angular, fase (PM) e frequência (FM)

Modulação de Onda Contínua - Modulação angular, fase (PM) e frequência (FM) 11 de março de 2014 Modulação de Onda Contínua - Modulação angular, fase (PM) 1

Conteúdo 1 Introdução 2 Definições de PM e FM 3 Modulação em frequência Modulação de Onda Contínua - Modulação angular, fase (PM) 2

Sumário 1 Introdução 2 Definições de PM e FM 3 Modulação em frequência Modulação de Onda Contínua - Modulação angular, fase (PM) 3

Introdução Amplitude constante Variação da fase da portadora em função a informação em baixa frequência Mais robusto em relação ao ruído que o sinal AM Possibilidade de controlar a robusteza em relação ao ruído com o compromisso de aumentar a banda passante s(t) = A c cos [θ i (t)] Frequência média dentro do intervalo t f t (t) = θ i(t + t) θ i (t) 2π t Modulação de Onda Contínua - Modulação angular, fase (PM) 4

Frequência instantânea f i (t) = lim f t(t) t 0 1 dθ i (t) 2π dt Em uma simples portadora não modulada: θ i (t) = 2πf c t + φ c Modulação de Onda Contínua - Modulação angular, fase (PM) 5

Sumário 1 Introdução 2 Definições de PM e FM 3 Modulação em frequência Modulação de Onda Contínua - Modulação angular, fase (PM) 6

As duas formas mais comuns de modulação angular - fase (PM) e frequência (FM) PM O ângulo da portadora varia linearmente com a informação: θ i (t) = 2πf c t + k p m(t) s(t) = A c cos [2πf c t + k p m(t)] FM A frequência instantânea da portadora varia linearmente com a informação: f i (t) = f c + k f m(t) t θ i (t) = 2πf c t + 2πk f m(τ)dτ t ] s(t) = A c cos [2πf c t + 2πk f m(τ)dτ 0 0 Modulação de Onda Contínua - Modulação angular, fase (PM) 7

Modulação de Onda Contínua - Modulação angular, fase (PM) 8

Propriedades da modulação angular 1 Potência transmitida constante. P av = A2 c, independente da 2 amplitude da entrada. Facilita o uso de amplificadores que possam conter não linearidade. 2 A modulação angular é não linear: m(t) = m 1 (t) + m 2 (t) s(t) = A c cos[2πf c t + k p (m 1 (t) + m 2 (t))] s 1 (t) = A c cos[2πf c t + k p m 1 (t)] s 2 (t) = A c cos[2πf c t + k p m 2 (t)] s(t) s 1 (t) + s 2 (t) Modulação de Onda Contínua - Modulação angular, fase (PM) 9

Propriedades da modulação angular 3 Irregularidade de cruzamento em zero. As posições de cruzamento em zero não indicam diretamente o sinal modulante como na AM 4 Dificuldade na visualização da forma de onda da mensagem. 5 Relação de compromisso entre o aumento da largura de banda de transmissão e a melhora do desempenho em relação ao ruído. Modulação de Onda Contínua - Modulação angular, fase (PM) 10

Relação entre Modulação PM e FM t ] s(t) = A c cos [2πf ct + 2πk f m(τ) dτ 0 s(t) = A c cos[2πf ct + k pm(t)] Modulação de Onda Contínua - Modulação angular, fase (PM) 11

Sumário 1 Introdução 2 Definições de PM e FM 3 Modulação em frequência Modulação de Onda Contínua - Modulação angular, fase (PM) 12

Modulação em frequência Para a análise da ocupação espectral do sinal modulado em relação a ocupação espectral do sinal banda base Não é uma operação linear. Dois testes vão responder essa pergunta: 1 Modulação de único tom - sinal FM de banda estreita 2 Modulação de único tom - sinal FM de banda larga Modulação de Onda Contínua - Modulação angular, fase (PM) 13

Modulação em único tom m(t) = A m cos(2πf m t) Freq. instantânea: f i (t) = f c + k f A m cos(2πf m t) = f c + f cos(2πf m t) f = k f A m, desvio de frequência. θ i (t) = 2π t 0 f i (τ)dτ = 2πf c t + f f m sen(2πf m t) β = f f m, índice de modulação. s(t) = A c cos [2πf c t + β sen(2πf m t)] Se β << 1rad, modulação de banda estreita. Se β >> 1rad, modulação de banda larga. Modulação de Onda Contínua - Modulação angular, fase (PM) 14

Geração do Sinal FM Banda Estreita se β << 1rad, então cos[β sen(2πf m t)] 1 e sen[β sen(2πf m )] β sen(2πf m t) s(t) = A c cos(2πf c t) βa c sen(2πf c t) sen(2πf m t) Modulação de Onda Contínua - Modulação angular, fase (PM) 15

