Prezados, Calouros Com prazer vos escreve o Coordenador Acadêmico da Faculdade Luterana São Marcos Primeiramente quero dar os parabéns pela iniciativa de iniciar um curso superior em Administração e agradecer por ter escolhido a nossa Instituição de Ensino Optaram por um curso superior de qualidade e com reconhecimento no MEC (Ministério da Educação) Desta forma, para vocês calouros, ofereceremos na próima semana um nivelamento de matemática, que é um serviço gratuito Ressalto a importância da presença de todos O objetivo desta pequena inserção no mundo da matemática é prepará-los e relembrá-los de algumas regras básicas que darão subsídios para as disciplinas de matemática instrumental e estatística, no currículo do Bacharelado em Administração Certamente, vocês são pessoas especiais e visionárias, pois dar o primeiro passo para ingressar no ensino superior é sinônimo de crescimento, aperfeiçoamento e sucesso profissional Vale salientar que apenas 16% dos gaúchos, que atualmente trabalham, possuem ensino superior completo, conforme o IBGE Isso demonstra a importância e relevância de um diploma no mercado de trabalho Certamente muitas portas se abrirão a partir do momento do ingresso de vocês, nesta Faculdade O sonho começa agora! É uma caminhada cheia de alegrias, bons resultados e dificuldades também Mas por eperiência própria, posso dizer que valerá a pena cada suor derramado pela busca do tão sonhado diploma Sejam muito bem-vindos à nossa instituição E me coloco à disposição para o que precisarem As portas da coordenação ficam abertas para os alunos Meu contato: coordenaçãofac@saomarcosbr Forte abraço fraternal, ProfMeDiogo Siqueira Luiz Coordenador Acadêmico Editor da RASM - Revista Acadêmica São Marcos CRA/RS nº 034497 Faculdade Luterana São Marcos Rua Dr Mário Totta, 260 - Alvorada - RS Fones: (51) 34837195-34834621 wwwfaculdadesaomarcosbr Encontre-nos no Facebook: Faculdade São Marcos Estude conosco!
PROF CLECI IEDA SETOVSKI NÚMEROS INTEIROS O conjunto dos números inteiros é representado pela letra Z e é formado por números inteiros negativos, o número zero e todos os números positivos Os números menores que zero, como -1, -2, -3, -4, são chamados de números negativos Os números maiores que zero como 1, 2, 3, 4, são chamados de números positivos Outra forma de representar esses números é acrescentar o sinal de mais antes do algarismo, isto é: +1, +2, +3, +4, Os números positivos e negativos são utilizados para indicar saldos bancários, desempenho de ações no mercado financeiro, saldo de gols em campeonatos, registro das temperaturas, gráficos estatísticos, etc RETA NUMERADA A reta numerada tem como ponto central o número zero, à sua direita os números positivos e à esquerda, os números negativos Baseados nesta informação, podemos definir que quanto mais à direita estiver o número, maior será o seu valor; quanto mais à esquerda estiver o número, menor o seu valor Observe: A distância entre os números deve ser sempre a mesma Módulo - quando dois números na reta estão situados à mesma distância do zero, dizemos que eles têm o mesmo valor absoluto ou módulo - 8 = 8 e + 8 = 8-15 = 15 + 20 = 20 Número simétrico números que têm o mesmo valor absoluto - 8 e +8 +10 e 10 1Escreva os números a seguir em ordem crescente 12-5 0-3 1 4-8 -2 6
2Em determinada cidade, o termômetro marcou, pela manhã, 2 graus negativos Até o meio dia, a temperatura aumentou 6 graus Qual foi a nova temperatura? 3Qual é o número menor: -7 ou -2? 4O termo saldo negativo é usado quando alguém gastou mais do que tinha na sua conta bancária Imagine que você esteja com um saldo negativo de R$250,00 e tenha feito um depósito de R$420,00 De quanto será o seu saldo? 5 Usando os símbolos > (maior) e < (menor), compare os números inteiros a seguir: a) 15 + 15 b) 100 99 c) + 58 +124 d) + 1000 + 999 6 Responda: a) O meu saldo na conta corrente era de R$100,00 Fiz uma retirada de R$150,00 Após essa retirada, como posso representar o meu saldo? b) Estava com o saldo negativo de R$300,00 na minha conta corrente Fiz um depósito de R$200,00 O meu novo saldo pode ser representado por 7 Usando os números inteiros, represente as informações numéricas: a) Andar que fica no terceiro nível abaio do térreo b) Profundidade de 15 metros c) Altitude de 1 500 metros d) Dívida de R$250,00 e) Saldo devedor de R$480,00 8 De acordo com o conjunto dos números inteiros, escreva: a) o simétrico de -21; d) o sucessor de 5; b) o oposto de + 7; e) o sucessor de 0; c) o antecessor de 10; f) o antecessor do maior número inteiro negativo
9 Observe os números destacados abaio e faça o que se pede: a) Represente na reta numérica; 4-1 5-2 1-3 2 b) Indique quais os números são maiores que 3 c) Escreva os números em ordem decrescente 10 O saldo bancário da Viviane estava negativo em R$450,00 Ela depositou R$300,00 e, depois, mais R$200,00 Qual o saldo depois desses dois depósitos? 11 Roberto estava devendo R$230,00 para seu irmão e pediu emprestado para ele R$400,00 Qual a dívida que Roberto tem com seu irmão? 12 A empresa de Mauro divulgou o seu faturamento em reais ao longo do ano de 2013 Observando as informações do gráfico, responda: a) Qual o mês que a empresa teve maior faturamento? b) Qual o mês que a empresa teve o menor faturamento? c) Em que mês a empresa de Mauro teve a maior queda?
