Problemas de Jogos em Triangulações Planares. Liane de Oliveira Germoliato Barostichi

Problemas de Jogos em Triangulações Planares Liane de Oliveira Germoliato Barostichi Dissertação apresentada ao Centro de Matemática, Computação e Cognição (CMCC) da Universidade Federal do ABC (UFABC) para obtenção de grau de mestrado no Programa de Pós-Graduação em Engenharia da Informação Orientadora: Profa. Dra. Gordana Manić Durante a elaboração deste trabalho a autora recebeu apoio financeiro da FAPESP (Processo Número: 2010/13015-8). Santo André, Julho de 2012.

Problemas de Jogos em Triangulações Planares Este exemplar corresponde à redação final da dissertação devidamente corrigida e defendida por Liane de Oliveira Germoliato Barostichi e aprovada pela Comissão Julgadora. Santo André, Julho de 2012. Banca Examinadora: Profa. Dra. Gordana Manić (orientadora) CMCC/UFABC Prof. Dra. Cristina Gomes Fernandes IME/USP Prof. Dr. Gustavo Sousa Pavani CMCC/UFABC

^.SSjjim^ f \ \ PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DA INFORMAÇÃO Universidade Federal do ABC FOLHA DE ASSINATURAS Assinaturas dos membros da Banca Examinadora que avaliou e aprovou a Defesa de Dissertação de Mestrado da candidata Liane de Oliveira Germoliato Barostichi em 30 de julho de 2012: Profa. pra. Gordana Manic (UFABC) - Orientadora e Presidente ProfaTDra. Cristina Gomes Fernandes (USP) - Titular L/ ^EJQ^^e». Ja Prof. Dr. Gustavo Sousa Pavani (UFABC) - Titular Prof. Dr. Carlos Eduardo Ferreira (USP) - Suplente Prof. Dr. João Ricardo Sato (UFABC) - Suplente Universidade Federal do ABC, Av. dos Estados, 5.001 - CEP 09210-580 - Santo André - SP Tel O XX. 11-4996-0086 www.ufabc.edu.br

Resumo Os problemas de jogos em triangulações planares pertencem a uma área mais geral de jogos combinatórios que normalmente envolvem dois jogadores. O principal objetivo consiste em determinar, em cada jogo, qual será o resultado do jogo, ou seja, quem será o ganhador ou se então acontecerá um empate. Neste texto, apresentamos alguns jogos combinatórios, como jogos Nim, Kayles e Dawson s Kayles. Também, versamos sobre complexidade e completude em PSPACE. Por fim, apresentamos as três grandes categorias de jogos combinatórios em triangulações planares introduzidas por Aichholzer et al. [1]: construção, transformação e marcação, e detalhamos os jogos de marcação e construção. 1

Abstract Games on triangulations belong to the more general area of combinatorial games, which usually involve two players. The main objective is to determine, in each game, what will be the outcome of the game, that is, first player wins, second player wins, or it will be a third possible outcome, a tie. In this text, we present some combinatorial games like Nim, Kayles and Dawson s Kayles. Also, we discuss about complexity and PSPACE-completeness. Finally, we present the three major categories of Combinatorial Games on Planar Triangulations introduced by Aichholzer et al. [1]: constructing, flipping, and marking, and discuss in more details constructing and marking games. 2

Sumário 1 Introdução 7 2 Pré-requisitos 9 2.1 Algumas definições importantes.............................. 9 2.1.1 Árvores....................................... 11 2.1.2 Grafo Dual..................................... 14 3 Jogos combinatórios 15 3.1 Definição e exemplos.................................... 15 3.2 O jogo Nim e a Teoria de Sprague-Grundy........................ 18 3.3 Jogo Kayles......................................... 21 3.4 Jogo Dawson s Kayles................................... 23 4 Complexidade 26 4.1 Completude em PSPACE................................. 26 4.2 Complexidade do jogo em grafos associado ao jogo Dawson s Kayles......... 28 5 Jogos em Triangulações Planares 31 5.1 Introdução.......................................... 31 5.2 Jogos de Construção.................................... 33 5.2.1 Jogo do Triângulo Monocromático........................ 33 5.2.2 Jogo da Triangulação Monocromática Completa................ 34 5.2.3 Jogo do Triângulo Bicromático.......................... 37 5.3 Jogos de Marcação..................................... 41 5.3.1 Jogo Colorindo uma Triangulação Monocromático............... 41 3

5.3.2 Jogo Bicolorindo uma Triangulação........................ 42 6 Comentários Finais 47 Referências Bibliográficas 48 4

Lista de Figuras 2.1 Exemplo de um grafo completo.............................. 10 2.2 Exemplo de árvore..................................... 13 2.3 Exemplo de grafo (em preto) com grafo dual (em azul)................. 14 5.1 Jogador R joga uv. EstemovimentodivideC em duas configurações independentes C 1 e C 2........................................... 39 5.2 A configuração C 1 tem duas arestas vermelhas. Jogador B pode agora escolher uma h yxy i h yyx i aresta livre xy em C 1 onde C 1 e C 1 contém, cada um, uma única aresta vermelha........................................... 40 5.3 Exemplo de uma triangulação............................... 43 5.4 Grafo e respectivo dual................................... 43 5.5 Exemplo do grafo após a jogada do jogador B que colore a aresta e de azul..... 44 5.6 O movimento do jogador B divide o grafo dual em subgrafos independentes..... 44 5.7 Se a triangulação contém a aresta e conectando dois pontos internos, então no primeiro movimento, o jogador B colore e em azul..................... 46 5.8 Exemplo quando a triangulação não contém uma aresta e conectando os dois pontos internos. Neste caso vamos chamar de ciclo esquerdo e ciclo direito, respectivamente, os ciclos no grafo dual. Tais ciclos são conectados por um caminho através de dois vértices a e b, a 6= b..................................... 46 5

Lista de Tabelas 3.1 Valores de Nim para o jogo Kayles............................. 23 3.2 Valores de Nim para o jogo Dawson s Kayles...................... 25 6

Capítulo 1 Introdução Neste trabalho, buscamos principalmente estudar os jogos em triangulações planares, os quais pertencem a uma área mais geral de jogos combinatórios que normalmente envolvem dois jogadores, R e B. Em um jogo combinatório, uma posição de jogo consiste de um conjunto de opções para o jogador R e um conjunto de opções para o jogador B. Cada opção em si é uma posição de jogo, que representa o resultado do movimento. Para maiores informações sobre a teoria dos jogos combinatórios, consulte [2, 6, 8, 9]. Um jogo combinatório é dito ó t i m o se os jogadores fazem o seu melhor para ganhar. Qualquer jogo combinatório ótimo sem empates tem somente dois possíveis resultados: o primeiro jogador vence o jogo ou então o segundo jogador vence. Em outras palavras, o primeiro jogador pode forçar a sua vitória, ou então o segundo pode forçar a sua vitória, não importando como o outro jogador se move ao longo do jogo. Tais procedimentos são chamados de estratégias vencedoras. Observamos que os jogos combinatórios podem ter ainda um terceiro êxito (resultado): um dos jogadores pode forçar o empate. No trabalho intitulado Games on triangulations, Aichholzer et al. [1] analisaram vários jogos combinatórios em triangulações planares, envolvendo os vértices, arestas e faces (triângulos) de uma triangulação. Eles apresentaram os jogos em que dois jogadores R e B jogam alternadamente, assim como jogos solitários para somente um jogador. Em versões bicromáticas dos jogos para dois jogadores, o jogador R (Red ) irá usar a cor vermelha e o jogador B (Blue) irá usar azul, respectivamente, para colorir algum elemento da triangulação, sendo que quem inicia o jogo é sempre o jogador R. Em variações monocromáticas de jogos, todos os jogadores (ou um único jogador) usam uma mesma cor. 7

O objetivo principal deste texto é prover um estudo detalhado sobre os jogos em triangulações planares, com base nas contribuições de Aichholzer et al. [1], buscando detalhar os resultados e fundamentar as principais noções necessárias para sua compreensão. A dissertação está estruturada da seguinte forma: No capítulo 1 apresentamos os pré-requisitos, composto pelas definições necessárias para um melhor entendimento do texto, como as definições de grafo e árvore. No capítulo 2 apresentamos alguns jogos combinatórios, dos quais destacamos os jogos Nim, Kayles e Dawson s Kayles. No capítulo 3 versamos sobre complexidade e completude em PSPACE. Por fim, no capítulo 4, apresentamos as três grandes categorias de jogos combinatórios em triangulações planares introduzidas por Aichholzer et al. [1]: construção, transformação e marcação, e detalhamos os jogos de marcação e construção. 8

