Investigac a o Operacional

Mestrado Integrado em Engenharia Meca nica Investigac a o Operacional 2011.01.07 Prova com consulta Alunos admitidos a exame com avaliac a o contı nua Durac a o: 2h30 London Heathrow Airport London Heathrow Airport, in the London Borough of Hillingdon, is the largest airport in the United Kingdom and the fourth busiest airport in the world (in 2010, due to reduced traffic blamed on the Eyjafjallajo kull volcano) in terms of total passenger traffic and it handles more international passengers than any other airport in the world. It is also the busiest airport in the European Union in terms of passenger traffic and the second busiest in Europe in terms of traffic movements, second to Paris CDG airport in Paris, France. The airport is owned and operated by BAA, who also own and operate five other UK airports. Heathrow is 12 nautical miles west of Central London, and has two parallel main runways spanning eastto-west and four operational terminals. The site covers 12.14 square kilometres. Terminal 5 was officially opened by Queen Elizabeth II on 14 March 2008 and opened to passengers on 27 March 2008. Construction of a new Terminal 2 complex to replace the terminal building and adjacent Queen s Building began in 2009; the first phase is expected to open in 2014. Terminals 3 and 4 underwent major refurbishments that began in 2007 and were completed in 2009. In November 2007 a consultation process began for the building of a new third runway and a sixth terminal and it was controversially approved on 15 January 2009 by UK Government ministers. The project was then cancelled on 12 May 2010 by the Cameron Government. 1

1. (20/3 valores) No dia 18 de Dezembro de 2010, depois do maior nevão dos últimos 30 anos em Londres, o aeroporto de Heathrow foi encerrado. Todos os procedimentos de limpeza de pistas e de parques de aviões foram postos em marcha, pois o número de passageiros que se acumulava nos terminais aumentava constantemente levando à ruptura de todas as estruturas de apoio. A comunicação social tem salientado que desde que a BAA, empresa responsável pelas operações no aeroporto, foi adquirida pela espanhola Ferrovial, o investimento em tecnologias para remoção de gelo e neve sofreu uma redução drástica. Os planos de emergência para limpeza do aeroporto em casos de fortes nevões contemplam a limpeza dos parques de aviões dos seus cinco terminais e também as duas pistas (pista Norte e pista Sul). Heathrow tem 69 veículos para remoção de neve e gelo e 60 funcionários especializados nessa tarefa, que formam 6 equipas tal como se representa na tabela 1. Nessa mesma tabela estão representados os tempos médios para remoção de gelo em cada uma das duas pistas e em cada um dos cinco terminais. Número Número Tempo (minutos) necessário Equipa de de para remoção de gelo funcionários veículos Pistas Terminais i f i v i t i1 t i2 t i3 t i4 t i5 t i6 t i7 A 8 5 60 60 40 40 40 40 40 B 13 7 40 40 30 30 30 30 30 C 9 9 60 60 50 50 50 50 50 D 7 6 90 90 70 70 70 70 70 E 15 8 40 40 20 20 20 20 20 F 8 3 100 100 90 90 90 90 90 Tabela 1: Dados relativos a cada uma das equipas de remoção de neve O aeroporto tem capacidade para armazenamento de 500 000 litros de fluido anticongelante e cada veículo pode transportar até 50 000 litros desse fluido. São necessários 100 000 litros de fluido anticongelante para limpar cada uma das pistas e 50 000 litros para limpar cada um dos terminais. O gasto do fluido anticongelante será proporcional à percentagem da pista ou terminal que for limpa por cada equipa. Os veículos utilizados por cada uma das equipas devem ser carregados por igual com fluido anticongelante. Para não haver problemas futuros com os fortes sindicatos do pessoal de terra, pretende-se que o trabalho seja equilibrado entre as equipas. Os responsáveis pela BAA pretendem, obviamente, que o aeroporto fique operacional no mais curto espaço de tempo possível. (a) Decisões i) Descreva por palavras os vários tipos de variáveis de decisão para este problema. ii) Quantas são as variáveis de decisão de cada tipo? Como calculou? iii) Represente matematicamente as variáveis de decisão para este problema. (b) Restrições i) Descreva por palavras os tipos de restrições para este problema. ii) Quantas são as restrições de cada tipo? Como calculou? iii) Represente matematicamente restrições para este problema na forma linear. (c) Objectivo i) Descreva por palavras a função objectivo para este problema. ii) Represente matematicamente essa função objectivo na forma linear. (d) Suponha que vai ter uma reunião com o responsável pela BAA, durante a qual deverá apresentar uma solução admissível para o problema descrito 1 e também o valor da função objectivo para essa solução. Se considerar necessário, recorra a tabelas para representar a solução. 1 Uma solução admissível é um conjunto de valores para as variáveis de decisão que satisfaz todas as restrições do problema. 2

