P U C R S PONIFÍCI UNIVERSIDDE CÓLIC DO RIO GRNDE DO SUL FCULDDE DE ENGENHRI CURSO DE ENGENHRI CIVIL CONCREO RMDO II ORÇÃO Pro. lmir Schär PORO LEGRE BRIL DE 006
1 ORÇÃO 1- Notaçõ principai c paçamnto da bila d concrto, mdido prpndiclarmnt ao ixo da bila h pra da pard d ma viga tblar prímtro do contorno médio da ção 1 comprimnto da zona d inlência d ma barra longitdinal, mdido obr o contorno médio da ção inclinação da bila d concrto, m rlação ao ixo da viga ára limitada plo contorno médio da ção d ma viga tblar ára total da ção da armadra longitdinal d torção ára da ção da armadra longitdinal, por nidad d comprimnto do contorno da ção 90 ára da ção da armadra tranvral, nm trcho d comprimnto 90 ára da ção da armadra tranvral, por nidad d comprimnto da viga ρ taxa gométrica d armadra longitdinal d torção ρ w taxa gométrica d armadra tranvral d torção σ c tnão d comprão nma bila d concrto σ tnão d tração na armadra - nõ d cialhamnto Conidr- ma viga tblar (viga d ção vazada), d pard ina, jita apna a m momnto toror (Fig. 1, a). tnõ d cialhamnto prodzida plo momnto toror, nm ponto qalqr da ção tranvral da viga, podm r conidrada niormmnt
ditribída na pra da pard da viga (Fig. 1, b) ão dada pla órmla d Brdt, a abr τ.. h ond é a ára limitada plo contorno médio da ção h é a pra da pard da viga no ponto conidrado (Fig. 1, c). (1) a) τ τ τ τ σ 1 B σ σ σ 1 b) c) d) h m n 1 Q1 τ FIGUR 1 Na viga tblar o lxo ( τ. h ) da tnõ é contant ao longo do contorno da ção. im, a rltant Q 1 da tnõ d cialhamnto, q atam na ção, nm trcho d comprimnto 1 (Fig. 1, d) d contorno, é dada por: Q ( τ. h ). () 1 1 Sbtitindo ( τ. h ) dado pla qação (1) na () rlta: Q (3). 1 1
3 3- nõ principai Nm lmnto qadrado d viga, localizado m qalqr ponto da pard da mma, com ac orintada parallamnt à ção tranvral da viga, atam apna a tnõ d cialhamnto τ prodzida plo momnto toror (Fig. 1, a). Logo, m todo o ponto da pard da viga a tnõ principai, σ 1 σ, ão nmricamnt igai à τ, ma d tração otra d comprão, com dirçõ inclinada d 45 o (Fig. 1, a). m rlação à gratriz da viga, como motra no ponto B Qando a tnõ principai d tração ltrapaam a ritência do concrto à tração, o concrto ira para ritir o orço d tração q o concrto dixa d ritir é ncário colocar na viga ma armadra adqada (ormada por ma malha com barra longitdinai tranvrai (tribo)). Qanto à tnõ principai d comprão, ta dvm r portada plo próprio concrto. 4- Modlo d cálclo Para vriicar a tnõ principai d comprão no concrto para calclar a armadra da viga torcida d concrto armado a- m qma d cálclo q conit nma trliça pacial imaginada dntro da viga tblar d concrto armado (Fig. ). Na dirção da tnõ principai d comprão ão imaginada bila d concrto, comprimida, inclinada d 45 o m rlação à gratriz da viga. Para intrligar ta bila d concrto ão ado tirant, tracionado, ormado por barra d aço, dipoto na dirçõ longitdinal tranvral da viga. No q g rão ddzida a qaçõ ada na vriicação no dimnionamnto d viga d concrto armado olicitada por torção, a partir d ma viga tblar d ção qadrada. qaçõ aim obtida, no ntanto, ão aboltamnt grai, ito é, valm não ó para çõ vazada qadrada ma também para çõ vazada d orma qalqr.