Capítulo 2 Pré-requisitos Neste capítulo, introduziremos algumas noções básicas necessárias para o desenvolvimento deste trabalho. Dentre tais noções, destaca-se o conceito de grafo que ocupa um papel central nesta dissertação e o conceito de árvore e grafo dual que utilizaremos no Jogo Bicolorindo uma Triangulação, descrito na seção 4.3 do Capítulo 4. As definições e resultados apresentadas aqui podem ser encontradas nas referências [5] e [7]. 2.1 Algumas definições importantes Definição 2.1 Um grafo é u m p a r (V,E), ondev é um conjunto finito arbitrário e E um conjunto de pares não-ordenados de elementos de V. Os elementos de V são chamados vértices eosdee arestas. Lembremos que um par não-ordenado é um conjunto com exatamente dois elementos. Um par não-ordenado {v, w} será denotado, indiferentemente, por vw ou wv. Definição 2.2 Dizemos que dois vértices v e w de um grafo são adjacentes se existe uma aresta com extremos v e w. Um grafo completo é um grafo onde cada vértice é adjacente a todos os outros (ver figura 2.1). Definição 2.3 Um conjunto U no plano é dito convexo se, dados quaisquer dois pontos em U, o segmento que os une está contido em U. Definimos a envoltória convexa de n pontos como sendo o menor conjunto convexo que contém tais pontos. 9

Figura 2.1: Exemplo de um grafo completo. Como um exemplo, dado um conjunto S formado por três pontos não colineares, a envoltória convexa de S é o triângulo que tem estes três pontos como vértices. Definição 2.4 Um n-simplexo é um polítopo de dimensão n dado pela envoltória convexa de (n + 1) vértices. Definição 2.5 Um passeio em um grafo G é uma sequência (v 0,e 1,v 1,e 2,v 2,...,e k,v k ) em que v 0,...,v k são vértices de G ecadae i é uma aresta de G com extremos v i 1 e v i. A origem e o término do passeio são respectivamente v 0 e v k e o passeio é dito um passeio fechado se v k = v 0 eéaberto caso contrário. Um caminho em G é um passeio cujos vértices são dois a dois distintos. Definição 2.6 Um ciclo é um passeio fechado onde as arestas são distintas duas a duas. Definição 2.7 Um grafo G é d i t o conexo se, para todo par v, w de vértices de G existe um passeio com origem em v e término em w. Os subgrafos conexos maximais de um grafo são chamados componentes. Um clique em um grafo é um conjunto de vértices dois a dois adjacentes. Definição 2.8 Um grafo é planar se ele pode ser desenhado no plano de tal forma que nenhuma aresta cruze as demais. Um grafo planar G divide o plano em um conjunto de regiões conexas maximais, conhecidas como as faces de G. A região conexa ilimitada obtida nesta partição do plano é chamada face ilimitada. 10

Finalmente, definimos a importante noção de triangulação, fundamental para o desenvolvimento deste trabalho. Definição 2.9 Um complexo simplicial C é uma colecção finita de simplexos tais que cada face de um simplexo de C é um simplexo de C e a intersecção de dois simplexos de C é vazia ou uma face de ambos. Dado um complexo simplicial C, C é u m a decomposição simplicial para um conjunto B se B = S 2C. Definição 2.10 Uma triangulação em um conjunto finito de pontos S no plano, tal que quaisquer três pontos de S são sempre não colineares, é uma decomposição simplicial de envoltória convexa de S onde os vértices dos simplexos são os pontos de S. 2.1.1 Árvores Daremos a seguir a definição de árvore, que será utilizada no decorrer do trabalho. Definição 2.11 Dizemos que um grafo G é u m a floresta se G for um grafo sem ciclos. O grafo G é d i t o u m a á r v o r e se for uma floresta conexa. Como exemplo de árvore veja a figura 2.2. Lema 2.1 Seja H um grafo com n vértices, m arestas, ciclos e p componentes conexas. Então vale a seguinte fórmula: p = n m +. Demonstração: Suponha inicialmente que H é conexo, ou seja, p = 1. Pela fórmula de Euler para grafos conexos, temos que V A + F =2, sendo V onúmerodevértices,aonúmerodearestas e F o número de faces, incluindo a componente ilimitada determinada pelo grafo. Assim, com as notações acima, temos que V = n, A = m e F = + 1. Logo, n m + = V A + F 1=2 1=1. Para o caso geral, sejam H i, i =1,...,p, as componentes conexas de H. Sendo n i, m i e i os números de vértices, arestas e ciclos de H i, respectivamente, temos pelo caso anterior que 11

n i m i + i =1, para i =1,...,p. Observamos ainda que, Logo, n = px n i, m = i=1 px m i e = i=1 px i. i=1 o que conclui a demonstração. n m + = px (n i m i + i )= i=1 px 1=p, i=1 Teorema 2.1 ([4]) Seja H um grafo com n vértices. Qualquer uma das seguintes propriedades equivalentes caracteriza uma árvore: (a) H é conexo e não possui ciclos; (b) H não contém ciclos e possui n 1 arestas; (c) H é conexo e possui n 1 arestas; (d) H não contém ciclos, e se uma aresta é adicionada de modo a juntar dois vértices não adjacentes, então um (e apenas um) ciclo é formado; (e) H é conexo mas perde essa propriedade se qualquer aresta for retirada; (f) Todo par de vértices é conectado por um e apenas um caminho. Demonstração: (a) ) (b). Sendo p o número de componentes, m o número de arestas e o número de ciclos de H, o fato de H ser conexo e não possuir ciclos implica que p =1e = 0. Vemos ainda que os números de arestas, componentes e ciclos estão relacionados com a ordem n do grafo pela relação m n + p = =0. Assim, temos que m = n 1. (b) ) (c). Com as mesmas notações acima, as hipóteses neste caso nos dizem que =0e m = n 1. Logo, p = m + n = +1=1, donde segue que H é conexo. 12

(c) ) (d). Temos neste caso que p =1em = n 1. Assim, = m n + p =0 e portanto, H não contém ciclos. Além disso, se adicionarmos uma aresta conectando quaisquer dois vértices não adjacentes, então m passa a ser igual a n e então, = 1, ou seja, o grafo tem exatamente um ciclo. (d) ) (e). Se H não é conexo, podemos encontrar vértices x e y não conectados por arestas e assim, quando adicionamos a aresta xy, não formamos um ciclo, o que contraria (d). Portanto, H é conexo, ou seja, p = 1. Ainda, ao retirar uma aresta, temos m = n 2. Uma vez que = 0, segue que p = m + n = 2, e H deixa de ser conexo. (e) ) (f). Sendo H conexo, existe um caminho unindo quaisquer dois vértices, digamos x e y. Se existissem dois caminhos unindo x e y, a eliminação de uma aresta no primeiro caminho que não pertence ao segundo não torna o grafo desconexo, contrariando assim a hipótese (e). Logo, cada par de vértices é conectado por um e apenas um caminho. (f) ) (a). A conexidade de H é imediata. Supondo que H contém um ciclo, podemos encontrar um par de vértices conectado por dois caminhos, uma contradição a (f). Portanto, H não contém ciclos. Figura 2.2: Exemplo de árvore. 13

2.1.2 Grafo Dual Definição 2.12 Dado um grafo planar G, seu grafo dual é dado da seguinte forma: associamos acadafacedeg um vértice e, quando duas faces compartilham uma aresta em G, seus respectivos vértices no dual são conectados por uma aresta. A figura 2.3 mostra um exemplo de um grafo G e seu grafo dual. Figura 2.3: Exemplo de grafo (em preto) com grafo dual (em azul). 14

