Introdução à derivada e ao cálculo diferencial. Notas: Rodrigo Ramos 1 o. sem. 2015 Versão 1.2. Obs: Esse é um texto de matemática, você deve acompanhá-lo com atenção, com lápis e papel, e ir fazendo as coisas que são pedidas ao longo do texto. Trata-se do conteúdo de nossa aula introdutória sobre derivadas, que por se tratar de um conceito sofisticado (no Brasil estudado regularmente apenas no ensino superior) apresento por completo as nota de aula. Muitos textos e videoaulas também estão disponíveis na rede sobre o assunto (tem o link de um em www.fisup.com.br/fc-rr.html em Material Extra, itens 3 e 4.). Considere a função (parábola, ou função de segundo grau) y(x) ( y calculado em x ): y = x 2, representada no gráfico 1 abaixo (esquerda). Gráfico 1 O objetivo da matemática apresentada abaixo será calcular a inclinação da reta tangente à curva em um ponto considerado. No gráfico 1 à direita representamos a reta tangente no ponto x = 1. Essa reta toca a curva em apenas um ponto, neste caso no ponto x=1, y=1. Caso encontre erros ou coisas do tipo, por favor me avise. rodrigo.ramos.dr@gmail.com, ou pessoalmente. Versão 1.2: pequenas correções, palavras graf.6, gráfico do começo da seção 2.
Perceba que como temos uma curva (parábola), a inclinação será diferente para diferentes valores de x, o que faz necessário que avancemos com cuidado. Esse procedimento vai servir futuramente para calcular inclinações de quaisquer curvas. Essa inclinação (local) da curva recebe o nome técnico de derivada, ou taxa de variação (local ou instantânea). Economistas usam, ainda, o termo: (taxa de) variação marginal. Exercício: Calcule a inclinação da reta vermelha desenhada acima, utilizando o gráfico. 1 Calculando a inclinação por aproximações no ponto correspondente a x=1 Considere a reta que liga passa por dois pontos pontos da parábola, conforme o gráfico 2. A inclinação desta reta (chamada reta secante ) é calculada por: a = Gráfico 2 Vamos calcular aproximações para a inclinação (da reta tangente) no ponto x = 1, para o qual a curva tem altura y valendo y = 1 2 = 1. Considere a reta que liga os pontos (1; 1) e (2; 4) da parábola, representada em vermelho no gráfico 3 da esquerda, a inclinação dessa reta é calculada por: = 3 1 = 3 A inclinação calculada não corresponde à inclinação local no ponto x=1, mas sim à inclinação média entre os dois pontos considerados. Se, agora, tomamos a reta que liga os pontos (1; 1) e (1; 1, 5) (o ponto seguinte, portanto, está mais próximo do primeiro ponto), temos o caso da direita no gráfico 3. No detalhe vemos um zoom na região entre x=1 e x=1,5, que foca na diferença entre a reta vermelha e a parábola preta.
Gráfico 3 Se representamos a reta tangente que queremos calcular (gráfico 1, a direita), junto com essas duas primeiras aproximações do gráfico 3 vemos que a reta entre 1 e 1,5 se aproxima mais da reta tangente. Veja no gráfico 4. Gráfico 4 IDÉIA CHAVE: quanto mais aproximarmos o ponto seguinte do primeiro ponto (onde desejamos calcular a inclinação local), mais a inclinação calculada tende a se aproximar da inclinação da reta tangente. Para testar essa idéia, vamos considerar então pontos progressivamente mais próximos do primeiro ponto, x=1, y=1. Os pontos seguintes que consideraremos serão: x =1,1; x=1,01 e x=1,001.
Cada caso é representado no gráfico 5 abaixo. Cada um é representado em um zoom. No primeiro caso (acima, dentro da caixa), consideramos o ponto seguinte usando x=1,1, no detalhe um zoom. Gráfico 5 Os gráficos de baixo correspondem à x=1,01 e x=1,001. Perceba que a parábola em escalas cada vez menores (correspondentes aos casos em que ligamos os pontos de x=1,01 e x=1,001) se parece cada vez mais com uma reta. Veja que os gráficos são praticamente iguais visualmente, e não é possível sequer distinguir a reta vermelha da parábola preta (sim, tem essas duas coisas em ambos gráficos, mas que estão praticamente superpostas). No gráfico 6 representamos a reta tangente ideal que queremos obter, e também a reta secante usando para o ponto seguinte x=1,01, e a reta em que usamos o ponto seguinte com x=1,5. Veja como a aproximação da tangente pela reta usando x=1 e x=1,01 já está muito boa visualmente.
