ransmissão de impulsos em banda-base ransmissão de impulsos através de um canal com ruído aditivo.3 O filtro adaptado e o correlacionador
ransmissão de sinais em canais banda-base Introdução Consideremos a transmissão de sinais digitais através de um canal em banda-base. Como o canal é dispersivo vai haver interferência intersimbólica (ISI), que provoca erros na recepção dos sinais transmitidos. Uma das maneiras de combater a ISI é actuar na forma dos impulsos ao longo do sistema. Uma outra maneira é recorrer a igualização adaptativa. Outra fonte de erros em sistemas de transmissão em banda-base: ruído no receptor (também chamado ruído do canal). ISI e ruído ocorrem simultaneamente mas é mais fácil estudar os seus efeitos separadamente. Em primeiro lugar vamos ver a situação sem ISI, transmitindo-se um impulso único através de um canal não dispersivo que apenas introduz ruído branco aditivo. Mais tarde analisaremos o que se passa quando existe ISI; trataremos então da questão da formatação dos impulsos. O filtro adaptado e o correlacionador
ransmissão de um impulso através de um canal com ruído Sistema em estudo: Emissor g(t) Ruído AWGN n(t) r(t) Filtro receptor h(t) 1/ Canal z(t) = g (t) + n (t) z() = g () + n () g(t) é um impulso (que pode representar um dígito binário ou 1) é um intervalo de observação arbitrário n(t) é uma função-amostra de um processo aleatório (ruído branco) de média nula e densidade espectral de potência /. N O filtro receptor é um filtro linear e invariante no tempo (LI). A sua função é detectar o sinal de impulso g(t) de maneira óptima, dado se ter recebido r(t). Quais devem ser as suas características de modo que na sua saída a relação sinal-ruído seja máxima? Vamos ver Entrada do filtro: rt () = gt () + nt () Saída do filtro: zt () = g() t + n() t O objectivo do filtro óptimo é tornar a potência instantânea do sinal de saída g ( t), medida no instante t=, tão grande quanto possível relativamente à potência média do ruído de saída n () t, maximizando a relação sinal-ruído ( S N) g( ) = E n () t O filtro adaptado e o correlacionador 3
ransmissão de um impulso através de um canal com ruído Sinal à saída do filtro receptor G ( f ) = H ( f ) G( f ) g jπft jπft ( t) G( f ) e df = H ( f ) G( f ) e = df Amostrando a saída do filtro no instante t= teremos (sem ruído): g ( ) H ( f ) G( f ) jπf = e df Ruído à saída do filtro receptor (*) N Sendo a densidade espectral de potência do ruído na entrada do filtro, a densidade espectral de potência na saída é N S N ( f ) = f A potência média do ruído de saída é: H ( ) N E n t S f df H f df [ ] () = N ( ) = ( ) (**) Substituindo (*) e (**) na relação de (S/N) temos ( S N) = H ( f) G( f) e N H( f) jπ f df df O filtro adaptado e o correlacionador 4
ransmissão de um impulso através de um canal com ruído A desigualdade de Schwarz Se tivermos duas funções φ ( ) e φ ( ) para as quais se verifique 1 x x φ ( x dx < 1 ) φ ( x dx < ) então φ 1 ( x) φ ( x) dx φ1( x) dx φ ( x) dx Esta é a desigualdade de Schwarz. A igualdade só se verifica se e só se uma das funções for proporcional ao complexo conjugado da outra: 1( x φ x) = kφ ( ). O filtro adaptado e o correlacionador 5
ransmissão de um impulso através de um canal com ruído Viu-se que g Schwarz substituindo ( ) H ( f ) G( f ) jπf = e df. Usando a desigualdade de φ 1( x ) = H ( f ) jπf φ ( x) = G( f e, ) obtemos H ( f ) G( f ) e jπf df H ( f ) df G( f ) df Portanto: S N G( f) df N ( ) Ora o teorema da energia, de Rayleigh, estabelece que g() t dt = G( f ) df = E (E - energia do sinal) Logo, o valor máximo da relação sinal-ruído é E max ( S N) = G( f) df = N N A função de transferência do filtro é, neste caso, óptima, ( f ). H opt O filtro adaptado e o correlacionador 6
