UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ MATEMÁTICA PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR - 11/06/2017 CANDIDATO: CURSO PRETENDIDO: OBSERVAÇÕES: 1. Prova SEM consulta; 2. A prova PODE ser feita a lápis; 3. PROIBIDO o uso de calculadoras e similares; 4. Duração: 2 HORAS. 5. Nas questões discursivas EXPLICITAR os cálculos. Questão 1 (10 pontos). preço Um produto foi vendido de acordo com a seguinte função P(x) = 100 1 + 0.005x onde x é o número de unidades do produto e P é dado em dinheiros. Quantas unidades foram vendidas a 5 dinheiros? a) 150 b) 430 e c) 1000 d) 380 Resposta: b) Invertendo para x temos, 20(100 P) x = P avaliando em P = 5 dinheiros, temos x = 380 unidades. Questão 2 (10 pontos). Encontre o conjunto solução da inequação 4 x 2 < 1 x + 1. a) x (, 2) b) x (, 2) ( 1, 2) c) x ( 2, + ) d) x (, 1) ( 1, 2) Resposta: b) Para x < 1 a inequação é equivalente a 4x + 4 < x 2 cujo conjunto solução é: x (, 2). Para x > 2 a inequação é equivalente a 4x + 4 < x 2 cujo conjunto solução é vazio. E para 1 < x < 2 a inequação é equivalente a 4x + 4 > x 2 cujo conjunto solução é: x ( 1, 2). Assim, a solução é x (, 2) ( 1, 2).
Questão 3 (10 pontos). Avalie lim x 0 x3 + 2x 2 x a) b) 2 c) 2 d) 2 8 4 Resposta: c) lim x 0 x3 + 2x 2 x x x + 2 = lim x 0 x = 2. Questão 4 (10 pontos). Se f(x) = 2x 3 39x + 216x + 23 determine o ponto de mínimo local de f. a) 23 b) 4 c) 0 d) 9 Resposta: d) Usando a derivada temos f (x) = x 2 13x + 36 = 0, donde x = 9 ou x = 4. Calculando a segunda derivada vemos que f (4) < 0 e f (9) > 0, logo 9 é o ponto de mínimo local. 2
Questão 5 (10 pontos). Encontre o conjunto solução da equação x 3 1 = x 3 3 a) x = b) 3 3 c) x = 0 ou x = 3 3 d) x = 3 2 Resposta: d) Para x > 3 3 a equação é equivalente a x 3 1 = x 3 3 que não admite solução. Para x 3 3 a equação é equivalente a x 3 1 = 3 x 3 que tem como solução x = 3 2. Questão 6 (10 pontos). Considere o sistema linear 3x + 2y + z = 1 6x + ay + 2z = b x + y + z = 0 Para quais valores de a e b o sistema admite solução única? Resposta: Para que um sistema linear admita solução única é necessário e suficiente que o determinante associado a ele seja não nulo. Calculando o determinante associado ao sistema temos 2a 8, logo a 4 e b R. 3
Questão 7 (10 pontos). Avalie ( lim x + x ) x 0 + x Resposta: Para x > 0 temos x = x, logo lim x 0 + ( x + x ) = lim (x + 1) = 1 x x 0 + Questão 8 (10 pontos). Uma empresa produz uma cadeira ao custo de 20 dinheiros. Analisando as vendas os diretores acreditam que se a cadeira é vendida por x dinheiros, com x < 80, serão vendidas 80 x cadeiras. Qual deve ser o preço para que o lucro da empresa seja máximo? Resposta: A função custo é dada por C(x) = 20(80 x) e a receita é dada por R(x) = (80 x)x, logo o lucro é dado por L(x) = (80 x)x 20(80 x). Encontrando os pontos críticos L (x) = 0, temos x = 50. Avaliando L (50) = 2, logo o lucro máximo é quando x = 50 cadeiras. 4
Questão 9 (10 pontos). Para x [ 3, 3] encontre o valor de máximo da função f(x) = x 3 3x + 4. Resposta: Derivando, temos f (x) = 3x 2 3. portanto no intervalo desejado os pontos críticos são x = 1 e x = 1. Avaliando a função nos pontos críticos e extremos do intervalo temos f( 3) = 14, f( 1) = 6, f(1) = 0 e f(3) = 22. Assim, o valor de máximo é 22 atingido em x = 3. Questão 10 (10 pontos). Resolva o sistema { x + 4y 3 = 40 log y 2(2) = log xy (4). Resposta: Passando a segunda equação para a base y temos log y (2) log y (y 2 ) = log y (4) log y (y) + log y (x). logo, log y (2) 2 = 2 log y(2) 1 + log y (x) log y(x) = 3 x = y 3 voltando na primeira equação, temos Assim, a solução é x = 8 e y = 2. 5y 3 = 40 y = 2. 5
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ PROGRAMAÇÃO PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR 11/06/2017 CANDIDATO: CURSO PRETENDIDO: OBSERVAÇÕES: 1ªquestão: ANULADA 01 Prova sem consulta. 02 Duração: 2 HORAS 2ªquestão: No trecho de programa abaixo, escrito em pseudocódigo, obtêm-se o N-ésimo elemento de uma série de números inteiros: Penultimo 1 Ultimo 1 i 1 ENQUANTO i N FAÇA Numero Penúltimo + Ultimo Penultimo Ultimo Ultimo Numero i i + 1 ESCREVA Numero Escolha a alternativa a seguir que representa uma parte da série construída com esse programa: ( a )..., 3, 6, 9, 12,... ( b )... 13, 21, 34, 55,... ( c)..., 8, 9, 17, 24,... ( d )..., 18, 22, 25, 47,...
3ªquestão: O Programa-Mult11, escrito abaixo em pseudocódigo, verifica e escreve se um número inteiro é, ou não um múltiplo de 11: Programa - Mult11 INTEIRO Numero, Resto ESCREVA digite um numero inteiro LEIA Numero Resto Numero 11*(Numero/11) SE Resto = 0 ENTÃO ESCREVE É múltiplo SENÃO ESCREVE Não é múltiplo FIM-Programa Supondo que um usuário verificou os números 55, 76 e 221, assinale a alternativa que corresponde aos respectivos resultados: (a) Não é múltiplo, É múltiplo, É múltiplo (c) É múltiplo, É múltiplo, É múltiplo (b) É múltiplo, Não é múltiplo, Não é múltiplo (d) Não é múltiplo, É múltiplo, Não é múltiplo 4ªquestão: Considere um programa que executa a multiplicação de duas matrizes (arranjos bidimensionais) com números inteiros. Nas alternativas abaixo, escolha a sequencia correta de comandos para realizar a multiplicação AL x M BM x C = CL x C, sendo L, M e C as dimensões das matrizes. (a) (c) PARA( i 1; i L; i i + 1) FAÇA PARA( k 1; k M; k k + 1) FAÇA C(i,j) 0 PARA( j 1; j C; j j + 1) FAÇA C(i,j) C(i,j) + A(i,k) * B(k,j) PARA( i 1; i M; i i + 1) FAÇA PARA( k 1; k L; k k + 1) FAÇA C(i,j) 0 PARA( j 1; j C; j j + 1) FAÇA C(i,j) C(i,j) + A(i,k) * B(k,j) (b) i 1 ENQUANTO i M FAÇA j 1 ENQUANTO j C FAÇA k 1 C(i,j) 0 ENQUANTO k L FAÇA C(i,j) C(i,j) + A(i,k) * B(k,j) k k + 1 j j + 1 i i + 1 (d) i 1 ENQUANTO i L FAÇA j 1 ENQUANTO j C FAÇA k 1 C(i,j) 0 ENQUANTO k M FAÇA C(i,j) C(i,j) + A(i,k) * B(k,j) k k + 1 j j + 1 i i + 1
5ªquestão: Considere uma agenda telefônica armazenada em um vetor de caracteres com 7200 posições: o arranjo unidimensional Ag. Foi montada para manter até 240 registros de nomes e telefones em sequências de 30 posições: nas primeiras 18 posições armazenam-se o nome (abreviado ou parcial) e, nas 12 restantes o telefone (código do DDD + número ou, somente o número). No processo de armazenagem e pesquisa, todo acesso será realizado em saltos de 30 posições sobre o vetor Ag (ou seja, um registro completo) para consultar, incluir ou excluir cada registro. Para sinalizar que não há registro armazenado, colocou-se inicialmente o símbolo # no início de cada registro, posições 1, 31, 61, etc. Dessa forma para guardar um novo registro, procura-se pelo símbolo # a partir na primeira posição de Ag, realizando saltos sobre os registros. Uma vez encontrado, anota-se o nome e o telefone. Verifique nos fragmentos de código a seguir, escritos em pseudocódigo, qual alternativa corresponderia à tarefa de consultar e mostrar o conteúdo dos registros na agenda, a partir do fornecimento das 3 primeiras letras de um nome a pesquisar. Utilizando-se um vetor auxiliar de 3 posições, Pq, procura-se a coincidência da sequência de letras com as 3 primeiras posições dos registros e, aí exibe-se o conteúdo completo (nome e telefone). Se não encontrou registros com a sequência de letras fornecida, emite uma mensagem após varrer toda a agenda. (a) i 1 X 0 ENQUANTO Ag[i] # FAÇA SE Ag[i] = Pq[j] ENTÃO SE Ag[i+1] = Pq[i+1] E Ag[i+2] = Pq[i+2] ENTÃO ESCREVA Nome/Tel: PARA( k i; k i+18; k k + 1) FAÇA ESCREVA Ag[k] X X + 1 SENÃO i i+30 SE X > 0 ENTÃO ESCREVA Nome inexistente na agenda (b) i 1 X 0 ENQUANTO i 7171 E Ag[i] # FAÇA SE Ag[i] = Pq[1] ENTÃO SE Ag[i+1] = Pq[2] E Ag[i+2] = Pq[3] ENTÃO ESCREVA Nome: PARA( k i; k i+17; k k + 1) FAÇA ESCREVA Ag[k] ESCREVA TEL: PARA( k i+18; k i+29; k k + 1)FAÇA ESCREVA Ag[k] X X + 1 i i+29 SE X = 0 ENTÃO ESCREVA Nome inexistente na agenda
(c) i 1 X 0 ENQUANTO i 7177 E Ag[i] # FAÇA j 1 SE Ag[i] = Pq[j] ENTÃO SE Ag[i+1] = Pq[j+1] E Ag[i+2] = Pq[j+2] ENTÃO ESCREVA Nome/Tel: PARA( k i; k i+12; k k + 1) FAÇA ESCREVA Ag[k] X X + 1 SENÃO i i+24 SE X > 0 ENTÃO ESCREVA Nome inexistente na agenda (d) i 1 X 0 ENQUANTO i 7200 E Ag[i] # FAÇA j 1 SE Ag[i] = Pq[1] ENTÃO SE Ag[i+1] = Pq[2] E Ag[i+2] = Pq[3] ENTÃO ESCREVA Nome: PARA( k i; k i+11; k k + 1) FAÇA ESCREVA Ag[k] ESCREVA TEL: PARA( k i+12; k i+30; k k + 1) FAÇA ESCREVA Ag[k] X X + 1 SENÃO i i+30 SE X < 0 ENTÃO ESCREVA Nome inexistente na agenda
6ªquestão: Escreva um programa que armazene, via leitura, dois números reais obrigatoriamente em ordem crescente e em seguida um terceiro número que não segue essa regra. Após a leitura, o programa deverá escrever a mensagem Ordem decrescente: e em seguida os três números em ordem decrescente. Programa-6 REAL A, B, X ESCREVA digite dois números reais em ordem crescente LEIA A, B ESCREVA digite um número real (fora de ordem) LEIA X SE X > B ENTÃO ESCREVA Ordem decrescente:, X,,, B,,, A SE X > A ENTÃO ESCREVA Ordem decrescente:, B,,, X,,, A SENÃO ESCREVA Ordem decrescente:, B,,, A,, X FIM Programa-6 7ªquestão: Escreva um programa que determina e mostra o Máximo Divisor Comum de dois números inteiros. Programa-7 INTEIRO Num1, Num2, Resto ESCREVA digite dois números inteiros LEIA Num1, Num2 ESCREVA MDC (, Num1,,, Num2, ) =, Resto Num1 Num2 * (Num1/Num2) ENQUANTO Resto 0 FAÇA Num1 Num2 Num2 Resto ESCREVA Num1 FIM Programa-7
8ªquestão: Diz-se que um número natural é triangular se ele é o produto de três números naturais consecutivos: 24 é triangular, pois 2 3 4 = 24. Escreva um programa que lê um número inteiro e positivo N, verifica e diz se é, ou não, triangular, se N não for triangular, escreve também quantos números triangulares são menores que N. Exemplo, para N = 24, escreveria 24 é triangular más se N=23 além de escrever 23 não é triangular informaria que existe 1 número triangular menor que 23 (pois 1 2 3 = 6). Programa-8 INTEIRO i, n i 1 ESCREVA digite um número inteiro e positivo LEIA n ENQUANTO i * (i+1) * (i+2) n FAÇA i i + 1 SE i * (i+1) * (i+2) = n ENTÃO ESCREVA n, é triangular SENÃO ESCREVA n, não é triangular ESCREVA existe, i-1, número(s) triangular(es) menor(es) que, n FIM Programa-8 9ªquestão: Escreva um programa para determinar e mostrar todos os números primos maiores que 100 e menores que menores que 200. Programa-9 INTEIRO Primo[200], i, j, Resto i 1 Primo[3] 1 ENQUANTO i 200 FAÇA i i + 2 j 3 ENQUANTO j i FAÇA Resto i (Primo[j]*j)*(i/(Primo[j]*j)) SE Resto = 0 ENTÃO Primo[i] 1 SENÃO Primo[i] 0 Primo[i+1] 0 ESCREVA Números primos maiores que 100 e menores que 200: i 101 ENQUANTO i 200 FAÇA SE Primo[i] = 1 ENTÃO ESCREVA i,, i i + 2 FIM Programa-9
10ªquestão: Acrescente um fragmento de código com comandos necessários para realizar a operação de exclusão de registro na agenda apresentada na 5ª questão, a partir do nome completo registrado. Observe que basta localizar o nome e em seguida confirmar a exclusão, bastando trocar o primeiro símbolo do registro por #. Você poderá basear-se nos comandos de busca apresentados na 5ª questão para programar essa tarefa de exclusão de registro. ESCREVA digite as 3 primeiras letras do nome a excluir PARA(i 1; i 3; i i + 1) FAÇA LEIA Pq[i] i 1 Achou N ENQUANTO i 7171 E Ag[i] # E Achou S FAÇA SE Ag[i] = Pq[1] ENTÃO SE Ag[i+1] = Pq[2] E Ag[i+2] = Pq[3] ENTÃO ESCREVA Nome: PARA( j i; j i+17; j j + 1) FAÇA ESCREVA Ag[j] ESCREVA Esse é o registro a excluir? S/N LEIA Achou SE Achou = S ENTÃO Ag[i] = # i i+30