Gráfico 6 Agora temos um caminho pra aproximar o valor da tangente usando pontos cada vez mais próximos. Então vamos calcular (como se não houvesse amanhã) a inclinação de cada uma das retas (secantes) vermelhas dos gráficos 3 e 5. Cada ponto é calculado lembrando que essa curva é descrita por y = x 2, então: y primeiro = x 2 primeiro, e y seguinte = x 2 seguinte. Note que o ponto x primeiro e y primeiro sempre vai ser (1; 1), porque, conforme planejamos, queremos calcular a inclinação da reta tangente à curva no ponto correspondente a x=1. Na tabela abaixo calculamos a inclinação em cada situação, ou seja, para cada par de pontos acima descritos. x primeiro y primeiro x seguinte y seguinte 1 1 2 4 1 3 3 1 1 1,5 2.25 0,5 1,25 2,5 1 1 1,1 1,21 0,1 0,21 2,1 1 1 1,01 1,0201 0,01 0,0201 2,01 1 1 1,001 1,002001 0,001 0,002001 2,001 Tabela 1 Exercício: confira os números da tabela. Pela tendência dos pontos com menores esperamos que:
Para = 0, 0001 tenhamos a inclinação = 2, 0001. Não é? Note ainda que ao diminuir cada vez mais e mais o valor de, ou seja considerar o ponto seguinte cada vez mais próximo do ponto inicial, então teremos esse dígito 1 no final do número irá cada vez mais para adiante, na direção de valores cada vez menores... Na situação tomamos valores de arbitrariamente pequeno, o que representamos por: 0 (lemos: no limite em que delta x tende à zero ), escrevemos simbolicamente: lim 0 Ou seja: a inclinação da tangente em x = 1 é 2. = 2 x=1 O que fizemos foi aproximar sucessivamente (numericamente) a inclinação da tangente no ponto x = 1. Veja que não faria sentido dizer de saída que vamos tomar a inclinação entre o primeiro ponto e ele mesmo, afinal isso levaria à relação sem sentido: = 0 0 Entretanto na medida em que vamos aos poucos, aproximando o ponto seguinte do primeiro ponto considerado, vemos que quanto mais próximos mais o valor se aproxima do número 2. Por isso dizemos: no limite em que delta tende a zero (ou seja no limite em que os dois pontos se tornam o mesmo) então a inclinação vai a 2, justamente o caso da reta tangente, que toca a parábola apenas no ponto x=1, y=1. Perguntas que devem estar passando por sua cabeça: Pergunta 1: Então eu vou sempre precisar fazer esse monte de conta? Resposta 1: Não. Mas mesmo que tivesse (que é o que um computador faz) você não precisaria fazer todas as contas, bastaria pegar dois pontos que estejam bem próximos um do outro. exemplo calcula a inclinação considerando os pontos (1; 1) e (1,001; 1,002001). Mas tenha claro que o resultado, = 2, 001, é aproximado (com uma precisão de 1 parte em 2000, ou seja 0,05%, o que não é nada mal). Pergunta 2: Eu vejo esse número 2, e vejo que a função é y = x 2, esse número 2... aparece sugestivamente... não tem uma fórmula? Resposta 2: Sim há uma fórmula, que vamos ver a seguir. Existe uma maneira simbólica de tratar do cálculo de inclinações (derivadas). Em outras palavras: se você tem uma fórmula para y em relação a x, então você deve ter uma fórmula para as inclinações de y em relação a x. Mas para generalizarmos o resultado em uma regra (simbólica), vamos entender o que se passa. Por 2 O motivo Para entender o motivo, basta que usemos a linguagem das funções. Considere o caso entre os dois pontos arbitrários abaixo representada.
Agora, vamos realizar a conta em termos desse esquema simbólico, e realizar a álgebra. Lembrese que y = x 2, ou seja: y(x) = x 2. Dessa forma o ponto seguinte é calculado em x +, ou seja: y(x + ) = (x + ) 2. A inclinação dessa reta que liga esses dois pontos: y(x + ) y(x) = = (x + )2 x 2 = x2 + 2 + () 2 x 2 2 + ()2 = = 2x + Veja que você pode calcular então a inclinação para cada valor de considerado na tabela anterior. O ponto inicial aqui sempre vai receber o valor x = 1 para aquele caso. Fazendo isso: x = 2x + 1 1 2 1 + 1 = 3 1 0,5 2 1 + 0,5 = 2,5 1 0,1 2 1 + 0,1 = 2,1 1 0,01 2 1 + 0,01 = 2,01 1 0,001 2 1 + 0,001 =2,001 Tabela 2
Compare os valores de da tabela 1 (calculada na mão ) com os valores de da tabela 2 (calculados pela fórmula desenvolvida acima). 3 Generalizando simbolicamente Na seção anterior chegamos ao motivo pelo qual a conta com cada vez menor faz sentido. Vemos que o fica também cada vez menor, já que o triângulo que define e inclinação diminui nas duas direções x e y também fica menor, se aproximando de uma proporção definitiva, gradualmente próxima do número 2. Veja que na conta da seção anterior, o cancelamento do no denominador, é o pulo do gato. Repetindo essa passagem aqui: 2 + ()2 = (1) = 2x + (2) De maneira que ao abrirmos a conta, conseguimos o cancelamento entre o fator que faz o ficar pequeno junto com o. Mas, já que houve esse cancelamento... agora você pode operar substituindo = 0, porque não vai mais aparecer a expressão 0/0, ou seja: Que para o ponto x = 1 daria: lim 0 = lim 2x + 0 = 2x lim 0 = 2 1 = 2 Ou seja, como induzimos anteriormente por meio dos números: A inclinação da reta tangente em x = 1 é 2. Interessante não é? De maneira que o símbolo lim serve para dizer: substitua = 0, 0 apenas depois que você cancelar todos os fatores comuns entre o denominador e o numerador. Mas e qual seria a inclinação da curva no ponto x = 2? Note que a conta, representada simbolicamente, independe do ponto x considerado. Ou seja,
continua valendo: lim = 2x, bastando substituir x pelo número 2, para calcular a inclinação 0 em x = 2. Portanto, lim = 2 2 = 4. Ou seja, a inclinação (ou derivada) no ponto da curva correspondente a x = 2, é 0 4. Perceba que para cada valor de x, então é possível calcular a inclinação da reta (ou derivada), o que significa que a inclinação também é uma função. Essa função derivada representamos por: lim 0 = dx O uso do símbolo d remete ao fato de que a variação é muito pequena. d tem o nome diferencial, trata-se da junção das palavras: diferença ( é variação, ou diferença entre o final e o inicial ), e infinitesimal (ou infinitamente pequeno, ou seja tendendo a zero). Note, ainda, que esta disciplina se chama: Fundamentos do Cálculo Diferencial, de modo que essa matemática aqui desenvolvida (Cálculo Diferencial) é um dos objetivos centrais deste curso, junto com os fundamentos (teoria das funções). De modo que descobrir as inclinações de uma curva equivale a dizer: Calcule dx. Agora, vamos às generalizações, que vão tornar sua vida bem mais simples do que ter que fazer essas contas todas para calcular uma simples inclinação... vimos que: Se y = x 2, temos dx = 2x. Veja que o número 2 estava como expoente de x, ele desce para multiplicar na frente do número e no expoente aparece o número 1. Esse mecanismo sempre se repetiria... Se fizéssemos a mesma conta de antes para y = 3x 2, obteríamos: = 6x, veja que a mesma dx idéia do exponente caindo e cedendo lugar ao expoente inteiro anterior aparece. E se fizéssemos a mesma conta (longa) para y = x 3, então: dx = 3x2. Novamente, a mesma idéia aparece. Isso leva à uma regra, chamada regra do tombo : Se y = Ax n, então: dx = A nxn 1 Regra do Tombo tombo porque é como se o expoente n tombasse, dando lugar ao expoente inteiro imediatamente anterior (n 1). De maneira que você, de posse desta regra, não precisa recorrer à operação numérica (das tabelas do começo), nem à expansão algébrica. Agora, algo que já sabíamos calcular:
1) A inclinação da reta. Considere a reta: y = 2x. Qual a derivada? Resposta, pela regra do tombo: dx = 2 1x(1 1) = 2x 0 = 2 Note: É justamente o que já calculávamos com o nome de inclinação da reta, e chamávamos de a na equação y = ax. Como a inclinação da reta é constante, veja que não depende de x essa derivada. Além disso, veja que como é sempre igual (por conta da reta ter as variações sempre proporcionais) isso inclui o limite em que 0, justificando o resultado. 2) E a função constante, y = 2? Quanto dá a inclinação desta reta? Resposta: dx = 0. Pois = 0, para qualquer escolha de, logo sempre vai ser zero. Mas sabemos que para y = ax + b, a inclinação é: dx = a. Esse último resultado sugere que se você tiver uma função que é a soma (ou subtração) de duas funções, a derivada pode ser obtida pela derivada de cada uma delas, ou seja, a derivada termo a termo (essa demonstração pode ser feita rigorosamente, algo que deixo à cargo dos mais curiosos). Se y = f(x) + g(x) Então: dx = df dx + dg dx De modo que se a função for y = 2x x 2, por exemplo: dx = 2 2x. No gráfico abaixo represento o gráfico da função y = x 2, e de sua derivada, dx À esquerda é representada a função y = 2x x 2, e também da sua derivada dx = 2x (embaixo). = 2 2x, abaixo.
Gráfico 7 Responda: 1) Com sua mão avalie o comportamento das tangentes dos gráficos de cima (inclinação e sinal) e compare com os valores apresentados nos gráficos de baixo (que vêm do cálculo com a regra do tombo). 2) o que acontece com a valor da derivada em um ponto de máximo ou de mínimo dessas funções? 4 É isso... Assim, para calcular as inclinações de funções de qualquer grau (retas, parábolas, cúbicas, quárticas...) diretamente basta aplicar a regra do tombo e obter a expressão para, e substituir o valor de x do dx ponto que você quer calcular a inclinação. A regra do tombo funciona ainda, por exemplo, para qualquer expoente x α (mesmo sendo α uma fração, um número irracional ou mesmo um número negativo). Mas não confunda um truque (regra do tombo) com regra geral. Mas atenção: outras funções não seguem a regra do tombo. Por exemplo: y = 2 x, o resultado não é obtido com essa regra, porque a função é diferente (chamada exponencial).
Na medida em que formos explorando outras funções iremos expandindo nosso vocabulário de regras de obter derivadas, mas todas elas vão seguir, sempre, a definição: dx = lim 0 E seu significado sempre será a inclinação (local) da função no ponto x. Ou, equivalentemente: a inclinação da tangente à curva no ponto x. Exercícios finais a) Calcule a inclinação com números (fazendo conta como a da última linha da tabela 1) usando = 0, 001 e x = 1, para as funções: a) y = 3x 2 ; b) y = x 3 ; b) Calcule usando a regra do tombo a derivada, dx, das funções a) y = 3x2 ; b) y = x 3, e compare com o resultado anterior em x = 1. c) Calcule (usando a regra do tombo) dx para: a) y = x2 +3x; b) y = 3x 6x 2 ; c) y = 4x 3 2x 2 +x+5. O resultado será dado em termos de x. d) Calcule pela aproximação numérica (como no primeiro exercício acima) a derivada para y = 2 x, em x = 1 com = 0, 001. Veja que este resultado é diferente de x2 x 1 com x = 1. (Ou seja, a regra do tombo não funciona com a função y = 2 x ) e) Invente uma função como essas anteriores. Calcule sua derivada. Faça os gráficos (da função e da derivada) no papel, usando um aplicativo qualquer. Faça o gráfico tanto da função, quanto de sua derivada. *) Sugestões: Android Grapher; ios Quick Graph; PC (c/ internet) www.wolframalpha.com f) (desafio opcional) Calcule a inclinação usando o cálculo completo dx = lim fizemos na seção anterior) para as funções: a) y = 3x 2, b) y = x 3. 0, (ou seja como g) (ultra desafio opcional, pra quem gosta bastante de matemática) pesquise sobre binômio de Newton (ou, ainda, triângulo de Pascal ) e descubra como demonstrar que se y = Ax n, então dx = Anxn 1.