Luís J.M. Amoreira Departamento de Física UBI. Primavera 2011

Breve introdução à óptica geométrica Luís J.M. Amoreira Departamento de Física UBI Primavera 2011 Índice 1 Introdução 2 2 Reflexão em espelhos planos 2 2.1 Propriedades da imagem reflectida num espelho plano................ 3 3 Reflexão em espelhos esféricos 4 3.1 A aproximação paraxial................................. 5 3.2 Foco de um espelho esférico............................... 5 3.3 Imagem reflectida num espelho convexo........................ 7 3.4 Imagem reflectida num espelho côncavo........................ 8 3.5 Imagens formadas por reflexão Resumo....................... 10 4 Refracção em superfícies planas 11 5 Refracção em superfícies esféricas 12 5.1 Focos de uma superfície refractora esférica. Potência dióptrica............ 13 5.2 Posição e características das imagens refractadas................... 15 5.3 Traçado de raios..................................... 17 5.4 Refracção em superfícies esféricas Resumo..................... 17 6 Lentes finas 18 6.1 Equação das lentes.................................... 19 6.2 Traçado de raios e ampliação transversal........................ 21 6.3 Propriedades das imagens refractadas em lentes finas................. 22 6.4 Refracção em lentes finas Resumo.......................... 23 7 Sistemas ópticos compostos 23 7.1 Objectos virtuais..................................... 25 8 Instrumentos ópticos 26 8.1 O olho humano...................................... 26 8.2 A lente de aumento.................................... 26 8.3 Microscópio composto.................................. 26 8.4 Telescópio......................................... 26 1

1 Introdução Escrevo estas notas porque no manual recomendado para a disciplina de Elementos de Física II (Halliday, Resnick e Krane, Física vol. 4 ) é seguida uma convenção de sinais para as distâncias medidas em sistemas ópticos que considero complicada de compreender e de aplicar e que, na minha opinião, será talvez abandonada. Espero com este esforço produzir apontamentos que possam, neste capítulo de óptica geométrica, substituir o manual. Estes apontamentos ocupam-se essencialmente com a determinação das propriedades (posição, ampliação, etc.) das imagens produzidas em sistemas ópticos simples constituídos por lentes e espelhos. Os pontos de partida para este estudo são a Lei da Reflexão e a Lei de Snell, que já foram abordadas (e deduzidas) nas aulas. Recapitulando muito brevemente estas leis, sabemos que quando um raio de luz incide na superfície de separação de dois meios diferentes, uma parte da energia luminosa é reflectida na superfície, e outra refractada (ver a figura). Se θ 1, θ 2 e θ 3 forem, respectivamente, os ângulos que o raio incidente, o raio refractado e o raio reflectido fazem com a normal à superfície no ponto de incidência, então verificam-se as seguintes Figura 1 Lei da reflexão: Os raios incidente e reflectido e a normal à superfície no ponto de incidência pertencem ao mesmo plano e tem-se θ 1 = θ 3. (1) Lei de Snell: Os raios incidente e refractado e a normal à superfície no ponto de incidência pertencem ao mesmo plano e tem-se n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2, (2) onde n 1 e n 2 são, respectivamente, os índices de refracção do meio onde se propaga o raio incidente e do de onde se propaga o raio refractado. Um aspecto destas duas leis que vale a pena realçar, porque será útil mais tarde, é que delas se deduz que o trajecto dos raios luminosos num sistema óptico é reversível. Com efeito, se invertermos o sentido dos raios de luz numa reflexão ou refracção, os mesmos ângulos, agora em papel inverso (o que era um ângulo de entrada é agora um ângulo de saída ), continuam a satisfazer as eqs. (1) ou (2). Verifique-o! 2 Reflexão em espelhos planos Consideremos um objecto pontual O, colocado a uma suas distância d o de um espelho plano (ver a figura). Alguns raios de luz que dele emanam (em todas as direcções) incidem no espelho e sofrem aí uma reflexão. De acordo com a eq. (1) os ângulos que as direcções de incidência e de reflexão fazem com a normal à superfície do espelho são iguais. Consideremos três (ou mais) quaisquer destes raios que incidem no espelho. Constatamos que as direcções dos raios reflectidos intersectam-se todas num ponto situado atrás do espelho. Assim, os raios reflectidos parecem, aos olhos de um observador, ter origem nesse ponto. Trata-se, pois, da imagem I do objecto O por reflexão no espelho. Considerações geométricas simples (recorrendo às propriedades de semelhança de triângulos ou à trigonometria básica) permitem-nos concluir que os objectos e as Figura 2 imagens formadas por reflexão num espelho plano encontram-se a iguais distâncias do espelho, ou 2

seja, d i = d o, e pertencem (objecto e imagem) a uma mesma normal à superfície do espelho. 2.1 Propriedades da imagem reflectida num espelho plano Consideremos agora a imagem formada por reflexão num espelho plano de um objecto extenso. Para simplificar (e seguindo um preceito de aplicação universal em óptica geométrica), o objecto considerado é uma seta paralela ao espelho (ver a Figura 3). Sejam O e O os pontos extremos da seta e I e I as suas imagens. Figura 3: Objecto e imagem numa reflexão num espelho plano. Posição Aproveitamos estudo simples para introduzir a convenção de sinais que vamos seguir neste curso. Para especificar a posição do objecto e da imagem num problema de óptica, usamos um sistema de coordenadas cartesiano que tem a origem no centro do elemento óptico que estamos a considerar em cada momento (neste caso, temos apenas um elemento o espelho e a origem encontra-se assinalada pelo ponto V na figura); as posições à direita da origem tem coordenada horizontal positiva, as que se encontram à esquerda, têm-na negativa. De igual modo, as posições acima da origem têm coordenada vertical positiva, e as que se encontram abaixo têm-na negativa. Assim, representando por o e i as coordenadas horizontais do objecto e da sua imagem, o facto de elas se encontrarem a iguais distâncias do espelho (logo, da origem) traduz-se na equação i = o (reflexão num espelho plano). Ampliação transversal É usual representar a altura do objecto (isto é, na Figura 3, a distância O O) por h e a da imagem por h. Chama-se ampliação transversal de um sistema óptico ao quociente entre a altura da imagem e a do objecto, ou seja, A = h h. (3) Se o valor da ampliação transversal é positivo, isso significa que o objecto e a imagem aparecem ambos do mesmo lado do eixo óptico: estão os dois acima, ou abaixo, do eixo. Nesse caso, dizemos (veja já a seguir) que a imagem é direita. Caso a ampliação transversal seja negativa, então a imagem e o objecto estão orientados em sentido oposto e dizemos que a imagem é invertida. Para a reflexão num espelho plano que estamos a estudar, como os pontos O e I (Figura 3) estão à mesma altura sobre o eixo e o mesmo sucede com os pontos O e I, concluímos que, neste caso, h = h, ou seja, A = 1 (reflexão num espelho plano). 3