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS Quando tivermos dois números de sinais iguais somamos e conservamos o sinal do número de maior valor absoluto Quando tivermos dois números de sinais diferentes diminuímos e conservamos o sinal de maior valor absoluto Observe: - 400 + 100 = - 300 200 + 300 = 500 400 500 = - 100-200 300 = - 500 Se tivermos parênteses: O sinal de + na frente dos parênteses só indica que os valores devem ser calculados Se na frente dos parênteses tiver um sinal de -, devemos trocar o sinal da operação que ali está sendo indicada Preste atenção: (+ 20) + (+ 15) = + 20 + 15 = +35 ou simplesmente 35 (+ 20) + (- 15) = + 20 15 = + 5 ou simplesmente 5 (+ 20) (+ 15) = + 20 15 = + 5 ou simplesmente 5 (+ 20) (- 15) = + 20 + 15 = + 35 ou simplesmente 35 Caso tenha mais de uma operação a ser resolvida: ( + 45) + ( - 30) + ( - 80) = ( - 65 ) ( - 80) + ( + 280) = + 34 ( + 12 33 14) = + 45 30-80 = - 65 + 80 + 280 = + 34-12 + 33 + 14 = + 45-110 = + 360 65 = + 81 12 =
- 65 + 295 + 69 1 Calcule a) +5 + 3 = (R:+8) b) +1 + 4 = (R: +5) c) -4-2 = (R: -6) d) -3-1 = (R: -4) e) +6 + 9 = (R: +15) f) +10 + 7 = (R: +17) g) -8-12 = (R: -20) h) -4-15 = (R: -19) i) -10-15 = (R: -25) j) +5 +18 = (R: +23) l) -31-18 = (R: -49) m) +20 +40 = (R: + 60) n) -60-30 = (R: -90) o) +75 +15 = (R: +90) p) -50-50 = (R: -100) 2) Calcule: a) ( -22) + ( -19) = (R: -41) b) (+32) + (+14) = (R: +46) c) (-25) + (-25) = (R: -50) d) (-94) + (-18) = (R: -112) e) (+105) + (+105) = (R: +210) f) (-280) + (-509) = (R: -789) g) (-321) + (-30) = (R: -350) h) (+200) + (+137) = (R: +337) 3) Calcule: a) +1-6 = -5 b) -9 + 4 = -5 c) -3 + 6 = +3 d) -8 + 3 = -5 e) -9 + 11 = +2 f) +15-6 = +9 g) -2 + 14 = +12 h) +13-1 = +12 i) +23-17 = +6 j) -14 + 21 = +7 l) +28-11 = +17 m) -31 + 30 = -1 4) Coloque em forma simplificada ( sem parênteses) a) (+1) + (+4) +(+2) = (R: 1 +4 + 2) b) (+1) + (+8) + (-2) = (R: 1 + 8-2) c) (+5) +(-8) + (-1) = (R: +5-8 - 1) d) (-6) + (-2) + (+1) = (R: -6-2 + 1)
5) Determine as seguintes somas a) (-8) + (+10) + (+7) + (-2) = (R: +7) b) (+20) + (-19) + (-13) + (-8) = (R: -20) c) (-5) + (+8) + (+2) + (+9) = (R: +14) d) (-1) + (+6) + (-3) + (-4) + (-5) = (R: -7) e) (+10) + (-20) + (-15) + (+12) + (+30) + (-40) = (R: -23) f) (+3) + (-6) + (+8) = (R: +5) g) (-5) + (-12) + (+3) = (R: -14) h) (-70) + (+20) + (+50) = (R: 0) i) (+12) + (-25) + (+15) = (R: +2) j) (-32) + (-13) + (+21) = (R: -24) l) (+7) + (-5) + (-3) + (+10) = (R: +9) m) (+12) + (-50) + (-8) + (+13) = (R: -33) n) (-8)+(+4)+ (+8) + (-5) + (+3) = (R: +2) o) (-36) + (-51) + (+100) + (-52) = (R: -39) p) (+17) + (+13) + (+20) + (-5) + (-45) = (R:0) 6) Dados os números = 6, y = 5 e z= -6, calcule a) + y = (R: +11) b) y + z = (R: -4) c) + z = (R: -3) 7) Elimine os parênteses a) -(+5) = -5 b) -(-2) = +2 c) - (+4) = -4 d) -(-7) = +7 e) -(+12) = -12 f) -(-15) = +15 g) -(-42) = +42 h) -(+56) = -56 8) Calcule: a) (+7) - (+3) = (R: +4) b) (+5) - (-2) = (R: +7) c) (-3) - ( +8) = (R: -11) d) (-1) -(-4) = (R: +3) e) (+3) - (+8) = (R: -5) f) (+9) - (+9) = (R: 0 ) g) (-8) - ( +5) = (R: -13) h) (+5) - (-6) = (R: +11) i) (-2) - (-4) = (R: +2) j) (-7) - (-8) = (R: +1) l) (+4) -(+4) = (R: 0) m) (-3) - ( +2) = (R: -5) n) -7 + 6 = (R: -1) o) -8-7 = (R: -15) p) 10-2 = (R: 8) q) 7-13 = (R: -6) r) -1-0 = (R: -1) s) 16-20 = (R: -4) t) -18-9 = (R: -27) u) 5-45 = (R:-40) v) -15-7 = (R: -22) ) -8 +12 = (R: 4) z) -32-18 = (R:-50)
9) Calcule: a) (-4) -(-2)+(-6) = (R: -8) b) (-7)-(-5)+(-8) = (R: -10) c) (+7)-(-6)-(-8) = (R: 21) d) (-8) + (-6) -(+3) = (R: -17) e) (-4) + (-3) - (+6) = (R: -13) f) 20 - (-6) - (-8) = (R: 34) g) 5-6 - (+7) + 1 = (R: -7) h) -10 - (-3) - (-4) = (R: -3) i) (+5) + (-8) = (R: -3) j) (-2) - (-3) = (R: +1) l) (-3) -(-9) = (R: +6) m) (-7) - (-8) =(R: +1) n) (-8) + (-6) - (-7) = (R: -7) o) (-4) + (-6) + (-3) = (R: -13) p) 15 -(-3) - (-1) = (R: +19) q) 32 - (+1) -(-5) = (R: +36) r) (+8) - (+2) = (R:+6) s) (+15) - (-3) = (R: +18) t) (-18) - (-10) = (R: -8) u) (-25) - (+22) = (R:-47) v) (-30) - 0 = (R: -30) ) (+180) - (+182) = (R: -2) z) (+42) - (-42) = (R: +84) 10) Calcule: a) (-5) + (+2) - (-1) + (-7) = (R: -9) b) (+2) - (-3) + (-5) -(-9) = (R: 9) c) (-2) + (-1) -(-7) + (-4) = (R: 0) d) (-5) + (-6) -(-2) + (-3) = (R: -12) e) (+9) -(-2) + (-1) - (-3) = (R: 13) f) 9 - (-7) -11 = (R: 5 ) g) -2 + (-1) -6 = (R: -9) h) -(+7) -4-12 = (R: -23) i) 15 -(+9) -(-2) = (R: 8 ) j) -25 - ( -5) -30 = (R: -50) l) -50 - (+7) -43 = (R: -100) m) 10-2 -5 -(+2) - (-3) = (R: 4) n) 18 - (-3) - 13-1 -(-4) = (R: 11) o) 5 -(-5) + 3 - (-3) + 0-6 = (R: 10) p) -28 + 7 + (-12) + (-1) -4-2 = (R: -40) q) -21-7 -6 -(-15) -2 -(-10) = (R: -11) r) 10 -(-8) + (-9) -(-12)-6 + 5 = (R: 20) s) (-75) - (-25) = (R: -50) t) (-75) - (+25) = (R: -100) u) (+18) - 0 = (R: +18) v) (-52) - (-52) = (R:0) ) (-16)-(-25) = (R:+9) z) (-100) - (-200) = (R:+100) 11) Elimine os parênteses: a) +(-3 +8) = (R: -3 + 8) b) -(-3 + 8) = (R: +3-8) c) +(5-6) = (R: 5-6 ) d) -(-3-1) = (R: +3 +1) e) -(-6 + 4-1) = (R: +6-4 + 1) f) +(-3-2 -1) = (R: -3-2 -1 ) g) -(4-6 +8) = (R: -4 +6 +8) h) + (2 + 5-1) = (R: +2 +5-1)
