Eletromagnetismo Aplicado Unidade 2 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos Prof. Marcos V. T. Heckler 1
Conteúdo Introdução Equações de Maxwell Parâmetros constitutios e suas relações Relação entre a teoria de campo e a teoria circuital Condições de contorno nas interfaces entre dois meios Teorema de Poynting Campos eletromagnéticos harmônicos 2
Introdução Em Eng. Elétrica e de Telecomunicações, é comum utilizarmos a teoria circuital e seus elementos para a resolução de problemas. Na teoria circuital, trabalhamos com tensão, corrente e elementos de circuito concentrados (capacitor, resistor e indutor). Entretanto, dee-se destacar que a teoria circuital só é álida quando as dimensões físicas do circuito forem muito menores que o comprimento de onda de operação. 3
Introdução Caso as dimensões do dispositio em questão sejam comparáeis ao comprimento de onda de operação, a teoria de campo dee ser empregada. Neste caso, trabalha-se com campos elétrico e magnético, densidades de corrente e elementos distribuídos. Além disso, dee-se incluir a interação (acoplamento) entre dois ou mais elementos distribuídos. 4
Introdução A teoria apresentada nesse capítulo é indispensáel para entender o princípio de funcionamento de dispositios e sistemas nas seguintes áreas: Antenas Circuitos e dispositios operando em altas frequências Sistemas de comunicação Sensoriamento remoto Radar Comunicações ópticas e dispositios ópticos 5
Equações de Maxwell Eletrodinâmica antes de James Clerk Maxwell: Lei de Faraday: Lei de Ampère: Lei de Gauss: Lei de Gauss (Magnetismo): E H D B t e m J B 6
Introdução onde: E H D B : intensidade de campo elétrico (V/m) : intensidade de campo magnético (A/m) : densidade de fluxo elétrico (Coul/m 2 ) : densidade de fluxo magnético (Wb/m 2 ) : densidade de corrente elétrica (A/m 2 ) J e : densidade olumétrica de carga elétrica (Coul/m 3 ) 7
Equações de Maxwell As equações anteriores modelam perfeitamente o comportamento dos campos em Eletrostática e Magnetostática. Entretanto, para correntes alternadas, estas equações estão incompletas. Da maneira como foi apresentada a Lei de Ampère, como preer a corrente de carga de um capacitor, sem que haja um condutor conectando as suas placas? 8
Equações de Maxwell Esta falha da Lei de Ampère pode ser matematicamente erificada tomando-se o diergente desta equação: H J Lembrando que, para qualquer etor, então A 0 J 0 9
Equações de Maxwell A equação não é álida para o cálculo da corrente que sai de uma placa de um capacitor. Maxwell erificou que uma correção na Lei de Ampère era possíel a partir da equação da continuidade de carga: J J 0 t e 10
Equações de Maxwell com a Lei de Gauss D e Combinando as duas últimas equações: J D t Termo faltante na Lei de Ampère, conhecido como corrente de deslocamento 11
Equações de Maxwell Equações de Maxwell na forma diferencial: Lei de Faraday: Lei de Ampère: Lei de Gauss: Lei de Gauss (Magnetismo): E H D B t t e m B D M J 12
Equações de Maxwell onde: E H D B : intensidade de campo elétrico (V/m) : intensidade de campo magnético (A/m) : densidade de fluxo elétrico (Coul/m 2 ) : densidade de fluxo magnético (Wb/m 2 ) M J : densidade de corrente magnética (V/m 2 ) : densidade de corrente elétrica (A/m 2 ) e m : densidade olumétrica de carga elétrica (Coul/m 3 ) : densidade olumétrica de carga magnética (Wb/m 3 ) 13