Capítulo 3 Jogos combinatórios Neste Capítulo, definiremos jogos combinatórios e daremos alguns resultados importantes nesta teoria, bem como alguns exemplos de jogos combinatórios que serão relevantes ao longo deste texto. Os jogos combinatórios de especial interesse nesse trabalho são os jogos em triangulações planares, os quais serão discutidos no capítulo 4. Veremos que dois desses jogos, nominalmente o jogo colorindo uma triangulação eojogo do triângulo monocromático, têm as mesmas características dos jogos Kayles e Dawson s Kayles, respectivamente, os quais serão apresentados neste capítulo. Dessa forma, os problemas consistindo em buscar estratégias de vitória para esses jogos compartilham das mesmas propriedades. Em particular, isso continua válido no que se refere à complexidade desses problemas, conceito este que será abordado no capítulo 3. Os resultados deste capítulo podem ser encontrados em [9]. 3.1 Definição e exemplos Definição 3.1 Um jogo combinatório é um jogo que apresenta as seguintes características: (a) É jogado por dois jogadores, sendo que os mesmos jogam alternadamente. (b) É um jogo finito, ou seja, o jogo sempre termina após um número finito de movimentos, e ainda, em cada jogada, o jogador escolhe uma entre uma quantidade finita de movimentos possíveis. (c) É imparcial, ou seja, ambos os jogadores têm as mesmas possibilidades de movimentos. (d) É um jogo de informação completa, ou seja, não existem informações escondidas. (e) É determinístico, no sentido de que cada movimento leva a uma única posição, e não há aleatoriedade (como em lançamento de dados). 15

(f) O jogo termina quando é atingida uma certa posição, a partir da qual não há mais movimentos possíveis. Sob a regra normal de jogo, o último jogador a executar um movimento possível vence. Sob a regra misère, o último jogador a executar um movimento perde. Consideraremos aqui apenas jogos combinatórios com a regra normal de jogo. Destacamos ainda as seguintes definições. Definição 3.2 Um jogo combinatório é ótimo se os jogadores fazem o seu melhor para ganhar. Definição 3.3 Uma posição em um jogo combinatório é uma posição terminal se nenhum movimento a partir dela é possível. Exemplo 3.1 Damos a seguir um exemplo simples de um jogo combinatório: Édadaumapilha com 21 feijões. Um movimento de cada um dos dois jogadores, aos quais nos referiremos como jogador I e jogador II, consiste em retirar da pilha um, dois ou três feijões, e os jogadores realizam estes movimentos alternadamente. O jogador I inicia o jogo e o vencedor é aquele que remover o último feijão da pilha. Observe que existe uma estratégia vencedora para o jogador I: na primeira jogada, o jogador I retira um feijão, deixando 20 feijões na pilha. Após a jogada do jogador II, o jogador I retira tantos feijões quantos forem necessários, de modo a deixar 16 feijões na pilha (observe que tal movimento é sempre possível). Prosseguindo dessa forma, o jogador I deixará, após cinco rodadas, quatro feijões na pilha. Uma vez que o jogador II pode retirar no máximo três feijões, o próximo movimento do jogador I consistirá em retirar todos os feijões restantes, levando-o à vitória. Definição 3.4 Dizemos que uma posição de jogo é uma posição vencedora para um jogador se existe uma estratégia de vitória a partir desta posição para o mesmo. Observe que, em jogos combinatórios com regra normal de jogo, toda posição para a qual é possível, com um movimento, atingir uma posição terminal, é uma posição vencedora. Definição 3.5 As posições que são vencedoras para o jogador que realizou o último movimento são chamadas P -posições, e as posições que são vencedoras para o jogador que realizará o próximo movimento são chamadas N-posições. 16

No exemplo acima, vemos que as P -posições são as pilhas com quantidades de feijões que são múltiplas de 4. As demais são N-posições. É possível determinar aprioriquais posições em um jogo combinatório com regra normal de jogo são P -posições e quais são N-posições, por meio de um método de recorrência, o qual destacamos abaixo. Passo 1: Nomeamos todas as posições terminais como sendo P -posições. Passo 2: Nomeamos todas as posições que podem atingir, com um movimento, uma P -posição, como sendo uma N-posição. Passo 3: Encontramos todas as posições para as quais todos os movimentos possíveis levam a N-posições e as nomeamos como P -posições. Passo 4: Se, no passo 3, nenhuma nova P -posição é encontrada, o processo termina. Caso contrário, retornamos ao passo 2. É fácil ver que as P -posições e N-posições nomeadas a partir do processo de recorrência acima descrito cumprem os requisitos dados na Definição 3.5. Podemos sumarizar as características desses dois tipos de posições para um jogo combinatório com regra normal de jogo na seguinte proposição. Proposição 3.1 As P -posições e N-posições podem ser definidas recursivamente pelas seguintes afirmações: Todas as posições terminais são P -posições. ApartirdetodaN-posição, existe pelo menos um movimento que leva a uma P -posição. Todo movimento a partir de uma P -posição leva a uma N-posição. Definiremos abaixo um tipo especial de jogo combinatório, que engloba o Exemplo 3.1. Definição 3.6 Seja S um conjunto de inteiros positivos. Definimos o jogo de subtração com conjunto subtração S, como sendo o seguinte. De uma pilha com n feijões, dois jogadores alternam movimentos. Um movimento consiste em retirar s feijões da pilha, com s 2 S. Oúltimo jogador a realizar um movimento vence. 17

É fácil ver que o jogo definido no Exemplo 3.1 é um jogo de subtração, com n = 21 e cujo conjunto subtração é S = {1, 2, 3}. Observação 3.1 Note que em um jogo de subtração, com conjunto subtração S, existem m posições terminais, sendo m =min(s), posições estas as quais chamamos 0, 1, 2,...,m 1. Entãotodosos elementos de S serão N-posições (associamos ao elemento s 2 S a posição dada pela pilha com s feijões), bem como os elementos da forma s + k, sendo k =0, 1,...,m 1 e s 2 S. Supondo, por exemplo, que 1 2 S e 2 /2 S, teremos a posição 0 como única posição terminal, e consequentemente, 2 será uma P -posição, pois o único movimento possível é para 1, que é uma N-posição. 3.2 O jogo Nim e a Teoria de Sprague-Grundy Dentre os jogos com o formato de tirar feijões de uma pilha, o jogo Nim é sem dúvidas o mais conhecido. O jogo Nim é um jogo combinatório no qual dois jogadores jogam em turnos removendo feijões que estão dispostos em n diferentes pilhas. O jogo ocorre da seguinte forma. A cada rodada o jogador escolhe uma pilha e da pilha escolhida ele retira pelo menos um feijão. Em uma mesma rodada o jogador pode retirar todos os feijões de uma pilha, desde que sejam retirados feijões de uma única pilha. Associado a este jogo, temos uma rica teoria, chamada teoria de Sprague-Grundy, ou teoria do jogo Nim. Apresentaremos aqui algumas definições e resultados básicos associados a essa teoria. Para simplificar os argumentos, vamos analisar o jogo Nim jogado com três pilhas, contendo n 1,n 2 e n 3 feijões, respectivamente. Observe que existe uma única posição terminal para este jogo, a qual chamaremos (0, 0, 0). Note também que posições da forma (0, 0,m), ou seja, aquelas que possuem feijões em apenas uma das três pilhas, são N-posições (não estamos preocupados aqui com a ordem das pilhas). Suponha então que existam duas pilhas contendo feijões. Neste caso, vemos que as P -posições são da forma (0, m, m). De fato, se o oponente realizar um movimento a partir de uma tal posição, ele se moverá para uma posição com duas pilhas com um número diferente de feijões, e então podemos na próxima jogada igualar novamente o número de feijões na pilha, e prosseguir dessa forma até levar à posição terminal. O caso em que as três pilhas contêm feijões é mais complicado. Para descrever este caso, fazemos 18

uso da noção de soma-nim, a qual definiremos em seguida. Relembremos que qualquer inteiro não negativo p possui uma única representação em base 2, ou seja, existem únicos p 0,p 1,...,p m tais que p i = 0 ou p i = 1, para todo i =0, 1,...,m,e p = p m 2 m + p m 1 2 m 1 + + p 1 2+p 0. Utilizamos a notação p =(p m p m 1 p 1 p 0 ) 2. Definição 3.7 Dados p =(p m p m 1 p 1 p 0 ) 2 e q =(q m q m 1 q 1 q 0 ) 2, definimos a soma-nim de p e q como sendo p q =(p m p m 1 p 1 p 0 ) 2 (q m q m 1 q 1 q 0 ) 2 =(r m r m 1 r 1 r 0 ), com r i =(p i + q i ) mod 2,parai =0, 1,...,m, ou seja, r i =1se p i + q i =1e r i =0,caso contrário. Exemplo 3.2 Ao realizar a soma-nim dos números 23 e 47, obtemos 23 47 = (10111) 2 (101111) 2 = (111000) 2 = 56. Vale o seguinte teorema. Teorema 3.1 ([2, 3, 6]) Uma posição (p 1,p 2,...,p n ) no jogo Nim é uma P -posição se, e somente se, p 1 p 2 p n =0. Dado um jogo combinatório qualquer, a cada posição podemos associar um número, por meio do qual podemos dar informações a respeito do jogo. Definição 3.8 Um nimber é um inteiro em N. Dado um conjunto finito de nimbers S N, definimos o nimber mínimo excludente de S como sendo mex(s) =min{i 2 N : i/2 S}. Podemos associar a uma dada posição de um jogo combinatório um nimber da seguinte forma: se a posição é terminal, então associamos o nimber 0. Caso contrário, o nimber é o mínimo excludente do conjunto dos nimbers das posições que podem ser atingidas em um movimento. 19