12) Elimine os parênteses e calcule: a) + 5 + ( 7-3) = (R: 9) b) 8 - (-2-1) = (R: 11) c) -6 - (-3 +2) = (R: -5) d) 18 - ( -5-2 -3 ) = (R: 28) e) 30 - (6-1 +7) = (R: 18) f) 4 + (-5 + 0 + 8-4) = (R: 3) g) 4 + (3-5) + ( -2-6) = (R: -6) h) 8 -(3 + 5-20) + ( 3-10) = (R: 13) i) 20 - (-6 +8) - (-1 + 3) = (R: 16) j) 35 -(4-1) - (-2 + 7) = (R: 27) 13) Calcule: a) 10 - ( 15 + 25) = (R: -30) b) 1 - (25-18) = (R: -6) c) 40-18 - ( 10 +12) = (R: 0) d) (2-7) - (8-13) = (R: 0 ) e) 7 - ( 3 + 2 + 1) - 6 = (R: -5) f) -15 - ( 3 + 25) + 4 = (R: -39) g) -32-1 - ( -12 + 14) = (R: -35) h) 7 + (-5-6) - (-9 + 3) = (R: 2) i) -(+4-6) + (2-3) = (R: 1) j) -6 - (2-7 + 1-5) + 1 = (R: 4) EXPRESSÕES COM NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS Lembre-se de que os sinais de associação são eliminados obedecendo à seguinte ordem: 1 ) PARÊNTESES ( ) ; 2 ) COLCHETES [ ] ; 3 ) CHAVES { } Eemplos: 1 ) eemplo 8 + ( +7-1 ) - ( -3 + 1-5 ) = 8 + 7-1 + 3-1 + 5 = 23-2 = 21 2 ) eemplo 10 + [ -3 + 1 - ( -2 + 6 ) ] = 10 + [ -3 + 1 + 2-6 ] = 10-3 + 1 + 2-6 = 13-9 = = 4 3 ) eemplo -17 + { +5 - [ +2 - ( -6 +9 ) ]} = -17 + { +5 - [ +2 + 6-9]} = -17 + { +5-2 - 6 + 9 } = -17 +5-2 - 6 + 9 = -25 + 14 = = - 11 EXERCICIOS
a) Calcule o valor das seguintes epressões : 1) 15 -(3-2) + ( 7-4) = (R: 17) 2) 25 - ( 8-5 + 3) - ( 12-5 - 8) = (R: 20 ) 3) ( 10-2 ) - 3 + ( 8 + 7-5) = (R: 15) 4) ( 9-4 + 2 ) - 1 + ( 9 + 5-3) = (R: 17) 5) 18 - [ 2 + ( 7-3 - 8 ) - 10 ] = (R: 30 ) 6) -4 + [ -3 + ( -5 + 9-2 )] = (R: -5) 7) -6 - [10 + (-8-3 ) -1] = (R: -4) 8) -8 - [ -2 - (-12) + 3 ] = (R: -21) 9) 25 - { -2 + [ 6 + ( -4-1 )]} = (R: 26) 10) 17 - { 5-3 + [ 8 - ( -1-3 ) + 5 ] } = (R: -2) 11) 3 - { -5 -[8-2 + ( -5 + 9 ) ] } = (R: 18) 12) -10 - { -2 + [ + 1 - ( - 3-5 ) + 3 ] } = (R: -20) 13) { 2 + [ 1 + ( -15-15 ) - 2] } = (R: -29) 14) { 30 + [ 10-5 + ( -2-3)] -18-12} = (R: 0 ) 15) 20 + { [ 7 + 5 + ( -9 + 7 ) + 3 ] } = (R: 33) 16) -4 - { 2 + [ - 3 - ( -1 + 7) ] + 2} = (R: 1) 17) 10 - { -2 + [ +1 + ( +7-3) - 2] + 6 } = (R: 3 ) 18) -{ -2 - [ -3 - (-5) + 1 ]} - 18 = (R: -13) 19) -20 - { -4 -[-8 + ( +12-6 - 2 ) + 2 +3 ]} = (R: -15) MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS Na multiplicação e divisão de números inteiros devemos operacionalizar os números e o sinal final segue a seguinte regra: sinais iguais fica positivo ( + ), sinais diferentes fica negativo ( - ) Se na operação tiver vários fatores com sinais diversos, basta contar o número de fatores que são negativos; se for um total par de fatores a resposta será positiva, se for um total ímpar de fatores a resposta será negativa Observe: (+ 2) (+ 35) = + 70 ( - 3) (- 12) = + 36 ( + 4) (- 13) = - 52 (+ 2) (+ 9) (- 6) = - 108 ( - 2) (- 3) (+ 4) (+ 5) (- 1) (- 5) = + 600 1) Efetue as multiplicações a) (+8) (+5) = (R: 40) b) (-8) ( -5) = (R: 40) c) (+8) (-5) = (R: -40) d) (-8) (+5) = (R: -40) e) (-3) (+9) = (R: -27) f) (+3) (-9) = (R: -27) g) (-3) (-9) = (R: 27) h) (+3) (+9) = (R: 27) i) (+7) (-10) = (R: -70) j) (+7) (+10) = (R: 70) l) (-7) (+10) = (R: -70) m) (-7) (-10) = (R: 70) n) (+4) (+3) = (R: 12) o) (-5) (+7) = (R: -35) p) (+9) (-2) = (R: -18) q) (-8) (-7) = (R: 56) r) (-4) (+6) = (R: -24) s) (-2) (-4) = (R: 8 ) t) (+9) (+5) = (R: 45) u) (+4) (-2) = (R: -8) v) (+8) (+8) = (R: 64) ) (-4) (+7) = (R: -28)
2) Calcule o produto a) (+2) (-7) = (R: -14) b) 13 20 = (R: 260) c) 13 (-2) = (R: -26) d) 6 (-1) = (R: -6) e) 8 (+1) = (R: 8) f) 7 (-6) = (R: -42) g) 5 (-10) = (R: -50) h) (-8) 2 = (R: -16) i) (-1) 4 = (R: -4) j) (-16) 0 = (R: 0) 3) Determine o produto: a) (-2) (+3) ( +4) = (R: -24) b) (+5) (-1) (+2) = (R: -10) c) (-6) (+5) (-2) = (R: +60) d) (+8) (-2) (-3) = (R: +48) e) (+1) (+1) (+1) (-1)= (R: -1) f) (+3) (-2) (-1) (-5) = (R: -30) g) (-2) (-4) (+6) (+5) = (R: 240) h) (+25) (-20) = (R: -500) i) -36) (-36 = (R: 1296) j) (-12) (+18) = (R: -216) l) (+24) (-11) = (R: -264) m) (+12) (-30) (-1) = (R: 360) 4) Calcule os produtos a) (-3) (+2) (-4) (+1) (-5) = (R: -120) b) (-1) (-2) (-3) (-4) (-5) = (R: -120) c) (-2) (-2) (-2) (-2) (-2) (-2) = (R: 64) d) (+1) (+3) (-6) (-2) (-1) (+2)= (R: -72) e) (+3) (-2) (+4) (-1) (-5) (-6) = (R: 720) f) 5 (-3) (-4) = (R: +60) g) 1 (-7) 2 = (R: -14) h) 8 ( -2) 2 = (R: -32) i) (-2) (-4) 5 = (R: 40) j) 3 4 (-7) = (R: -84) l) 6 (-2) (-4) = (R: +48) m) 8 (-6) (-2) = (R: 96) n) 3 (+2) (-1) = (R: -6) o) 5 (-4) (-4) = (R: 80) p) (-2) 5 (-3) = (R: 30) q) (-2) (-3) (-1) = (R:-6) r) (-4) (-1) (-1) = (R: -4) 5) Calcule o valor das epressões: a) 2 3-10 = (R: -4) b) 18-7 9 = (R: -45) c) 3 4-20 = (R: -8) d) -15 + 2 3 = (R: -9) e) 15 + (-8) (+4) = (R: -17) f) 10 + (+2) (-5) = (R: 0 ) g) 31 - (-9) (-2) = (R: 13) h) (-4) (-7) -12 = (R: 16) i) (-7) (+5) + 50 = (R: 15)
j) -18 + (-6) (+7) = (R:-60) l) 15 + (-7) (-4) = (R: 43) m) (+3) (-5) + 35 = (R: 20) 6) Calcule o valor das epressões a) 2 (+5) + 13 = (R: 23) b) 3 (-3) + 8 = (R: -1) c) -17 + 5 (-2) = (R: -27) d) (-9) 4 + 14 = (R: -22) e) (-7) (-5) - (-2) = (R: 37) f) (+4) (-7) + (-5) (-3) = (R: -13) g) (-3) (-6) + (-2) (-8) = (R: 34) h) (+3) (-5) - (+4) (-6) = (R: 9) 7) Calcule o quocientes: a) (+15) : (+3) = (R: 5 ) b) (+15) : (-3) = (R: -5) c) (-15) : (-3) = (R: 5) d) (-5) : (+1) = (R: -5) e) (-8) : (-2) = (R: 4) f) (-6) : (+2) = (R: -3) g) (+7) : (-1) = (R: -7) h) (-8) : (-8) = (R: 1) f) (+7) : (-7) = (R: -1) 8) Calcule os quocientes a) (+40) : (-5) = (R: -8) b) (+40) : (+2) = (R: 20) c) (-42) : (+7) = (R: -6) d) (-32) : (-8)= (R: 4) e) (-75) : (-15) = (R: 5) f) (-15) : (-15) = (R: 1) g) (-80) : (-10) = (R: 8) h) (-48 ) : (+12) = (R: -4) l) (-32) : (-16) = (R: 2) j) (+60) : (-12) = (R: -5) l) (-64) : (+16) = (R: -4) m) (-28) : (-14) = (R: 2) n) (0) : (+5) = (R: 0) o) 49 : (-7) = (R: -7) p) 48 : (-6) = (R: -8) q) (+265) : (-5) = (R: -53) r) (+824) : (+4) = (R: 206) s) (-180) : (-12) = (R: 15) t) (-480) : (-10) = (R: 48) u) 720 : (-8) = (R: -90) v) (-330) : 15 = (R: -22) 9) Calcule o valor das epressões a) 20 : 2-7 = (R: 3 ) b) -8 + 12 : 3 = (R: -4) c) 6 : (-2) +1 = (R: -2) d) 8 : (-4) - (-7) = (R: 5) e) (-15) : (-3) + 7 = (R: 12) f) 40 - (-25) : (-5) = (R: 35) g) (-16) : (+4) + 12 = (R: 8) h) 18 : 6 + (-28) : (-4) = ( R: 10)
