EXERCÍCIOS LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM - MODELOS Lógica Prof. Tacla (UTFPR/Curitiba) assuntos: expressividade LP x LPO; modelos Conceituais 1. Explique a diferença em expressividade da Lógica Proposicional da Lógica de Primeira Ordem. Mostre, num exemplo, o ganho de expressividade da LPO em relação à LP. 2. O que é um modelo em Lógica Proposicional? Exemplifique os conceitos de satisfazibilidade, insatisfazibilidade e validade utilizando tabelas-verdade. 3. O que é um modelo em Lógica de Predicados? É possível comparar um modelo LP com um de LPO? Construção de Modelos 4. Construa um modelo de acordo com o que for pedido. A figura representa um mundo formado por pessoas e cachorros bem como pelas relações apresentadas, construa uma teoria em LPO que represente pessoas e cachorros como objetos distintos; a relação Dono entre pessoas e cachorro; melhor amigo: alguém só tem um melhor amigo Somente pessoas são donas de algo. Somente cachorros podem pertencer a outrem. Há alguém cujo melhor amigo é um cão. Construa o modelo que represente o mundo ao lado e diga se ele é consistente com a teoria (explique porque é ou não é). Caso não seja, mude o modelo para que se torne consistente e vice-versa. Demonstre que entendeu a diferença entre termo e fórmula por meio de exemplo. 5. Construa uma teoria em lógica de primeira ordem que dê conta de representar o desenho dos cubos utilizando os predicados g(x) que significa x é green e o(x, y) que significa cubo x está sobre cubo y. As constantes a, b e c para representar os cubos A teoria deve ser restritiva, isto é, só pode permitir a construção de modelos com 3 cubos onde eles estão sempre um em cima do outro; um cubo sempre tem cor verde, outro, não, e um terceiro tem cor desconhecida sempre dispostos como na figura. 1
Depois de construir a teoria, demonstre pela construção de modelos que a sentença = Há um cubo verde sobre um não verde é consequência lógica da teoria e é válida Passos: Construa a teoria em sentenças da LPO Represente a sentença em LPO Encontre e represente os modelos e contextos necessários para construir a demonstração. 6. Construa uma teoria e a represente em lógica de primeira ordem que dê conta da seguinte situação. Um curso de graduação possui várias disciplinas. Algumas destas disciplinas possuem um ou mais pré-requisitos. Um aluno que cursou uma disciplina que tem prérequisitos, também cursou os pré-requisitos. 7. Construa uma teoria em Lógica clássica de primeira ordem que permita representar as categorias de objetos, suas relações e funções de acordo com os requisitos abaixo (observe que cada item abaixo não é necessariamente uma sentença em LPO). Teoria é o conjunto de símbolos funcionais e de predicados (colocar uma explicação em português ao lado de cada símbolo). todo professor é uma pessoa; todo professor titular é um professor; todo departamento é uma organização; disciplinas tem pessoas matriculadas; todo estudante é uma pessoa que está matriculada em ao menos uma disciplina; todo departamento tem um e somente um chefe e este chefe deve ser um professor titular. 8. Defina formalmente um modelo consistente com a teoria construída na questão anterior. Modelo envolve a definição de objetos, das extensões dos predicados, dos mapeamentos funcionais e dos contextos que tornam as fórmulas verdadeiras (para cada uma delas). 2
RESPOSTAS questão 1: Em LP podemos fazer proposições acerca do mundo mas com um refinamento menor do que as sentenças declarativas que podemos utilizar em LPO, notadamente, em razão do emprego dos quantificadores, variáveis e constantes que representam indivíduos ou objetos de um domínio. Exemplo: 1) fonte: http://www.dsc.ufcg.edu.br/~lbmarinho/slides/mdl_2011_1/logica.pdf A lógica proposicional possui expressividade limitada, por exemplo: x > 3", x = y + 3", x + y = z " não possuem valor verdade (a menos que as variáveis assumam valores específicos). Na lógica de predicados, consegue-se representar estas expressões facilmente. Seja P (x ) a sentença x > 3". Quais os valores verdade de P (4) e P (2) para o domínio dos números inteiros? Como P (4) corresponde a 4 > 3", então P (4) é verdadeira e P(2) é falsa. 2) fonte: http://www.dainf.ct.utfpr.edu.br/~adolfo/disciplinas/computacaoi/material/solucaop roblemas/logica,%20raciocinio%20automatizado%20e%20prolog%20- %20Silvio%20do%20Lago%20Pe.pdf Há vários tipos de argumentos que não podem ser expressos em LP. Como exemplo, considere o seguinte argumento: Sócrates é homem. Todo homem é mortal. Logo, Sócrates é mortal. Se fossemos representar estas sentenças em LP, teríamos: p, q r e não poderíamos demonstrar que a conclusão r é consequência lógica de p e q. questão 2 Em LP, um modelo (ou avaliação) de uma fórmula é uma associação de um valor lógico a cada proposição atômica presente em φ (Huth e Ryan, 2008, pg. 29). questão 3 Um modelo em LPO permite avaliar ou valorar as fórmulas. Modelos são uma caracterização negativa da LPO enquanto as demonstrações são uma caracterização positiva da LPO (Huth e Ryan, 2008, pg. 93). Modelos são caracterizações negativas pois é mais fácil encontrar um modelo que não satisfaça uma teoria do que encontrar todos os modelos que satisfaçam um teoria. Basicamente, um modelo em LP consistem em atribuir valorações às proposições. Em LPO, um modelo consistem em definir um domínio (um conjunto de valores) e o 3
significado extensional dos símbolos de predicados, funções e constantes. São comparáveis pois ambos consistem em fazer avaliações das proposições/fórmulas. QUESTÃO 4 --X-- QUESTÃO 5 --X-- QUESTÃO 6: TEORIA 1) xyz (o(x,y) o(y,z) x=a x=b x=c ) 2) x (g(x) x=a) 3) x ((g(x) or g(x)) x=b) 4) x ( g(x) x=c) Há um cubo verde sobre um não verde? = x y (g(x) o(x,y) g(y)) Só é possível construir dois modelos que satisfaçam todas as fórmulas da teoria : MODELO 1: o m = {(a, b), (b,c)} g m = {a} a -> cubo superior b -> cubo do meio c -> cubo inferior MODELO 2: o m = {(a, b), (b,c)} g m = {a, b} a -> cubo superior b -> cubo do meio c -> cubo inferior 1) Para ser consequência lógica de, para todo modelo M e em todos os contextos l, toda vez que as fórmulas de são satisfeitas, também é satisfeita.? Temos que é consequência lógica da teoria: Modelo 1 (contexto para as 4 fórmulas da teoria e para a fórmula alfa): 1. l(x) = a, l(y) = b, l(z) =c 2. l(x) = a 3. l(x) = b 4. l(x) = c 4
5. l(x) = a, l(y) = b satisfaz a fórmula Modelo 2 (contexto para as 4 fórmulas da teoria e para a fórmula alfa): 1. l(x) = a, l(y) = b, l(z) =c 2. l(x) = a 3. l(x) = b 4. l(x) = c 5. l(x) = b, l(y) = c satisfaz a fórmula 2) Para ser válida, deve ser verdadeira para todo modelo M e em todos os contextos l. M? Como só é possível definir os MODELOS 1 E 2 e é verdadeira para os dois, podemos concluir que é verdadeira. QUESTÃO 7. Uma alternativa seria definir chefe como uma função: Chefe: depto prof // função MAPEIA departamentos para professores Neste caso, a fórmula 5 ficaria: Ax Ey (dep(x) tit(chefe(x)) 5
QUESTÃO 8. 6