Exemplo 3.3 No caso do Exemplo 3.1, denotando por n(i) o nimber associado à posição i, temos os seguintes valores: n(0) = n(4) = n(8) = n(12) = n(16) = n(20) = 0; n(1) = n(5) = n(9) = n(13) = n(17) = n(21) = 1; n(2) = n(6) = n(10) = n(14) = n(18) = 2; n(3) = n(7) = n(11) = n(15) = n(19) = 3. Vale o seguinte resultado. Teorema 3.2 ([2, 3, 6]) Em um jogo combinatório, existe uma estratégia vencedora para o jogador que começa o jogo a partir de uma certa posição se, e somente se, o nimber desta posição é maior ou igual a 1. No caso do jogo Nim, temos que, se P =(p 1,...,p n ) é uma posição, então o nimber de P é dado por p 1 p n (ver [3]). Sendo assim, o Teorema 3.1 é uma consequência direta do Teorema 3.2. Finalizamos esta seção com as seguintes definições. Definição 3.9 Dado um jogo combinatório qualquer, a função de Sprague-Grundy associada a este jogo é a função que, a cada posição de jogo p, associa o nimber de p. Denotaremos por g(p) a função de Sprague-Grundy associada à posição de jogo p. Exemplo 3.4 No caso do Exemplo 3.1, é fácil ver que a função de Sprague-Grundy é dada por g(p) =p mod 4, paratodop =0, 1,...,21. Definição 3.10 Dados n jogos combinatórios J 1,..., J n, podemos definir o jogo soma dos jogos J 1,..., J n da seguinte forma. Os dois jogadores jogam alternadamente escolhendo um jogo J i, i 2{1, 2,...,n} e realizando um movimento possível determinado por este jogo. O jogo termina quando não houver mais movimentos possíveis em nenhum dos n jogos e o vencedor é aquele que realizou o último movimento. 20

Observe que o jogo Nim pode ser então definido como uma soma de n jogos Nim, cada um jogado sobre uma única pilha, sendo n o número de pilhas do jogo. O próximo resultado nos fornece um método eficiente de se obter a função de Sprague-Grundy da soma de n jogos combinatórios. Proposição 3.2 ([2, 3, 6]) Sejam J 1,...,J n jogos combinatórios. Se p = (p 1,...,p n ) é u m a posição de jogo para a soma dos jogos J 1,...,J n, sendo p i uma posição de jogo para J i, então a função de Sprague-Grundy em p é dada pela soma-nim g(p) =g(p 1 ) g(p 2 ) g(p n ). No caso do jogo Nim sobre n pilhas, isso é o mesmo que dizer que, se p =(p 1,...,p n )éuma posição de jogo, então g(p) =p 1 p n, o que já foi observado anteriormente. 3.3 Jogo Kayles O jogo Kayles é um jogo de boliche que começa com n pinos dispostos em uma fileira de pinos adjacentes e cada jogador, jogando alternadamente, pode, em cada jogada, acertar um único pino ou dois pinos adjacentes, possivelmente quebrando uma fileira em duas, ou diminuindo uma fileira. Após cada jogada, restará um certo número de fileiras de pinos adjacentes. Após a primeira jogada, obtemos ou uma fileira com n 1 ou n 2 pinos, ou duas fileiras com tamanhos n 1 e n 2, sendo que fileiras com 0 pinos são ignoradas. Analisemos por exemplo uma situação dentro do jogo Kayles na qual estamos com fileiras de tamanhos 1, 7 e 3. Denotando por K j uma pilha com j pinos, caso o movimento acerte a fila com 7 pinos, podemos obter as seguintes configurações: K 6 ; K 5 + K 1 ; K 4 + K 2 ; K 3 + K 3 ; K 5 ; K 4 + K 1 ; K 2 + K 3. Em outras palavras, após o movimento, pode restar uma fileira apenas com 5 ou 6 pinos, ou duas fileiras com 5 e 1 pinos, respectivamente, 4 e 2, 3 e 3, 4 e 1 ou 2 e 3. O jogador que não puder mais derrubar pinos perde o jogo, ou seja, vence o jogo quem derrubar o último pino. 21

Observação 3.2 O jogo Kayles não é um jogo de subtração, com S = {1, 2}. Ele seria um jogo deste tipo se fosse também permitido aos jogadores derrubar dois pinos quaisquer, mesmo que não fossem adjacentes. O Jogo Kayles pode ser reformulado como um jogo combinatório jogado sobre grafos. Nesta formulação, um grafo qualquer é dado e os dois jogadores jogam alternadamente, escolhendo um vértice do grafo, sendo que os jogadores não podem escolher um vértice que já tenha sido escolhido antes nem um vértice adjacente a um vértice escolhido antes. O último jogador a escolher um vértice vence o jogo. Em outras palavras, o jogo pode ser descrito também como segue: dado um grafo qualquer, os dois jogadores jogam alternadamente, escolhendo um vértice do grafo. O vértice escolhido e seus vizinhos são retirados do grafo. O vencedor é aquele jogador cuja jogada resulta no grafo vazio. Para o jogo Kayles, podemos determinar uma estratégia vencedora para o primeiro jogador, qualquer que seja o número de pinos considerado, conforme mostraremos no próximo resultado. Teorema 3.3 ([2, 3, 6]) No jogo Kayles com n pinos, existe uma estratégia vencedora para o primeiro jogador. Demonstração: Chamemos os jogadores de jogador I e jogador II, e mostremos uma estratégia de vitória para o jogador I. Suponha que n é ímpar, digamos, n =2k + 1. Neste caso, o jogador I inicia o jogo por derrubar o pino do meio da fileira, ou seja, de modo a deixar duas fileiras com exatamente k pinos em cada uma. Pela Proposição 3.2, temos que a função de Sprague-Grundy aplicada nesta posição é dada por g(k) g(k) =0, ou seja, esta é uma P -posição. Em outras palavras, existe uma estratégia vencedora para o jogador I a partir desta posição. No caso em que n é par, o mesmo raciocínio se aplica, bastando ao jogador I derrubar dois pinos na primeira jogada, em vez de apenas um, deixando também duas fileiras com a mesma quantidade de pinos. A demonstração do teorema está completa. Tendo em vista o Teorema 3.2, concluimos que a única posição com nimber igual a zero para o Jogo Kayles é a posição terminal, que corresponde à posição com 0 pinos. Mais especificamente, a tabela 3.3 abaixo nos dá os valores dos nimbers para o jogo Kayles. 22

