Quarto projeto computacional (data de entrega: 05/06/17) 1. Escreva um programa em MATLAB (ou na sua linguagem favorita) que implemente numericamente o modelo de neurônio integra-e-dispara com vazamento (LIF) no caso de uma corrente constante: Se V > V L, ocorre um disparo e V V r. V é mantida fixa em V r por um período refratário τ ref e, em seguida, passa novamente a obedecer à equação acima. Use o método numérico que você quiser, mas tome cuidado com a escolha do passo de tempo. Use os os seguintes valores para os parâmetros do modelo: τ = 20 ms, V r = 60 mv, R = 100 MΩ, V L = 50 mv e τ ref = 5 ms. Suponha que a corrente constante I seja do tipo degrau, aplicada em t = 50 ms e desligada em t = 250 ms. Faça o seu programa repetir a simulação para valores de I indo de 0,1 na a 2 na em passos de 0,1 na. Para cada valor de corrente, faça o seu programa calcular a frequência de disparos do neurônio como o número de disparos durante a apresentação da corrente dividido pelo tempo em que ela é apresentada e, ao final, faça seu programa gerar o gráfico de frequência de disparos versus corrente (curva F-I) para o modelo. 2. Adicione um termo de ruído à corrente constante do modelo acima, I total = I + I ruído. Assuma que o ruído é distribuído normalmente (ruído gaussiano) com média zero e um certo valor de desvio padrão σ. No Matlab, isso pode ser simulado pela função randn multiplicada pelo valor de σ. A função randn gera um número aleatório vindo de uma distribuição normal com média zero e desvio padrão um e, por isso, é preciso multiplicar por σ para produzir valores de ruído com desvios padrões diferentes. Diferentemente do exercício 1, neste exercício faça com que a corrente total seja ligada no início da simulação (t = 0) e persista até o fim dela. Rode a simulação pelo tempo total de 5000 ms. Considere que I = 0,25 na e use um valor de σ à sua escolha. a. Faça o seu programa gerar como saída um vetor que dê os instantes dos disparos do neurônio. A partir desse vetor, gere um gráfico que mostre os disparos do neurônio entre t = 2000 ms e t = 3000 ms. Indique os disparos por linhas verticais de mesmo tamanho. Como os disparos do neurônio com ruído se comparam com os disparos do neurônio sem ruído? b. Uma maneira de caracterizar a regularidade dos disparos de um neurônio é pelo histograma dos intervalos entre disparos (ISIs). Para quantificar essa regularidade, usa-se o coeficiente de variação (CV) da distribuição dos ISIs. O CV da distribuição dos ISIs é definido pela razão entre o desvio padrão e a média da distribuição dos ISIs, CV ISI = σ ISI /µ ISI. 1
Um CV = 0 indica que não há irregularidade nos intervalos entre disparos (eles são todos iguais). CVs maiores que zero indicam que os disparos são irregulares e quanto maior o CV maior a irregularidade. Um CV = 1 corresponde a uma distribuição de Poisson. CVs podem ser maiores que 1. Implemente uma função que receba como entrada o vetor de instantes de disparos do item anterior e produza como saída o histograma dos intervalos entre disparos do neurônio. Faça o programa plotar o histograma dos ISIs e, dentro da área de plotagem, colocar o CV ISI e a frequência média de disparos do neurônio, calculada como o número de disparos dividido pelo tempo total de simulação. Divida o eixo horizontal (que dá os ISIs) em intervalos de largura 1 ms e faça o eixo vertical dar a frequência relativa dos ISIs. O seu gráfico deve seguir o estilo do gráfico dado abaixo como exemplo ilustrativo. 3. Repita o que foi feito no exercício anterior para cinco valores crescentes de σ. Como os seus histogramas de comportam? Faça um gráfico de CV versus σ e explique o que você observa. 