ransmissão de um impulso através de um canal com ruído O filtro adaptado A relação sinal-ruído máxima obtém-se se φ1( x) = kφ ( x), isto é, se H opt jπf ( f ) = kg ( f ) e (nas frequências) No domínio dos tempos a resposta impulsional é a transformada de Fourier inversa: h opt jπft jπf ( t) ( t) = H ( f ) e df = k G ( f ) e df opt Sendo g(t) real então G ( f ) = G( f ) e h opt ( t) = k G( f ) e jπf ( t) g( t) df = kg( t) Conclusão importante: a menos do factor de proporcionalidade k, a resposta impulsional do filtro óptimo é uma versão atrasada e temporalmente invertida do sinal de entrada g(t). Significa que a resposta impulsional está adaptada ao sinal. Diz-se que o filtro receptor óptimo é um filtro adaptado. O filtro adaptado e o correlacionador 7
ransmissão de um impulso através de um canal com ruído O filtro adaptado O sinal de saída de um filtro adaptado, no instante t =, vale g jπf ( ) G( f ) e df = k G( f ) = df Vimos que E = G( f) df, logo g ( ) = ke. Isto quer dizer que a amostra do sinal após o amostrador, g (), é proporcional à sua energia. A potência média do ruído na saída do filtro é N k N E[ n ( t ) ] H ( f ) df G ( f ) k N = = df = E Sendo assim, confirmamos que a relação sinal-ruído ( com um filtro adaptado vale S N) ( S N) ( ke) max = k N E/ = E N Como se vê, a relação sinal-ruído máxima não depende da forma do sinal g(t): impulsos que tenham a mesma energia são igualmente eficazes. O filtro adaptado e o correlacionador 8
O filtro adaptado numa página só Relação sinal-ruído à saída do amostrador: ( S N) jπft jπft g ( t) = G( f ) e df = H ( f ) G( f ) e df [ ] () N E n t = H ( f ) df = g E n ( ) () t ( S N) = H ( f) G( f) e N H( f) jπ f df df ) (filtro H opt (f) maximiza ( S N ) Desigualdade de Schwarz: φ 1 ( x) φ ( x) dx φ1( x) dx φ ( x) dx Substituindo φ 1 ( x) = H( f) e φ ( x ) = G ( f ) e j π f : max ( S N) E S N G( f) df N = N ( ) atinge-se com o filtro hopt () t = kg( t) t jπ f Hopt ( f) = kg ( f) e g ( ) = ke e [ () k N E En t ] = O filtro adaptado e o correlacionador 9
ransmissão de um impulso através de um canal com ruído Filtro adaptado: um exemplo Um impulso g() t = rect( t,5)cos( π.8) t é aplicado a um filtro. Se este estiver adaptado ao sinal de entrada obtém-se a saída da figura. O seu valor máximo é atingigo para t=1 s. 1.5 Sinal de entrada 1.5 -.5-1 -1.5-1 -.5.5 1 1.5.5 3 empo (s) 1 Sinal de saída.5 -.5-1 -1 -.5.5 1 1.5.5 3 empo (s) O filtro adaptado e o correlacionador 1
ransmissão de um impulso através de um canal com ruído Detecção com filtro adaptado x(t) Canal + r(t) Filtro adaptado z(t) z() Decisor n(t) Receptor Diagrama de olho à entrada do receptor: 4 - -4.5 1 1.5 empo (s) x 1-3 Diagrama de olho à saída do filtro adaptado: x 1-3 1-1 -.5 1 1.5 empo (s) x 1-3 O filtro adaptado abre o diagrama de olho, logo, o decisor toma mais decisões correctas com filtro adaptado do que sem ele. O filtro adaptado e o correlacionador 11
Exemplo de filtro adaptado realizado como filtro FIR r(t) = g(t) + n(t) h(t) 1/ z() Filtro adaptado a g(t) g(t) h(t) = g(-t) h n t t 5 n Neste exemplo o filtro adaptado é realizado como um filtro transversal FIR ( Finite Impulse Response ) com nove coeficientes. O sinal recebido r(t) é amostrado e apresentado à entrada do filtro. Nos filtros FIR os seus coeficientes têm os valores da sua resposta impulsional amostrada: h h 1 h h 3 h4 h 5 h6 h7 h8 n h h 1 h h 3 h 4 h 5 h 6 h 7 h 8 Σ O filtro adaptado e o correlacionador 1