Temos que a função de Sprague-Grundy para o Jogo Kayles satisfaz g(n) = g[n mod 12], para todos os valores de n com exceção dos seguintes: g(0) = 0 g(3) = 3 g(6) = 3 g(9) = 4 g(11) = 6 g(15) = 7 g(18) = 3 g(21) = 4 g(22) = 6 g(28) = 5 g(34) = 6 g(39) = 3 g(57) = 4 g(70) = 6 Para os demais valores de n, vale: g(00 mod 12) = 4 g(04 mod 12) = 1 g(08 mod 12) = 1 g(01 mod 12) = 1 g(05 mod 12) = 4 g(09 mod 12) = 8 g(02 mod 12) = 2 g(06 mod 12) = 7 g(10 mod 12) = 2 g(03 mod 12) = 8 g(07 mod 12) = 2 g(11 mod 12) = 7 Tabela 3.1: Valores de Nim para o jogo Kayles. 3.4 Jogo Dawson s Kayles O jogo Dawson s Kayles é um primo do jogo Kayles. Em termos de boliche o jogo se dá da seguinte forma: uma fileira de n pinos é dada e o único movimento permitido é derrubar dois pinos adjacentes. Diferentemente do jogo Kayles apresentado anteriormente, neste jogo não é permitido derrubar um único pino e assim são eliminadas quaisquer fileiras compostas por apenas um pino. Desta forma, a cada jogada, restarão uma ou duas fileiras menores que a anterior, sendo que o jogador que fizer o último movimento vence o jogo. A Observação 3.2 também se aplica aqui, ou seja, o fato de que os jogadores têm permissão apenas para derrubar dois pinos que sejam adjacentes faz com que este jogo seja diferente do jogo de subtração com S = {2}. Assim como no caso do jogo Kayles, o jogo Dawson s Kayles tem a sua formulação sobre grafos: dado um grafo qualquer, os dois jogadores jogam alternadamente, escolhendo dois vértices adjacentes do grafo sendo que os jogadores não podem escolher um vértice que já tenha sido 23

escolhido antes, e não podem também escolher um vértice que seja adjacente a um vértice que tenha sido escolhido anteriormente. O último jogador a escolher um par de vértices vence o jogo. O problema associado ao jogo Dawson s Kayles é o seguinte: dado um grafo G, é possível determinar uma estratégia vencedora para o primeiro jogador quando o Dawson s Kayles é jogado sobre G? Apresentaremos na seção 4.2 uma prova da log-completude em PSPACE (ver definição na seção 4.1) desse problema. Temos aqui o seguinte resultado. Teorema 3.4 ([2, 3, 6]) No jogo Dawson s Kayles com n pinos, com n par, existe uma estratégia vencedora para o primeiro jogador. Demonstração: Chamemos os jogadores de jogador I e jogador II, e mostremos uma estratégia de vitória para o jogador I. O jogador I inicia o jogo por derrubar os dois pinos do meio da fileira, ou seja, de modo a deixar duas fileiras com exatamente n 2 pinos em cada uma. Pela Proposição 3.2, temos que a função 2 de Sprague-Grundy aplicada nesta posição é dada por g( n 2 2 ) g( n 2 )=0, 2 ou seja, esta é uma P -posição. Em outras palavras, existe uma estratégia vencedora para o jogador I a partir desta posição. Fica clara aqui a necessidade de n ser par para que o método acima possa ser utilizado, pois diferentemente do Jogo Kayles, aqui o jogador não tem a opção de derrubar apenas um pino. Como consequência, temos que todas as posições correspondentes a pilhas com um número par de pinos (com exceção da posição terminal) são N-posições. Mais geralmente, segue abaixo uma tabela com os valores de Nim para o jogo Dawson s Kayles. Temos que a função de Sprague-Grundy, neste caso, satisfaz g(n) = g [n mod 34], sendo que esta expressão vale para todos os valores de n, com exceção dos seguintes: g(0) = 0 g(1) = 0 g(15) = 0 g(17) = 2 g(18) = 2 g(32) = 2 g(35) = 0 g(52) = 2 Nos demais casos, vale: 24

g(00 mod 34) = 4 g(13 mod 34) = 2 g(26 mod 34) = 2 g(01 mod 34) = 8 g(14 mod 34) = 4 g(27 mod 34) = 1 g(02 mod 34) = 1 g(15 mod 34) = 4 g(28 mod 34) = 1 g(03 mod 34) = 1 g(16 mod 34) = 5 g(29 mod 34) = 0 g(04 mod 34) = 2 g(17 mod 34) = 5 g(30 mod 34) = 4 g(05 mod 34) = 0 g(18 mod 34) = 9 g(31 mod 34) = 5 g(06 mod 34) = 3 g(19 mod 34) = 3 g(32 mod 34) = 3 g(07 mod 34) = 1 g(20 mod 34) = 3 g(33 mod 34) = 7 g(08 mod 34) = 1 g(21 mod 34) = 0 g(09 mod 34) = 0 g(22 mod 34) = 1 g(10 mod 34) = 3 g(23 mod 34) = 1 g(11 mod 34) = 3 g(24 mod 34) = 3 g(12 mod 34) = 2 g(25 mod 34) = 0 Tabela 3.2: Valores de Nim para o jogo Dawson s Kayles 25

Capítulo 4 Complexidade 4.1 Completude em PSPACE Nesta seção, introduziremos uma noção de complexidade, a qual utilizaremos para mostrar a NPdificuldade do jogo em grafos associado ao jogo Dawson s Kayles, introduzido na seção 3.4. Para tanto, apresentamos a seguir a definição da máquina de Turing. Definição 4.1 Uma máquina de Turing é uma 7-upla M =(Q,,,s,b,F, ), onde: Q é um conjunto finito de estados; é um alfabeto finito de símbolos; é o alfabeto finito da fita; s 2 Q é o estado inicial; b 2 é o símbolo branco, isto é, o único símbolo que se permite ocorrer na fita infinitamente em qualquer passo durante a computação; F Q é o conjunto de estados finais; : Q! Q {,!} é a chamada função de transição, onde! é o movimento para a direita e é o movimento para a esquerda. Em outras palavras, uma máquina de Turing consiste em: 26

Uma fita dividida em células, sendo que cada célula contém um símbolo de algum alfabeto finito. O alfabeto contém um símbolo especial chamado de branco e assumimos que as células que ainda não foram escritas estão preenchidas com o símbolo branco; Um cabeçote que pode ler ou escrever símbolos na fita e mover-se para a esquerda e para a direita; Um registrador de estados, que armazena o estado da máquina de Turing. O registrador de estados é inicializado com um estado especial chamado estado inicial; Uma função de transição, que diz à máquina que símbolo escrever, como mover o cabeçote e qual será o seu novo estado. Definição 4.2 Dado um alfabeto finito de símbolos qualquer, denotaremos por oconjuntode todas as palavras finitas possíveis de serem formadas com os caracteres em. Definição 4.3 Sejam, dois alfabetos finitos de símbolos. Dizemos que uma função f :! é calculável no espaço S(n) se existe uma máquina de Turing tendo uma fita de entrada somente-leitura de duas vias, uma fita de saída somente-escrita de uma via e uma única fita de trabalho, a qual, para qualquer entrada w 2,forneceasaídaf(w), tendo percorrido no máximo S( w ) espaços distintos da fita de trabalho, em que w é o número de caracteres da palavra w. Estamos em condições de dar as próximas definições. Definição 4.4 Uma função f :! é calculável em espaço log se for calculável no espaço c log(n), para alguma constante c > 0. Dizemos que f é calculável em espaço polinomial se for calculável no espaço cn k, para constantes c, k > 0. Definição 4.5 Seja um alfabeto finito de símbolos. Dizemos que um problema de decisão L está na classe PSPACE se a função f :!{0, 1} dada por f(w) =1, w 2 L é calculável em espaço polinomial. LOGSP ACE se f for calculável em espaço log. Analogamente, dizemos que L é um problema na classe 27

É possível mostrar que P PSPACE e, assim como no caso dos problemas na classe NP, não se conhece ainda uma prova de que a classe PSPACE é, de fato, maior que a classe P. Mais que isso, temos que a classe PSPACE inclue também a classe NP [11]. Definição 4.6 Sejam e dois alfabetos de símbolos e sejam L 1 2 e L 2 2 dois problemas quaisquer. Dizemos que L 1 pode ser reduzido em espaço log a L 2 se existe uma função f :! calculável em espaço log tal que, para todo w 2, w 2 L 1, f(w) 2 L 2. Dizemos então que um problema de decisão L é log-completo em PSPACE se L 2 PSPACE e, para todo problema L 0 2 PSPACE, L 0 pode ser reduzido em espaço log a L. Quando L 1 pode ser reduzido em espaço log a L 2, usamos a notação L 1 apple lg L 2. É fácil ver também que, assim como no caso dos problemas NP-completos, vale o seguinte resultado. Lema 4.1 Se L 0 é um problema log-completo em PSPACE e L 2 PSPACE é um problema tal que L 0 pode ser reduzido em espaço log a L (L 0 apple lg L), então L é log-completo em PSPACE. Na próxima seção, veremos que o jogo em grafos associado ao jogo Dawson s Kayles é um problema log-completo em PSPACE, o que implicará no fato de que tal jogo é um problema NPdifícil, conforme diz o próximo resultado. Proposição 4.1 ([11]) Todo problema log-completo em PSPACE é também NP-difícil. 4.2 Complexidade do jogo em grafos associado ao jogo Dawson s Kayles Vamos nesta seção estudar a complexidade em termos de log-completude em PSPACE do jogo em grafos associado ao jogo Dawson s Kayles. Para tanto, algumas notações e definições serão necessárias, as quais apresentaremos a partir de agora. Iniciamos por apresentar a ideia de jogos em formas proposicionais. Definição 4.7 Uma forma normal conjuntiva (FNC) é uma conjunção de cláusulas, cada cláusula ou sentença sendo composta de uma disjunção de variáveis, onde assumimos que cada 28

