Lei de Gauss Considere uma distribuição arbitrária de cargas ou um corpo carregado no espaço. Imagine agora uma superfície fechada qualquer envolvendo essa distribuição ou corpo. A superfície é imaginária, ela não existe de fato. A distribuição de cargas (ou o corpo carregado) produz um campo elétrico em todos os pontos do espaço. Em particular, haverá um valor de para cada ponto da superfície fechada imaginária. A ilustração abaixo dá um exemplo. A superfície fechada (lembra uma batata neste caso) engloba uma distribuição de cargas ou um corpo que, por causa do desenho, não é visível de fora. 1
Mesmo sem saber qual é a distribuição de cargas no interior da superfície fechada, o conhecimento do campo elétrico sobre a superfície nos fornece informação sobre a distribuição de cargas. Isto é possível por causa da lei de Gauss, que será estudada nesta aula. A lei de Gauss é uma das contribuições do grande matemático alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855) à física. A figura 22.2 do livro-texto mostra exemplos do campo elétrico sobre uma superfície fechada com a forma de um paralelepípedo para as seguintes distribuições de cargas no interior da superfície: (a) uma carga positiva, (b) duas cargas positivas, (c) uma carga negativa e (d) duas cargas negativas. Estamos considerando uma situação em que a distribuição de cargas é estática, ou seja, o campo elétrico produzido por ela é estático; o seu valor em cada ponto não muda com o tempo. Porém, observando a figura anterior ou as figuras do livro-texto nos ocorre a impressão de estarmos olhando para um fluxo de algo. Essa impressão vem do fato de estarmos olhando para setas entrando ou saindo da superfície fechada. 2
Isso sugere que podemos fazer uma analogia entre as setas do campo elétrico vetorial ao longo de uma superfície imaginária no espaço e um fluxo, que será chamado de fluxo elétrico. Para construirmos essa analogia de forma coerente, temos que estabelecer regras auto-consistentes para definir o fluxo elétrico. Essas regras são as seguintes (a ideia é seguir nossa intuição a respeito do escoamento de fluidos reais, saindo de fontes ou indo para sorvedouros). 1. Cada carga no interior da superfície imaginária produz um fluxo elétrico através da superfície. Se a carga for positiva, o fluxo elétrico está saindo da superfície. Se a carga for negativa, o fluxo elétrico está entrando na superfície. 2. O fluxo elétrico líquido através de uma superfície fechada é dado pela soma do fluxo para fora da superfície (tomado como positivo) com o fluxo para dentro da superfície (tomado como negativo). 3. O fluxo elétrico líquido através de uma superfície fechada é diretamente proporcional à carga líquida no interior da superfície, mas não depende do tamanho da superfície fechada escolhida. 3
A figura 22.3 do livro-texto mostra três casos em que o fluxo líquido através de uma superfície fechada é zero: A superfície está vazia (não há cargas no seu interior); A quantidade de cargas positivas dentro da superfície é igual à quantidade de cargas negativas; A superfície está vazia e é imersa em um campo elétrico uniforme. Observe que neste último caso existe um campo elétrico no interior da superfície. Porém, o fluxo líquido é nulo (o que sai é igual ao que entra). Veja a figura abaixo. As regras definidas acima nos permitem ter uma compreensão qualitativa sobre o fluxo elétrico. Para podermos fazer estudos quantitativos, é necessário desenvolver uma abordagem matemática. Para tal, vamos começar com a definição de fluxo. Esse é um conceito muito usado quando se estuda fluidos em movimento e, portanto, vamos introduzi-lo a partir de um exemplo da fluidodinâmica. 4
Fluxo Considere um fluido em escoamento estacionário da esquerda para a direita. Como o escoamento é estacionário, cada elemento do fluido tem a mesma velocidade (o campo vetorial de velocidades é estacionário). Considere uma área circular imaginária no interior do fluido e perpendicular a. O volume de fluido que passa pela área num intervalo de tempo dt é dado por = d, onde A é a área do círculo (veja a figura abaixo). O fluxo do fluido através da área circular é dada por dv/dt (volume de fluido que passa pela área por intervalo de tempo). Portanto, o fluxo vale 5
