Telecomunicações 1 LEEC DEEC / FEUP. Trabalho n o 2

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1 Telecomunicações LEEC DEEC / FEUP Trabalho n o 2 Modulação de frequência Conteúdo Objectivos 2 Preliminares teóricos 3 Experiências 4 3. Modulação FM (método directo) Sinais e espectros Funções de Bessel e larguras de banda Modulação de FM usando o método de Armstrong (método indirecto) Desmodulação de FM com uma PLL (trabalho de casa) Objectivos O objectivo deste trabalho é estudar a modulação de sinais em frequência. Aplicando as diversas técnicas de modulação e desmodulação, verificaremos algumas das propriedades dos sinais de FM, nomeadamente no que diz respeito ao respectivo espectro. 2 Preliminares teóricos Um sinal modulado em FM é dado genericamente pela equação: t ] (t) =A c cos [2πf c t +2πk f x(t)dt em que x c (t) =A c cos(2πf c t) representa a portadora, x(t) é o sinal modulador e k f éa sensibilidade em frequência do modulador (ou constante do modulador), expressa em Hz/V. Se o sinal modulador for sinusoidal, x(t) =A m cos(2πf m t), a expressão do sinal FM fica: t ] (t) = A c cos [2πf c t +2πk f A m cos(2πf m t)dt = A c cos [2πf c t + β sin(2πf m t)] em que β = f f m = k f A m f m representa o índice de modulação, em rad, e f é o desvio de frequência, em Hz, pelo que a frequência instantânea de (t) varia entre f c f e f c + f (já queafrequência instantânea de cos[θ(t)] é dθ(t) Hz). 2π dt

2 O desenvolvimento matemático do sinal (t) conduz àrepresentação em série de Fourier: (t) =A c + n= J n (β)cos[2π(f c + nf m )t] onde J n (β) representa a função de Bessel de primeira espécie de ordem n e argumento β. O espectro do sinal (t) é um espectro de riscas situadas em f c ± nf m, representado analiticamente por: X FM (f) = A c 2 + n= J n (β)[δ(f f c nf m )+δ(f + f c + nf m )] Na Figura encontra-se um exemplo de um sinal de FM acompanhado do respectivo sinal modulador. Como se constata, a amplitude da portadora do sinal de FM é constante, ao contrário do que se passa em AM, onde a amplitude varia de acordo com o sinal modulador. No sinal de FM éafrequência instantânea que varia com o sinal modulador (na gama de frequências f c ± f) x(t), xfm(t) Tempo (s) Figura : Sinal modulado em frequência e respectivo sinal modulador A largura de banda deste sinal pode ser definida de várias formas. Uma delas é a conhecida regra de Carson: B =2(β +)f m (regra de Carson) Uma outra define a largura de banda como o intervalo entre as duas riscas espectrais para além das quais a amplitude das riscas é sempre inferior a % da amplitude da portadora não modulada, isto é, as riscas para as quais J n (β) >,. A largura de banda vale, portanto B =2n max f m (regra dos 99%) em que 2n max éonúmero de riscas laterais significativas. Na prática, a modulação de frequência é obtida usando um dos seguintes métodos: 2

3 método directo, recorrendo a um oscilador controlado por tensão (VCO); método indirecto (ou método de Armstrong), onde se parte de um sinal de FM de banda estreita para atingir um sinal de FM com as características desejadas. método integralmente digital, recorrendo a sintetizadores de frequência do tipo DDS (Direct Digital Synthesizer). Este é o método mais flexível, preciso, e que oferece menor distorção. Um sinal de FM de banda estreita é obtido quando o índice de modulação émuitopequeno. Nesse caso, a expressão de (t) para um sinal modulador sinusoidal pode ser simplificado para: (t) =A c cos(2πf c t) βa c sin(2πf c t)sin(2πf m t) podendo ser realizado com o circuito da Figura 2. Sinal modulador e j π 2 FM de banda estreita Portadora Figura 2: Diagrama de blocos para obtenção de um sinal de FM de banda estreita. Este sinal de banda estreita deverá ser multiplicado em frequência por um factor k para que oíndice de modulação final atinja o valor pretendido β final = kβ. A desmodulação de um sinal de FM é realizada através de um dos seguintes métodos: circuito discriminador de frequência malha de captura de fase - PLL (Phase-Locked Loop). processadores digitais de sinal que recuperam o sinal modulador através de cálculo numérico. Na Figura 3 encontra o diagrama de blocos de uma malha de captura de fase. Após aquisição da fase do sinal de entrada, a frequência do VCO da PLL acompanha a frequência instantânea do sinal de entrada. Deste modo, a tensão de controlo do VCO terá a mesma forma do sinal modulador aplicado no emissor. A tensão do VCO é posteriormente filtrada para que as componentes de alta frequência geradas pelo detector de fase sejam removidas. 3

4 Sinal FM detector de fase Filtro da malha Filtro de saída Sinal desmodulado VCO Figura 3: Diagrama de blocos de uma malha de captura de fase PLL. 3 Experiências Neste trabalho vamos considerar um sinal sinusoidal que vai modular uma portadora em frequência. Veremos então como a largura de banda do sinal de FM resultante vai depender não só dafrequência f m do sinal modulador mas também da sua amplitude, o que não acontecia em AM, onde a largura de banda apenas dependia da frequência f m. Do conjunto de experiências fazem parte: modulação FM usando o método directo (estudo de sinais, espectros e larguras de banda em FM); geração de um sinal de FM usando o método de Armstrong; desmodulação de FM com uma PLL. 3. Modulação FM (método directo) 3.. Sinais e espectros Inicie uma sessão Simulink executando o comando: simulink 2 Abra uma janela de simulação onde vai colocar os diversos blocos (grave com o nome fm.mdl, por exemplo). Os parâmetros de simulação a usar nesta experiência devem ser: Start time:. Stop time:. Solver type: ode5(dormand-price), fixed step Step size: / 4

5 3 Crie um diagrama de blocos que realize um modulador de FM usando o método directo, ou seja, o método que implementa directamente a função: t ] (t) = A c cos [2πf c t +2πk f x(t)dt { t } = A c cos 2π [f c + k f x(t)] dt Um diagrama de blocos possível está representado na figura seguinte: x Sine Wave Kf Sum s Integrator 2*pi Gain cos Carrier Ac xfm Mux Mux Scope fc xfm To Workspace 4 Configure os diversos blocos de modo a que o modulador de FM possua as seguintes características: amplitude do sinal modulador: A m =V frequência do sinal modulador: f m = 2 Hz amplitude da portadora: A c =V frequência da portadora: f c =khz constante do modulador: k f =2kHz/V 5 Calcule o desvio de frequência e o índice de modulação correspondentes aos sinais anteriores: desvio de frequência: f = índice de modulação: β = Hz rad 6 Inicie a simulação e observe, no mesmo scope o sinal modulador e sinal de FM, numa gama temporal de 5 ms. Repare que a frequência instantânea máxima no sinal de FM ocorre quando o sinal modulador atinge o valor máximo, e que a frequência instantânea mínima de xfm ocorre com valor mínimo de x. 7 Altere agora a constante do modulador, k f,demodoqueoíndice de modulação seja β = 5 rad e efectue nova simulação. constante do modulador: k f = khz/v Estime a largura de banda ocupada pelo sinal de FM usando a regra de Carson: Largura de banda: B = Hz 5

6 8 Transfira para o workspace do Matlab 2 6 amostras do sinal xfm efaçaarepresentação gráfica do espectro de amplitudes do vector xfm na gama f c ± 3kHz: > > fs = ; fc = ; > > psd(xfm,2^4,fs); > > axis([fc-3 fc+3-3]) > > xlabel( Frequ^encia (khz) ) > > title( Densidade espectral de potencia de FM ) 3 Densidade espectral de potencia de FM 25 2 Power Spectrum Magnitude (db) Frequência (khz) x 4 Observe que o espectro do vector xfm é um espectro de riscas espaçadas de f m. A largura de banda que consegue estimar no gráfico tem um valor próximodoque tinha calculado? 9 Repita o procedimento anterior quando a amplitude e a frequência do sinal modulador são variadas. O que acontece à densidade espectral de potência? 3..2 Funções de Bessel e larguras de banda As amplitudes das riscas do espectro (que é simétrico em relação à risca na frequência da portadora) estão relacionadas com as funçõesdebesselde a espécie (J n (β)). Estas funções serão analisadas mais em detalhe nesta secção. Represente graficamente as funçõesdebesselde a espécie, J n (β), para n =,,...6 e β. Sobreponha a este gráfico os valores das funções de Bessel para o caso β =5 que tem vindo a ser considerado. > > beta = :.:; > > bj=besselj(:6, beta ); > > bj5 = besselj(:6,5); > > plot(beta,bj,5,bj5, * ) 6

7 > > grid on > > title( Funç~oes de Bessel da a espécie ) > > xlabel( Índice de modulaç~ao (\beta) ) Funções de Bessel da ª espécie Índice de modulação (β) Repare que no gráfico de J n (β) existemvaloresdeβ para os quais não existe sequer risca espectral àfrequência da portadora (por exemplo para β =2,4 e β = 5,52). 2 Calcule, analiticamente, a potência média do sinal de FM, P FM, dissipada numa resistência de Ω : Potência média: P FM = W 3 Estime a potência média do sinal de FM representado no vector xfm: > > Pfm=mean(xfm.^2) 4 Determine, a partir das funções de Bessel e usando comandos Matlab, a percentagem da potência total o sinal FM contida na banda definida pela regra de Carson. Relação de potências: P B Carson P FM = % 5 Repita o ponto anterior agora para o critério dos 99%. Pode obter o número de riscas a considerar para o cálculo da largura de banda através do comando: > > beta = 5; > > nmax = sum(abs(besselj(:99,beta)) >.); Relação de potências: P B 99% P FM = % 7