variável e sua negação não podem aparecer em uma mesma cláusula. Chamamos de 3FNC o conjunto de todas as fórmulas em FNC com no máximo três variáveis em cada conjunto. Definimos então o jogo G! (FNC) da seguinte forma: a entrada é um par da forma (A, x), sendo A uma fórmula em FNC e x =(x 1,...,x n ) uma lista de variáveis distintas, incluindo todas aquelas que aparecem em A. Um movimento em i consiste em atribuir a x i um valor 0 (falso) ou 1 (verdadeiro). Depois de n movimentos, o primeiro jogador vence se a atribuição produzida dessa forma faz com que A seja verdadeira, e perde caso contrário. Definição 4.8 Seja J um jogo combinatório qualquer. Denotaremos por Inp(J) o conjunto das entradas do jogo J. Denotemos ainda por L(J) :={A 2 Inp(J) : o primeiro jogador tem uma estratégia vencedora para entrada A}. Ademais, L(J) :=Inp(J) L(J). Usaremos aqui a notação L(G! (3FNC)) = L! (3FNC). Enunciaremos, sem demonstração, os próximos resultados (ver [11]), os quais serão utilizados para mostrar a log-completude em PSPACE do jogo em grafos associado ao jogo Dawson s Kayles. Lema 4.2 ([11]) L! (3FNC) é log-completo em PSPACE. Lema 4.3 ([11]) Sendo J o jogo em grafos associado ao jogo Dawson s Kayles, temos que L(J) 2 PSPACE. O principal resultado deste capítulo é dado então pelo seguinte teorema. Teorema 4.1 ([11]) Se J é o jogo em grafos associado ao jogo Dawson s Kayles, então L(J) é log-completo em PSPACE. A prova deste teorema é bastante técnica. Vamos aqui dar a ideia da prova encontrada em [11]. Segue dos Lemas 4.1, 4.2 e 4.3 que é suficiente mostrar que L! (FNC) apple lg L(J). De modo a usar o jogo em grafos associado ao jogo Dawson s Kayles para simular G! (FNC), é necessária uma forma de restringir os movimentos. Isso é feito por associar, a cada entrada no jogo 29

G! (FNC), um grafo no qual em cada ponto, todos os movimentos possíveis, exceto uma pequena quantidade deles, leva à derrota imediata para o jogador que os realiza. Esses poucos movimentos que não são fatais são chamados movimentos legítimos. O grafo é construído então de modo a forçar os jogadores a jogar legitimamente. Mais especificamente, dizemos que o jogo Dawson s Kayles no grafo G é jogado legitimamente se para i =1, 2,...,n (onde n é o número de variáveis da entrada do jogo G! (FNC)) o nó jogado no movimento i é x n i+1 ou x n i+1. Movimentos de um jogo jogado legitimamente imitam os movimentos no jogo G! (FNC) a partir da entrada A: no primeiro movimento, o primeiro jogador joga x n ou x n. Logo depois, o segundo jogador joga x n 1 ou x n 1, e assim por diante. O grafo G é construído de forma a forçar os jogadores a jogar legitimamente: se em qualquer movimento (supondo que todos os movimentos anteriores foram legítimos) o jogador não jogar legitimamente, ele é sujeito a derrota imediata. Se A 2 Inp(G! (FNC)) e G é o grafo associado a A, a prova se completa por mostrar que o primeiro jogador tem uma estratégia vencedora para o jogo G! (FNC) a partir da entrada A se, e somente se existe uma estratégia vencedora para o primeiro jogador no jogo Dawson s Kayles jogado sobre o grafo G. Segue então da Proposição 4.1 a seguinte conclusão. Corolário 4.1 ([11]) O problema de decidir o vencedor do jogo em grafos associado ao jogo Dawson s Kayles é um problema NP-difícil. 30

Capítulo 5 Jogos em Triangulações Planares 5.1 Introdução Neste capítulo, apresentaremos os jogos em triangulaçẽs planares, o principal tipo de jogo neste trabalho. Os jogos em triangulações planares pertencem à área mais geral de jogos combinatórios, definida no Capítulo 2, cujos jogos, conforme vimos, envolvem dois jogadores. Nos jogos em triangulações planares, normalmente denotamos estes dois jogadores por R e B. Observe que qualquer jogo combinatório ótimo sem empates tem dois possíveis resultados: o primeiro jogador vence o jogo ou então o segundo jogador vence. Em outras palavras, o primeiro jogador pode forçar a sua vitória, ou então o segundo pode forçar a sua vitória, não importando como o outro jogador se move ao longo do jogo, procedimentos estes que foram chamamos no Capítulo 2 de estratégias vencedoras. Observamos que os jogos combinatórios podem ter um terceiro resultado: um dos jogadores pode forçar o empate. Este capítulo foi em grande parte baseado no trabalho intitulado Games on triangulations, de Aichholzer et al. [1]. Neste trabalho, os autores analisaram vários jogos combinatórios em triangulações planares. Daremos a seguir a definição de triangulação, que nos permitirá dar o conceito de jogos em triangulações planares. Definição 5.1 Um complexo simplicial C é uma colecção finita de simplexos tais que cada face de um simplexo de C é um simplexo de C e a intersecção de dois simplexos de C é vazia ou uma face de ambos. Dado um complexo simplicial C, C é u m a decomposição simplicial para um conjunto B se B = S 2C. 31

Definição 5.2 Uma triangulação em um conjunto finito de pontos S no plano, tal que quaisquer três pontos de S são sempre não colineares, é uma decomposição simplicial de envoltória convexa de S onde os vértices dos simplexos são os pontos de S. Em [1], os autores consideraram vários tipos de jogos combinatórios envolvendo vértices, arestas, e faces (triângulos) de uma triangulação. Eles apresentaram os jogos em que dois jogadores R e B jogam alternadamente, assim como jogos solitários para somente um jogador. Em versões bicromáticas dos jogos para dois jogadores, o jogador R usa a cor vermelha e o jogador B usa a cor azul, para colorir alguma aresta da triangulação. Em variações monocromáticas desses jogos, todos os jogadores (ou um único jogador) usam uma mesma cor. Os jogos combinatórios de triangulações planares apresentados por Aichholzer et al. [1] são classificados em três grandes categorias, a saber: Jogos de Construção (Constructing Games), Jogos de Transformação (Transforming Games) e Jogos de Marcação (Marking Games). Apresentaremos abaixo uma breve descrição de cada um desses jogos e, nas seções 5.1 e 5.2, trataremos mais detalhadamente os jogos de Construção e de Marcação, respectivamente. Jogos de Construção. Os jogadores constroem uma triangulação T (S) sobre um dado conjunto de pontos S. Iniciando sem arestas, os jogadores R e B jogam, por sua vez, desenhando uma ou mais arestas em cada jogada. Em algumas variações, o jogo termina assim que uma estrutura é alcançada. Em outros casos, o jogo termina quando a triangulação se completa e o último movimento ou, eventualmente, alguma forma de pontuação decide quem ganha o jogo. Jogos de Transformação. Uma triangulação T (S) ems é dada inicialmente, com todas as arestas coloridas inicialmente na cor preta. Em cada turno, um jogador aplica alguma transformação local na triangulação atual resultando em uma nova triangulação com algumas arestas possivelmente recoloridas. O jogo termina quando uma configuração específica é alcançada ou quando não existem mais movimentos possíveis. Jogos de Marcação. Uma triangulação T (S) ems é dada, com todas as arestas e vértices coloridos inicialmente na cor preta. Em cada turno, alguns dos seus elementos são marcados (coloridos, por exemplo), de um modo de jogo específico. O jogo termina quando alguma configuração de elementos marcados é atingida (possivelmente a triangulação inteira) ou quando 32

