Dinâmica das Máquinas Restrições cinemáticas Prof. Juliano G. Iossaqui Engenharia Mecânica Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Londrina, 2017 Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 07 Londrina, 2017 1 / 10
Objetivos 1 Coordenadas generalizadas 2 Restrições cinemáticas 3 Mecanismo com restrição cinemática Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 07 Londrina, 2017 2 / 10
Coordenadas generalizadas Considere um sistema de N partículas. A configuração desse sistema é especificada dando a localização de todas as partículas. Por exemplo Y y r θ x X Considere uma partícula movendo-se no plano. A posição da partícula pode ser descrita por coordenadas retangulares: (x, y) coordenadas polares: (r, θ) Os parâmetros que servem para determinar de forma unívoca a configuração de um mecanismo se denominam coordenadas generalizadas. Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 07 Londrina, 2017 3 / 10
Restrições cinemáticas Em geral, uma partícula não pode se mover livremente. Por exemplo Y y r θ x X Considere uma partícula movendo-se ao longo de uma circuferência de raio r. A posição da partícula pode ser descrita por coordenadas retangulares: (x, y) coordenadas polares: (r, θ) Contudo, uma equação extra é necessário para descrever a restrição: x 2 + y 2 = r 2 Dessa forma, a configuração da partícula pode ser determinada por uma única coordenada generalizada. Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 07 Londrina, 2017 4 / 10
Restrições cinemáticas Em geral, as restrições cinemáticas podem ser classificadas em restrições holônomicas ou vínculos holônomos. restrições não holonômicas. Suponha que a configuração de um sistema seja especificada por n coordenadas generalizadas (q 1,..., q n ). Restrições são chamadas holonômicas quando podem ser expressas por f j (q 1,..., q n, t) = 0 para j = 1,..., m Sistemas que possuem restrições holômicas são denominados de sistemas holômicos. O número de graus de liberdade de um sistema holômico é dado por M = n m Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 07 Londrina, 2017 5 / 10
Restrições cinemáticas Considere novamente uma partícula movendo-se ao longo de uma circunferência. A equação que restringe o movimento da partícula sobre a circunferência x 2 + y 2 = r 2 é uma restrição holonômica. Agora considere um cilindro rolando sem deslizar ao longo de uma linha reta. θ r v sem deslizar A condição de rolar sem deslizar pode ser representado por v = R θ A integração dessa condição resulta em s = Rθ que é uma restrição holonômica. Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 07 Londrina, 2017 6 / 10
Restrições cinemáticas Restrições não holonômicas tem a forma geral dada por f j (q 1,..., q n, q 1,..., q n, t) = 0 para j = 1,..., m Sistemas que possuem restrições não holômicas são denominados de sistemas não holômicos. Considere um robô com duas rodas se deslocando no plano y y θ x A equação que restringe o movimento lateral do robô ẏ cos θ ẋ sen θ = 0 é uma restrição não holonômica. Note que o número de graus de liberdade não é dado por n m. x Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 07 Londrina, 2017 7 / 10
Mecanismo com restrição cinemática Análise de posição B 0 C 0 r R q B C A S 0 S Configuração inicial (A 0 = 0). Configuração deslocada. A posição do mecanismo é dada pelas equações (B 0 q) cos C + r sen A S = 0 (B 0 q) sen C r cos A R = 0 com B 0 = S0 2 +(R + r)2, onde S 0 será considerado conhecido. Seja q uma variável conhecida e C, A e S variáveis desconhecidas. Para obter as variáveis desconhecidas é necessário uma outra equação. Essa outra equação é dada pela restrição holonômica S 0 S RA = 0 Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 07 Londrina, 2017 8 / 10
Mecanismo com restrição cinemática Análise de velocidade Derivando em relação ao tempo as equações de posições obtém-se as equações de velocidades (B 0 q) cos C + r sen A S = 0 (B 0 q) sen C r cos A R = 0 S 0 S RA = 0 q cos C (Bo q)ċ sen C + rȧ cos A Ṡ = 0 q sen C +(Bo q)ċ cos C + rȧ sen A = 0 Ṡ RȦ = 0 que podem ser escritas na forma matricial da seguinte forma (Bo q) sen C r cos A 1 Ċ (Bo q) cos C r sen A 0 Ȧ = q cos C sen C } 0 {{ R 1 } Ṡ 0 J(C,A,S) Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 07 Londrina, 2017 9 / 10
Mecanismo com restrição cinemática Análise de aceleração Derivando em relação ao tempo as equações de velocidades q cos C (Bo q)ċ sen C + rȧ cos A Ṡ = 0 obtém-se as equações de acelerações q sen C +(Bo q)ċ cos C + rȧ sen A = 0 Ṡ RȦ = 0 q cos C + 2 qċ sen C (Bo q) C sen C (Bo q)ċ 2 cos C......+rÄ cos A rȧ2 sen A S = 0 q sen C 2 qċ cos C +(Bo q) C cos C (Bo q)ċ 2 sen C......+rÄ sen A+rȦ2 cos A = 0 S RÄ = 0 que podem ser escritas na forma matricial da seguinte forma [ ] [ ] [ ] C cos C r sen A (Bo q) cos C 2 qċ sen C J(C, A, S) Ä = q sen C +Ȧ2 r cos A +Ċ 2 (Bo q) sen C + 2 qċ cos C S 0 0 0 0 Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 07 Londrina, 2017 10 / 10