Geração do Sinal FM Banda Larga Representação complexa de sinais passa-faixa do sinal FM: s(t) = R [ A c e (j2πfct+jβ sen(2πfmt))] Separando a envoltória complexa de s(t) do sinal FM: s(t) = R [ s(t)e j2πfct] O sinal s(t) pode ser separado em uma série de Fourier que finalmente a amplitude dos coeficientes é a função de Bessel de ordem n em função do índice de modulação β s(t) = A c n= J n (β) cos [2π(f c + nf m )t] Modulação de Onda Contínua - Modulação angular, fase (PM) 16

Geração do Sinal FM Banda Larga s(t) = n= c n = f m 1/2fm c n e j2πnfmt 1/2f m s(t)e j2πnfmt dt 1/2fm = f m A c e jβ sen(2πfm) j2πnfmt dt 1/2f m Fazendo x = 2πf m t π = A c e j(β sen x nx) dx 2π π J n (β) = 1 A π c e j(β sen x nx) dx 2π 2π π c n = A c J n (β) Modulação de Onda Contínua - Modulação angular, fase (PM) 17

Interpretação do sinal FM Banda Larga s(t) = A c n= J n (β) cos [2π(f c + nf m )t] A FM contém a portadora e um conjunto infinito de frequências laterais (f m, 2f m, 3f m,...), cada uma ponderada pela função de Bessel de ordem n J n (β). AM só continha uma banda lateral. Com β << 1rad só sobra J 0 (β) e J 1 (β). O que evidenciamos no sinal FM de banda estreita. S(f) = A c J n (β)[δ(f f c nf m ) + δ(f + f c + nf m )] 2 n= Modulação de Onda Contínua - Modulação angular, fase (PM) 18

Funções de Bessel de Primeira Espécie Modulação de Onda Contínua - Modulação angular, fase (PM) 19

Algumas Propriedades de J n (β) 1 J n (β) = ( 1) n J n (β), para todo n 2 Para valores pequenos do índice de modulação, β, temos: J 0 (β) 1, J 1 (β) β 2, J n(β) 0, n 2 3 n= J 2 n(β) = 1 4 Potência do sinal P = A2 c 2 = A2 c 2 n= J 2 n(β) Modulação de Onda Contínua - Modulação angular, fase (PM) 20

β J 0 J 1 J 2 J 3 J 4 J 5 J 6 J 7 J 8 J 9 J 10 J 11 J 12 0,00 1,00 --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- 0,25 0,98 0,12 --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- 0,50 0,94 0,24 0,03 --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- 1,00 0,77 0,44 0,11 0,02 --- --- --- --- --- --- --- --- --- 1,50 0,51 0,56 0,23 0,06 0,01 --- --- --- --- --- --- --- --- 2,00 0,22 0,58 0,35 0,13 0,03 0,01 --- --- --- --- --- --- --- 2,50-0,05 0,50 0,45 0,22 0,07 0,02 --- --- --- --- --- --- --- 3,00-0,26 0,34 0,49 0,31 0,13 0,04 0,01 --- --- --- --- --- --- 3,50-0,38 0,14 0,46 0,39 0,20 0,08 0,03 0,01 --- --- --- --- --- 4,00-0,40-0,07 0,36 0,43 0,28 0,13 0,05 0,02 --- --- --- --- --- 4,50-0,32-0,23 0,22 0,42 0,35 0,19 0,08 0,03 0,01 --- --- --- --- 5,00-0,18-0,33 0,05 0,36 0,39 0,26 0,13 0,05 0,02 0,01 --- --- --- 5,50-0,01-0,34-0,12 0,26 0,40 0,32 0,19 0,09 0,03 0,01 --- --- --- 6,00 0,15-0,28-0,24 0,11 0,36 0,36 0,25 0,13 0,06 0,02 0,01 --- --- 6,50 0,26-0,15-0,31-0,04 0,27 0,37 0,30 0,18 0,09 0,04 0,01 --- --- 7,00 0,30 0,00-0,30-0,17 0,16 0,35 0,34 0,23 0,13 0,06 0,02 0,01 --- 7,50 0,27 0,14-0,23-0,26 0,02 0,28 0,35 0,28 0,17 0,09 0,04 0,02 0,01 8,00 0,17 0,23-0,11-0,29-0,11 0,19 0,34 0,32 0,22 0,13 0,06 0,03 0,01 Modulação de Onda Contínua - Modulação angular, fase (PM) 21

Modulação FM com sinal modulador de amplitude fixa e frequência variável Modulação de Onda Contínua - Modulação angular, fase (PM) 22