não existem mais movimentos possíveis. O objetivo em cada jogo é determinar quem ganha o jogo e elaborar algoritmos eficientes para determinar o vencedor e calcular uma estratégia vencedora, ou então mostrar que acontecerá um empate. Os resultados obtidos por Aichholzer et al. [1], em contraste com muitos dos trabalhos em teoria de jogos combinatórios, nos quais os jogos acabam por ser computacionalmente desafiadores, no sentido de NP-dificuldade, conceito definido no capítulo 3, são todos positivos. Ou seja, apesar da natureza desafiadora desses jogos em relação à complexidade (conforme veremos adiante), Aichholzer et al. [1] conseguiram algoritmos de tempo polinomial para resolver muitas classes particulares de jogos em triangulações planares. Uma dessas classes particulares é, por exemplo, o caso em que os pontos de S estão em posição convexa, ou seja, os pontos de S são os vértices de um polígono convexo. Como um exemplo, um dos resultados positivos obtidos por Aichholzer et al. [1] é que para o Jogo da Triangulação Monocromática Completa (Monochromatic Complete Triangulation Game) (ver definição na seção 5.2.2), existe uma estratégia simples quando os pontos de S estão em posição convexa. Neste caso, dependendo da paridade de S, o primeiro jogador pode sempre ganhar (quando S é ímpar) ou qualquer jogador pode forçar um empate (quando S é par) (ver Teorema 5.3). 5.2 Jogos de Construção Vamos, nesta seção, apresentar três tipos de jogos de construção. 5.2.1 Jogo do Triângulo Monocromático O primeiro tipo de jogo de construção que vamos analisar é o Jogo do Triângulo Monocromático. Neste jogo, dois jogadores desenham arestas em turnos, e o primeiro jogador a completar um triângulo vazio vence o jogo. Supondo que S está em posição convexa, vamos apresentar aqui uma estratégia de vitória para este jogo, a qual foi provada em [1]. Uma observação valiosa para este jogo é o fato de que uma aresta só deve ser desenhada se a mesma conecta dois vértices que não tenham sido usados anteriormente. Caso contrário, vamos obter um vértice v de grau no mínimo 2, ou seja, com pelo menos duas arestas desenhadas a partir de v, o que vai permitir ao jogador adversário realizar um movimento vencedor: basta fechar o 33

triângulo formado pelas duas arestas adjacentes de v. Portanto, ao desenhar uma diagonal xy em S, os dois vértices x e y são desconsiderados no decorrer do jogo. Note ainda que a aresta xy divide o conjunto S em dois subconjuntos, cujas cardinalidades n 1 e n 2 satisfazem n 1 + n 2 = n 2. O jogador que desenhar a última aresta de acordo com a estratégia acima é o vencedor. Observe que, neste jogo, nenhuma aresta pode ser desenhada em conjuntos de cardinalidade de no máximo 1, pois neste caso, ou não há movimentos possíveis, ou o movimento dá ao oponente um movimento vencedor. Este último argumento mostra que o jogo do triângulo monocromático possui a mesma estrutura do jogo em grafos associado ao Dawson s Kayles de n pinos, apresentado na Seção 3.4. Em termos de complexidade, o Corolário 4.1 implica então no seguinte resultado. Teorema 5.1 O problema de decidir o vencedor no Jogo do Triângulo Monocromático é um problema NP-difícil. A despeito dessa natureza desafiadora dada pelo teorema acima, no artigo de Aichholzer et. al. ([1]), encontramos o seguinte resultado acerca do Jogo do triângulo monocromático: Teorema 5.2 ([1]) O jogo do triângulo monocromático sobre n pontos em posição convexa é um jogo onde o segundo jogador vence quando n 5, 9, 21, 25 e 29( mod 34) e para casos especiais n = 15 e n = 35; caso contrário, o tipo em que o primeiro jogador vence. Cada movimento em uma estratégia vencedora pode ser computado em tempo linear no tamanho da triangulação. Sabemos do Teorema 3.2 que uma posição de jogo é uma P -posição se, e somente se, o nimber dessa posição é igual a zero. Sendo assim, de acordo com a tabela 2.2, os valores de n para os quais existe uma estratégia vencedora para o segundo jogador são n 5, 9, 21, 25 e 29 ( mod 34) e os casos excepcionais n = 15 e n = 35. Nos demais casos, existe uma estratégia vencedora para o primeiro jogador. No caso em que n é par, para provar este fato é suficiente seguir a estratégia apresentada na prova do Teorema 3.4. 34

5.2.2 Jogo da Triangulação Monocromática Completa O segundo jogo de construção que apresentamos a seguir, é semelhante ao jogo do triângulo monocromático, discutido na seção anterior. O Jogo da Triangulação Monocromática Completa é jogado seguindo as mesmas regras do jogo do triângulo monocromático, exceto que, quando um jogador completa um ou mais triângulos monocromáticos vazios, ele deve jogar novamente, e o jogo continua até que uma triangulação inteira tenha sido desenhada. O vencedor é o jogador que completou mais triângulos monocromáticos vazios. Conforme observado anteriormente, para este jogo é possível dar informações precisas a respeito de qual jogador pode vencer o jogo ou quando um empate pode ser forçado. De fato, o fator determinante neste problema é a paridade do conjunto S, como veremos a seguir. Para analisar este problema, necessitamos estabelecer algumas notações e definições. Definição 5.3 Duas arestas compartilhando um vértice p são chamadas um triângulo aberto se pudermos construir um triângulo válido, ou seja, sem intersecções com outras arestas, por conectar os dois pontos finais (distintos de p) dessas arestas, criando assim uma terceira aresta que fecha o triângulo. Essa terceira aresta será chamada aresta de fechamento. Observe que, à medida que vamos construindo a triangulação, esta consistirá de várias componentes conexas. Entretanto, se uma aresta é de fechamento, então ela será desenhada entre vértices de uma mesma componente conexa. Definição 5.4 Quando desenharmos uma aresta conectando duas componentes conexas distintas, chamaremos tal aresta de conectante. Definição 5.5 Definimos o peso de uma aresta conectante como sendo o número de pontos finais que possuem anteriormente uma outra aresta incidente à aresta conectante. Observe que, uma vez que os pontos estão em posição convexa, o peso de uma aresta conectante é 0, 1 ou 2, sendo que as arestas conectantes de peso 0 são aquelas que conectam pontos isolados, as arestas de peso 1 são aquelas que produzem um novo triângulo aberto, e as arestas de peso 2 são aquelas que darão origem a dois triângulos abertos. Observe ainda que, em um jogo sobre n pontos, o número total de arestas conectantes será n 1. 35

Definição 5.6 Um outro tipo de aresta que podemos destacar são as chamadas arestas redundantes, que consistem nas arestas que conectam dois pontos em uma mesma componente conexa mas sem ser uma aresta de fechamento, ou seja, sem fechar um triângulo. É claro que, em uma estratégia de vitória, nenhuma aresta redundante é desenhada, isto é, sempre que há a possibilidade de se fechar um triângulo, deve-se fazê-lo imediatamente. A estratégia gulosa para se buscar a vitória é então a seguinte: enquanto existe alguma aresta de fechamento, desenhe-a. Lembremos que depois que um triângulo é fechado, o jogador que realizou este movimento tem direito a jogar novamente. O movimento deve consistir então em desenhar uma aresta conectante com o menor peso possível. Denotemos por e i o número de arestas conectantes de peso i, i =0, 1, 2, desenhados ao longo do jogo. Observe que a primeira vez que um ponto de S é utilizado, a aresta então desenhada é uma aresta conectante de peso 0 ou 1. Além disso, uma aresta conectante de peso 0 é desenhada ligando dois pontos que não foram anteriormente utilizados, enquanto que uma aresta conectante de peso 1 utiliza um ponto não utilizado anteriormente. Isso nos leva à seguinte igualdade: 2e 0 + e 1 = n. Ainda, uma vez que e 0 + e 1 + e 2 = n que e 0 +(n 2e 0 )+e 2 = n 1, ou seja, 1 (pois arestas conectantes formam uma árvore), segue e 2 = e 0 1. Estamos então em condições de mostrar os próximos resultados. Lema 5.1 ([1]) Para n ímpar, existe uma estratégia vencedora para o jogador R (o primeiro jogador). (n 1) Demonstração: Sabemos que e 0 + e 1 + e 2 = n 1, que é par. Assim, haverá rodadas nas 2 quais ambos os jogadores desenharão arestas conectantes. Em cada rodada, o jogador R escolhe primeiro uma aresta, e escolhe de acordo com a estratégia gulosa acima descrita. Assim, em cada rodada o jogador R vence ou empata com o jogador B. Para ocorrer um empate no jogo, o jogador B deve empatar com R em todas as rodadas, mas para isso precisamos que e 0,e 1,e 2 sejam todos números pares, o que não é possível pois e 2 = e 0 1. 36