Orientação O objecto e a sua imagem na reflexão num espelho plano estão ambos orientados no no mesmo sentido (as duas setas na Figura 3 estão as duas viradas para cima). Nesta situação, dizemos que a imagem é direita. Estudaremos em breve situações em que a imagem tem sentido inverso ao do objecto, caso em que dizemos tratar-se de uma imagem invertida. Realidade Quando analisámos a formação da imagem na reflexão num espelho plano (reveja a Figura 2), constatámos que os raios reflectidos parecem todos ter origem no ponto imagem I. É claro que isso não é verdade, uma vez que a luz nem sequer se propaga para trás do espelho. A posição da imagem é obtida pelo prolongamento dos raios reflectidos, criando a ilusão da sua localização. Em situações como estas, dizemos que a imagem é virtual. Noutras situações, que estudaremos a seguir, a imagem de um objecto está efectivamente localizada numa posição de onde emanam os raios de luz que chegam aos olhos dos observadores. Nessas situações dizemos que a imagem é real. Quando se coloca um écran na posição de uma imagem real (como acontece numa projecção de slides ou de cinema), ela é aí materializada. Obviamente, tal não pode ocorrer na reflexão num espelho plano, já que a imagem se situa atrás do espelho, onde não chega a luz. 3 Reflexão em espelhos esféricos Na análise da reflexão da luz, devemos distinguir dois tipos de superfícies esféricas: as côncavas, quando a curvatura da superfície é para o lado de onde incide a luz, e as convexas, que têm a curvatura para o lado oposto àquele de onde a luz vem (veja a Figura 4). Um espelho esférico é Figura 4: A reflexão em espelhos côncavos (esquerda) e convexos (direita). uma porção reflectora de superfície esférica (por exemplo, uma calote, se se tratar de um espelho circular). As características mais óbvias (e mais relevantes para o estudo que se segue) desta superfície reflectora são (1) que todos os seus pontos se encontram à mesma distância (o raio) de um mesmo ponto (o centro da esfera a que pertence), e (2) que a sua normal, em cada ponto, contém também o centro (veja a Figura 5). Figura 5: Centro de curvatura de espelhos esféricos côncavos (à esquerda) e convexos (à direita) e normal à superfície em cada ponto. 4

Dado um espelho esférico, escolhemos um ponto da sua superfície de forma mais ou menos arbitrária (mas é conveniente que seja um ponto próximo do centro geométrico do espelho), a que chamaremos vértice. A direcção normal à superfície reflectora que contém o vértice chama-se eixo óptico do espelho. Convencionalmente, em esquemas para a análise de sistemas ópticos, desenha-se o eixo óptico em posição horizontal, e representa-se o espelho de tal forma que a luz incide vinda do lado esquerdo do diagrama. Consideremos um raio de luz que incide num espelho côncavo num ponto Q segundo uma direcção paralela ao eixo óptico e dele distanciada h (ver a figura ao lado). Este raio será reflectido numa direcção que cruza o eixo óptico num ponto F, cuja posição pode ser determinado a partir da lei da reflexão. Seja α o ângulo que o raio incidente faz com a normal ao espelho no ponto de incidência, isto é com a direcção do segmento de recta QC, onde C é o centro de curvatura do espelho. Então podemos escrever Figura 6 tan α = h CS tan 2α = h F S (4) 3.1 A aproximação paraxial A resolução destas equações para a determinação da posição do ponto F não é nada simples. Mas, em quase todas as situações de interesse prático, a distância h é pequena quando comparada com o raio de curvatura do espelho (ou seja, o trajecto do raio incidente é muito próximo do eixo óptico). Nessas situações, então, o ângulo de incidência α é muito pequeno, o que permite fazer as seguintes substituições aproximadas: tan α α tan 2α 2α CS CV F S F V, com as quais o sistema da eq. (4) se reescreve como de onde se obtem facilmente α = h CV 2α = h F V, F V = CV 2. (5) Esta aproximação, que nos permitiu obter facilmente uma solução aproximada para o sistema da eq. (4), tem o nome de aproximação paraxial e será sempre usada nestes apontamentos. 3.2 Foco de um espelho esférico O ponto F, para onde são reflectidos os raios que incidem num espelho concâvo paralelamente ao eixo óptico, chama-se ponto focal ou foco do espelho. De acordo com a eq. (5), o foco situa-se no ponto médio do centro de curvatura e do vértice do espelho, qualquer que seja o valor de h (desde que seja suficientemente pequeno para que se justifique a aplicação da aproximação paraxial, bem entendido). Note-se que, como o trajecto dos raios de luz na reflexão é reversível, raios de luz que tenham origem no foco (ou que simplesmente passem pelo foco) de um espelho côncavo são por ele reflectidos reflectidos em direcções paralelas ao eixo óptico (veja a Figura 7). 5

Figura 7: O foco de um espelho esférico côncavo é o ponto para onde convergem raios que incidem paralelamente ao eixo óptico (direita). Inversamente, raios com origem no foco são reflectidos pelo espelho em direcções paralelas ao eixo (direita). Para espelhos convexos também se define um foco, já não como ponto para onde os raios de luz reflectidos convergem, porque os espelhos convexos não têm essa propriedade, mas sim como ponto de onde raios que incidem no espelho paralelos ao eixo parecem divergir. Com efeito, consideremos um raio paralelo ao eixo de um espelho convexo num ponto situado a uma altura h. Seja α o ângulo que a direcção de incidência faz com a normal ao espelho nesse ponto (veja figura ao lado). Como no Figura 8 estudo da reflexão num espelho côncavo, também aqui podemos escrever, impondo a aproximação paraxial, α h V C 2α h V F, de onde resulta, tal como para a reflexão no espelho côncavo, V F = V C 2. Assim, constatamos que, também para espelhos convexos, o foco se encontra no ponto médio entre o vértice e o centro de curvatura. O foco dos espelhos convexos também se pode determinar considerando a situação inversa: raios que, depois de reflectidos, são paralelos ao eixo devem ter incidido no espelho dirigidos ao foco (veja a Figura 9). Figura 9: O foco de um espelho esférico convexo é o ponto de onde parecem emanar os reflexos de raios que incidiram paralelamente ao eixo (esquerda), ou, equivalentemente, o ponto para onde se dirigem raios incidentes que são reflectidos paralelamente ao eixo. Como resultado da reflexão num espelho côncavo, os raios reflectidos são sempre mais convergentes (ou menos divergentes) do que os incidentes. Por isso, os espelhos côncavos dizem-se convergentes. 6