4 1 1 c Sção Etribo 1 1 FIGUR 5- Gomtria da trliça Epaçamnto ntr a barra da armadra tranvral (Fig. ): 1.cot (4) Epaçamnto ntr a bila d concrto, mdido prpndiclarmnt ao ixo da bila (Fig. ): c.n (5) 6- Ritência da bila d concrto Rltant da tnõ d comprão nma bila d concrto (Fig. 3): Rcw σ c. h. c (6) Sbtitindo c dado pla qação (5) na (6) rlta: R σ. h..n (7) cw c Sbtitindo dado pla qação (4) na (7) rlta: Rcw σc. h. 1.cot.n. (8)
5 Componnt paralla à ção, da rltant R cw (Fig. 3): V cw R.n (9) cw Painl rontal da trliça pacial Ra1 S Ncw Rcw Ra Vcw Q1 FIGUR 3 Sbtitindo R cw dado pla qação (8) na (9) rlta: V σ. h..cot.n cw c 1 (10) Condição d qilíbrio à tranlação, do trcho iolado d trliça, na dirção vrtical (Fig. 3): Q 1 V cw (11) Sbtitindo Q 1 dado pla qação (3) V cw dado pla qação (10) na (11) iolando rlta: σ... h.cot.n c (1) Como.cot.n co n.n.co n. (13) n a qação antrior ica: σ.. h.n. (14) c
6 ritência do concrto, à comprão niorm, é dada por (Boltim d Inormação númro 04, Código Modlo CEB - FIP, 1990): a) na zona não irada b) na zona irada ond ck é dado m MPa. cd1 cd ck 0,85. 1.cd (15) 50 ck 0,60. 1.cd (16) 50 Fazndo, na qaçõ (15) (16) ond ck é dado m MPa, rlta: ck α v 1 (17) 50 0,85. α.cd (18) cd1 v 0,60. α.cd (19) cd v Sbtitindo, na qação (14), σ c por cd dado pla (19) trocando a notação d por Rd, rlta: Rd 0,60. αv.cd..h.n. (0) Eta qação ornc o momnto toror ritnt d cálclo, no tado limit último, provnint da orça d comprão na bila d concrto. norma (NBR 6118, itm 17.5.1.5) no ntanto, para calclar o momnto toror ritnt d cálclo a a xprão Rd 0,50. αv.cd..h.n. (1) q, natralmnt, dv prvalcr obr a antrior. Com rlação à inclinação da bila d concrto, ta pod r colhida livrmnt ntr o limit 30 45. o o
7 Na prática é corrnt o o d 45 o. Para t cao particlar d inclinação da bila a qação (1) ornc: Rd 0,50. α... h () v cd grança m rlação à rína por comprão da bila d concrto é conidrada atiatória qando o momnto toror olicitant d cálclo, Sd, or mnor o igal ao momnto toror ritnt d cálclo, Rd, ito é, qando Sd (3) Rd 7- Ritência da armadra tranvral (tribo a 90 o ) Rltant da tnõ d tração na armadra tranvral (Fig. 4): R w 90.σ (4) Painl rontal da trliça pacial Ra1 S Rw Ra Q1 FIGUR 4 Mltiplicando dividindo o gndo mmbro da qação antrior por, rlta: R w 90. σ. (5) Sbtitindo dado pla qação (4) na (5) rlta:
8 R w 90. σ. 1.cot (6) Condição d qilíbrio à tranlação, do trcho iolado d trliça, na dirção vrtical (Fig. 4): Q 1 R w (7) Sbtitindo Q 1 dado pla qação (3) R w dado pla qação (6) na (7) iolando rlta: 90. σ...cot (8) ritência d cálclo da armadra tranvral é dada por (NBR 6118, itm 17.5.1.6, a): min ywk ywd ; 435 MPa (9) γ Sbtitindo, na qação (8), σ por ywd trocando a notação d por Rd3, rlta: 90....cot (30) Rd3 ywd Eta qação é ada pla norma (NBR 6118, itm 17.5.1.6, a) para calclar o momnto toror ritnt d cálclo, no tado limit último, provnint da orça d tração na armadra tranvral. Para o cao particlar d 45 o, a qação (30) ornc: 90... (31) Rd3 ywd grança m rlação à rína por tração da armadra tranvral é conidrada atiatória qando o momnto toror olicitant d cálclo, Sd, or mnor o igal ao momnto toror ritnt d cálclo, Rd3, ito é, qando
9 Sd 3 (3) Rd 8- Ritência da armadra longitdinal Rltant da tnõ d tração nma barra da armadra longitdinal: R 1 1.σ (33) orça R 1 nma barra longitdinal qalqr da trliça pacial (por xmplo, na barra comm à trliça plana rontal prior (Fig. 5)) é dada, d acordo com o princípio da prpoição do ito, por R R + R (34) 1 a1 b ond R a1 R b ão a orça na barra prodzida pla orça Q 1 q atam na trliça plana rontal prior, rpctivamnt. Rb1 Sb B Rb Ra1 Rcw 1 Q1 Q1 Rcw Ra Sa 1 n. Q1 Q1 FIGUR 5 condiçõ d qilíbrio à rotação da da trliça plana, rontal prior, M 0 M B 0, orncm, rpctivamnt (Fig. 5): R. Q.( n. + ) (35.1) a1 1 1 0 R. + Q.( n. ) (35.) b 1 1 0 Somando mmbro a mmbro a da qaçõ antrior rlta:
10 R Q1. + Rb a1 1 (36) Sbtitindo Q 1 dado pla qação (3) dado pla qação (4) na qação antrior rlta: R + Rb.cot (37). a1 1 Sbtitindo R + R dado pla qação antrior na (34) rlta: a1 b R.cot (38). 1 1 Sbtitindo R 1 dado pla qação antrior na (33) iolando rlta: tg 1. σ... (39) 1 Como 1 1 ond é a ára total da ção da armadra longitdinal é o prímtro do contorno médio da ção, a qação antrior ica: (40) tg. σ... (41) Sbtitindo, na qação antrior, σ por ywd trocando a notação d por Rd4, rlta: ywd tg.... (4) Rd4 Eta qação é ada pla norma (NBR 6118, itm 17.5.1.6, b) para calclar o momnto toror ritnt d cálclo, no tado limit último, provnint da orça d tração na armadra longitdinal.
11 Para o cao particlar d 45 o, a qação (4) ornc: ywd... (43) Rd4 grança m rlação à rína por tração da armadra longitdinal é conidrada atiatória qando o momnto toror olicitant d cálclo, Sd, or mnor o igal ao momnto toror ritnt d cálclo, Rd4, ito é, qando Sd 4 (44) Rd 9- Cálclo da armadra (cao 45 o ) 9.1- rmadra tranvral (tribo a 90 o ) Sbtitindo Rd3 dado pla qação (31) na (3) iolando 90 ywd Sd.. 90 rlta: (45) Eta qação prmit calclar a ára mínima ncária para a ção da armadra tranvral, por nidad d comprimnto da viga. Not- q, dirntmnt do q ocorr com o tribo para a orça cortant, a ára rr- a apna m ramo do tribo da torção. 90 9.- rmadra longitdinal Sbtitindo Rd4 dado pla qação (43) na (44) iolando ywd Sd.. rlta: (46) Eta qação prmit calclar a ára mínima ncária para a ção da armadra longitdinal.