i) -14 + 42 : 3 = (R: 0) j) 40 : (-2) + 9 = (R: -11) l) (-12) 3 + 6 = (R: 2) m) (-54) : (-9) + 2 = (R: 8) n) 20 + (-10) (-5) = (R: 70) o) (-1) (-8) + 20 = (R: 28 ) p) 4 + 6 (-2) = (R: -8) q) 3 (-7) + 40 = (R: 19) r) (+3) (-2) -25 = (R: -31) s) (-4) (-5) + 8 (+2) = (R: 36) t) 5: (-5) + 9 2 = (R: 17) u) 36 : (-6) + 5 4 = (R: 14) POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS A potenciação é uma multiplicação de fatores iguais Eemplos 2³ = 2 2 2 = 8 Você sabe também que: 2 é a base 3 é o epoente 8 é a potência ou resultado 1) O epoente é par a) (+7)² = (+7) (+7) = +49 b) (-7)² = (-7) (-7) = +49 c) (+2)⁴ = (+2) (+2) (+2) (+2) = + 16 d) (-2)⁴ = (-2) (-2) (-2) (-2) = + 16 Conclusão: Quando o epoente for par, a potência é um número positivo 2) Quando o epoente for ímpar a) (+4)³ = (+4) (+4) (+4) = + 64 b) (-4)³ = (-4) (-4) (-4) = - 64 c) (+2)⁵ = (+2) (+2) (+2) (+2) (+2) = +32 d) (-2)⁵ = (-2) (-2) (-2) (-2) (-2) = -32 Conclusão : Quando o epoente é ímpar, a potência tem o mesmo sinal da base EXERCÍCIOS 1) Calcule as potências ; a) (+7)²= (R: +49) b) (+4)² = (R: +16) c) (+3)² = (R: +9) d) (+5)³ = (R: +125) e) (+2)³ = (R: +8) f) (+3)³ = (R: +27) g) (+2)⁴ = (R: +16) h) (+2)⁵ = (R: +32) i) (-5)² = (R: +25) j) (-3)² = (R: +9) k) (-2)³ = (R: -8)
2) Calcule as potencias: a) (-6)² = (R: +36) b) (+3)⁴ = (R: +81) c) (-6)³ = (R: -216) d) (-10)² = (R: +100) e) (+10)² = (R: +100) f) (-3)⁵ = (R: -243) g) (-1)⁶ = (R: +1) h) (-1)³ = (R: -1) i) (+2)⁶ = (R: +64) j) (-4)² = (R: +16) k) (-9)² = (R: +81) l) (-1)⁵⁴ = (R: +1) m) (-1)¹³ = (R: -1) n) (-4)³ = (R: -64) o) (-8)² = (R: +64) p) (-7)² = (R: +49) 3) Calcule as potencias a) 0⁷ = (R: 0) b) (-2)⁸ = (R: 256) c) (-3)⁵ = (R: -243) d) (-11)³ = (R: -1331) e) (-21)² = (R: 441) f) (+11)³ = (R: +1331) g) (-20)³ = (R: -8000) h) (+50)² = (R: 2500) 4) Calcule o valor das epressões (primeiro as potências) a) 15 + (+5)² = (R: 40) b) 32 (+7)² = (R: -17) c) 18 + (-5)² = (R: 43) d) (-8)² + 14 = (R: 78) e) (-7)² - 60 = (R: -11) f) 40 (-2)³ = (R: 48) g) (-2)⁵ + 21 = (R: -11) h) (-3)³ - 13 = (R: -40) i) (-4)² + (-2)⁴ = (R: 32) j) (-3)² + (-2)³ = (R: 1) k) (-1)⁶ + (-3)³ = (R: -26) l) (-2)³ + (-1)⁵ = (R: -9) CONVEÇÕES: Todo o número inteiro elevado a 1 é igual a ele mesmo Eemplos: a) (+7)¹ = +7 b) (-3)¹ = -3 Todo o número inteiro elevado a zero é igual a 1 Eemplos: a) (+5)⁰ = 1 b) (-8)⁰= 1 IMPORTANTE! Observe como a colocação dos parênteses é importante: a) (-3)² = (-3) (-3) = +9
b) -3² = -(3 3) = -9 Para que a base seja negativa, ela deve estar entre parênteses EXERCÍCIOS 1) Calcule as potências: a) (+6)¹ = (R: +6) b) (-2)¹ = (R: -2) c) (+10)¹ = (R: +10) d) (-4)⁰ = (R: +1) e) (+7)⁰ = (R: +1) f) (-10)⁰ = (R: +1) g) (-1)⁰ = (R: +1) h) (+1)⁰ = (R: +1) i) (-1)⁴²³ = (R: -1) j) (-50)¹ = (R: -50) k) (-100)⁰ = (R: +1) l) 20000⁰ = (R: +1) 2) Calcule: a) (-2)⁶ = (R: 64) b) -2⁶ = (R: -64) Os resultados são iguais ou diferentes? R: Diferentes 3) Calcule as potências: a) (-5)² = (R: 25) b) -5² = (R: -25) c) (-7)² = (R: +49) d) -7² = (R: -49) e) (-1)⁴ = (R: +1) f) -1⁴ = (R: -1) 4) Calcule o valor das epressões (primeiro as potências): a) 35 + 5²= (R: 60) b) 50-4² = (R: -14) c) -18 + 10² = (R: 82) d) -6² + 20 = (R: -16) e) -12-1⁷ = (R: -13) f) -2⁵ - 40 = (R: -72) g) 2⁵ + 0-2⁴ = (R: 16) h) 2⁴ - 2² - 2⁰ = (R: 11) i) -3² + 1-65⁰ = (R: -9) j) 4² - 5 + 0 + 7² = (R: 60) k) 10-7² - 1 + 2³ = (R: -32) l) 3⁴ - 3³ + 3² - 3¹ + 3⁰ = (R: 61) RADICIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS Vamos recordar: 49 = 7, porque 7² = 49 No conjunto dos números inteiros, a raiz quadrada de 49 pode ser: +7, porque (+7)² = 49
-7, porque (-7)² = 49 Como o resultado de uma operação, deve ser único, vamos adotar o seguinte critério: Eemplos: a) + 16 = +4 b) - 16 = -4 c) 9 = 3 d) - 9 = -3 Os números negativos não têm raiz quadrada no conjunto Z Veja: a) -9 = nenhum inteiro, pois (nenhum inteiro)² = -9 b) -16 = nenhum inteiro, pois (nenhum inteiro)² = -16 EXERCÍCIOS 1) Determine as raízes: a) 4 = (R: 2) b) 25 = (R: 5) c) 0 = (R: 0) d) - 25 = (R: -5) e) 81 = (R: 9) f) - 81 = (R: -9) g) 36 = (R: 6) h) - 1 = (R: -1) i) 400 = (R: 20) j) - 121 = (R: -11) k) 169 = (R: 13) l) - 900 = (R: -30) 2) Calcule caso eista em Z: a) 4 = (R: 2) b) -4 = (R: não eiste) c) - 4 = (R: -2) d) 64 = (R: 8) e) -64 = (R: não eiste) f) - 64 = (R: - 8) g) - 100 = (R:-10) h) -100 = (R: não eiste) 3) Calcule: a) 25 + 16 = 9 b) 9-49 = -4 c) 1 + 0 = 1 d) 100-81 + 4 = 3 e) - 36 + 121 + 9 = 8 f) 144 + 169-81 = 16 EXEPRESSÕES NÚMERICAS As epressões devem ser resolvidas obedecendo à seguinte ordem de operações: 1) Potenciação e radiciação; 2) Multiplicação e divisão 3) Adição e subtração