3.3 Imagem reflectida num espelho convexo Consideremos agora um objecto extenso (a convencional seta vertical) colocado em frente a um espelho convexo (veja a Figura 10). Em geral, não é tarefa muito simples encontrar em que direcção um raio arbitrário com origem no ponto O é reflectido pelo espelho. Mas há três raios especiais para os quais essa determinação é muito fácil. O primeiro destes raios é o que incide Figura 10: Formação da imagem reflectida num espelho esférico convexo. no espelho paralelamente ao eixo. Já sabemos que esse raio é reflectido numa direcção tal que, depois da reflexão, parece ter tido origem no foco do espelho. O segundo raio é aquele que incide no vértice do espelho. Nesse ponto, a normal à superfície espelhada é o eixo óptico, a partir do qual é fácil traçar o raio reflectido. O terceiro raio é aquele que vai dirigido ao centro de curvatura do espelho. Esse incide perpendicularmente, logo, é reflectido na mesma direcção de incidência, mas em sentido oposto. Ora, os prolongamentos destes três raios intersectam-se todos no ponto I representado na Figura 10, que, assim, parece ser a origem de todos os raios que, tendo tido origem no ponto O, sofreram reflexão no espelho convexo. O ponto I é pois a imagem do ponto O por reflexão neste espelho. Uma construção em tudo semelhante permite demonstrar que o ponto I é a imagem do ponto O, de forma que a imagem do objecto extenso (seta O O) é a seta I I. Posição da imagem Seja, mais uma vez h a altura do objecto (ou seja, a distância O O) e o a sua coordenada horizontal (de acordo com a convenção que introduzimos, o < 0). Da mesma maneira, sejam h e i respectivamente a altura e a coordenada horizontal da imagem. Então, analisando a Figura 10, podemos escrever Destas duas igualdades obtemos tan α = h O V = h I V tan β = h V F = h I F de onde resulta ou seja, h /h = V I O V = i o e i o = f i, f if = of oi. Dividindo esta equação por oif e reorganizando os termos obtemos h /h = I F V F = f i, f 1 i + 1 o = 1 f, (6) 7

que é a chamada equação dos espelhos. Veremos mais tarde que ela se aplica também a espelhos côncavos. Como deve ser óbvio, esta equação é válida para espelhos planos: nesse caso, o raio de curvatura da superfície é infinito, logo, 1/f = 0 e resulta então apenas o = i, resultado que já deduzimos anteriormente. Ampliação transversal Tal como no caso da reflexão em espelhos planos, a ampliação transversal define-se como o quociente entre a altura da imagem e a do objecto, ou seja, A = h h. Como vimos na dedução da eq. (6), esta razão é igual à razão V I /O V. Então podemos também escrever A = i o. Usando a equação dos espelhos para escrever i como função de o, obtemos A = f o f. Tratando-se de um espelho convexo, o foco encontra-se à direita do vértice, logo f > 0. Assim, o denominador da fracção no lado direito desta equação é negativo e maior em módulo do que f. Logo, a ampliação trasnversal da imagem reflectida por um espelho convexo é positiva e menor do que 1. Orientação Uma vez que a ampliação transversal tem valor positivo, a imagem reflectida num espelho convexo é direita. Realidade Tal como para a reflexão em espelhos planos, a imagem reflectida num espelho convexo forma-se atrás do espelho, onde não chegam os raios de luz. Logo, ela só pode ser uma imagem virtual. 3.4 Imagem reflectida num espelho côncavo Caso 1: o objecto está atrás do centro de curvatura A Figura 11 ilustra a geometria da formação da imagem reflectida num espelho côncavo. Os raios de luz originados no ponto O reflectidos no espelho cruzam-se todos (os três representados e outros que considerássemos) no ponto I, ou seja, parecem ter aí origem aos olhos de um observador. Assim, este ponto é a imagem do ponto O por reflexão no espelho côncavo. Podemos repetir a análise feita antes para os espelhos convexos. Note que tan α = h f o = h f tan β = h o = h i, onde, como antes, o, i e f são respectivamente as coordenadas horizontais do objecto, da imagem e do foco (agora são todas negativas, porque estes elementos estão todos à esquerda do vértice), h 8

Figura 11: Formação da imagem por reflexão num espelho côncavo. é a altura do objecto e h (agora negativo) é a altura da imagem. De cada uma destas expressões deduzimos duas fórmulas para a ampliação transversal de onde resulta a igualdade ou seja h = f f o (7) h h = i o, (8) h f f o = i o, fo = if + io. Dividindo esta expressão por iof obtemos, por fim, 1 i + 1 o = 1 f, (9) fórmula em tudo semelhante à que obtivemos na análise da reflexão em espelhos convexos [eq. (6)]. A imagem reflectida é agora real, já que definida pelos próprios raios reflectidos, e não pelos seus prolongamentos atrás do espelho. Ela é também, claramente, invertida e reduzida (uma vez que i < o ). Mas estas propriedades da imagem reflectida num espelho côncavo não são universais, dependem da posição do objecto. Há três situações a distinguir: (1) quando o objecto está a uma distância do espelho superior ao seu raio de curvatura (o < R = 2f), situação que acabámos de estudar; (2) quando o objecto está situado entre o centro de curvatura e o foco do espelho (2f < o < f); (3) quando o objecto está entre o foco e o espelho (f < o < 0). Não vamos repetir a análise que fizemos há pouco agora para os casos 2 e 3 (mas o leitor deve fazê-lo!). Apresentamos apenas os diagramas de raios para essas situações e algumas constatações. Caso 2: o objecto encontra-se entre o centro e o foco do espelho Imagem real, invertida, ampliada 9

Caso 3: o objecto encontra-se entre o foco e o espelho Imagem virtual, direita, ampliada 3.5 Imagens formadas por reflexão Resumo Foco de um espelho esférico: raios de luz que incidem num espelho côncavo paralelamente ao eixo óptico são reflectidos em direcções que convergem para o foco; raios de luz que incidem num espelho convexo paralelamente ao eixo óptico são reflectidos em direcções que divergem do foco. O foco de um espelho encontra-se sobre o eixo óptico, no ponto médio entre o vértice e o centro de curvatura (f = r/2) Representam-se os diagramas de raios com a luz incidindo do lado esquerdo. As coordenadas horizontais são consideradas positivas para posições à direita do espelho, e negativas em caso contrário. As coordenadas verticais são consideradas positivas para posições acima do eixo óptico e negativas para posições abaixo desse eixo. Dadas as três regras anteriores, a coordenada do foco de um espelho côncavo é negativa, a do de um espelho convexo é positiva As coordenadas horizontais da imagem (i), do objecto (o) e do foco do espelho (f) relacionamse através da equação dos espelhos 1 i + 1 o = 1 f A ampliação transversal é o quociente entre a altura do objecto e a da imagem (considerada negativa se for invertida, de acordo com a convenção de sinais). Pode também ser calculada pelo simétrico do quociente entre a coordenada horizontal da imagem e a do objecto: A = h h = i o. Quando a ampliação é positiva, a imagem é direita; quando a ampliação é negativa, a imagem é invertida. Quando a ampliação tem módulo maior do que um, a imagem é ampliada; quando o módulo da ampliação é menor do que um, a imagem é reduzida. A imagem reflectida num espelho convexo é sempre virtual, direita e reduzida As propriedades da imagem reflectida num espelho côncavo variam com a distância do objecto ao espelho: objecto atrás do centro: imagem real, invertida, reduzida objecto entre o centro e o foco: imagem real, invertida, ampliada objecto entre o foco e o espelho: imagem virtual, direita, ampliada 10

