Secções biquadráticas com um amplificador Ana Catarina Pereira n o 67 Ana Vieira da Silva n o 67 Artur Palha n o 67 7 de Junho de 00 Resumo Estudo de secções biquadráticas com um AmpOp. Análise da sensibilidade da resposta em frequência de um filtro passa-baixo em relação aos componentes passivos. Análise do efeito de pólo do AmpOp. Transformação RC-CR e transformação complementar. Filtro passa-baixo Esquema do circuito Figura : Esquema do circuito passa-baixo implementado. Função de transferência, frequência angular (ω 0 ) e factor de qualidade (Q 0 ) teóricos Uma simples aplicação da lei de Kickoff dá-nos as seguintes equações descritivas do circuito: V o V R + V i V R (V R V o ) s C R R V o V R V o s C R Substituindo e resolvendo o sistema para V o, obtém-se: V o V i s C C R R + sc (R + R ) +
Resultando, assim, na seguinte função de transferência do circuito: H (s) V o V i C C R R ( ) s + s R + R C + C C R R Como se sabe, a expressão de referência de um filtro passa-baixo de segunda ordem é: H (s) a 0 s + s ω0 Q + ω 0 Uma comparação entre as duas expressões resulta numa frequência de pólo: e num factor de qualidade: ω 0 Q ω 0 C R R R + R C C R R C R R (R + R ) C C R R Os valores de ω 0 e Q, em função dos valores dos elementos passivos do circuito dão: ω 0 6356. rad/s 000 Hz: Q.77. A função de transferência, para s iω, é: Simplificando: C C R R H (iω) ( ) ω + iω R + R C + C C R R H (iω) ( ) ω ω 0 + i ω ω 0 Q + tendo em atenção que (ω n ω ω 0 ), que é a frequência normalizada, fica: Em notação exponencial é: Com: H (iω) ωn + i ωn Q + ω 0 ω + iω ω0 Q + ω 0 H (iω) H (iω) e i arg(h(iω)) e iθ(ωn) ( ωn) + ω n Q ( ) ω n θ (ω n ) arctan ( ωn) Q Apresentam-se, nas Figuras (a) e (b), os gráficos das curvas teóricas do ganho do filtro passabaixo e da sua fase. Com os dados experimentais procedeu-se ao ajuste dos dados, por forma a obter-se ω p e Q p. Os ajustes são apresentados na Figura 3. Olhando para a Tabela, pode-se comparar os resultados experimentais com o previsto teoricamente. É fácil de notar que o valor de Q para o Fase é totalmente díspar do previsto teoricamente e, até, do obtido para o Módulo, mais próximo do teórico. Provavelmente terá existido um erro de leitura sistemático que provocou uma tal disparidade, ou então um erro no ajuste. Ver guia experimental
HHiw nl 0. 0.0 0.00 Arg@HHiw nld 0-3 p 0.000 0.00 0.0 0. 0 00 wn -p 0.000 0.0 00 wn (a) Curva teórica do ganho do filtro passabaixo (b) Curva teórica da fase do filtro passabaixo Figura : Curvas teóricas do filtro passa-baixo Ajuste ω p (Hz) Q p Módulo 93. Fase 950 5.0 Tabela : Dados dos ajustes. (a) Ajuste do ganho do filtro passa-baixo (b) Ajuste da fase do filtro passa-baixo de Sallen e Key Figura 3: Ajustes aos dados experimentais para o filtro passa-baixo Efeito do pólo do AmpOp Por forma a determinar-se os desvios de ω 0 e de Q em relação aos valores que se obtinham com o comutador na posição B MHz, procedeu-se à obtenção das expressões algébricas que forneciam ω p e Q p em função de ω max e do ganho (A), quando ω ω max : e segue que: Q p A ( A + ) A ω p ω max A (A ) Uma simples determinação do máximo de H (iω n) 3
Experimentalmente, obteve-se um máximo para V i 0.0V, V o 0.8V, f 89.9Hz. O que resulta num ganho A V o V i.8. Substituindo, nas expressões, os valores nominais, obtém-se o seguinte resultado: ω p πf p π 90.9(MHz) 5673.0 rad. MHz e Q p.77. Comparativamente com o obtido para B MHz, verificou-se que tanto ω p com Q p sofreram uma diminuição, já que os valores obtidos para B MHz foram de: ω p πf p π 99.(MHz) 66.7 rad. MHz e Q p.80. Como se pode ver, o valor de ω p quando B MHz é o que se encontra mais próximo de ω p teórico, que era o esperado. Transformação RC-CR Esquema dos circuitos Os circuitos implementados encontram-se presentes na Figura. (a) Passa-Baixo (b) Passa-Alto Figura : Obtenção de uma descrição passa-alto por aplicação de transformação RC-CR à secção passa-baixo do esquema da Figura Obtenção da função de transferência teórica deste filtro passa alto Novamente, analisando o circuito, verifica-se que as equações que o descrevem são: (V o V R ) s C + (V i V R ) s C V R V o R (V o V R ) s C V o R O que conduz à seguinte função de transferência: Notando que: ω 0 Q ω 0 H (s) C C R R C C s s + s ω 0 Q + ω 0 C C R (C + C ) C C R R
Novamente, substituindo os valores dos componentes, obtém-se: omega 0 000 Hz e Q 5.0. Quando s iω e fazendo, novamente, a mudança de variável ω n ω ω 0, obtém-se a seguinte expressão para a função de transferência: com H (iω) H (iω) e i arg(h(iω)) ω n ( ω n) + ω n Q ( ) ω n θ (ω n ) arctan ( ωn) Q e iθ(ωn) A curva representativa do ganho é apresentada na Figura 5(a) e da fase é apresentada na Figura 5(b). HHiw nl 0. 0.0 0.00 0.000 0.0 0. 0 00 wn Arg@HHiw nld 0-3 p -p 0.0 0. 0 00 wn (a) Curva teórica do ganho do filtro passaalto (b) Curva teórica da fase do filtro passaalto Figura 5: Curvas teóricas do filtro passa-alto Com base nos dados recolhidos no laboratório procedeu-se a uma regressão dos dados, por forma a ajustá-los à curva teórica e, daí retirar os valores de ω p e de Q p. O ajuste é apresentado nas Figuras 6(a) e 6(b). Os valores do ajuste são apresentados na Tabela. Ajuste ω p (Hz) Q p Módulo 053.0 Fase 037.8 Tabela : Dados dos ajustes. Como se pode ver, os resultados são próximos uns dos outros e próximos do esperado teoricamente. Excepção feita para o valor de Q p para o ajusto do módulo, onde a diferença é de 7%, face às diferenças de 0.6%. 5
(a) Ajuste à curva teórica do ganho do filtro passa-alto (b) Ajuste à curva teórica do ganho do filtro passa-alto Figura 6: Ajuste aos dados experimentais do filtro passa-alto 6