2. (20/3 valores) No ano de 2010, a revista Business Traveler premiou, pelo segundo ano consecutivo, o aeroporto de Heathrow com o título de Best Airport for Tax-Free Shopping. Estes prémios têm-se revelado excelentes campanhas de marketing para as lojas duty-free com concessão neste aeroporto. A Eng. a Leopoldina é gestora da Petit Pontapé, uma empresa nacional especializada em moda infantil. Estando atenta a todas as oportunidades de negócio internacionais, esta conseguiu, depois de um grande esforço negocial, a concessão de uma loja no Terminal 4 do aeroporto de Heathrow para o ano de 2011. A gestora considera que a loja neste aeroporto, à semelhança do que acontece com as outras três lojas duty-free que a Petit Pontapé explora em regime de concessão nos aeroportos de Frankfurt am Main, Paris Charles de Gaulle e Barajas (Madrid), funcionará como uma óptima montra para a marca. A gestora está nesta fase planear a logística associada à reposição dos artigos nas lojas para 2011. A empresa possui três armazéns de onde poderão ser expedidos os artigos: um no Porto, outro em Lisboa e um em Faro. O transporte será assegurado pela DLH, empresa logística multinacional, por via aérea. As disponibilidades mensais dos artigos para expedição são: 20 mil a partir do Porto, 100 mil a partir de Lisboa e 20 mil a partir de Faro. Estima-se que as necessidades da loja do aeroporto de Heathrow sejam de 20 mil produtos e que, à semelhança dos anos anteriores, as de Frankfurt, Paris e Madrid tenham respectivamente as seguintes necessidades: 20 mil, 60 mil e 20 mil produtos. Estas lojas não devem receber mais do que a quantidade estimada como necessária, dada a grande restrição de espaço neste tipo de lojas. As capacidades mensais das rotas da DLH entre as cidades onde se localizam os armazéns e os aeroportos, expressas em milhares de unidades, são as seguintes: Heathrow Frankfurt am Main Charles de Gaulle Barajas Porto 10 30 0 40 Lisboa 10 20 40 5 Faro 0 0 10 50 Tabela 2: Capacidades mensais das rotas da DLH A Eng. a Leopoldina está a avaliar se é possível atender a todas as necessidades mensais das lojas com base na disponibilidade de artigos nos armazéns e na capacidade das rotas do seu operador logístico. (a) Mostre que o problema com que se depara a Eng. a Leopoldina equivale a definir o fluxo máximo de uma origem para um destino. Para isso construa a rede que traduz o problema e represente nesta a capacidade de cada ramo. (b) Indique o corte mínimo da rede. (c) Indique quantos produtos serão expedidos a partir de cada armazém e que quantidade chegará a cada loja duty-free. 3