Φ= =. Representamos o fluxo pela letra grega maiúscula Φ. Se a área A estiver inclinada de um ângulo φ (veja a figura abaixo), a área que conta para a passagem de fluido é a projeção da área inclinada sobre o plano vertical, Acosφ, e o fluxo vale Φ= = cos. (1) Observe que se a área A for paralela ao campo de velocidades (φ = π/2) o fluxo é nulo. A expressão para o fluxo pode ser definida em termos do chamado vetor área. 6
Considere uma área A qualquer (veja a figura abaixo). O vetor área é definido como o vetor que tem: Módulo: valor de A; Direção: da reta perpendicular à área A; Sentido: do vetor unitário normal a A definido de tal forma que quando a área faz parte de uma superfície fechada o vetor aponta para fora da superfície fechada. Note que, segundo essa definição, o sentido positivo de uma superfície fechada é o que aponta para fora dela e o sentido negativo é o que aponta para dentro (sentido de ). Usando a definição de vetor área, o fluxo através de uma área A pode ser escrito como o produto escalar Φ= = cos, (2) 7
onde φ é o ângulo entre os vetores e (veja a figura abaixo). Fluxo elétrico Em analogia com o fluxo de um fluido estacionário, define-se o fluxo elétrico (de um campo elétrico uniforme) através de uma superfície imaginária de área A como Φ = = cos. (3) Veja a figura abaixo. 8
Se o campo elétrico não for uniforme, isto é, variar de ponto para ponto, o fluxo elétrico através de uma superfície imaginária é dado pela soma dos fluxos elétricos através de cada pequeno elemento de área da superfície (veja a figura abaixo). No limite em que os pequenos elementos de área são infinitesimais ( = ), a soma torna-se uma integral de superfície: Φ = = = cos, (4)... onde sup. indica a integral pela superfície. Em particular, se a superfície for fechada (como é o caso da figura acima) teremos: Φ = = = cos, (5) onde significa integral por toda a superfície fechada S. 9
Exemplo 1: fluxo de um campo elétrico uniforme através de um cubo de lado L. O desenho abaixo mostra o cubo e o campo elétrico uniforme. Os vetores unitários normais às seis superfícies que formam o cubo estão mostrados também (,,,, e ). No caso do desenho, o vetor campo elétrico aponta na direção de. Você pode fazer como exercício para casa os casos em que ele aponta nas outras cinco direções e também o caso em que o cubo está girado de um ângulo θ em relação à direção do campo (veja o exemplo 22.2 do livro-texto). O fluxo elétrico através das áreas cujos vetores normais são,, e é nulo, pois nestes casos a direção de é ortogonal a esses vetores. 10
Só há fluxo não nulo através das duas superfícies pintadas no desenho. O fluxo pela superfície 1 (vetor normal ) é: Φ = = cos =. O fluxo pela superfície 2 (vetor normal ) é: Φ = = cos0=. O fluxo elétrico total pela superfície do cubo é então: Φ =Φ +Φ =0. Exemplo 2: Fluxo elétrico através de uma esfera com uma carga q em seu centro. A situação é ilustrada pela figura abaixo. A esfera tem raio r e a carga q está no centro. O campo elétrico aponta na direção radial (no caso do desenho ele aponta para fora da esfera, pois q > 0). A figura mostra também um elemento de área da sobre a superfície da esfera. O vetor normal ao elemento de área,, 11
também aponta na direção radial (no caso, ele tem o mesmo sentido de ). Portanto, O fluxo total através da esfera é Φ = sup. =. onde A é a área da esfera. Temos que Logo, = sup. =, = 1 4 e =4. Φ =. Se a carga q for negativa, o fluxo será negativo ( está entrando na esfera): Φ =. Note que o fluxo elétrico não depende do raio da esfera. Ele depende apenas da carga q. Exemplo 3: Fluxo elétrico através de uma superfície fechada qualquer com uma carga q em seu interior. Para resolver este problema, vamos primeiro obter o fluxo do campo elétrico gerado por q sobre um elemento de área circular da. 12
O desenho abaixo mostra esse caso. O centro da superfície circular está a uma distância r da carga q. O campo elétrico nesse ponto aponta na direção radial. Vamos continuar supondo, sem perda de generalidade, que a carga q é positiva, de maneira que o sentido de é se afastando de q. A superfície da é tal que seu vetor normal forma um ângulo θ com a direção do campo. O fluxo elétrico através da superfície da vale então: Φ = = ( ) ( ). O módulo do campo elétrico E(r) é ( )= 1 4, 13
e =cos, logo: Φ = 4 cos. (6) Define-se o ângulo sólido dω subentendido por um elemento de área orientado da, com normal, em relação a um ponto O, situado à distância r de da como: Ω cos, (7) onde θ é o ângulo entre e o vetor unitário na direção de r,. Para entender o conceito de ângulo sólido observe a figura abaixo. O conceito de ângulo sólido procura generalizar o conceito de ângulo da geometria plana para o caso tridimensional. 14