Outro exemplo de filtro adaptado realizado como filtro FIR Símbolo transmitido g(t) Resposta impulsional amostrada do filtro FIR h n t 5 n h h 1 h h 3 h 4 h 5 1 3 4 5 n h h 1 h h 3 h 4 h 5 Filtro adaptado Σ Saída do filtro FIR z n Instante de amostragem mais apropriado 5 1 n O filtro adaptado e o correlacionador 13
ransmissão de impulsos em banda-base Filtro adaptado: um exemplo com impulsos triangulares Impulso triangular de valor máximo 1mV e duração 1 ms Densidade espectral de potência do ruído branco na entrada do filtro N adaptado: = 5nV / Hz. P.: Quanto vale a relação sinal-ruído à saída do filtro adaptado no instante de amostragem? R.: O intervalo de amostragem vale = 1 ms. Energia do impulso triangular de entrada: E = g (t)dt = g (t)dt + g (t)dt =,5 1 3,5 1 3 1 3,5 1 3 = ( t) dt + ( 1 t) dt = =,33 1 7 (V s) 1 3,5 1 3 No instante de amostragem (t=1ms) a relação S/N pedida vale: S N = E N =,33 1 7 5 1 9 = 6,67 8,dB O filtro adaptado e o correlacionador 14
Probabilidade de erro na detecção com filtro adaptado Expressão geral: P e = Q V σ Valor do sinal no instante de amostragem (t=): g ( ) = ke b Potência do ruído: σ N = E n () t = H( f) df = k N jπf k N = G ( f) e df = G( f) df = k N E b = Probabilidade de erro com impulsos polares (±g(t)): V = ke b E b = E b + E b = E b (energia média) σ = k N E b P = e Q V = Q σ E b N = Q E b N Probabilidade de erro com impulsos unipolares (g(t) e ): V = ke b E b = E b + = E b σ = k N E b P = e Q E b = Q E b N N O filtro adaptado e o correlacionador 15
Probabilidades de erro na detecção com filtro adaptado Com impulsos polares: P e = Q E b = Q E b N N Com impulsos unipolares: P e = Q E b = Q E b N N Detecção com filtro adaptado 1 1 - Impulsos unipolares P e 1-4 1-6 Impulsos polares 1-8 1-1,1 1 1 <E b >/N o (db) Se a relação E b N for igual, com impulsos unipolares a probabilidade de erro é mais elevada que com impulsos polares. O filtro adaptado e o correlacionador 16
Filtro adaptado e correlacionador r(t) = g(t) + n(t) h(t) 1/ z() Filtro adaptado a g(t) g(t) g(-t) h(t) = g(-t) t - t t Saída do filtro adaptado: zt () = rt () ht () = r( τ) ht ( τ) dτ = t = k r( τ) g( t+ τ) dτ t No instante t = : z ( ) = k r( τ) g( τ) dτ [correlação de r(t) com g(t)] O valor z() também pode ser obtido com um correlacionador: r(t) = s i (t) + n(t) g(t) z() Mas só no instante t = é que a saída do correlacionador é igual à saída do filtro adaptado: Comparação das saídas do filtro adaptado e do correlacionador z(t) t Saída do correlacionador mesmo valor em t = Saída do filtro adaptado O filtro adaptado e o correlacionador 17
Equivalência entre filtros adaptados e correlacionadores Caso geral binário com impulsos s o (t) e s 1 (t) Detector com dois filtros adaptados Filtro adaptado a z 1 (t) r(t) s 1 (t) + Filtro adaptado a s (t) - z (t) 1/ z() Detector equivalente com dois correlacionadores s 1 (t) r(t) + s (t) z 1 (t) - z (t) z() Detector equivalente com um só correlacionador s 1 (t) s (t) r(t) z() A referência deste correlacionador é a diferença s 1 (t) s (t ). O filtro adaptado e o correlacionador 18