Equações de Maxwell Equações de Maxwell na forma integral: Lei de Faraday: Lei de Ampère: Lei de Gauss: Lei de Gauss (Magnetismo): C E dl C S t S BdS H dl DdS S D t ds Q e S B ds Q S m MdS I 14
Equações de Maxwell sendo I J S ds Q e Q m e d m d 15
Parâmetros Constitutios Permissiidade elétrica (F/m): D E Permeabilidade magnética (H/m): B H Condutiidade (siemens/m): J E 16
Parâmetros Constitutios No ácuo: 0 10 9 36 0 4 10 0 0 7 F/m H/m siemens/m 17
Parâmetros Constitutios Classificação dos materiais quanto ao comportamento de seus parâmetros constitutios: Lineares ou não-lineares: materiais lineares são aqueles cujos parâmetros constitutios não ariam com a ariação dos campos aplicados. Homogêneos ou não-homogêneos: materiais homogêneos são aqueles cujos parâmetros constitutios independem da posição. Isotrópicos ou anisotrópicos: materiais isotrópicos são aqueles cujos parâmetros constitutios independem da orientação do campo aplicado. 18
Parâmetros Constitutios Classificação dos materiais quanto ao comportamento de seus parâmetros constitutios: Dispersios e não-dispersios: materiais dispersíos são aqueles cujos parâmetros constitutios são dependentes da frequência de oscilação dos ampos aplicados. 19
Relação entre a Teoria de Campo e a Teoria Circuital Lei das tensões de Kirchhoff: s + Circuito RLC-série: + Caminho fechado para integração R C + i + L Lei de Faraday: C E dl somatório de tensões S B ds t S B ds ariação do fluxo magnético m 20
Relação entre a Teoria de Campo e a Teoria Circuital Lei das tensões de Kirchhoff (continuação): Lembrando que: é possíel escreer: m L s ds t B S t onde L s é a indutância de espalhamento do circuito RLC. i m L s i t 21
Relação entre a Teoria de Campo e a Teoria Circuital Lei das tensões de Kirchhoff (continuação): A integral de linha fechada representa o somatório das tensões na malha: l C Portanto, a Lei das tensões de Kirchhoff, enunciada do ponto de ista da Teoria Eletromagnética, equiale a: n E n d L s n i t n 0 22
s + Relação entre a Teoria de Campo e a Teoria Circuital Lei das tensões de Kirchhoff: Circuito RLC-série: + R + Modelo da teoria circuital C i + L s + Ls + Indutância de espalhamento + R modelo da teoria de campos C + i 23 + L
s + Ls + Relação entre a Teoria de Campo e a Teoria Circuital Lei das tensões de Kirchhoff: Circuito RLC-série: + R C + i + L Teoria de Campo: C E dl t m t S B L (Teoria Circuital) ds s i t 24
s + Ls + Relação entre a Teoria de Campo e a Teoria Circuital Lei das tensões de Kirchhoff: Circuito RLC-série: + R C + i + L Teoria Circuital: s R L C Ls Para um circuito com dimensões muito menores que o comprimento de onda de operação,, e: s R 0 que é a forma clássica da lei das tensões de Kirchhoff. L L s C 0 25
i s Relação entre a Teoria de Campo e a Teoria Circuital Lei das correntes de Kirchhoff: Circuito RLC-paralelo: superfície de integração i R + i L i C Lei da conseração de carga: S J ds somatório das correntes que saem pela superfície de integração Q t e ariação da carga elétrica acumulada dentro da superfície de integração 26
Relação entre a Teoria de Campo e a Teoria Circuital Lei das correntes de Kirchhoff (continuação): Lembrando que: é possíel escreer: Q e C s J ds S Q t e t onde C s é a capacitância de espalhamento do circuito RLC. C s i 27
Relação entre a Teoria de Campo e a Teoria Circuital Lei das correntes de Kirchhoff (continuação): Portanto, do ponto de ista da Teoria Eletromagnética, é possíel escreer: n i C s t 0 28