Note que, de acordo com o conceito de ângulo da geometria plana, dado um segmento de arco S e um ponto O, o ângulo subentendido pelo segmento de arco em relação a O é o mesmo para qualquer outro segmento de arco (S 1, S 2, etc) compreendido entre as linhas que unem o ponto O às extremidades do segmento (veja abaixo). Voltando a olhar para a figura da página 14, note que a abertura da superfície cônica subentendida entre a área da e o ponto O é a mesma que a subentendida pela área ds com o ponto O. Da figura, vemos que ds é a projeção de da sobre a esfera de raio r centrada em O, isto é, = cos = ( ). A abertura da superfície cônica também é a mesma para o elemento de área ds compreendido entre a superfície cônica (não mostrado na figura) de qualquer esfera de raio r centrada em O. Note que esses elementos de área esféricos (ds, ds, etc) têm áreas diferentes que crescem em proporção a r 2. 15
Mas nós queremos definir uma medida da abertura da superfície cônica subentendida entre a área da e o ponto O que não dependa da distância, como é o caso do ângulo na geometria plana. A maneira de fazer isso é dividir ds por r 2, o que corresponde a tomar a área dω da esfera de raio unitário centrada em O compreendida entre a superfície cônica (veja a figura novamente). Essa medida, dω, é chamada de ângulo sólido (equação 7). Note que a divisão por r 2 faz com que dω seja uma quantidade adimensional. Por analogia com o radiano usado para medir ângulos planos, define-se a unidade de ângulo sólido como o esterradiano. Para saber mais sobre ângulo sólido, procure na internet. Em termos do conceito de ângulo sólido, podemos reescrever o fluxo elétrico através de uma superfície circular qualquer gerado por uma carga puntiforme q (equação 6) como: Φ = 4 Ω. (8) Podemos agora tratar do problema principal deste exemplo, que é o cálculo do fluxo elétrico devido a uma carga puntiforme q através de uma superfície fechada qualquer. A figura abaixo ilustra a situação. 16
A superfície está indicada por S e a carga em seu interior por q. O fluxo elétrico através do elemento de área da indicado na figura é dado por Φ = 4 Ω, onde dω é o ângulo sólido indicado na figura (o elemento de área da esfera de raio unitário centrada em q compreendido pela superfície cônica que une as bordas de da com o ponto onde está q). Aplicando o princípio da superposição, o fluxo total pela superfície fechada S é dado pela soma de Φ E acima por todos os elementos de área da que cobrem S. Como vimos anteriormente (equação 5), este fluxo é dado pela integral da equação acima por toda a superfície fechada S: Φ = Ω. 4 17
Note que a integral de dω pela superfície fechada S é igual ao ângulo sólido total compreendido por S, que é igual à área da esfera de raio unitário no interior de S: Ω= Ω =4. (9) Portanto, o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada qualquer devido a uma carga q no interior da superfície vale: Φ =. (10) Como qualquer distribuição de cargas pode ser decomposta em cargas elementares puntiformes e, pelo princípio da superposição, o campo elétrico gerado por essa distribuição de cargas em qualquer ponto do espaço é dado pela soma dos campos das cargas elementares, então o fluxo elétrico através de qualquer superfície é dado por: Φ = =, (11) onde Q é a carga líquida total contida no interior da superfície. Note que se Q = 0, isto é, se não houver carga líquida dentro da superfície fechada, o fluxo elétrico através da superfície é nulo. O enunciado acima é conhecido como Lei de Gauss. 18
A lei de Gauss é importante porque ela nos permite saber qual a carga líquida no interior de uma superfície fechada mesmo sem medir diretamente essa carga. Basta apenas medir o fluxo elétrico através da superfície. A situação é análoga à de um reservatório contendo um fluido. Pense, por exemplo, numa piscina cheia d água. Podemos saber se a piscina está sendo cheia ou esvaziada (por uma mangueira ou uma bomba de sucção, por exemplo) pela observação do fluxo de água através da superfície fechada composta pelo leito da piscina e sua superfície exposta. É comum dizer que a lei de Gauss significa que as cargas elétricas são as fontes do campo elétrico. 19