Nessas operações são realizados : 1) parênteses ( ) 2) colchetes [ ] 3) chaves { } eemplos: calcular o valor das epressões : 1 ) eemplo (-3)² - 4 - (-1) + 5² 9 4 + 1 + 25 5 + 1 + 25 6 + 25 31 2 ) eemplo 15 + (-4) (+3) -10 15 12 10 3 10-7 3 ) eemplo 5² + 9 [(+20) : (-4) + 3] 25 + 3 [ (-5) +3 ] 25 + 3 - [ -2] 25 +3 +2 28 + 2 30 EXERCÍCIOS 1) Calcule o valor das epressões: a) 5 + ( -3)² + 1 = 15 b) 10 + (-2)³ -4 = -2 c) 12 1 + (-4)² = 27 d) (-1)⁵ + 3 9 = -7 e) 18 (+7) + 3² = 20 f) 6 + (-1)⁵ - 2 = 3 g) (-2)³ - 7 (-1) = -14 h) (-5)³ - 1 + (-1)⁹ = -127 i) 5⁰ - ( -10) + 2³ = 19 j) (-2)³ + (-3)² - 25 = -24 2) Calcule o valor das epressões: a) 3-4² + 1 = -12 b) 2³ - 2² - 2 = 2 c) (-1)⁴ + 5-3² = -3 d) 5⁰ - 5¹ - 5⁰ = -5 e) (-3)² (+5) + 2 = 47 f) (-1)⁷ - (-1)⁸ = -2 g) 5 + (-3)² + 7⁰ = 15 h) 49 + 2³ - 1 = 14 3) Calcule o valor das epressões: a) (-3)² + 5 = 14 b) (-8)² - (-9)² = -17
c) -72⁰ + (-1)⁸ = 0 d) (-12)⁰ + (+12)⁰ = 2 e) 10³ - (-10)² - 10⁰ = 899 f) (-7)² + (-6)² - (-1)² = 84 g) (-1)⁶ + (+1)⁵ + (-1)⁴ + (+1)³ = 4 h) 2⁶ - 2⁵ - 2⁴ - 2³ - 2² - 2 = 2 4) Calcule o valor das epressões: a) (-3) (+7) + (-8) (-3) = 3 b) (-3)³ + (+2)² - 7 = -30 c) 8 + (-3-1)² = 24 d) (-2 + 6)³ : (+3 5)² = 16 e) (-5)² + (-7 + 4) = -28 f) (-2)⁶ + (+5) (-2) = 54 5) Calcule o valor das epressões: a) (-3)³ (-2)² + (3) + 5⁰ = -110 b) (-1)³ + 3 + (+2) (+5) = 12 c) (-2) (-7) + (-3)² = 23 d) 2 (-5)² - 3 (-1)³ + 4 = 57 e) [ -1 + (-3) (-2)]² f) (5 7)³ - [ 5-2² - (4 6)] = 5 g) (-3 + 2 1)³ - ( -3 + 5 1)⁸ + 3 = -6 h) 8 [ -7 + )-1) (-6) + 4]² i) 14 [(-1)³ (-2)² + (-35) : (+5)] = 25 j) 5³ - [ 10 + (7-8)² ]² - 4 + 2³ = 8 k) (-1)⁸ + 6⁰ - [15 + (-40) : (-2)³ ] = -18 l) -3 { -2 [(-35) : (+5) + 2² ]} = -4 6) Calcule o valor das epressões: a) (- 3 + 5 + 2) : (-2) = -2 b) (+3 1)² - 15 = -11 c) (-2)³ - (-1 + 2)⁵ = -9 d) 40 : (-1)⁹ + (-2)³ - 12 = -60 e) 10 [5 (-2) + (-1)] = 4 f) 2 { 3 + [ 4 (1 2) + 3 ] 4} = -5 g) 15 [ (-5)² - (10-2³ ) ] = -8 h) 13 [(-2) (-7) + (+3)² ] = -1 i) 7² - [ 6 (-1)⁵ - 2²] = 46 j) 2³ - [(-16) : (+2) (-1)⁵] = 15 k) 50 : { -5 + [ -1 (-2)⁵ : (-2)³ ]} = -5 7) Calcule o valor das epressões: a) 10 + (-3)² = 19 b) (-4)² - 3 = 13 c) 1 + (-2)³ = -7 d) -2 + (-5)² = 23 e) (-2)² + (-3)³ = -23 f) 15 + (-1)⁵ - 2 = 12 g) (-9)² -2 (-3) = 82 h) 5 + (-2)³ + 6 = 3 8) Calcule o valor das epressões: a) 5 { +3 [(+2)² -(-5)² + 6 4 ]} = -17 b) 15 { -3 + [(5 6)² (9-8 ) ² + 1]} = 16 c) 18 { 6 [ -3 (5 4) (7-9)³ ] 1 } = 17 d) -2 + { -5 [ -2 (-2)³ - 3- (3-2 )⁹ ] + 5 } = -4 e) 4 {(-2)² (-3) [ -11 + (-3) (-4)] (-1)} = 16
OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS Números Decimais: Notação Decimal Basicamente o que diferencia um número decimal de um número natural é a eistência da virgula Por eemplo: Entre os números 9 e 10 não eiste nenhum número natural, para resolver este problema foram criados os números decimais, que neste caso poderia ser 9,5 ou outro número qualquer com virgula entre 9 e 10 Eemplos de ordens do sistema de numeração decimal maiores que a unidade: dezena, centena, milhar e assim por diante Eemplos de ordens decimais menores que a unidade: décimos, centésimos, milésimos, décimos de milésimos e assim por diante Operações Matemáticas Com Números Decimais: Adição: Nas operações de adição com números decimais é necessário organizar os números de modo que as unidades de mesma ordem se correspondam, colocando a virgula no lugar correto Resumindo: As vírgulas devem ficar uma eatamente em baio da outra Eemplo Prático: 12,50 + 2525,36 + 1,30 = 1 2, 5 0 2 5 2 5, 3 6 + 1, 3 0 2 5 3 9, 1 6 Subtração: O procedimento é semelhante ao da adição, onde o minuendo deverá ser colocado embaio do subtraendo, de modo que as unidades de mesma ordem se correspondam Resumindo: As vírgulas devem ficar uma eatamente em baio da outra Eemplo Prático: 1234,45-925,30 = _ 1 2 3 4, 4 5 9 2 5, 3 0 3 0 9, 1 5
Multiplicação: Para multiplicar números decimais devemos agir como se fossem números inteiros, desconsiderando a virgula em um primeiro momento Depois de concluída a operação, separamos com vírgula, a partir da direita do resultado final, tantas casas decimais quantas tenham o multiplicando e o multiplicador juntos Eemplo Prático: 253,66 2,34 = 2 5 3, 6 6 2, 3 4 1 0 1 4 6 4 + 7 6 0 9 8 5 0 7 3 2 5 9 3 5 6 4 4 Colocando a virgula no local correto temos o número: 593,5644 Divisão: Ao dividirmos dois números decimais devemos igualar o número de casas decimais do dividendo e do divisor, acrescentando zeros à direita do que tiver menor número de casas decimais Depois as virgulas devem ser eliminadas e efetuamos a divisão como se fossem números inteiros Eemplo Prático: 1,24 : 0,2 = 1 2 4 20-1 2 0 6, 2 0 0 4 0-4 0 0
TRANSFORMAÇÃO DE FRAÇÃO DECIMAL EM NÚMERO DECIMAL 5 Para transformar uma fração decimal em número decimal, escrevemos o numerador e separamos, à direita da vírgula, tantas casas quanto são os zeros do denominador Eemplos: a) 42/10 = 4,2 b) 135/100 = 1,35 c) 135/1000 = 0,135 Quando a quantidade de algarismos do numerador não for suficiente para colocar a vírgula, acrescentamos zeros à esquerda do número eemplo: a) 29/1000 = 0,029 b) 7/1000 = 0,007 EXERCÍCIOS, 1) Transforme as frações em números decimais a) 3/10 = (R: 0,3) b) 45/10 = (R: 4,5) c) 517/10 = (R:51,7)