Relação entre a Teoria de Campo e a Teoria Circuital Lei das correntes de Kirchhoff: Circuito RLC-paralelo: i s i C i s i C i R + i L i R i Cs + il Capacitância de espalhamento 29
i s Relação entre a Teoria de Campo e a Teoria Circuital Lei das correntes de Kirchhoff: Circuito RLC-paralelo: i R i Cs + il i C Teoria de Campo: S J ds i C Q t t s (Teoria Circuital) e 30
i s Relação entre a Teoria de Campo e a Teoria Circuital Lei das correntes de Kirchhoff: Circuito RLC-paralelo: i C Teoria Circuital: i s i R i L i C i Cs i R i Cs + il Para um circuito com dimensões muito menores que o comprimento de onda de operação, C s 0, e: i s i R i i 0 que é a forma clássica da lei das correntes de Kirchhoff. L C 31
Relação entre a Teoria de Campo e a Lei de Ohm: Teoria Circuital: Teoria de Campo: Teoria Circuital i R 1 R J R E G R + R i R R = G -1 32
Condições de Contorno na Interface entre Dois Meios Interface entre dois meios, sem correntes e cargas de excitação na interface: J M e 0 e m 0 y z x nˆ Meio 2: 2, 2, 2 Meio 1: 1, 1, 1 33
Condições de Contorno na Interface entre Dois Meios Interface entre dois meios: análise das componentes tangenciais: y nˆ z x Δy Δx Meio 2: 2, 2, 2 Meio 1: 1, 1, 1 Área S 0 Caminho fechado C 0 34
Condições de Contorno na Interface entre Dois Meios Interface entre dois meios: análise das componentes tangenciais: Lei de Faraday para a interface sem fontes de corrente ( M 0) E dl B ds C t 0 S 0 Para modelar a interface, faz-se Δy 0, o que resulta em E xˆ x) E (ˆ xx) 0 1 ( 2 35
Condições de Contorno na Interface entre Dois Meios Interface entre dois meios: análise das componentes tangenciais: Realizando-se o produto escalar, resulta que a igualdade é somente satisfeita pelas componentes tangenciais de campo elétrico: E t E 1 2 t 0 ou E E 0 ˆ 1 2 n 36
Condições de Contorno na Interface entre Dois Meios Interface entre dois meios: análise das componentes tangenciais: Por dualidade: H H 0 ˆ 1 2 n As equações anteriores mostram que as componentes tangenciais dos campos elétrico e magnético em uma interface entre dois meios sem fontes de corrente são contínuas. 37
Condições de Contorno na Interface entre Dois Meios Interface entre dois meios: análise das componentes normais: y Área A 0 nˆ z x Δy Δx Meio 2: 2, 2, 2 Meio 1: 1, 1, 1 Superfície fechada S 0 Volume 0 38
Condições de Contorno na Interface entre Dois Meios Interface entre dois meios: análise das componentes normais: Lei de Gauss para a interface sem cargas elétricas ( e 0) ds 0 S D 0 Para modelar a interface, faz-se Δy 0, o que resulta em D yˆ A ) D ( yˆ A ) 0 2 ( 0 1 0 39
Condições de Contorno na Interface entre Dois Meios Interface entre dois meios: análise das componentes normais: Realizando-se o produto escalar, resulta que a igualdade é somente satisfeita pelas componentes normais de campo elétrico: D n D 2 1 n 0 ou nd D 0 n E E 0 ˆ 2 1 ˆ 2 2 1 1 40
Condições de Contorno na Interface entre Dois Meios Interface entre dois meios: análise das componentes normais: Por dualidade: μ H μ H 0 ˆ 2 2 1 1 n As equações anteriores mostram que as componentes normais das densidades de fluxo elétrico e magnético em uma interface entre dois meios sem cargas são contínuas. 41
Condições de Contorno na Interface entre Dois Meios Interface entre dois meios, sendo o meio 1 condutor elétrico perfeito: 1 y nˆ z x E 1 0 Meio 2: 2, 2, 2 Meio 1: 1, 1, 1 = 42