4. Escolha um dos valores de σ que você usou no exercício anterior. Simule 10 repetições do modelo recebendo a corrente constante I = 0,25 na mais a corrente ruidosa com o nível de ruído que você escolheu. Faça suas simulações irem de t = 0 a t = 2000 ms. Faça com que o seu programa armazene os vetores com os instantes dos disparos do neurônio nas 10 repetições. Por causa da variabilidade dos instantes dos disparos, a cada repetição o número de disparos será diferente. Portanto, você não poderá armazenar seus dados em uma matriz usual. Se estiver usando o Matlab, armazene seus dados em uma cell array. Use o comando help do Matlab para obter informações sobre uma cell array. Implemente uma função que receba como entrada a cell array com os instantes dos disparos do neurônio nas 10 repetições e produza como saída o raster plot dos dados. O raster plot é uma representação gráfica da variabilidade dos disparos de um neurônio. Um exemplo de raster plot está dado na figura abaixo. O eixo horizontal mede o tempo e no eixo vertical são colocadas as diferentes repetições do mesmo experimento com o neurônio. Para cada repetição, cada instante em que o neurônio emite um disparo é marcado como um ponto no gráfico. Tente fazer um programa genérico, isto é, que produza o raster plot sem que se saiba previamente o número de repetições. O seu raster plot deve seguir o estilo do raster plot dado abaixo como exemplo ilustrativo. 2
Exemplo de raster plot. O gráfico de baixo dá um exemplo de PSTH (veja a questão 5). 5. Neste exercício, você irá construir o PSTH (peri-stimulus-time-histogram) para os dados do raster plot do exercício anterior. O PSTH dá a média pelo número de repetições da frequência de disparos do neurônio em função do tempo, ou seja, é uma medida de como a frequência de disparos do neurônio varia com o tempo. Existem várias maneiras de se produzir um PSTH e aqui você usará a mais simples. Ela é definida como, onde Δt é o passo de tempo, K é o número de repetições e n K (t i ; t i +Δt) é o número de disparos do neurônio entre t e t + Δt. Implemente uma função que receba como entrada os dados do raster plot do exercício anterior e produza um gráfico do PSTH definido pela equação acima. O eixo horizontal deve mostrar o tempo em segundos e o eixo vertical a frequência em Hz. Observe o comportamento do gráfico. Como é o comportamento da frequência em função do tempo? Sugira alguma maneira de dar uma aparência mais suave à variação de f com t (lembre da lista 1) 6. Repita os exercícios 4 e 5 para pelo menos mais dois valores de I diferentes e maiores que 0,25 na e o mesmo valor de σ. Como o raster plot e o PSTH mudam com o aumento de I? 7. Acesse a página mantida por Izhikevich em http://www.izhikevich.org/publications/whichmod.htm e baixe o arquivo Matlab figure1.m que gera a figura mostrada na página (http://www.izhikevich.org/publications/figure1.m). Rode esse arquivo no seu próprio computador e gere a mesma figura. 3
8. Considere agora o modelo AdEx dado na aula 14 (equações 14, 15 e 16). Adapte o programa de Izhikevich que você baixou no exercício acima para que ele reproduza os padrões de disparo das sete versões do modelo AdEx indicadas na tabela da página 9 da aula 14. Tente ir além disso e reproduza, de forma aproximada, os 18 padrões de disparo do modelo AdEx mostrados no diagrama da página 8. 