d) 2138/10 = (R: 213,8) e) 57/100 = (R: 0,57) f) 348/100 = (R: 0,348) g) 1634/100 = (R: 1,634) h) 328/ 1000 = (R: 0,328) i) 5114 / 1000 = (R: 5,114) j) 2856/1000 = (R: 2,856) k) 4761 / 10000 = (R: 0,4761) l) 15238 /10000 = (R: 1,5238) 2) Transforme as frações em números decimais a) 9 / 100 = (R: 0,09) b) 3 / 1000 = (R: 0,003) c) 65 /1000 = (R: 0,065) d) 47 /1000 = (R: 0,047) e) 9 / 10000 = (R: 0,0009) f) 14 / 10000 = (R: 0,0014) TRANSFORMAÇÃO DE NÚMERO DECIMAL EM FRAÇÃO Procedimentos: 1) O numerador é um número decimal sem a vírgula 2) O denominador é o número 1 acompanhado de tantos zeros quantos forem os algarismos do número decimal depois da vírgula Eemplos: a) 0,7 = 7/10 b) 8,34 / 834 /100 0,005 = 5/ 1000 EXERCÍCIOS 1) Transforme os números decimais em frações decimais: a) 0,4 = (R: 4/10) b) 7,3 = (R: 73/10) c) 4,29 = (R: 429/100) d) 0,674 = (R: 674/1000) e) 8,436 = (R: 8436/100 f) 69,37 = (R: 6937/100) g) 15,3 = (R: 153/10) h) 0,08 = (R: 8/100) i) 0,013 = (R: 13/1000) j) 34,09 = (R: 3409/100) k) 7,016 = (R: 7016/1000)
PORCENTAGEM A epressão por cento se origine do latim e significa por um cento Dessa forma, quando escrevemos 5%, isso significa que 5 em cada 100 ou, ainda, 5 centésimos 5 % = 5 100 = 0,05 Eemplo 1 Representar o número racional 3 5 utilizando porcentagem 3 5 = 60 100 numerador e o denominador da fração por 20 = 60 % Para conseguir o denominador 100, tivemos que multiplicar o Eemplo 2 Calcular 32% da quantia de R$ 2500,00 32% de 2 500 = 0,32 2 500 = 800 Ou 32% de 2 500 = 32 2 500 = 32 25 = 800 100 Eemplo 3 Numa prova, determinado aluno acertou 39 das 50 questões propostas Qual foi o percentual de acertos desse aluno na prova? 50 = 39 100 X = 3 900 : 50 X = 78% % número de questões 100 50 X 39 Eemplo 4 Um computador, no valor de R$ 1 350, 00, será vendido com um desconto de 12% Qual será o preço desse computador? 12% de 1 350 = 162 R$ 1 350,00 - R$ 162,00 = R$ 1 188,00 Eemplo 5 Determinar o valor de 6% de 20% Primeiro passamos as porcentagens para números decimais e depois calculamos 0,06 0,20 = 0,012 = 12 1000 = 1,2%
Eercícios 01) Determine 25% de 360 02) Determine 8% de 5 03) Determine 15% de 150 04) O número 8 representa qual porcentagem de 20? 05) O número 12 representa qual porcentagem de 80? 06) Se 35% dos 40 alunos do 8 ano de um colégio são homens, quantas são as mulheres? 07) Uma bicicleta, cujo preço é R$ 1200,00, pode ser comprada da seguinte maneira: a) a vista, com 15% de desconto b) pagamento para 90 dias, com acréscimo de 25% sobre o preço inicial Responda: Qual é a diferença, em reais, entre as duas opções de compra? 08) Na compra de um aparelho obtive desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista Se paguei R$ 102,00 reais pelo aparelho, qual era o seu preço original? 09) (CASA0902/10-AgApoioOper(Motorista) 2012) Uma fundação que cuida de crianças abandonadas conseguiu, em janeiro, encaminhar 72 crianças para adoção, o que representa 60% das crianças da fundação Pode-se concluir que o número de crianças dessa fundação que não foram encaminhadas é (A)44 (B)46 (C)47 (D)48 (E) 52 10) (VNSP1201/003-AssistAdmin-I 2012) Um arquiteto projetou uma Escola Infantil, utilizando 45% da área total do terreno para o prédio que continha as salas de aula e 15% para as salas de projeção, biblioteca e laboratórios Mesmo assim, sobrou uma área de 900 m² para ambientes de lazer Podemos concluir que o terreno tinha um total, em m², de (A)3250 (B)3000 (C)2750 (D)2450 (E) 2 250 11) (PCSP1205/001-AgentePolicia 2013) Um produto foi vendido com desconto de 10% sobre o preço normal de venda Se ele foi vendido por R$ 54,00, o preço normal de venda desse produto é (A)R$59,40 (B)R$58,00 (C)R$60,00 (D)R$59,00 (E) R$ 58,40 12) (SOLDADO 2009 PM/PI-NUCEPE) Sobre o preço de uma moto importada incide um imposto de importação de 30% Em função disso, o seu preço para o importador é de R$ 15600,00 Supondo que
tal imposto passe de 30% para 60%, qual será, em reais, o novo preço da moto, para o importador? (A)19200,00 (B)22500,00 (C)31200,00 (D)39000,00 (E) 21000,00 13) Quanto é 60% de 200% de 80%? 14) Quanto é 45% de 90% de 180? JUROS SIMPLES Juro representa uma numeração que é paga por quem empresta certa quantia durante algum tempo Podemos definir juros como o rendimento de uma aplicação financeira, valor referente ao atraso no pagamento de uma prestação ou a quantia paga pelo empréstimo de um capital Atualmente, o sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, por ser mais lucrativo Os juros simples eram utilizados nas situações de curto prazo Hoje não utilizamos a capitalização baseada no regime simples, mas, de qualquer forma, vamos entender como ele funciona Juros simples: como calcular No sistema de capitalização simples, os juros são calculados com base no valor da dívida ou da aplicação Dessa forma, o valor dos juros é igual no período de aplicação ou composição da dívida A epressão matemática utilizada para o cálculo das situações envolvendo juros simples é a seguinte: J = C i t J=juros C=capital i=taadejuros t = tempo de aplicação (mês, bimestre, trimestre, semestre, ano) M = C + J M=montantefinal C=capital J = juros Eemplo 1 Qual o valor do montante produzido por um capital de R$ 1200,00, aplicado no regime de juros simples a uma taa mensal de 2% durante 10 meses? Capital: 1200 i = 2% = 2/100 = 0,02 ao mês (am) t = 10 meses J = C i t J = 1200 0,02 10 J = 240 M = C + j M = 1200 + 240 M = 1440 O montante produzido é de R$ 1440,00