Condições de Contorno na Interface entre Dois Meios Interface entre dois meios, sendo o meio 1 condutor elétrico perfeito: 1 y nˆ z x Δy Δx Meio 2: 2, 2, 2 Meio 1: 1, 1, 1 = E 1 0 Área S 0 Caminho fechado C 0 43
Condições de Contorno na Interface entre Dois Meios Interface entre dois meios, sendo o meio 1 condutor elétrico perfeito: Lei de Ampère H dl J ds DdS C0 S0 t S0 Para modelar a interface, faz-se Δy 0, o que resulta em lim H dl H1 ( xˆ x) H2 ( xˆ x) yc 0 lim J ds lim J ( xyzˆ) xzˆ 1 Js y S y 0 44
Condições de Contorno na Interface entre Dois Meios Interface entre dois meios, sendo o meio 1 condutor elétrico perfeito: Portanto: H dl C H J ds Após árias manipulações matemáticas: nˆ H H J J : densidade superficial s 1 t DdS 0 S0 S0 xˆ x) H ( xˆ x) Js (ˆ z 1 ( 2 x 2 s 1 ) de corrente elétrica 45
Condições de Contorno na Interface entre Dois Meios Interface entre dois meios, sendo o meio 1 condutor elétrico perfeito: Sendo: resulta que E 1 0 nˆ H J 2 s 1 46
Condições de Contorno na Interface entre Dois Meios Interface entre dois meios, com correntes e cargas de excitação na interface: J, M 0, 0 e 0 e m 0 y z x cargas elétricas densidade de corrente elétrica densidade de corrente magnética cargas magnéticas nˆ Meio 2: 2, 2, 2 Meio 1: 1, 1, 1 47
Condições de Contorno na Interface entre Dois Meios Interface entre dois meios, com correntes e cargas de excitação na interface: J, M 0, 0 e nˆ H 2 H Js 1 nˆ 1 nˆ D D nˆ E 2 E Ms 2 es 1 B 2 B ms 1 Sendo: J s M s es ms 0 0 : Densidade superficial de corrente elétrica (A/m) : Densidade superficial de corrente magnética (V/m) : Densidade superficial de carga elétrica (Coul./m 2 ) : Densidade superficial de carga magnética (Wb//m 2 ) e m 48
Teorema de Poynting Campo eletromagnético e correntes em um olume genérico : Campos gerados pelas fontes Fontes de energia Densidade de corrente total: E, H J, µ, ε, σ i M i J J i J c S onde J c nˆ E 49
Teorema de Poynting Dentro do olume : Definindo as correntes de deslocamento resulta E M d E t t B B M i M d M i H J d J H i t J J D i c J c t J D d 50
Teorema de Poynting Tomando-se o produto escalar das equações anteriores por H e E : H E M d M i E J J J E H H e subtraindo-se as equações acima, resulta H E E H H M M E J J J i i c d d i c d 51
Teorema de Poynting Utilizando a identidade etorial e rearranjando-se os termos, resulta que equiale à Lei da Conseração da Energia na forma diferencial. 52 B A A B B A 0 d c i d i J J J E M M H H E
Teorema de Poynting Componentes da Lei da Conseração da Energia: Vetor densidade de potência ou Vetor de Poynting (W/m 2 ): S E H Densidade de potência fornecida pelas fontes de energia (W/m 3 ): p HM E s i J i Potência dissipada (W/m 3 ): p E J E E E d c Modela a energia transportada pela onda eletromagnética 2 53
Teorema de Poynting Componentes da Lei da Conseração da Energia (continuação): Densidade média de energia magnética (J/m 3 ): Densidade média de energia elétrica (J/m 3 ): 54 2 2 1 H M H w d m t 2 2 1 E J E w d e t
Teorema de Poynting Fazendo-se a integral de olume em ambos os lados da equação anterior e aplicando-se o teorema da diergência, resulta S E HdH M d i Md E Ji Jc Jd d 0 E H ds H M d i Md E Ji Jc Jd d 0 que equiale à Lei da Conseração da Energia na forma integral. 55