1 armadra longitdinal d torção dv r niormmnt ditribída obr o contorno médio da ção. lém dio, no cao d çõ poligonai, m cada vértic do tribo, dv r colocada ma barra. 10- axa gométrica d armadra taxa gométrica da armadra d torção, tranvral longitdinal, ão a rlaçõ ntr a ára da çõ da armadra a ára da çõ d concrto q a nvolvm, ito é: ρ w h 90 (47) ρ h (48) 11- axa mínima taxa mínima d armadra d torção prmitida pla norma (NBR 6118, itm 17.5.1.) ão: ctm ρw, min ρ, min 0,. (49) ywk por: Portanto, a ára mínima da çõ da armadra d torção ão dada 90 min min ρ w, min.h (50) 1- Sçõ poligonai convxa chia O cálclo à torção d viga d çõ poligonai chia é btitído plo cálclo d viga d çõ vazada qivalnt. ção vazada qivalnt dv
13 tr contorno xtrno igal ao da ção chia pra d pard h atiazndo a da gint condiçõ (NBR 6118, itm 17.5.1.4.1) h (51) h. c 1 (5) ond é a ára da ção chia, é o prímtro da ção chia c 1 é a ditância do ixo d ma barra longitdinal à ac xtrna da viga. ornc Como xmplo, para ma ção qadrada chia d lado b a qação (51) b b h 4. b 4 para ma ção circlar chia d diâmtro d ornc (53.1) π. d h 4 π. d d 4 (53.) 13- Sçõ vazada Eta çõ ão calclada conidrando- a mnor dntr a da gint pra d pard (NBR 6118, itm 17.5.1.4.3): a) a pra ral da pard; b) a pra qivalnt, pondo a ção chia. 14- Dtalh contrtivo Vr NBR 6118, itm 18.3.4.
14 15- Solicitaçõ combinada 15.1- Flxão torção a) Vriicação do concrto O valor d cálclo da tnão principal d comprão no concrto, banzo comprimido, dv atiazr a condição (NBR 6118, itm 17.7.1.4) d 0,85. cd σ d, no σ (54) b) Cálclo da armadra longitdinal armadra longitdinai para a lxão para a torção podm r calclada paradamnt omada (NBR 6118, itm 17.7.1.). 15.- orção orça cortant a) Vriicação do concrto grança m rlação à rína por comprão da bila d concrto é conidrada atiatória qando or atiita a gint condição (NBR 6118, itm 17.7..): V V Sd Sd + 1 Rd Rd (55) b) Cálclo da armadra tranvral armadra tranvrai para a torção para a orça cortant podm r calclada paradamnt omada (NBR 6118, itm 17.7..3).
15 16- Exmplo d cálclo Na ção d ma viga d concrto armado ata m momnto toror d 80 kn.m. ção é rtanglar chia d 40x60 cm d lado. Calclar dtalhar a armadra d torção para a ção. Cota m cm. 60 53 40 33 FIGUR 6 Dado: Concrto C30: ck 30 MPa ço C-50: yk 500 MPa Cobrimnto: c 30 mm Solção: γ Ritência d cálclo: 30 1,4 cd ck c / 3 1,4MPa / 3 ctm 0,3. ck 0,3.30,90 MPa min ywk 500 ywd ; 435 MPa min ; 435 MPa 435 MPa γ 115,
16 Sção vazada qivalnt (Fig. 7): h b b a a φ φ t c1 c FIGUR 7 Epra da pard da ção vazada qivalnt: a.b 0,40.0,60 h 0,1 m.(a + b).(0,40 + 0,60) c φ 0 c + φt + 30 + 10 + 50 mm 0,05 m ( φ t φ timado) 1 h 1.c.0,05 0,10 m h 0,10 m. Valor colhido para h (atiazndo a da condiçõ antrior): Mdida da ção qivalnt: a 0,40 0,10 0,30 m b 0,60 0,10 0,50 m a.b 0,30.0,50 0,150 m.(a + b ).(0,30 + 0,50) 1,60 m
17 Momnto toror olicitant d cálclo: Sd γ.s 1,4.80 11 kn.m α Vriicação do concrto: ck 30 1 1 50 50 v Rd 0,50. α v. cd.. h 0,880 Rd 0,50.0,880.(1,4E3).0,150.0,10 141kN.m > Sd... OK Cálclo da armadra tranvral longitdinal: 90 ywd Sd.. 11 (435E3)..0,150 m 0,000858 m cm 8,58 m axa mínima d armadra d torção: 0,.,90 0,. 500 ρw, min ρ, min ctm ywk 0,001160 rmadra d torção mínima: 90 min min ρ w, min.h m 0,001160.0,10 0,000116 m Conclão. Como a armadra calclada ão maior q a mínima prmitida pla norma, dv- ar a calclada. Portanto: 90 cm 8,58 m φ 1,5 c.14. 8,58.1,60 13,73 cm 6 φ 0 o 10 φ 16