9. Acesse o artigo disponibilizado por Izhikevich em http://www.izhikevich.org/publications/spikes.pdf e copie o programa em Matlab dado por ele. O programa simula uma rede de 1000 neurônios (800 excitatórios e 200 inibitórios) conectados aleatoriamente. Os neurônios são modelados pelas equações de Izhikevich. Izhikevich usa um parâmetro aleatório r i para populações heterogêneas de neurônios excitatórios e inibitórios, isto é, não são todos dinamicamente idênticos. Por exemplo, a maioria dos neurônios excitatórios é do tipo denominado RS (de disparos regulares), mas alguns deles podem ser de disparos em rajadas (chattering). Note que os valores aleatórios dos pesos das sinapses inibitórias e excitatórias estão multiplicados por 1 e 0,5, respectivamente. Isso foi feito para que a força relativa das sinapses inibitórias seja maior que a das sinapses excitatórias para balancear a rede. a. Altere o programa para que ele resolva as equações diferenciais pelo método de Runge-Kutta de quarta ordem. Mantenha o passo de tempo igual a 0,5. Usando seu programa, gere uma figura similar à Figura 3 do artigo de Izhikevich (para se certificar que está tudo funcionando como devia). Escolha um neurônio excitatório aleatório da rede para gerar o gráfico de V t da parte de baixo da figura. b. No artigo, Izhikevich diz que mudando a força relativa das conexões sinápticas e a força da entrada talâmica é possível produzir outros tipos de comportamento coletivo. Para verificar isso, gere raster plots como o do item anterior para os casos abaixo. Para cada um deles, tente interpretar o resultado observado. i. o peso das sinapses inibitórias é mantido em 1 e o peso das sinapses excitatórias vale 0,25; ii. o peso das sinapses inibitórias é mantido em 1 e o peso das sinapses excitatórias vale 0,75; iii. a intensidade da corrente talâmica aleatória aplicada aos neurônios excitatórios (veja o termo 5*randn(Ne,1) no código de Izhikevich), que no modelo original vale 5, é modificada para: 1. 2 (igual à intensidade da corrente talâmica aplicada aos neurônios inibitórios); 2. 10. iv. um termo constante I 0 é adicionado à corrente talâmica I aplicada a cada neurônio da rede, mantendo-se os demais parâmetros como na versão original. Estude dois casos: 1. I 0 = 1; 2. I 0 = 3. 4
10. Para cada caso anterior, gere o histograma com a distribuição dos ISIs dos 1000 neurônios da rede e calcule o CV dessa distribuição, para caracterizar a irregularidade dos disparos. Use esses dados para ajudar na sua interpretação dos resultados obtidos no item (b) acima. 11. Exercício avançado (não é necessário entregar). Estude o efeito de alterações (i) no tamanho da rede; e (ii) na topologia da rede sobre o comportamento coletivo da rede. Por exemplo: a. Mantendo todos os parâmetros como na versão original, faça o número de neurônios aumentar para 5000 (4000 excitatórios e 1000 inibitórios) e depois para 10000 (8000 excitatórios e 2000 inibitórios); b. Mantendo todos os parâmetros como na versão original e usando N = 1024 neurônios (820 excitatórios e 204 inibitórios), altere a topologia da rede para que ela tenha uma topologia de mundo pequeno ao invés de uma topologia de rede aleatória (Erdös-Rényi). Uma maneira de fazer isso é a seguinte: distribua os 1024 neurônios pelos sítios de uma rede quadrada de 32x32 sítios. Conecte cada neurônio da rede com os seus 4 vizinhos mais próximos. Assuma condições de contorno periódicas. Esta é uma rede regular. Agora, sorteie aleatoriamente uma fração p de conexões da rede. Para cada uma dessas conexões, apague-a e gere outra conexão indo do neurônio pré-sináptico correspondente a um outro neurônio qualquer da rede sorteado aleatoriamente. Note que ao final do processo você terá uma rede com neurônios conectados, tanto com seus vizinhos mais próximos, como com vizinhos distantes. Controlando o valor de p você pode determinar o grau de aleatoriedade da rede (p = 1 corresponde a um caso de rede com conexões totalmente aleatórias como na versão original do modelo de Izhikevich). Estude o comportamento coletivo da rede para valores de p = 0,02; 0,2; e 0,4. Entregue sua lista resolvida, contendo os códigos dos programas implementados e os respectivos gráficos até o dia 5 de junho de 2017. A entrega pode ser feita por e-mail para antonior@ffclrp.usp.br. 5