Teorema de Poynting Integrando-se o etor de Poynting ao longo da superfície S e os demais termos no olume, resulta: Potência que sai do olume (W): S ds E H ds P e S Potência total fornecida pelas fontes de potência localizadas no olume (W) : P p d HM E J d s s i S i 56
Teorema de Poynting Potência dissipada no olume (W): 2 P p d E d d d Energia média armazenada dentro do olume deido ao campo magnético (J): W m w m d 2 H 2 d 57
Teorema de Poynting Energia média armazenada dentro do olume deido ao campo elétrico (J): W e w e d Substituindo os termos na Lei da Conseração de Energia, resulta a Lei da Conseração da Potência dentro do olume : P s P e P d t W 2 E m 2 W e d 58
Teorema de Poynting Interpretação da Lei da Conseração da Potência: A potência fornecida por uma fonte, localizada dentro de um olume e delimitado por uma superfície fechada S, é igual à soma da potência que deixa o olume com a potência dissipada no olume mais a taxa de ariação de energia armazenada no olume pelos campos elétrico e magnético. 59
Campos Eletromagnéticos Harmônicos Considerando-se que os campos tenham ariação temporal na forma de um cosseno, pode-se descreer os campos com a seguinte notação: E x, y, z, t E x, y, z f t componente espacial Sendo a fórmula de Euler: ariação temporal e j cos jsin 60
Campos Eletromagnéticos Harmônicos pode-se escreer: cos Ree j Portanto, na forma fasorial: E E x, y, z, t ReEx, y, z O etor representa o campo elétrico no domínio do tempo. O etor E é um etor complexo e representa o campo elétrico no domínio espacial. j t e 61
Campos Eletromagnéticos Harmônicos A transformação dos campos do domínio do tempo para o domínio espacial é denominada Transformada de Fourier. A transformação dos campos do domínio espacial para o domínio do tempo é denominada Transformada Inersa de Fourier. Com a definição da transformada na equação anterior, percebe-se que Domínio do tempo t j Correspondência no domínio espacial 62
Campos Eletromagnéticos Harmônicos Equações de Maxwell na forma diferencial no domínio espacial: Lei de Faraday: E jb M Lei de Ampère: Lei de Gauss: Lei de Gauss (magnetismo): H D B jωd ρ 0 J 63
Campos Eletromagnéticos Harmônicos Equações de Maxwell na forma integral no domínio espacial: Lei de Faraday: Lei de Ampère: Lei de Gauss: Lei de Gauss (magnetismo): C E dl jω B S C H dl S S DdS BdS jω S Q e DdS ds Q S M ds I m 64
Campos Eletromagnéticos Harmônicos Todas as condições de contorno estudadas continuam álidas no domínio espacial. Considerando os campos como fasores, o teorema de Poynting dee ser modificado um pouco. Equação da Conseração da Energia na forma diferencial: 65 2 2 2 * * * 4 1 4 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 E H j E J E M H H E i i
Campos Eletromagnéticos Harmônicos Equação da Conseração da Energia na forma integral: 66 S i i d E H j d E ds H E d J E M H 2 2 2 * * * 4 1 4 1 2 2 1 2 1 2 1
Campos Eletromagnéticos Harmônicos Componentes da Equação da Conseração de Energia: Potência Aparente (complexa) fornecida pelas fontes: P s 1 * H M i E J 2 Potência Aparente (complexa) que sai do olume : P e S 1 E H 2 * ds * i d 67
Campos Eletromagnéticos Harmônicos Componentes da Equação da Conseração de Energia: Potência real dissipada no olume : P d 1 E 2 Energia média armazenada pelo campo magnético no olume : W m j2 2 1 H 4 d 2 d 68
Campos Eletromagnéticos Harmônicos Componentes da Equação da Conseração de Energia: Energia média armazenada pelo campo elétrico no olume : W e j2 1 E 4 2 d 69