3. (20/3 valores) A BAA, operadora do aeroporto de Heathrow, está a planear a renovação de uma parte da placa de estacionamento dos aviões do terminal 1. Essa renovação inclui, para além da remoção e substituição do tapete da placa, outras operações relativas a infra-estruturas técnicas. Sendo as receitas geradas pelo aeroporto directamente proporcionais à sua utilização, nomeadamente ao tempo de estacionamento dos aviões, a BBA está preocupada com os prejuízos decorrentes da redução da área disponível para esse fim. Para poder estudar o impacto financeiro desta remodelação a BBA solicitou à Faz-Pisos (empresa a quem a BBA está a pensar adjudicar a execução do projecto de renovação da placa) a informação constante na tabela 3 relativa aos trabalhos a efectuar. Actividade Actividades imediatamente Duração anteriores (dias) A B 2 B C, D, F 5 C E, G 2 D G 2 E 4 F 7 G 3 H B 1 I A, H 3 Tabela 3: Actividades do projecto de renovação da placa (a) Represente o projecto através de uma rede com as actividades nos nós. (b) Determine as folgas totais e livres das actividades do projecto, e identifique o caminho crítico. (c) O prejuízo diário resultante da indisponibilidade da placa de estacionamento durante as obras de renovação foi estimado em 230 10 3 unidades monetárias. Determine o prejuízo a suportar pela BBA decorrente da realização destas obras. Para minimizar os prejuízos decorrentes da indisponibilidade da placa de estacionamento durante as obras de renovação, a Faz-Pisos sugeriu que o prazo normal de execução da renovação da placa fosse reduzido em 3 dias, desde que a BBA estivesse disposta a suportar os custos adicionais resultantes da redução das durações normais das actividades do projecto. Para que a BBA pudesse tomar uma decisão, foi-lhe fornecida a informação adicional apresentada na Tabela 4. 2 Actividade Compressão máxima Custo de compressão (dias) (unidades monetárias 10 3 /dia) A 1 120 C 1 90 E 2 120 F 3 175 G 1 65 H 0,5 70 Tabela 4: Compressão máxima e custo de compressão das actividades do projecto (d) Apresente um modelo de programação linear que lhe permitisse calcular os custos que a BBA teria de suportar para reduzir em 3 dias o prazo normal de execução da renovação da placa. (e) Diga de que modo se poderia verificar se era, ou não, economicamente interessante optar pela redução em 3 dias do prazo normal de execução da renovação da placa. 2 Nota: Não é possível fazer qualquer compressão da duração normal das actividades que não constam na Tabela 4. 4

1. (a) Decisões Resolução i) Tipos de variáveis de decisão para este problema: Variáveis de decisão que descrevem a percentagem da limpeza de cada local que é atribuída cada uma das equipas. Tipo 2: Variável auxiliar que corresponde ao tempo até o aeroporto ficar limpo. Esse tempo é igual ao tempo gasto em limpeza pela equipa que demorar mais. ii) Número de variáveis de decisão de cada tipo: Número de equipas número de locais = 6 7 = 42 variáveis de decisão. Tipo 2: 1 variável. iii) Representação matemática: x ij = Percentagem do local j a limpar pela equipa i. 0% x ij 100% i {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} j {A, B, C, D, E, F } Tipo 2: C = Tempo até aeroporto ficar limpo (em minutos). C 0 (b) Restrições 3 i) Restrições para o problema: Cada um dos locais tem de ficar totalmente limpo. Tipo 2: Os veículos de cada uma das equipas têm de transportar líquido anticongelante suficiente para todas as limpezas que farão, e esse líquido não pode exceder a capacidade de transporte dos veículos. Tipo 3: A carga de trabalho total das equipas (em minutos) deve ser equilibrada, é portanto necessário minimizar a carga da equipa que tem carga máxima. ii) Número de restrições de cada tipo. Tipo 2: Tipo 3: 7 restrições, uma por cada local. 6 restrições, uma por cada equipa. 6 restrições, uma por cada equipa. 3 A restrição de que o líquido anticongelante utilizado não pode exceder o líquido anticongelante existente no aeroporto é independente das decisões tomadas (afectação de equipas a locais) e portanto não foi considerada nesta resolução. 5

