maneiras de representá-los, exemplos: 15 20: compreende todos os valores entre 15 e 20, excluindo o 20 15 20: compreende todos os valores entre 15 e 20. 15 20: limite aparente, limite real 14,5 19,5. 15 20: compreende os valores entre 15 e 20, excluindo o 15.
Distribuição de Freqüências Conceitos Importantes Pontos médios das classes (x i ): é a média aritmética entre o limite superior e o limite inferior da classe. Estes pontos estão representando cada um dos dados pertencentes à classe. Assim, se a classe for 15 20, teremos: 17,5 como ponto médio da classe. Freqüência acumulada ( F ac ): é a soma das freqüências das classes. Freqüência relativa (f i ): é a porcentagem de um valor na amostra e é dada por f i =F i /n.
Função Amostral Distribuição de Freqüências Construção Histograma Intervalo, h { { Classes { 0 10 20 30 40 50 60 Numero de Eventos, k Evento k = Numero de Eventos Observados em Cada Classe
Distribuição de Freqüências - Exemplo Histogramas 10000 Observações 5000 Observações
Distribuição de Freqüências Construção Distribuição de Freqüências Função Amostral Intervalo, h f i = ki K 0 10 20 30 40 50 60 Freqüências, f K = Numero de Eventos Observados em Cada Classe
Distribuição de Freqüências - Exemplo Distribuição de Freqüências 10000 Observações 5000 Observações
Probabilidade Função Densidade de Probabilidade Probabilidade é um afirmação numérica sobre a possibilidade de que algo ocorra, quantificando o grau de incerteza dos eventos, variando de 0 a 1, ou 0% a 100%.
Função Densidade de Probabilidade Probabilidade - Exemplo Experimento Probabilístico Jogar um dado de seis faces. Resultado Jogar um 2, {2}. Espaço Amostral {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Evento Jogar um número par {2, 4, 6}.
Função Densidade de Probabilidade Probabilidade - Definições Variável Aleatória Uma variável aleatória é uma função que atribui um número real a cada evento em S, segundo o critério que se deseja observar. Uma variável aleatória é discreta se o número de resultados possíveis for finito ou pode ser enumerado. -2-1 0 1 2 Uma variável aleatória é contínua se pode assumir qualquer valor dentro de determinado intervalo. O número de resultados possíveis não pode ser listado. Variáveis aleatórias contínuas são determinadas por medições. Número de resultados infinitos
Função Densidade de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Função que descreve a chance que uma variável pode assumir ao longo de um espaço de valores. Uma distribuição de probabilidade pode ser discreta (como em um jogo de dados) ou contínua. É comum o uso de funções que se ajustem à distribuição de probabilidade.
Função Densidade de Probabilidade Densidade de Probabilidade Função Amostral Intervalo, h p i = ki K h 0 10 20 30 40 50 60 Densidade de Probabilidade K = Numero de Eventos Observados em Cada Classe
Distribuição de Freqüências - Exemplo Densidade de Probabilidade 1000 Observações 10000 Observações 5000 Observações 10 6 Observações
Função Densidade de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Aprox. da F.D.P Função Amostral Intervalo, h f.d.p