Eemplo 2 Determine o valor do capital que, aplicado durante 14 meses a uma taa de 6%, rendeu juros de R$ 2688,00 J = C i t 2688 = C 0,06 14 2688 = C 0,84 C = 2688 / 0,84 C = 3200 O valor do capital é de R$ 3200,00 Eemplo 3 Qual o capital que, aplicado a juros simples de 1,5% ao mês, rende R$ 3000,00 de juros em 45 dias? J = 3000 i = 1,5% = 1,5/100 = 0,015 t = 45 dias = 45/30 = 1,5 J = C i t 3000 = C 0,015 1,5 3000 = C 0,0225 C = 3000 / 0,0225 C = 133333,33 O capital é de R$ 133333,33 Eemplo 4 Qual foi o capital que, aplicado à taa de juros simples de 2% ao mês, rendeu R$ 90,00 em um trimestre? J = C i t 90 = C 0,02 3 90 = C 0,06 C = 90 / 0,06 C = 1500 O capital corresponde a R$ 1500,00 EXERCÍCIOS 01) Roque aplicou R$ 3000,00, durante 2 anos, a uma taa de juros simples de 32% ao ano A) Qual foi a quantia de juro simples que ele recebeu, referente ao período de 1 ano? 960 B) Qual foi a quantia de juro simples que ele recebeu, referente ao período de 2 ano? 1920 02) Aline recebeu R$ 1600,00 de juro simples, de uma aplicação que fez durante 4 anos, a uma taa de juro de 30% ao ano A) Qual foi a quantia de juro simples que Aline recebeu, referente ao período de 1 ano? R$400,00 B) Qual foi o capital aplicado por Aline? R$ 133,00
03) Joaquim emprestou R$ 12000,00, durante 2 anos, a um amigo e quer receber R$ 5300,00 de juro simples Responda: A) Qual é a quantia de juro simples, referente ao período de 1 ano, que Joaquim quer receber? R$ 2650,00 B) Qual é a taa de juro simples anual que ele deve estabelecer? 22% 04) João financiou um televisor em 6 meses e pagou juro simples de R$ 216,00, a uma taa de 36% ao ano Responda: A) Qual foi a taa de juro referente a 1 mês? 3% B) Qual foi a taa de juro referente ao financiamento em 6 meses? 18% C) Qual era o preço à vista do televisor? R$ 1200,00 05) Quanto renderá de juro simples a quantia de R$ 6680,00 aplicada durante 3 anos a uma taa de juro simples de 60% ao ano? (A) R$ 12024,00 (B) R$ 13204,00 (C) R$ 14302,00 (D) R$ 15304,00 Resposta: A 06) Qual foi o capital aplicado durante 4 anos, que rendeu R$ 900,00 de juros simples, a uma taa de juro 25% ao ano? (A) R$ 800,00 (B) R$ 900,00 (C) R$ 950,00 (D) R$ 980,00 Resposta: B
07) A que taa de juro simples anual foi aplicado um capital de R$ 4560,00, que em 4 anos rendeu R$ 2450,00 de juros simples? (A) 11,6% (B) 12,5% (C) 13,4% (D) 14,4% Resposta: C 08) Raquel comprou um apartamento financiado a uma taa de juro simples de 36% ao ano Ela pagou R$ 150300,00, quando o preço à vista era de R$ 120000,00 Por quanto tempo ela financiou esse apartamento? (A) 8,1 meses (B) 8,2 meses (C) 8,3 meses (D) 8,4 meses Resposta: D 9) José comprou uma bicicleta de 18 marchas que acabou comprando-a financiada pagando R$ 1400,00, a uma taa de juro simples de 36% ao ano Se o preço à vista era R$1100,00, de quanto foi o financiamento? (A) R$ 300,00 (B) R$ 400,00 (C) R$ 500,00 (D) R$ 600,00 Resposta: A EQUAÇÃO DO 1º GRAU Definições básicas das equações Toda equação possui igualdade e incógnita A incógnita é um número desconhecido representado por uma letra (geralmente ) Resolver uma equação é encontrar o valor de que torna essa igualdade verdadeira Dada uma equação do primeiro grau qualquer, o conjunto de números, incógnitas e operações disposto à esquerda da igualdade é conhecido como primeiro membro da equação; e o que está à direita da igualdade é chamado de segundo membro da equação Por eemplo, dada a equação:
7 + 80 = 4 7 O primeiro membro é composto por 7 + 80, e o segundo membro, por 4 7 Além disso, cada parcela que é somada ou subtraída em uma equação é chamada de termo Logo, tomando o mesmo eemplo acima, os termos dessa equação são: 7, 80, 4 e 7 De posse dessas definições, seguem os quatro passos para resolver uma equação do primeiro grau Os quatro passos da resolução de equações do primeiro grau Passo 1 Colocar no primeiro membro todos os termos que possuem incógnita Reescreva a equação colocando todos os termos que possuem incógnita no primeiro membro Para tanto, utilize a seguinte regra: Trocou de membro, trocou de operação Observe o eemplo: 7 + 80 = 4 7 O termo 4 está no segundo membro e deve ser colocado no primeiro Assim, troque 4 de membro trocando também a sua operação: 7 + 80 = 4 7 7 4 + 80 = 7 Passo 2 Colocar no segundo membro todos os termos que não possuem incógnita Repita o procedimento do passo anterior para transferir termos que não possuem incógnita do primeiro para o segundo membro No eemplo abaio (continuação do eemplo anterior), observe que + 80 é um termo que não possui incógnita Portanto, deve ser colocado no segundo membro Ao fazer isso, lembre-se da regra: Trocou de membro, trocou de operação 7 4 + 80 = 7 7 4 = 7 80 Passo 3 Simplificar as epressões em cada membro Para esse passo, basta realizar as operações indicadas na equação Para tanto, lembre-se de como devem ser realizadas as somas de números inteiros 7 4 = 7 80 3 = 87 Passo 4 Isolar a incógnita no primeiro membro Em alguns casos, como no eemplo acima, a incógnita aparece sendo multiplicada (ou dividida) por um número qualquer Para isolar a incógnita no primeiro membro da equação, deve-se considerar a seguinte regra: Caso o número esteja multiplicando a incógnita, passá-lo para o segundo membro dividindo Caso o número esteja dividindo a incógnita, passá-lo para o segundo membro multiplicando Por eemplo: 3 = 87 Observe que a incógnita está sendo multiplicada por 3 Portanto, 3 deve passar para o segundo membro dividindo Logo, o quarto passo terá o seguinte resultado: 3 = 87 = 87 3 = 29 Eemplo: Qual é o valor de da equação seguinte? 2 + 9 = 4 18 4 4 Primeiro passo: 2 4 + 9 = 18 4 4 Segundo passo: 2 4 = 18 9 4 4 Terceiro passo: 2 = 27 4 Quarto passo: deve ser feito duas vezes, uma para o 4 que está dividindo e outra para o 2 que está multiplicando 2 = 27 4 2 = 27 4 2 = 108 = 108 2 = 54