Taçado de raios 1. raios de luz que incidem no espelho paralelamente ao eixo óptico são reflectidos em direcções que convergem para o foco (espelhos côncavos) ou que divergem do foco (espelhos convexos) 2. Raios de luz que incidem em direcções que contêm o foco são reflectidos paralelamente ao eixo óptico 3. Raios de luz que incidem no espelho numa direcção que contém o centro de curvatura são reflectidos na mesma direcção (mas em sentido oposto, é claro) 4 Refracção em superfícies planas Quando olhamos a paisagem através de uma janela de vidro ou quando vemos peixes nadando num lago ou num aquário, a luz vinda dos objectos que observamos sofre um (ou mais) processos de refração no vidro da janela ou na superfície da água, antes de chegar aos nossos olhos. Por isso, aquilo que observamos são as imagens refractadas dos objectos e não os objectos em si. Quase sempre, a posição onde observamos a imagem não é aquela onde se encontra o objecto. No que se segue, vamos ocupar-nos com o estudo da posição e das propriedades das imagens refractadas, começando pela situação mais simples, em que a refracção se faz numa superfície plana. Consideremos então dois meios com índices de refracção n 1 e n 2 separados por uma superfície plana. Esses dois meios podem ser, por exemplo, vidro e ar. Consideremos um objecto (a já proverbial setinha) no interior do meio com índice n 1, que é observado a partir do meio com índice n 2 e consideremos, para concretizar a discussão e os diagramas, que n 1 > n 2 (ver a figura). Quando atravessam a superfície que separa os dois meios, os raios de luz são refractados, verificando-se a lei de Figura 12 Snell, n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2. A imagem refractada da extremidade da setinha objecto (o ponto O, na figura), é um ponto I de onde parecem emanar os os raios de luz que chegam ao meio 2. Consideremos os dois raios com origem em O representados na figura: um incide perpendicularmente na superfície refractora, o outro segundo uma direcção que faz com a normal um ângulo θ 1. O primeiro, dado que incide perpendicularmente, é refractado mantendo a sua direcção; o segundo é desviado afastando-se da normal (uma vez que considerámos, para concretizar, que n 1 > n 2 ). As direcções dos dois raios refractados intersectam-se no ponto I, que é então a imagem do ponto objecto O. Note-se que a posição do ponto I depende da direcção do segundo raio considerado. Logo, nem todos os raios com origem em O são refractados segundo direcções que parecem ter origem em I. Assim, a posição da imagem refractada depende da direcção de observação. Mas, se restringirmos a nossa atenção aos limites de validade da aproximação paraxial (ou seja, considerando apenas raios perpendiculares, ou quase perpendiculares, à superfície refractora), obtemos facilmente uma expressão para a posição da imagem. Com efeito, a lei de Snell, nos termos da aproximação paraxial (em que os ângulos envolvidos são pequenos, logo, é válida a aproximação sin θ θ), resume-se a n 1 θ 1 = n 2 θ 2. (10) Por outro lado, da figura obtemos as igualdades seguintes tan θ 1 = h o tan θ 2 = h i, onde, como no estudo dos espelhos, o e i representam as coordenadas horizontais, medidas a partir de uma origem situada na superfície refractora, do objecto e da imagem, respectivamente. Estas 11

igualdades, nos termos da aproximação paraxial, simplificam-se como θ 1 = h o θ 2 = h i, de onde se deduz que oθ 1 = iθ 2, e substituindo aqui a versão aproximada da lei de Snell [eq. (10)], obtemos n 2 o = n 1 i, equação que reescrevemos numa forma diferente, por razões que se tornarão claras daqui a pouco: n 2 i n 1 o = 0. (11) Esta equação permite-nos calcular a posição da imagem refractada numa superfície plana, na aproximação paraxial. Note-se que, nesta aproximação, a ampliação transversal tem o valor 1 (esse facto foi até usado na dedução). Como se pode verificar na figura, ou por inspecção da eq. (11), quando n 1 > n 2, a imagem situa-se mais perto da superfície do que o objecto. Este efeito é posto em evidência na Figura 13. Figura 13: Refracção da luz na superfície da água. Como a imagem de cada ponto submerso do cabo da colher está mais próxima da superfície do que o respectivo ponto, o cabo da colher parece ter um ângulo, apesar de ser rectilíneo. 5 Refracção em superfícies esféricas Analizemos agora a refracção em superfícies esféricas, como o que acontece quando a luz entra ou sai de uma lente ou quando vemos um peixe que nada no interior de um aquário esférico. Sejam então dois meios 1 e 2, com índices de refracção respectivamente n 1 e n 2 (por exemplo, ar e vidro), separados por uma superfície esférica. Para concretizar ideias, consideremos um objecto no meio 1, observado a partir do meio 2. Conforme a concavidade ou convexidade da superfície refractora e a relação entre os valores dos índices de refracção dos dois meios, a superfície pode ser convergente ou divergente. Uma vez que, nos processos de refracção, os raios de luz se aproximam da normal quando penetram num meio de índice de difracção superior, deduzimos facilmente que, se a superfície refractora fôr côncava e o índice de refracção do meio onde a luz penetra for superior ao daquele que ela abandona, então a superfície refractora é divergente. Considerações semelhantes permitem-nos compreender as restantes situações, todas resumidas na Figura 14 12

Figura 14: Convergência ou divergência de superfícies refractoras esféricas. Se o meio de incidência tem índice de difracção inferior ao do meio para onde se dá a refracção, então uma superfície convexa é convergente e uma côncava é divergente (diagramas da linha de cima). Se a relação de ordem entre os índices for a inversa, então as superfícies convexas são divergentes e as côncavas convergentes (diagramas da linha de baixo). 5.1 Focos de uma superfície refractora esférica. Potência dióptrica Consideremos um raio de luz que incide numa superfície refractora esférica segundo uma direcção paralela ao eixo óptico 1, não muito afastada dele. O raio difractado não é, em geral, paralelo ao eixo óptico; logo, a sua direcção intersecta esse eixo. Dentro da validade da aproximação paraxial, qualquer raio que incida paralelamente ao eixo óptico é refractado numa direcção que cruza o eixo óptico num mesmo ponto, chamado foco secundário da superfície. Esse ponto pode estar à frente ou atrás do vértice, consoante a superfície é convergente ou divergente (veja a Figura 15). Consideremos agora um raio que incide na superfície refractora de tal modo que é refractado paralelamente ao eixo óptico. O ponto onde a direcção do raio incidente se cruza com o eixo óptico chama-se o foco primário da superfície (veja a Figura 15). Figura 15: Pontos focais de superfícies convergentes (esquerda) e de superfícies divergentes (direita). Determinemos a posição dos focos de uma superfície refractora. Para tal consideramos um raio que incide na superfície paralelamente ao eixo óptico (ver a Figura 16, à esquerda). Examinando a figura, obtemos as seguintes igualdades: tan α 2 = h 2 r tan θ 2 = h 2 f 2, onde f 2 representa a coordenada horizontal do ponto F 2, medida a partir de uma origem situada no vértice da superfície. Impondo agora a aproximação paraxial, estas fórmulas escrevem-se na 1 O vértice, o centro de curvatura e o eixo óptico de uma superfície refractora esférica definem-se da mesma forma que para os espelhos esféricos (Secção 3). 13