Lema 5.2 ([1]) Para n par, o jogador B pode forçar um empate. Demonstração: Temos que e 0 +e 1 +e 2 = n 1, que é ímpar neste caso. O primeiro movimento do jogador R consiste em desenhar uma aresta de peso 0. Depois deste primeiro movimento, restarão (n 2) n 2 arestas conectantes, e os jogadores B e R escolherão essas arestas em rodadas. Em 2 cada rodada o jogador B escolhe primeiro segundo a estratégia gulosa anteriormente descrita, e dessa forma em cada rodada o jogador B ou ganha ou empata com o jogador R. Assim, B ou ganha ou empata o jogo, jogando dessa forma. Lema 5.3 ([1]) Para n par, o jogador R pode forçar um empate. Demonstração: A prova neste caso difere das anteriores. Aqui não utilizaremos a mesma estratégia gulosa utilizada antes, pois se e 0 terminou par, então o jogador B ganharia por dois triângulos por jogar segundo a nossa estratégia gulosa anterior, uma vez que, neste caso, apenas e 2 é ímpar. Ao invés disso, o jogador R aplica uma estratégia de simetria para garantir que e 0 termine ímpar, de modo que ambos e 1 e e 2 sejam pares, levando a um empate. Assumimos que o jogador B jogue de maneira ótima, ou seja, faça o melhor para obter a vitória, o que claramente inclui fechar os triângulos abertos sempre que houver essa possibilidade. O jogador R inicia desenhando uma diagonal dividindo S em dois conjuntos iguais (lembramos que n é par). Então enquanto o jogador B não deixar desnecessariamente triângulos abertos, o jogador R pode jogar simetricamente: fechar triângulos abertos e imitar o que o jogador B faz na parte oposta da diagonal S. Desta forma, garante-se que e 0 é ímpar, uma vez que as arestas conectantes de peso 0 serão a primeira diagonal desenhada, mais duas vezes o número de arestas conectantes que B desenhou, o que garante o empate para o jogador R. Resumimos esses resultados no próximo teorema. Teorema 5.3 ([1]) O Jogo da Triangulação Monocromática Completa jogado sobre n pontos em posição convexa é um jogo no qual o primeiro jogador vence se n é ímpar e ambos os jogadores podem forçar um empate se n é p a r. Observe que, uma vez que existe a possibilidade de empate neste jogo, o mesmo não é um tipo de jogo no qual a teoria de Sprague-Grundy pode ser aplicada. 37

5.2.3 Jogo do Triângulo Bicromático Um outro jogo de construção é o Jogo do Triângulo Bicromático (Bichromatic Triangle Game). Ele é definido da seguinte forma: dado um conjunto S de pontos no plano, os jogadores constroem uma triangulação T (S). Começando com o conjunto vazio de arestas, os jogadores R e B jogam alternadamente, desenhando uma aresta em cada jogada. O jogador R usa a cor vermelha e o jogador B usa a cor azul. O primeiro jogador que completa um triângulo vazio monocromático é o vencedor. Este é um jogo mencionado por Aichholzer et al. [1] em seu artigo, porém decidir qual é o resultado do jogo é um problema deixado em aberto, assim como alguns outros problemas de jogos em triangulações planares. Sobre o Jogo do Triângulo Bicromático, quando se trata do caso em que o conjunto de pontos dado está em posição convexa, Manic, Martin e Stojakovic [10] demonstraram que o jogador B pode forçar um empate. Vamos apresentar aqui a demonstração deste resultado. Iniciamos por estabelecer algumas notações. Definição 5.7 Denotamos por (V,E R,E B ) uma configuração do jogo do Triângulo Bicromático, sendo V um conjunto de pontos no plano e E R,E B são os conjuntos de arestas desenhadas pelos jogadores R e B, respectivamente, de modo que tais arestas não se cruzem. Definição 5.8 Uma aresta livre com respeito a (V,E R,E B ) é uma aresta que não está em E R [E B e que não cruza nenhuma aresta de E R [ E B. Definimos ainda a configuração induzida de uma configuração C =(V,E R,E B ) sobre um conjunto W V como sendo a tripla C [W ]=(W, ER 0,E0 B ), sendo ER 0,E0 B as arestas desenhadas pelos jogadores R e B, respectivamente, que unem apenas pontos em W. Duas configurações são ditas independentes se elas compartilham apenas uma aresta que já tenha sido desenhada por um dos dois jogadores em ambas as configurações. Definição 5.9 Suponha que V = {v 1,...,v n } está em posição convexa e que esses pontos estão em sentido horário. Se x = v i e y = v j,com1 apple i, j apple n, denotamos por xy y oconjuntodospontos {v i,v i+1,...,v j }, sendo que os índices são considerados módulo n. Finalmente, para x, y 2 V,se x = v i e y = v i+1, dizemos que x e y são consecutivos em V. Estamos agora em condições de enunciar e provar o seguinte resultado. 38

Lema 5.4 ([10]) Seja C =(V,E R,E B ) uma configuração do Jogo do Triângulo Bicromático onde V é um conjunto de pontos em posição convexa no plano e todas as arestas desenhadas, isto é, arestas em E R [ E B, estão entre os pontos consecutivos em V. Se E R < 2, então B pode forçar um empate em C. Demonstração Essa demonstração é feita por indução em V. Para V apple3, o lema é trivialmente válido. Suponha então que V = n>3esuponha que a afirmação é verdadeira para V <n. A cardinalidade de E R será denotada aqui por r. Seja uv a aresta que o jogador R desenha e seja C 0 a configuração resultante, ou seja, C 0 = (V,E R [{uv},e B ). O movimento realizado divide C em duas configurações independentes C 1 e C 2, onde C 1 = C 0 [ uv] y e C 2 = C 0 [ vu] y sendouv pertencente às duas configurações e quando u e v são consecutivos em V, C 1 consiste em uma única aresta. Para que o jogador B consiga forçar um empate ele precisa forçar o empate tanto em C 1 quanto em C 2. Veja a figura 5.1. 2 1= u 1 6 2 5 v 4 3 Figura 5.1: Jogador R joga uv. EstemovimentodivideC em duas configurações independentes C 1 e C 2. Se r = 1, podemos assumir, sem perda de generalidade, que C 1 tem duas arestas vermelhas e 39

C 2 tem uma aresta vermelha, lembrando que a aresta uv está tanto em C 1 quanto em C 2. Quando a configuração tem no máximo três pontos o empate pode ser facilmente forçado, assim vamos assumir que C 1 tem pelo menos quatro pontos. Então B pode agora escolher uma aresta livre xy h yxy i h yyx i em C 1 onde C 1 e C 1 contém cada uma, uma única aresta vermelha. É possível garantir a existência desta aresta pela propriedade de C 1, ou seja, ela tem pelo menos quatro pontos, os vértices estão em posição convexa, e as arestas são desenhadas entre pontos consecutivos (observe que duas arestas vermelhas podem ter um vértice comum). Veja a figura 5.2. 1 =u 1 6 y= 2 5 4 =v =x 3 b Figura 5.2: A configuração C 1 htem duas arestas vermelhas. Jogador B pode agora escolher uma yxy i h yyx i aresta livre xy em C 1 onde C 1 e C 1 contém, cada um, uma única aresta vermelha. Quando o jogador B desenha a aresta xy, obtemos uma configuração C1 0 que passa a ser dividida h yxy i h yyx i em duas configurações independentes C1 0 e C1 0. Pela hipótese de indução, o jogador B pode forçar um empate em ambas as configurações e dessa forma ele pode forçar um empate em C 1. Quanto a C 2, caso ela tenha uma única aresta fica trivial. Caso contrário, pela hipótese de indução, B pode forçar um empate. Se no entanto r =0eu e v não são consecutivos em V, temos que C 1 e C 2 possuem, cada, uma aresta vermelha e, pela hipótese de indução, B pode forçar um empate em C 1 eemc 2. No caso em que r =0eu e v são consecutivos em V, é só colocar C = C 0 e aplicar o seguinte 40