iii) Representação matemática: j i x ij = 100% Tipo 2: fa j fluido anticongelante necessário para limpar local j i j (fa j x ij ) v i Tipo 3: (c) Objectivo i j (t ij x ij ) C i) Minimizar o tempo até à reabertura do aeroporto após a limpeza. ii) Representação matemática: min C (d) As tabelas 5 e 6 têm a descrição de uma solução admissível (mas não óptima) 4 : Local Pista Norte Pista Sul T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 Equipa 1 2 3 4 5 6 7 A 50% 20% 10% 40% B 40% 50% 40% C 10% 20% 40% 40% D 30% 40% 20% 20% E 20% 20% 30% 40% 50% F 10% 40% 20% Tabela 5: Percentagem de cada zona atribuída a cada uma das equipas de remoção de neve Equipa Carga por veículo. (litros) 85 000 A 5 85 000 B 7 55 000 C 9 90 000 D 6 100 000 E 8 35 000 F 3 Tabela 6: Carga de fluido anticongelante em cada veículo de cada equipa Se se fizer esta distribuição de trabalho será possível limpar o aeroporto em 91 minutos, tempo gasto pela equipa D. 4 Ver ficheiro excel anexo. 6

2. (a) O problema da Eng. a Lipoldina pode ser traduzido na seguinte rede, na qual se pretende fazer passar o máximo fluxo desde o nó de início até ao nó de fim: (b) O corte mínimo apresenta-se na figura: (c) Armazéns: Armazém do Porto:20 Armazém de Lisboa:70 Armazém de Faro:20 Lojas: Frankfurt am Main:20 Heathrow:20 Charles de Gaulle:50 Barajas:20 7

3. (a) A rede do projecto está representada na figura seguinte. (b) O caminho crítico está representado a verde na figura e é F B A I (c) O prazo máximo para conclusão do projecto são 17 dias e o prejuízo será de 17 230 10 3 = 3 910 10 3 unidades monetárias. (d) O modelo pretendido é o seguinte: Dados actividades i e respectivas precedências directas; d i, durações das actividades i; custos marginais c i e compressões máximas R i de cada actividade i; D, duração pretendida para o projecto. Índices i {A, C, E, F, G, H}; Variáveis de decisão r i, compressão de cada actividade i. Variáveis auxiliares x i, início de cada actividade i. Função objectivo Minimizar o custo total de compressão de todas as actividades: min i c ir i = 120r A + 90r C + 120r E + 175r F + 65r G + 70r H. Restrições Para cada actividade i, a sua compressão r i deverá ser à compressão máxima R i ; r i R i r A 1 r C 1 r E 2 r F 3 r G 1 r H 0.5 8

Para cada par de actividades i e j, em que j só pode ter início imediatamente após o fim de i, x j x i + (d i r i ); x j x i + (d i r i ) x G 0 x E 0 x F 0 x D x G + (d G r G ) x C x G + (d G r G ) x C x E + (d E r E ) x B x D + d D x B x C + (d C r C ) x B x F + (d F r F ) x A x B + d B x H x B + d B x I x A + (d A r A ) x I x H + (d H r H ) x F IM x I + d I O projecto deve ter uma duração inferior ou igual a D, x F IM D, onde x F IM é uma actividade fictícia, com d F IM = r F IM = 0, que encerra o projecto. x F IM 14 O projecto inicia-se em 0. x INI = 0, onde x INI é uma actividade fictícia, com d INI = r INI = 0, que corresponde ao início do projecto. Para cada actividade i, r i e x i 0. x INI = 0 r i 0 i x i 0 i (e) Para se verificar se seria, ou não, economicamente interessante optar pela redução em 3 dias do prazo normal de execução da renovação da placa, teríamos que comparar CRP, custo da redução do prazo em 3 dias, que é o valor da função objectivo para a solução óptima do modelo de PL descrito na alínea anterior com PI, prejuízo resultante da indisponibilidade da placa de estacionamento durante 3 dias = 3 230 10 3 unidades monetárias. Se CRP < PI, então seria vantajoso reduzir o prazo das obras em 3 dias, se CRP > PI, não seria vantajoso proceder a essa redução do prazo. 9