Figura 16: Diagramas para a determinação da posição do foco secundário (esquerda) e primário (direita). forma α 2 = h 2 r θ 2 = h 2 f 2, de onde resulta Por outro lado, a Lei de Snell determina que ou seja, nos termos da aproximação paraxial, rα 2 = f 2 θ 2. (12) n 1 sin α 2 = n 2 sin β 2, n 1 α 2 = n 2 β 2. (13) Por fim, sendo β 2 e θ 2 dois ângulos internos de um triângulo e sendo α 2 o ângulo externo do terceiro vértice, temos θ 2 = α 2 β 2. (14) Substituindo a eq. (14) na eq. (12), obtemos (f 2 r)α 2 = f 2 β 2 ; substituindo agora aqui α 2 dado pela eq. (13) resulta equação que reescrevemos como n 2 n 1 n 2 f 2 = r, n 2 = n 2 n 1. (15) f 2 r Seguindo um procedimento em tudo semelhante, obtemos uma fórmula para a determinação da posição do foco primário F 1 : n 1 = n 1 n 2 = n 2. (16) f 1 r f 2 Note-se que, se n 2 > 1 1, então f 1 < 0 (o que significa que F 1 está à esquerda da superfície) e f 2 > 0 (ou seja, F 2 está à direita da superfície). Estes factos estão de acordo com as ilustrações qualitativas da Figura 15. Veremos adiante que outros sitemas ópticos (na verdade, todos os sistemas ópticos) podem ser caracterizados pela existência destes dois focos. Ao inverso da coordenada horizontal do foco secundário chama-se potência dióptrica: P = 1 f 2. A unidade da potência dióptrica, no Sistema Internacional, é o m 1, a que, neste contexto da óptica, se dá o nome de dioptria. 14

5.2 Posição e características das imagens refractadas Posição da imagem fórmula da refracção em superfícies esféricas Vamos agora deduzir uma expressão para o cálculo da posição da imagem refractada numa superfície esférica. Consideremos, mais uma vez, dois meios 1 e 2, separados por uma superfície esférica com raio r e um objecto com altura h, situado no meio 1 e observado a partir do meio 2. A figura ao lado ilustra esta situação para o caso em que a superfície é convexa e convergente. Figura 17 Seja h a coordenada vertical da extremidade da seta imagem ( h é a altura da imagem) e f 2, i e o as coordenadas horizontais respectivamente do foco secundário, da imagem e do objecto. Da análise da figura, aceitando a aproximação paraxial, obtemos as igualdades Da última destas equações obtemos n 1 α = n 2 β α = h o, θ = h = h f 2 i f 2 β = h i divindindo as duas equações (17b) uma pela outra, resulta usando agora a eq. 17a), vem (17a) (17b) (17c) h h = i f 2 f 2 ; (18) h = β i α o ; As duas equações (18) e (19) podem agora ser igualadas, obtendo-se Dividindo esta equação por oif 2, resulta h h h = n 1 n 2 i o. (19) n 1 if 2 = n 2 oi + n 2 of 2. n 2 i n 1 o = n 2 f 2. Por fim, substituímos aqui a expressão que encontrámos para a posição do foco secundário [eq. (15)], resultando a fórmula da refracção em superfícies esféricas: n 2 i n 1 o = n 2 n 1. (20) r Esta fórmula foi deduzida considerando uma superfície refractora convexa convergente (ou seja, com o meio onde a luz entra com maior índice de refracção do que o daquele que a luz abandona). No entanto a sua validade é geral, ficando ao cargo do leitor verificá-lo nos restantes casos. Aliás, ela é até válida para a refracção em superfícies planas: nesse caso, devemos tomar r, e a eq. (20) reduz-se à que deduzimos para a refracção em planos, a eq. (11). Atenção: o manual escolhido (Halliday Resnick e Krane, Física ) segue uma convenção de sinais diferente e, por isso, apresenta uma fórmula diferente para a refracção em superfícies esféricas, na qual o termo n 1 /o aparece a somar, e não a subtrair. Os alunos da disciplina podem aplicar a fórmula que preferirem (desde que a apliquem correctamente, é claro). 15

Características da imagem refractada A ampliação transversal de uma imagem refractada, dada pelo quociente entre as coordenadas verticais do ponto imagem e do ponto objecto, pode ser calculada com a eq. (19), que aqui reescrevemos: A = n 1 i n 2 o. O valor da ampliação pode ser usado para determinar se a imagem é ampliada ou reduzida (conforme o seu módulo é maior ou menor do que a unidade) e se é direita ou invertida (conforme o seu sinal é positivo ou negativo). Tal como sucede na reflexão em espelhos esféricos, também aqui devemos distinguir as situações em que a refracção é convergente daquelas em que é divergente. É importante recordar (ver a Figura 15), quando a refracção é convergente o foco secundário situa-se no meio onde se propaga a luz refractada e o foco primário naquele onde se propaga a luz incidente; quando a refracção é divergente, esta disposição dos focos inverte-se. Consideremos primeiro a primeira situação, isto é, a refracção numa superfície convergente. Neste caso, o objecto (de onde partem os raios incidentes) encontra-se do mesmo lado que o foco primário, ou seja, f 1 e o têm o mesmo sinal. Então, a razão x = o/f 1 é positiva. Substituindo o = xf 1 na equação das superfícies refractoras [eq. (20)], obtemos n 2 i = x 1 x [usou-se aqui também a eq. (16)], e substituindo este resultado na fórmula da ampliação da eq. (19) resulta A = 1 1 x. Esta fórmula permite-nos determinar o valor da ampliação (logo, a orientação e a ampliação da imagem) quando a superfície é convergente. Devemos considerar três situações: 1. O objecto está entre o foco primário e a superfície. Neste caso, o < f 1, logo x < 1. Então A > 1, ou seja, a imagem é ampliada e direita. Por outro lado, como a ampliação é positiva, constatamos que a imagem é formada do lado do objecto; logo, é definida pelos prolongamentos dos raios refractados, e não pelos raios em si. Ela é, assim, uma imagem virtual. 2. O objecto está mais afastado que o foco primário, mas a uma distância do espelho inferior ao dobro da distância desse foco, isto é 2f 1 < o < f 1 (recorde que o e f 1 são negativos). Então 1 < x < 2, logo A < 1: a imagem é ampliada e invertida. Além disso, como a ampliação é negativa, a imagem forma-se no lado oposto ao do objecto. Assim, a sua posição é definida pela intersecção dos raios de luz refractada, ou seja, é real. 3. O objecto está a uma distância da superfície refractora superior ao dobro da distância que separa o foco primário dessa superfície. Então x > 2, 1 < A < 0: a imagem é reduzida e invertida. Tal como no caso anterior, também aqui a imagem é real. Consideremos agora o caso de uma superfície divergente. Nesse caso, o foco primário está à frente da superfície, logo, f 1 > 0. Assim, a razão x = o/f 1 é agora negativa. A ampliação A = 1/(1 x) é consequentemente sempre positiva e menor do que a unidade (note que 1 x com x negativo é maior do que 1): a imagem formada por uma superfície refractora divergente é então reduzida e direita, qualquer que seja a distância f 1 n 1 16