Probabilidade de erro no caso geral binário com impulsos s o (t) e s 1 (t) s o (t) enviado: [ 1 ] 1 z( ) = s () t s () t s () t dt = s () t s () t dt s () t dt = = s ( ts ) ( tdt ) E E energia de s ( t) 1 s s s 1 (t) enviado: = s z ( ) E s( ts ) ( tdt ) E energia de s ( t) 1 s 1 1 1 Definição do coeficiente de correlação entre os símbolos: ρ = 1 E s E s1 s (t )s 1 (t )dt Logo, a saída do correlacionador vale: Es ρ Es Es z ( ) = E + ρ E E 1 1 s s s 1 para o bit 1 para o bit O filtro adaptado e o correlacionador 19
Probabilidade de erro no caso geral binário com impulsos s o (t) e s 1 (t) Diferença de amplitudes no instante de amostragem (t = ) V = E s1 ρ E s E s1 + E s ρ E s E s1 = = E s1 + E s ρ E s E s1 Mas isto é a energia da diferença s 1 (t) s (t ): [ ] d = 1() () E s t s t dt V = E d Desvio padrão do ruído na saída: σ = N E d Relação V σ : (com um único impulso de energia E b era σ = V σ = E s 1 + E s ρ E s E s1 N N E b ) Se os símbolos tiverem a mesma energia, E s = E s1 = E b : V σ = E b ρe b N = E b N (1 ρ) Portanto, com filtro adaptado ou correlacionador ideal a probabilidade de erro vale P e = Q V = Q σ E b (1 ρ) N O filtro adaptado e o correlacionador
Probabilidade de erro no caso geral binário com impulsos s o (t) e s 1 (t) Resumo de expressões Detecção de símbolos com energias E s e E s1 : P e E + E ρ E E s s s 1 1 = Q N s Detecção de símbolos com energias iguais, E b : P e = Q E b (1 ρ) N Saída do filtro: Eb (1 ρ) para o bit 1 z ( ) = Eb(1 ρ) para o bit Detecção de símbolos equienergéticos ortogonais (ρ = ): P e = Q E b N Saída do filtro: z ( ) E = b E b para o bit 1 para o bit Detecção de símbolos equienergéticos antipodais (s (t) = s 1 (t )): ρ = 1 P e = Q E b N Saída do filtro: Eb para o bit 1 z ( ) = Eb para o bit Detecção de símbolos unipolares (s (t) = ): P e = Q E s1 N O filtro adaptado e o correlacionador 1
Probabilidades de erro com impulsos binários ortogonais e antipodais 1 Detecção com filtro adaptado 1 - Impulsos ortogonais P e 1-4 1-6 Impulsos antipodais ρ = -1 ρ = 1-8 3 db 1-1,1 1 1 E b /N o (db) Os impulsos ortogonais necessitam de mais 3dB para se obter a mesma probabilidade de bit errado: P e = Q E b N ortog = Q E b N antip E b N ortog (db) = 1 log +1 log E b 3 = 3 + E b N antip (db) N antip = O filtro adaptado e o correlacionador
Probabilidades de erro com filtro adaptado: um exemplo Num sistema de comunicações binário tem-se o seguinte: Receptor correlacionador ideal. Cada bit 1 é representado por um impulso rectangular positivo e cada bit é representado por um impulso triangular negativo. Duração de cada impulso: 1 ms. Valor absoluto máximo à entrada do receptor: 1 mv. N Ruído à entrada do receptor: = 5nV Hz P.: Determine a probabilidade de erro na saída do correlacionador. R.: Energia do impulso triangular (calculada noutro exemplo): E s =,33 1 7 V s Energia do impulso rectangular: E s 1 = ( 1 1 3 ) 1 3 = 1 7 V s Coeficiente de correlação entre os impulsos: ρ = 1 E s E s1 s (t )s 1 (t )dt =,87 Relação V σ na saída do correlacionador: V = E s + E 1 s ρ E s E s1 = 3, 4 σ N Probabilidade de erro: P e = Q( 3,4)= 3, 1 4 O filtro adaptado e o correlacionador 3
Comparação entre detecção no ponto central e detecção com filtro adaptado Impulsos unipolares ( s ( t) ) = E s = E s1 = V σ = N B ρ = V σ Adapt = E s 1 = V N σ / B = B V σ DPC ( V σ) Adapt ( )= 3 + 1 log B V σ ( ) DPC db Impulsos polares (± V ) E s = E s1 = V = E b σ = N B ρ = 1 V σ Adapt = E b = ( V ) N σ / B = B V σ DPC ( V σ) Adapt ( )= 3 + 1 log B V σ ( ) DPC db A situação é idêntica nos dois casos. A relação sinal-ruído é mais elevada com filtro adaptado. B 1 para que ISI seja nula (critérios de Nyquist). O filtro adaptado e o correlacionador 4