8 6 Generalize a análise anterior para outros valores de β. Usando a função besselj(), complete a tabela seguinte, relativa ao critério de 99%: β,,2,5, 2, 5,, 2, 3, 2n max Para preencher a tabela pode usar o seguinte código > > beta = [ ]; > > nmax = 2*sum(abs(besselj(:99,beta ) ) >=.) 7 Façaarepresentação gráfica de B em função de β sobrepondo no mesmo gráfico as f curvas relativas à regra de Carson e à regra dos 99%. Considere, por exemplo, 2 valores de β igualmente espaçados entre, e 3: > > beta = linspace(., 3, 2); > > fm = 2; > > delta_f = beta*fm; > > B_carson = 2*(beta+)*fm; > > B_99 = 2*sum(abs(besselj(:99,beta ) >=.))*fm; > > plot(beta, B_carson./delta_f, beta, B_99./delta_f) > > xlabel( Índice de modulaç~ao (\beta) ) > > ylabel( B/\Deltaf ) Constatou que à medida que o índice de modulação aumenta a largura de banda se vai aproximando do dobro do desvio de frequência, 2 f, deixando de depender da frequência f m? Reparou também que a regra de Carson subestima o valor da largura de banda relativamente ao critério dos 99%, para β<5? Como nota final, se β então J (β), J (β) β e J 2 n(β) paran>2, ou seja, só J (β) ej (β) têm valores significativos. Esta situação corresponde àsituação de FM de banda estreita: (t) =A c J (β)cos(2πf c t)+a c J (β) {cos[2π(f c + f m )] + cos[2π(f c f m )]} Quer tudo isto dizer que: β B 2f m β B 2 f Nos casos intermédios de β deveremos usar ou a regra de Carson ou a regra dos 99%. 3.2 Modulação de FM usando o método de Armstrong (método indirecto) Pretende-se gerar um sinal de FM de banda larga a partir de um sinal de FM de banda estreita. 8

9 Crie um sinal de FM de banda estreita de acordo com o diagrama de blocos da Figura 2. Um modelo Simulink possível para este modulador está apresentado a seguir..2 Scope Sine Wave beta sin Carrier Product Sum n u v Math Function Scope fc s Integrator 2*pi Gain cos Carrier xnbfm To Workspace xwbfm To Workspace 2 Configure os diversos blocos de modo a produzir um sinal de FM de banda estreita com as seguintes propriedades: amplitude do sinal modulador: A m =V frequência do sinal modulador: f m = 2 Hz amplitude da portadora: A c =V frequência da portadora: f c =khz índice de modulação: β =,2rad Quantas riscas espectrais laterais tem o espectro deste sinal de FM (xnbfm)? E qual a sua largura de banda? Número de riscas laterais: 2n max = Largura de banda: B = Hz 3 Represente os espectros de amplitude do sinal de FM de banda estreita (use escalas de frequência adequadas). Confirma os valores encontrados no ponto anterior? 4 Multiplique em frequência, por, o sinal de FM de banda estreita. Para tal pode, por exemplo, elevar o sinal àdécima potência e filtrá-lo com um filtro passa-banda (ou mesmo passa-alto) com largura de banda adequada. Quais são agora os novos valores para os seguintes parâmetros: Frequência da portadora: f c = Desvio de frequência: f = Índice de modulação: β = rad Hz Hz 5 Represente a densidade espectral de potência do sinal de FM de banda larga (xwbfm). Como verifica, deixou-se de ter apenas duas riscas espectrais laterais, havendo agora várias componentes espectrais, como étípico num sinal de FM de banda larga. 9

10 3.3 Desmodulação de FM com uma PLL (trabalho de casa) Nesta experiência um sinal de FM irá ser desmodulado com um dos mais importantes circuitos na electrónica das comunicações: a malha de captura de fase, vulgarmente designada por PLL. Apartirdomodelodesimulação criado para o modulador de FM usando o método directo (fm.mdl) crie um subsistema e mascare-o de modo a obter um bloco designado VCO com os seguintes parâmetros de configuração: Amplitude da portadora em V Frequência da portadora em Hz Fase da portadora em rad Sensibilidade do VCO em Hz/V 2 Com o auxílio do bloco VCO, gere um sinal de FM com as seguintes características: amplitude do sinal modulador: A m =V frequência do sinal modulador: f m =khz amplitude da portadora: A c =V frequência da portadora: f c =khz sensibilidade do modulador: k f =2 khz/v 3 Crie um modelo Simulink (fm pll.mdl) que realize um desmodulador de FM baseado numa PLL, capaz de desmodular um sinal de FM gerado no ponto anterior. Para o filtro da malha use um filtro passa-baixo Butterworth de primeira ordem com frequência de corte,2 khz. Para o filtro de saída use um semelhante ao anterior mas de oitava ordem. O VCO da PLL tem iguais características ao usado no modulador 4 Mude a frequência de oscilação do VCO da PLL cerca de % (para cima e para baixo) e tire conclusões. Altere também a sensibilidade deste VCO e justifique o efeito ocorrido. HCM Versão 2.2 Março de 23