Figura 18: Passos na construção de um diagrama de raios para estudar a refração em superfícies convergentes (à esquerda) e divergentes (à direita) [considera-se que o meio de incidência têm índice de refracção inferior]. A imagem formada numa refracção divergente é sempre reduzida, direita e virtual. No exemplo ilustrado à esquerda, a imagem é invertida, reduzida e real, porque o objecto encontra-se a uma distância da superfície superior ao dobro da primeira distância focal (o < 2f 1 ). a que se encontra o objecto. Como no caso 1 das superfícies convergentes, também aqui a imagem é virtual. 5.3 Traçado de raios Para se determinar a posição e as características da imagem refractada por traçado de raios, começamos por calcular as posições dos dois focos (primário e secundário, usando as eqs. (15) e (16). Em seguida, representamos num diagrama (desenhado à escala o mais cuidadosamente possível) a superfície refractora, o eixo óptico, o objecto e os dois focos; desenhamos um raio com origem no objecto que incida paralelamente ao eixo óptico: esse raio será refractado numa direcção que passa pelo foco secundário; desenhamos agora um raio com origem no objecto que incide na superfície numa direcção que contenha o foco primário: esse raio será difractado paralelamente ao eixo óptico. O ponto onde as direcções dos dois raios se intersectam é a imagem refractada. A Figura 18 ilustra o procedimento para uma superfície convergente (à esquerda) e outra divergente (à direita). Podemos testar a qualidade do diagrama analisando a trajectória de raios que incidem perpendicularmente à superfície. Esses raios são refractados mantendo a sua direcção (já que o ângulo de incidência, medido relativamente à normal, é neste caso zero), e essa direcção deve conter o ponto imagem, como acontece com todos os raios com origem no objecto. Assim, a recta que une oo objecto e a sua imagem deve ser perpendicular à superfíce refractora. Por fim, depois determinada a posição da da imagem, estimamos a distância que a separa da superfície e a sua altura medindo os comprimentos respectivos com uma régua e fazendo a transformação de escala apopriada. 5.4 Refracção em superfícies esféricas Resumo Focos de uma superfície refractora esférica: raios que incidem numa superfície refractora paralelamente ao eixo óptico vão ser refractados em direcções que intersectam o eixo óptico num ponto chamado foco secundário (F 2 ); raios que são refractados em direcções paralelas ao eixo óptico incidem na lente segundo uma direcção que contém o foco primário (F 1 ) A convenção de sinais é a mesma que foi usada para espelhos: posições à esquerda da superfície refractora têm coordenada horizontal negativa, posições à sua direita teem-na 17

positiva; posições acima do eixo óptico têm coordenada vertical positiva, posições abaixo teem-na negativa. Coordenadas dos focos (note que já não ficam no ponto médio entre o centro de curvatura e o vértice): n 2 = n 2 n 1 f 2 r n 1 = n 2 n 1 f 1 r Potência dióptrica da superfície: P = 1 f 2 À unidade de potência (m 1 ) dá-se, em óptica, o nome dioptria. Equação das superfícies esféricas: n 2 i n 1 o = n 2 n 1 = n 2 = n 1 r f 2 f 1 Ampliação: a = h h = n 1 n 2 i o A imagem refractada numa superfície divergente é sempre reduzida, direita, virtual A imagem refractada numa superfíce convergente pode ser de diferentes tipos: objecto a uma distância superior ao dobro da do foco primário (o < 2f 1 ): imagem invertida, reduzida, real objecto mais afastado do que o foco primário, mas a uma distância inferior ao dobro da do foco (2f 1 < o < f 1 ): imagem invertida, ampliada, real Objecto entre o foco e a superfície (o > f 1 ): imagem direita, ampliada, virtual Traçado de raios 1. Raios que incidem na superfície paralelamente ao eixo óptico, são refractados em direcções que contêm o foco secundário. 2. Raios que incidem na superfície segundo direcções que contêm o foco primário são refractados paralelamente ao eixo óptico 6 Lentes finas Uma lente é um pedaço de material transparente (vidro ou plástico, em geral) limitado por duas superfícies (as faces da lente), em geral com forma esférica. O eixo óptico da lente é uma linha que une os centros de curvatura das duas faces (ver a Figura 19). Figura 19: Eixo óptico, centros de curvatura e raios de uma lente bi-convexa (esquerda) e côncavoconvexa (direita). 18

Figura 20: Perfis possíveis para lentes convergentes (em cima) e divergentes(em baixo). Quando a luz atravessa uma lente, dão-se dois processos de refracção: um à entrada, quando a luz entra para o interior da lente, e um outro à saída. Para compreendermos o efeito que a lente tem sobre a propagação da luz, devemos pois analisar estes dois processos. Em princípio, podemos fazê-lo aplicando a lei de Snell no estudo de cada refracção. Um pouco de reflexão considerando a lei de Snell convence-nos de que uma lente com faces planas e paralelas não tem um efeito apreciável sobre a trajectória dos raios de luz que nela incidem 2. Caso as duas faces da lente sejam tais que a lente é mais espessa no seu centro (onde passa o eixo óptico) do que na periferia, a lente é convergente e, ao contrário, se a lente for mais fina no centro do que na periferia, então ela é divergente. A Figura 20 ilustra diferentes perfis possíveis para lentes convergentes e divergentes. Mas, se pretendermos determinar a posição e as características da imagens formadas por refracção em lentes, a aplicação directa da lei de Snell leva a cálculos muito complicados. Em vez disso, analisamos separadamente as duas refracções. A luz proveniente do objecto refracta-se na superfície anterior da lente, o que origina uma imagem, cuja posição e características já sabemos determinar. Esta imagem pode ser real ou virtual mas, para todos os efeitos, a trajectória dos raios de luz resultantes da refracção é em tudo semelhante à de raios originários de um objecto com as dimensões, posição e orientação dessa imagem. Assim, a imagem resultante da refracção na superfície anterior vai servir como objecto para a refracção na superfície posterior (ver a Figura 21). Figura 21: Determinação da imagem refractada numa lente: a imagem da refracção na face anterior (esquerda) serve de objecto para a refracção na face posterior (direita). 6.1 Equação das lentes Consideremos uma lente, com duas faces esféricas de raios r 1 e r 2. Seja n e o índice de refracção do meio exterior à lente (quase sempre ar) e n i o do material que constitui a lente (quase sempre vidro). Seja d a distância entre os vértices (isto é, os pontos onde o eixo óptico intersecta as superfícies) das duas faces da lente. Consideremos a luz que incide na lente proveniente de um objecto situado à esquerda, a uma o do vértice da primeira face. De acordo com a equação das superfícies refractoras, a primeira refracção (a que ocorre na primeira superfície) produz uma 2 E esse efeito é mesmo nulo, caso se possa desprezar a espessura da lente (veja o Exercício 9 da primeira série). 19

imagem cuja posição é dada por n i i n e o = n i n e r 1, (21) onde i, o e r 1 são as coordenadas horizontais da imagem, do objecto e do centro de curvatura, relativamente a uma origem situada no vértice da superfície onde se dá a refracção, ou seja, neste caso, no da face anterior da lente. Agora a imagem formada na primeira refracção vai servir como objecto para a segunda. Ora, a coordenada horizontal deste objecto, relativamente a uma origem situada no vértice da segunda, é o = i d. Aplicando de novo a equação das superfícies refractoras mas agora à refracção na face posterior, obtemos n e i n i o = n e n i, r 2 ou seja, n e i n i i d = n e n i, (22) r 2 Fazemos agora uma aproximação que simplifica imenso esta análise: consideremos que a espesssura da lente, d, é desprezável face aos raios de curvatura das suas faces. A esta aproximação chamase aproximação das lentes finas. As lentes mais comuns (as dos óculos, ou as dos instrumentos ópticos mais vulgares) são de facto finas, de forma que esta aproximação não restringe muito a aplicabilidade dos resultados que viermos a obter. Considerando então apenas lentes finas, para as quais d 0, reescrevemos a eq. (22) como n e i n i i = n e n i. r 2 Mas, substituindo aqui n i /i dado pela eq. (21), obtemos 1 i 1 o = n ( i n e 1 1 ). (23) n e r 2 r 1 Uma lente, como qualquer sistem óptico, pode ser caracterizada pelos seus dois focos, o foco primário e o foco secundário. Recordo que o foco primário é o ponto onde se intersectam o eixo óptico e as direcções dos raios incidentes que são refractados paralelamente ao eixo óptico, e que o foco secundário é o ponto onde se intersectam o eixo óptico e as direcções dos raios refractados que incidiram paralelamente ao eixo óptico. Consideremos um objecto à esquerda da lente, infinitamente afastado. Os raios de luz que dele chegam à lente incidem nela paralelamente, e são refractados em direcções que intersectam o eixo óptico no foco secundário, que é então a imagem deste objecto. Assim, subtituindo o = e i = f 2 na eq. (23) obtemos uma expressão para a posição do foco secundário: 1 = n ( i n e 1 1 ). (24) f 2 n e r 2 r 1 De igual modo, consideremos agora um objecto pontual situado sobre o foco primário. Então os raios que incidam na lente em direcções que contenham a posição deste objecto são refractados pela lente em direcções paralelas ao eixo óptico, ou seja, convergem (e formam a imagem) no infinito. Substituindo agora na eq. (23) o = f 1 e i =, obtemos 1 f 1 = n i n e n e Comparando estas duas igualdades, concluímos que ( 1 r 2 1 r 1 ). f 1 = f 2, (25) 20

ou seja, os dois focos de uma lente estão à mesma distância da lente, um de cada lado. Define-se distância focal de uma lente como a posição do seu foco secundário, isto é, f = f 2. Substituido f = f 2 na eq. (23) e tendo em conta a eq. (24), obtemos, por fim, a equação das lentes 1 i 1 o = 1 f. (26) Atenção: o manual escolhido (Halliday Resnick e Krane, Física ) segue uma convenção de sinais diferente e, por isso, apresenta uma fórmula diferente para a refracção em superfícies esféricas, na qual o termo n 1 /o aparece a somar, e não a subtrair. Os alunos da disciplina podem aplicar a fórmula que preferirem (desde que a apliquem correctamente, é claro). 6.2 Traçado de raios e ampliação transversal Podemos também determinar a posição da imagem refractada por uma lente por métodos geométricos, com um diagrama de raios, que se constrói do mesmo modo que para superfícies refractoras, ou seja, considerando as definições dos focos. No caso das lentes finas, a construção dos diagramas até é mais simples porque os dois focos encontram-se à mesma distância da lente, um de cada lado. Começamos por representar no diagrama o eixo óptico, o objecto, a lente 3 e os seus dois focos (que são equidistantes da lente). Se se trata de uma lente convergente, o foco secundário deve ser marcado à direita da lente e o foco primário à sua esquerda (do lado em que se deve colocar, por convenção, o objecto; se, pelo contrário, a lente é divergente, o foco secundário deve ficar do lado esquerdo e o primário do lado direito da lente. Em seguida, traçamos um raio com origem no objecto que incide na lente paralelamente ao eixo óptico; este raio é refractado numa direcção que passa no foco secundário. Por fim, traçamos outro raio com origem no objecto que incide na lente segundo uma direcção que passa no foco primário; este raio é refractado paralelamente ao eixo óptico. O ponto onde as direcções dos dois raios refractados se cruzam é o ponto imagem. Até aqui, o procedimento é, como se vê, em tudo idêntico ao seguido no traçado de raios para superfícies refractoras. Com lentes, no entanto, dispomos de um raio adicional. No centro da lente, as duas faces são paralelas (porque ambas são aí perpendiculares ao eixo óptico. Assim, para um raio que incida no centro de uma lente com espessura desprezável, tudo se passa como se incidisse numa lente de faces planas e paralelas; logo, não um tal raio não sofre nenhum desvio, ou seja, atravessa a lente rectilineamente. A Figura 22 ilustra os diagramas de raios para lentes convergentes e divergentes. Figura 22: Diagramas de raios para a refracção em lentes convergentes (à esquerda) e divergentes (à direita). Foquemos agora a nossa atenção no primeiro diagrama (o da esquerda) da Figura 22, mais concretamente dos triângulos rectângulos definidos pelas duas extremidades do objecto e pelo 3 Aproveito para introduzir uma convenção de notações: nos diagramas de raios, é costume representar uma lente convergente por um traço vertical com setas viradas para fora nos seus extremos ( ) e as divergentes por um traço vertical com setas viradas para dentro ( ). 21

vértice da lente (um), e pelas duas extremidades da imagem e pelo vértice (o outro). Estes dois triângulos são obviamente semelhantes, de forma que podemos escrever h o = h i, onde h e h são respectivamente as alturas do objecto e da imagem e o e i são as suas respectivas coordenadas horizontais. Reordenando os termos, obtemos h h = i o. Mas o quociente entre a altura da imagem e do objecto é a ampliação transversal. expressão da ampliação das imagens refractadas em lentes é Então a A = i o. (27) 6.3 Propriedades das imagens refractadas em lentes finas Lentes divergentes Como já vimos, o foco secundário das lentes divergentes situa-se à esquerda da lente, ou seja, f f 2 < 0. Assim, a razão x = o/f é positiva (é o quociente entre dois números negativos). Podemos exprimir i como função de o e f, resolvendo a equação das lentes [eq. (26)] em onde a i, obtendo-se i = of o + f Substituindo esta igualdade na expressão da ampliação transversal [eq. (27)], vem A = f o + f = 1 1 + o/f = 1 1 + x. Mas, como acabámos de constatar, para lentes divergentes o quociente x = o/f é positivo, de forma que a ampliação resulta positiva e menor que a unidade. A imagem refractada numa lente divergente é, pois, direita e reduzida. Além disso, como a ampliação é positiva, i e o têm o mesmo sinal, ou seja, a imagem forma-se do lado da lente onde se encontra o objecto. Assim, a sua posição é definida pelo prolongamento dos raios refractados para o lado da incidência, e não pelos raios refractados em si, isto é, trata-se de uma imagem virtual. Lentes convergentes Para lentes convergentes, o foco secundário encontra-se à direita da lente; logo, f f 2 > 0. A razão x = o/f é agora negativa. Assim, considerando a fórmula para a ampliação que deduzimos no parágrafo anterior, A = 1/(1 + x), devemos agora distinguir as três seguintes possibilidades: o objecto encontra-se entre o foco e a lente (o > f). Neste caso, 1 < x < 0 e a ampliação é então maior do que a unidade. Assim, neste caso a imagem é direita e ampliada. Para além disso, a imagem forma-se do lado do objecto e, portanto, é virtual. o objecto encontra-se a uma distância da lente superior à distância focal, mas inferior ao dobro da distância focal ( 2f < o < f). Agora, temos A < 1, ou seja, a imagem é invertida e ampliada. Por outro lado, ela forma-se do lado da lente oposto àquele onde se encontra o objecto; logo, é real o objecto encontra-se a uma distância da lente superior ao dobreo da distância focal (o < 2f). Temos agora 1 < A < 0: a imagem é invertida, reduzida e real. A Figura 23 mostra diagramas de raios ilustrando estas três situações. 22

Figura 23: Diagramas de raios para uma lente convergente quando o objecto se encontra entre a lente e o foco (à esquerda), quando o objecto se encontra a uma distância da lente compreendida entre uma e duas distâncias focais (ao centro) e quando o objecto se encontra a uma distância da lente superior a duas distâncias focais (à direita). 6.4 Refracção em lentes finas Resumo Os dois focos de uma lente fina encontram-se a igual distância do seu centro, um de cada lado. Para lentes convergentes, o foco primário encontra-se do lado da incidência da luz e o foco secundário do lado oposto. Para lentes divergentes, é ao contrário. Raios que incidem na lente paralelamente ao eixo óptico são refractados em direcções que passam no foco secundário. Raios que incidem na lente segundo direcções que passam no foco primário são refractados paralelamente ao eixo óptico. Raios que incidem no centro da lente não sofrem qualquer desvio quando atravessam a lente, mantâm a sua direcção. Coordenadas dos focos de uma lente n 1 = n ( i n e 1 1 ), f 1 n e r 1 r 2 n 2 = n ( i n e 1 1 ), f 2 n e r 1 r 2 onde se verifica a convenção de sinais (cartesiana) a que aderimos, n i e n e são respectivamente os índices de refracção do material de que é composta a lente e do meio exterior e r 1 e r 2 são, respectivamente (e a atenção que ordem é importante!), os raios de curvatura das faces de entrada e de saída da luz na lente. Distância focal de uma lente é a coordenada horizontal do foco secundário: f f 2. Equação das lentes: 1 i 1 o = 1 f. Ampliação 7 Sistemas ópticos compostos A = i o Sistemas ópticos compostos são sistemas que são constituídos por vários elementos ópticos (lentes, espelhos, superfícies) e não por um único, como os que até agora temos vindo a estudar. Nesta secção vamos estudar as propriedades das imagens produzidas por estes sistemas. Na verdade, já estudámos nestes apontamentos um exemplo de sistemas ópticos compostos. Com efeito, descrevemos as lentes finas como duas superfícies refractoras esféricas. A abordagem 23

que usámos para o estudo das lentes como um sistemas de duas superfícies é o molde com que se estudam todos os sistemas ópticos compostos. Consiste em considerar separadamente cada um dos elementos, e em usar a imagem produzida por cada um como objecto para a formação da imagem no seguinte. É mais fácil perceber isto seguindo um exemplo. Consideremos o sistema óptico esquematizado na Figura 24, constituído por duas lentes (convergentes, mas isso é um detalhe agora irrelevante) com distâncias focais f e f, situadas a uma distância d uma da outra. Para determinarmos Figura 24: Um sistema óptico composto por duas lentes com distâncias focais f e f situadas a uma distância d uma da outra. as propriedades das imagens formadas por refracção nas duas lentes do sistema, consideramos primeiro o efeito da primeira lente e depois o efeito da seguunda lente, tomando como objecto a imagem produzida pela primeira. Em termos do traçado de raios, as duas fases deste processo estão esquematizadas na Figura 25. Figura 25: Como determinar a posição da imagem refractada num sistema de duas lentes: a imagem produzida por refracção na primeira lente serve de objecto para a refracção na segunda. Algebricamente, o processo consiste no mesmo: determina-se a posição da imagem refractada na primeira lente e essa imagem será o objecto para a refracção na segunda. Assim, se o for o valor da coordenada horizontal do objecto, medida relativamente à primeira lente, então o valor, i 1 da coordenada horizontal (medida ainda relativamente à primeira lente) da imagem refractada nessa lente é dada por 1 i 1 1 o = 1 f. A coordenada horizontal desta posição (que será agora a do objecto para a refracção na segunda lente), medida relativamente à segunda lente é o 2 = i 1 d, onde, recordo, d é a distância entre as duas lentes. A imagem refractada na segunda lente do objecto que consiste na imagem do objecto original refractada na primeira lente tem então uma posição, medida relativamente à segunda lente, dada de novo pela lei das lentes: 1 i 1 o 2 = 1 f. 24

A ampliação transversal da imagem refractada pelas duas lentes é, como sempre, a razão entre a altura da imagem (final) e a do objecto: A = h h. Mas podemos multiplicar e dividir o segundo membro desta igualdade pela altura da imagem intermédia, isto é daquela que se forma por refracção na primeira lente apenas. Representando essa altura por h, temos A = h h h h = A 2A 1, onde A 1 e A 2 são as ampliações da primeira e da segunda refracções, respectivamente. 7.1 Objectos virtuais Pode ocorrer que a imagem refractada pela primeira lente se situe à direita da segunda lente, como mostra a Figura 26. Nesse caso, dizemos que o objecto para a refracção na segunda lente é um objecto virtual. Figura 26: Exemplo de um objecto virtual: a imagem refractada na primeira lente está situada à direita da segunda lente. Do ponto de vista algébrico, um objecto virtual distingue-se dos objectos reais apenas por terem coordenada horizontal positiva (ao contrário de todos os que considerámos até agora, que eram todos reais). Mesmo estando o objecto intermédio à direita da segunda lente, a equação das lentes continua válida, pelo que a podemos continuar a usar também nestes casos. Ou seja, numa abordagem algébrica o procedimento é exactamente o mesmo, quer o objecto seja real, quer seja virtual. Mas como fazer o traçado de raios com um objecto virtual? O problema é como determinar em que direcções são refractados os raios que traçámos para definir a posição da imagem refractada na primeira lente, e que encontram a segunda lente antes de a formarem. Para o raio que incidiu na primeira lente após ter passado no foco primário da primeira (ou, no caso das lentes divergentes, após ter incidido na primeira lente numa direcção que continha o seu foco primário), a questão é trivial, uma vez que este raio incide na segunda lente paralelamente ao eixo óptico. Ele é refractado pela segunda lente numa direcção que contem o seu foco secundário. Por outro lado, um outro raio refractado pela primeira lente tem um comportamento fácil de prever quando atravessa a segunda lente: o raio que incide nela exactamente no centro. Este raio não é desviado pela segunda lente, de forma que continua o seu caminho até atingir o ponto onde se encontra a imagem refractada pela primeira lente. O ponto onde estes dois raios (o que incide na segunda lente paralelamente ao eixo óptico e o que incide no seu centro) se intersectam é local onde se forma a imagem refractada no conjunto das duas lentes (veja a Figura 27). 25

Figura 27: Como determinar a posição da imagem refractada numa lente de um objecto virtual: considera-se um raio que incida na lente paralelamente ao eixo óptico e outro que incida no centro da lente. 8 Instrumentos ópticos 8.1 O olho humano 8.2 A lente de aumento 8.3 Microscópio composto 8.4 Telescópio 26