Lembre-se de que o resultado é positivo em virtude do jogo de sinais 1 Quais sentenças são equações? a) 5 4 = 10 b) 2 + 1 < 7 c) 4 1 = 2 3 d) 1 + 8 = 6 e) 5 2 4 = 8 4 + > 9 f) 1 2 2 Entre as equações do eercício 1, diga quais são do 1º grau 3 Dada a equação 7 3 + = 5 2, responda: a) Qual é o 1º membro? b) Qual é o 2º membro? c) Quais são os termos do 1º membro? d) Quais são os termos do 2º membro? 4 Qual é o número que colocado no lugar de, torna verdadeira as sentenças? a) + 9 = 13 b) 7 = 10 c) 5 1 = 9 d) 3 = 8 5 Verifique se 1 é raiz da equação 4 + 1 2 = 9 2 6 Resolva as equações: a) + 5 = 8 b) 4 = 3 c) + 6 = 5 d) 7 = 7 e) + 9 = 1 f) + 28 = 11 g) 109 = 5 h) 39 = 79 i) 10 = + 8 j) 15 = + 20 k) 4 = 10 l) 7 = + 8 m) 0 = + 12 n) 3 = + 10 7 Resolva as seguintes equações: a) 3 = 15 b) 2 = 14 c) 4 = 12 d) 7 = 21 e) 13 = 13 f) 9 = 9 g) 25 = 0 h) 35 = 105 i) 4 = 1 j) 36 = 12 k) 21 = 3 l) 84 = 6
8 Resolva as equações: a) 3 = 7 b) 4 = 3 c) 2 5 = 4 d) 2 3 = 10 e) 3 4 = 30 f) 2 5 = 18 9 Resolva: a) = 9 b) = 2 c) 7 = 14 d) 3 = 10 e) 5 = 12 f) 4 = 8 g) 3 = 9 h) 5 = 15 i) 2 = 10 j) 15 = 3 k) 40 = 5 10 Determine : a) 6 = 2 + 16 b) 2 5 = + 1 c) 2 + 3 = + 4 d) 5 + 7 = 4 + 10 e) 4 10 = 2 + 2 f) 4 7 = 8 2 g) 2 + 1 = 4 7 h) 9 + 9 + 3 = 15 i) 16 1 = 12 + 3 j) 3 2 = 4 + 9 k) 5 3 + = 2 + 9 l) 17 7 = + 18 m) + 4 = 17 2 + 1 n) + 2 + 3 5 = 4 9 o) 5 + 6 16 = 3 + 2 4 p) 5 + 4 = 3 2 + 4 11 Resolva as equações: a) 4 1 = 3( 1) b) 3( 2) = 2 4 c) 2( 1) = 3 + 4 d) 3( 1) 7 = 15 e) 7( 4) = 2 3 f) 3( 2) = 4(3 ) g) 3(3 1) = 2(3 + 2) h) 7( 2) = 5( + 3) i) 3(2 1) = 2( + 3) j) 5 3( + 2) = 15 k) 2 + 3 + 9 = 8(6 ) l) 4( + 10) 2( 5) = 0 m) 3(2 + 3) 4( 1) = 3 n) 7( 1) 2( 5) = 5 o) 2(3 ) = 3( 4) + 15 p) 3(5 ) 3(1 2) = 42 q) (4 + 6) 2 = ( 6) + 10 + 14 r) ( 3) ( + 2) + 2( 1) 5 = 0 s) 3 2(4 3) = 2 3( 1) t) 3( 1) ( 3) + 5( 2) = 18
Respostas das questão 11: a) = 2 b) = 2 c) = 6 d) = 25 3 e) = 5 f) = 18 7 g) = 7 3 h) = 29 2 i) = 3 8 j) = 21 2 k) = 3 l) = 25 m) = 5 n) = 2 o) = 3 5 p) = 10 q) = 12 r) = 6 s) = 1 2 t) =
1 Resolva as equações: a) 3 7 = 2 + 5 b) 7 + 8 = 4 10 c) 4 15 = 2 + 3 d) 2 4 8 = 4 e) 3 = + 1 + 7 f) 360 + 36 = 30 g) 2 + 5 5 = 1 h) 5 + 6 = 5 + 2 i) + 2 1 3 = j) 3 + 10 = 2 + 8 + 1 k) 5 5 + = 9 + l) 7 4 = 2 + 8 3 m) 5 + 4 = 7 + 6 + 15 n) 3 2 = 3 + 2 o) 2 4 = 32 18 + 12 p) 2 1 = 3 + + 4 q) 3 2 2 3 = 0 r) 10 9 + 2 = 2 3 s) 4 4 5 = 6 + 90 t) 2 3 = 2 + 12 3 2 Resolva as equações: a) 7( 5) = 3( + 1) b) 3( 2) = 4( + 3) c) 2( + 1) ( 1) = 0 d) 5( + 1) 3( + 2) = 0 e) 13 + 4(2 1) = 5( + 2) f) 4( + 5) + 3( + 5) = 21 g) 2( + 5) 3(5 ) = 10 h) 8( 1) = 8 4(2 3) 3 Resolva as seguintes equações: a) 4 6 = 3 g) 5 10 = +1 2 m) 5 7 2 = 1 2 + b) 3 4 3 = 5 h) 8 1 2 2 = 3 n) 2 1 3 = 1 5 c) 5 1 = 9 i) 2 7 5 = +2 3 o) + 3 2 = 3 4 2 2 d) 3 5 = 0 j) 5 2 = 2 + 2 3 p) 2( 1) 3 = 3+6 5 e) 2 + 3 5 = 6 k) 3 2 1 = 5 4 5 q) 3( 5) 6 + 2 4 = 7 f) 5 + 2 = 7 10 l) 1 2 + 3 3 = 6 r) 2 = 5( 3) 5 4 4 Resolva as seguintes equações: a) 2 4 = 1 2 b) 2 4 = 5 c) 5 + 2 = 7 10
d) 5 + 1 = 2 3 m) 2 7 = 4 + 5 v) +2 6 + +1 4 = 6 e) 2 + 3 = 1 n) 2 1 2 = 5 + 1 3 w) 2 3 +1 4 = 4 f) 3 + 4 = 2 o) 1 = 5 4 ) 1 + 2 = 3 2 3 4 g) 2 + 4 = 1 3 p) 6 + 3 = 18 4 y) 2 3 4 1 3 = +2 2 h) 5 3 2 5 = 0 q) 4 + 6 + 8 = 26 z) 2 3 4 2 = 1 3 3 i) 1 = 5 4 r) 8 + 5 = 17 10 aa) 3 2 4 = 3+3 8 j) + 2 = 15 s) 4 3 = 2 50 bb) 3+5 4 2 3 3 = 3 k) 8 3 = 2 9 t) 5 2 + 7 = 2 + 4 cc) + 2( 2) 3 = 5 4 l) 2 + 3 4 = 1 6 u) + = +7 2 3 3 dd) 2+1 4 3(3 ) 2 Respostas dos eercícios complementares: Questão 1 a) = 12 b) = 6 c) = 3 d) = 6 e) = 4 f) = 60 g) = 2 h) = 3 i) = 2 j) = 1 2 k) = 14 5 l) = 12 11 m) = 5 n) = 1 o) = 3 p) = 2 q) = 5 r) = 2 s) = 88 t) = 5 Questão 2 a) = 19 2 b) = 18 7 c) = 3 d) = 1 2 e) = 1 3 f) = 2 g) = 3 h) = 7 4
Questão 3 a) = 36 b) = 12 c) = 50 d) = 15 e) = 60 f) = 1 g) = 21 9 h) = 7 4 i) = 31 j) = 4 k) = 37 l) = 9 m) = 8 3 n) = 4 o) = 2 5 p) = 28 q) = 57 6 r) = 35 21 Respostas das questões que apresentam denominadores ( número 4) a) = 2 b) = 20 c) = 1 d) = 15 13 e) = 6 5 f) = 12 5 g) = 22 3 h) = 6 25 i) = 24 5 j) = 10 k) = 27 2 l) = 7 6 m) = 48 n) = 5 18 o) = 24 5 p) = 24 q) = 28 r) = 40 s) = 24 t) = 6 u) = 14 3 v) = 83 w) = 59 ) = 5 7 y) = 25 12 z) = 13 6 aa) = 7 3 bb) = 9 cc) = 16 5 dd) = 124 31
RACIONALIZAÇÃO O conjunto dos números reais R apresenta números que podem ser representados por frações cujo denominador é um número irracional assim como Nesses casos, podese utilizar uma fração equivalente, multiplicando o numerador e o denominador pelo radical no denominador, já que o valor numérico de uma fração não se altera se multiplicarmos ou dividirmos ambos os termos pelo mesmo número diferente de zero Assim, temos que Esse procedimento é conhecido como racionalização do denominador, em outras palavras, esse procedimento consiste em transformar um denominador irracional em um número racional, porém sem alterar o valor numérico de uma fração A racionalização de denominadores simplifica a eecução dos cálculos, tornando-os mais rápidos de efetuar A seguir são apresentados alguns eemplos de como racionalizar denominadores Eemplo 1: Eemplo 2: 1) Racionalize o denominador de cada uma das seguintes epressões: