Teoria dos Jogos Prof. Maurício Bugarin Eco/UnB -II
Roteiro Capítulo : Jogos dinâmicos com informação completa. Jogos Dinâmicos com Informação Completa e Perfeita Forma extensiva Estratégias Equilíbrio de Nash Subjogos e equilíbrio perfeito em subjogos Aplicações
.. Jogos Dinâmicos com Informação Completa e Perfeita Exemplo: Duopólio de Stackelberg n= Demanda inversa: p=3-x Custo de produção: c (x)=6x u (x, x )=(4 - (x + x )) x u (x, x )=(4 - (x + x )) x x {6,8,} Mas agora, o jogador joga primeiro e o jogador observa a jogada de antes de jogar
.. Jogos Dinâmicos com Informação Completa e Perfeita Definição: A forma extensiva A representação na forma extensiva de um jogo especifica: () o conjunto de jogadores, (a) quando cada jogador tem que se mover, (b) o que cada jogador pode fazer em cada uma de suas oportunidades de se mover, (c) o que cada jogador sabe em cada uma de suas oportunidades de se mover, e (3) o payoff recebido por cada jogador para cada combinação de movimentos que poderiam ser escolhidos pelos jogadores.
.. Jogos Dinâmicos com Informação Completa e Perfeita Exemplo: Duopólio de Stackelberg t 6 8 t t t 3 6 6 6 8 8 8 7 7 (f ) (f ) (f 3 ) (f 4 ) (f ) (f 6 ) (f 7 ) (f 8 ) (f 9 ) 6 8 4 77 8 6 4 77 4 4
.. Jogos Dinâmicos com Informação Completa e Perfeita Exemplo: Separatistas t i ni e t ne
.. Jogos Dinâmicos com Informação Completa e Perfeita Exemplo: Barreira à entrada Monopolista, M Demanda inversa: p=3-x Custo de produção: c M (x)=6x Entrante: E pode entrar se pagar o custo irrecuperável F Mesma tecnologia de produção: c E (x)=6x Se E entrar M pode ceder e dividir com ele o mercado como duopolistas, ou fazer uma guerra de preços escolhendo p=6
.. Jogos Dinâmicos com Informação Completa e Perfeita Exemplo: Barreira à entrada E t ne e M 44 c t g -F -F
.. Jogos Dinâmicos com Informação Completa e Perfeita Definição-Estratégia Uma estratégia pura para um jogador i, s i, é uma função que associa a cada nó de decisão de i, uma ação que o jogador pode tomar naquele nó de decisão. Trata-se de uma regra que diz ao jogador que ação escolher em cada etapa do jogo. Um perfil de estratégias s=(s,,s n ) é uma escolha de uma estratégia s i para cada jogador i=,, n.
.. Jogos Dinâmicos com Informação Completa e Perfeita Exemplo: Separatistas (i, ne) t i ni e t ne
.. Jogos Dinâmicos com Informação Completa e Perfeita Exemplo: Duopólio de Stackleberg Perfis de estratégias: s=(6, (8,6,)), sʹ =(8,(,6,8)) 6 8 t t t t 3 6 6 6 8 8 8 7 7 (f ) (f ) (f 3 ) (f 4 ) (f ) (f 6 ) (f 7 ) (f 8 ) (f 9 ) 6 8 4 77 8 6 4 77 4 4
.. Jogos Dinâmicos com Informação Completa e Perfeita Definição-Caminho associado a um perfil de estratégias Dado um perfil de estratégias s pode-se construir o caminho descrito por s da seguinte forma. (i) Partindo do nó inicial t, o perfil s determina que ação o jogador associado a esse nó deverá tomar. Seguindo a aresta correspondente a essa ação, chega-se a um segundo nó, t. (ii) Em seguida, s determina que ação o jogador associado ao nó t deverá tomar. Seguindo a aresta correspondente, chega-se ao nó t. E assim sucessivamente. (iii) Desta forma, se o jogo for finito, o caminho associado a s levará a um único nó terminal t f. Nesse caso o resultado do jogo será u(t f ), ou seja, as utilidades ou payoffs associados àquele nó terminal. Seja c=(t, t,..., t f ) o caminho associado a s. Um nó que não aparece na expressão de c é dito estar fora do caminho de s.
.. Jogos Dinâmicos com Informação Completa e Perfeita Exemplo: Separatistas (i, ne) t i ni e t ne
.. Jogos Dinâmicos com Informação Completa e Perfeita Exemplo: Duopólio de Stackleberg Perfis de estratégias: s=(6, (8,6,)), sʹ =(8,(,6,8)) 6 8 t t t t 3 6 6 6 8 8 8 7 7 (f ) (f ) (f 3 ) (f 4 ) (f ) (f 6 ) (f 7 ) (f 8 ) (f 9 ) 6 8 4 77 8 6 4 77 4 4
.. Jogos Dinâmicos com Informação Completa e Perfeita Definição-Equilíbrio de Nash Um perfil de estratégias s é um EN do jogo na forma extensiva se nenhum jogador puder obter um payoff maior que aquele correspondendo ao caminho associado ao perfil s mudando unilateralmente sua decisão em qualquer de seus nós de decisão.
.. Jogos Dinâmicos com Informação Completa e Perfeita Exemplo: Separatistas (ni, ne) t i ni e t ne
.. Jogos Dinâmicos com Informação Completa e Perfeita Exemplo: Separatistas (ni, e) t i ni e t ne
.. Jogos Dinâmicos com Informação Completa e Perfeita Exemplo: Separatistas (i, e) t i ni e t ne
.. Jogos Dinâmicos com Informação Completa e Perfeita Exemplo: Separatistas (i, ne) t i ni e t ne
.. Jogos Dinâmicos com Informação Completa e Perfeita Exemplo: Barreira à Entrada (quadro) E t ne e M 44 c t g -F -F
.. Jogos Dinâmicos com Informação Completa e Perfeita Exemplo: Duopólio de Stackleberg Perfis de estratégias: s=(6, (8,6,)), sʹ =(8,(,6,8)) 6 8 t t t t 3 6 6 6 8 8 8 7 7 (f ) (f ) (f 3 ) (f 4 ) (f ) (f 6 ) (f 7 ) (f 8 ) (f 9 ) 6 8 4 77 8 6 4 77 4 4
Roteiro Capítulo : Jogos dinâmicos com informação completa. Jogos Dinâmicos com Informação Completa e Perfeita Forma extensiva Estratégias Equilíbrio de Nash Subjogos e equilíbrio perfeito em subjogos Aplicações
.. Jogos Dinâmicos com Informação Completa e Perfeita Exemplo: Separatistas t t i ni i ni e t ne e t ne Ameaça vazia!
.. Jogos Dinâmicos com Informação Completa e Perfeita Exemplo: Barreira à entrada (F<) E E t t ne e ne e M M 44 c t g 44 c t g -F -F -F -F Ameaça vazia!
.. Jogos Dinâmicos com Informação Completa e Perfeita Exemplo: Duopólio de Stackleberg t t 6 8 6 8 t t t 3 t t t 3 6 6 6 8 8 8 6 6 6 8 8 8 7 6 4 8 4 77 7 6 4 8 4 77 7 8 77 6 4 4 7 8 77 6 4 4 Ameaça vazia! Ameaça vazia!
.. Jogos Dinâmicos com Informação Completa e Perfeita Observação-Ameaça vazia Somente pode ocorrer num EN fora do caminho de equilíbrio. Continua sendo um EN justamente por estar fora do caminho de equilíbrio: payoff irrelevant Portanto: Precisamos aprofundar o conceito de racionalidade de forma a levar em consideração o fato de que que um jogador não tomaria uma atitude que lhe prejudicasse se fosse jogar fora do caminho de equilíbrio: Perfeição em subjogos Devido a Selten, Nobel 994
.. Jogos Dinâmicos com Informação Completa e Perfeita Definição-Subjogo Sejam E um jogo na forma extensiva e t um nó de decisão (não terminal) qualquer do jogo E. Considere todos os nós que seguem t, incluindo os nós terminais do jogo. O conjunto formado por t e seus sucessores é chamado subjogo do jogo E iniciando em t. Equilíbrio perfeito em subjogos Um perfil de estratégias de um jogo na forma extensiva E é um equilíbrio perfeito em subjogos se esse perfil induz um equilíbrio de Nash em cada subjogo de E. Um equilíbrio perfeito em subjogos é denotados por EPS.
.. Jogos Dinâmicos com Informação Completa e Perfeita Indução retroativa e EPS: Duopólio de Stackleberg t 6 8 t t t 3 6 6 6 8 8 8 7 6 4 8 4 77 7 8 77 6 4 4 Vantagem de ser o primeiro a jogar!!
.. Jogos Dinâmicos com Informação Completa e Perfeita Exemplo: Separatistas t i ni e t ne
.. Jogos Dinâmicos com Informação Completa e Perfeita Exemplo: Barreira à Entrada E t ne e M 44 c t g F F
.. Jogos Dinâmicos com Informação Completa e Perfeita Exemplo: Centopéias C C C C C t t t P P P P t 3 t 4 4 3 3 4
.. Jogos Dinâmicos com Informação Completa e Perfeita Teorema-Todo perfil de estratégias obtido por indução retroativa em um jogo dinâmico finito com informação perfeita é um equilíbrio de Nash desse jogo. Teorema-(Kuhn, 93). Todo jogo finito na forma extensiva com informação perfeita admite um equilíbrio de Nash em estratégias puras.
.. Jogos Dinâmicos com Informação Completa e Perfeita Exemplo ((D,A),(e,e,d),(L,L)) É um EN! Mas será EPS? A B t E t D Há ameaça vazia? t t 3 e d e d t 4 e d 4 L t 3 R L 3 t 6 R 3 4 6 4 3
.. Jogos Dinâmicos com Informação Completa e Perfeita Exemplo EPS? ((E,B),(e,d,e),(R,R)) A B t E t D t t 3 t 4 e d e d e d 4 L t 3 R L 3 t 6 R 3 4 6 4 3
.. Jogos Dinâmicos com Informação Completa e Perfeita Aplicação: Stackelberg com escolhas contínuas (quadro) L t x L = S x S t x 4 xl = ( = 6) (4-(x L +x S ))x L (4-(x L +x S ))x S (7) (36)
.. Jogos Dinâmicos com Informação Completa e Perfeita Aplicação: Modelo Truncado de Negociação de Rubinstein (quadro) x R y R t t x t xr t A A xy δ / δ / x -x δ y δ (-y)