Estimação da Largura de Banda de um Sinal FM Regra de Carson ( ) B T 2 f + 2f m = 2 f 1 + 1 β Critério de 1% Manter o número máximo de frequências laterais significativas cujas amplitudes sejam maiores que 1% da amplitude da portadora não modulada B T = 2n max f m, onde n max é o maior inteiro, n, que satisfaz, J n (β) > 0.01 Modulação de Onda Contínua - Modulação angular, fase (PM) 23

Frequências Laterais Significativas de um Sinal FM Modulação de Onda Contínua - Modulação angular, fase (PM) 24

Curva Universal Modulação de Onda Contínua - Modulação angular, fase (PM) 25

Exemplo de estimação de banda passante Considere o máximo desvio de frequência estipulado em f = 75KHz e a máxima frequência do sinal em banda base definida em W = 15KHz. Estimar a banda passante do sinal modulado FM comercial através dos critérios de Carlson e de 1%. Modulação de Onda Contínua - Modulação angular, fase (PM) 26

Geração Indireta de um Sinal FM Banda Larga Para transmissão comercial - estabilidade da portadora. Primeiro gera um sinal FM de banda estreita e depois passa-se por um multiplicador de frequências. Modulação de Onda Contínua - Modulação angular, fase (PM) 27

Multiplicador de Frequências Modulação de Onda Contínua - Modulação angular, fase (PM) 28

Demodulação direta - discriminador de frequências Circuito rampa seguido de um detector de envoltória Resposta em frequência do circuito rampa: s(t) = R [ s(t)e j2πfct] [ ] S(f) = R S(f fc ) Modulação de Onda Contínua - Modulação angular, fase (PM) 29

Demodulação direta - discriminador de frequências S 1 (f) = 1 2 H 1 (f) S(f) ( j4πa f + B ) T, B T H 1 (f) = 2 2 f B T 2 0, caso contrário A multiplicação por j2πf na frequência é derivar no domínio do tempo [ s 1 (t) = jπb T aa c 1 + 2k ] f m(t) e j2πk t f 0 m(τ)dτ B T s 1 (t) = R [ s 1 (t)e j2πfct] = [ πb T aa c 1 + 2k ] 1 f m(t) cos [2πf c t + 2πk f m(τ)dτ + π ] B T 0 2 Modulação de Onda Contínua - Modulação angular, fase (PM) 30

Demodulação direta - discriminador de frequências Modulação de Onda Contínua - Modulação angular, fase (PM) 31

Demodulação direta - discriminador de frequências 2k f m(t) B T < 1 s 1 (t) = πb T aa c [ 1 + 2k f ] m(t) B t H 2 (f) = H 1 ( f) [ s 2 (t) = πb T aa c 1 2k ] f m(t) B t s 0 (t) = s 1 (t) s 2 (t) = 4πk f aa c m(t) Modulação de Onda Contínua - Modulação angular, fase (PM) 32

Demodulação Indireta - PLL Oscilador controlado por tensão - VCO Detector de fase - PD - multiplicador Filtro passa baixa - F (f) Modulação de Onda Contínua - Modulação angular, fase (PM) 33

Demodulação Indireta - PLL O sinal de entrada da PLL - s(t) = A c sen [2πf c t + φ 1 (t)] t φ 1 (t) = 2πk f m(τ)dτ 0 O sinal na saída do VCO - r(t) = A v cos [2πf c t + φ 2 (t)] t φ 2 (t) = 2πk v v(τ)dτ 0 Na saída do detector de fase (multiplicador): sen(a + b) + sen(a b) O filtro f(t) rejeita a componente sen(a + b) Então vamos considerar a operação de filtragem para somente a componente sen(a b) e(t) = k m A c A v sen[φ e (t)] t φ e (t) = φ 1 (t) 2πk v v(τ)dτ E v(t) = 0 e(τ)h(t τ)dτ Modulação de Onda Contínua - Modulação angular, fase (PM) 34

Demodulação Indireta - PLL Fazendo a derivada para φ e (t) e aplicando a definição de v(t): φ e (t) dt = φ 1(t) dt 2πK 0 sen[φ e (τ)]h(t τ)dτ K 0 = k m k v A c A v Quando a PLL está sintonizada locked o erro de fase é pequeno e portanto: sen[φ e (t)] φ e (t) Modulação de Onda Contínua - Modulação angular, fase (PM) 35

Demodulação Indireta - PLL Substituindo as derivadas de fase pelas tensões v(t) e m(t) e a fase da sáida filtrada como φ ef (t): 2πK v v(t) = 2πK f m(t) 2πK v K m A c A v φ ef (t) v(t) = K f K v m(t) K m A c A v φ ef (t) Quando a PLL está próxima ao bloqueio de fase K m A c A v φ ef (t) 0 Modulação de Onda Contínua - Modulação angular, fase (PM) 36

FM estéreo Modulação de Onda Contínua - Modulação angular, fase (PM) 37