INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA RANILDO LOPES

VARIÁVEL Algumas variáveis, como sexo, nível de escolaridade, estado civil e transporte, apresentam como resultado uma qualidade, atributo ou preferência da pessoa entrevistada. Variáveis dessa natureza recebem o nome de variáveis qualitativas.

VARIÁVEL Outras variáveis, como idade e renda mensal apresentam como resposta um número, resultante nesse exemplo de mensuração. Variáveis assim definidas são chamadas variáveis quantitativas. Cabe ressaltar, que se os pesquisadores tivessem perguntado: Quantas vezes por semana você costuma ir ao cinema?, teríamos como objeto de estudo uma variável quantitativa, cujos valores assumidos são resultante de contagem.

VARIÁVEIS: QUADRO RESUMO VARIÁVEL QUALITATIVA QUANTITATIVA DISCRETA (contagem) CONTÍNUA (mensuração)

As variáveis qualitativas representam a informação que indica alguma qualidade, categoria ou característica não susceptível de medida, mas de classificação, assumindo várias modalidades. As variáveis quantitativas representam a informação resultante de características susceptíveis de serem medidas, apresentando-se com diferentes intensidades, que podem ser de natureza discreta variáveis discretas ou contínua variáveis contínuas.

Resumindo:

Situação: A direção de um parque contratou uma equipe de pesquisadores para coletar algumas informações sobre seus freqüentadores. Os cem entrevistados responderam às seguintes questões: sexo, idade, quantas vezes por semana vão ao parque, período de visita (manhã, tarde ou noite), tempo de permanência e quantia gasta nas dependências do parque. Cada um desses objetos de estudo corresponde a uma variável. Classifique as variáveis quanto ao tipo.

RESOLUÇÃO DO PROBLEMA Variáveis qualitativas: sexo e período de visita. Variáveis quantitativas I) Discreta: número de visitas por semana. II) Contínuas: idade, tempo de permanência e quantia gasta nas dependências do parque.

De acordo com a Resolução 886 do IBGE, nas casas ou células da tabela devemos colocar : um traço horizontal ( - ) quando o valor é zero; três pontos (... ) quando não temos os dados; zero ( 0 ) quando o valor é muito pequeno para ser expresso pela unidade utilizada; um ponto de interrogação (? ) quando temos dúvida quanto à exatidão de determinado valor. Obs: Os lados direito e esquerdo de uma tabela oficial devem ser abertos. Salientamos que em alguns documentos as tabelas não são abertas devido a limitações de editores como o html".

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Dados estatísticos podem ser representados tanto por tabelas quanto por gráficos.

CLASSIFICAÇÃO: Diagramas; Pictogramas; Cartogramas.

Diagramas São gráficos geométricos dispostos em duas dimensões. São os mais usados na representação de séries estatísticas.

I) Gráficos em barras horizontais (gráfico de barras) Para sua construção, as freqüências são anotadas no eixo das abscissas, e os valores da variável, no eixo das ordenadas.

Gráficos em barras horizontais

Gráficos em barras verticais (gráfico de colunas) Como o próprio nome indica, nesse tipo de gráfico as freqüências serão representadas por colunas retângulos com bases de mesma medida, cujas alturas correspondem às freqüências.

Gráfico de colunas 3D

Gráfico de setores (Pizza) Este gráfico é construído com base em um círculo, e é empregado sempre que desejamos ressaltar a participação do dado no total. O total é representado pelo círculo, que fica dividido em tantos setores quantas são as partes. Os setores são tais que suas áreas são respectivamente proporcionais aos dados da série. O gráfico em setores só deve ser empregado quando há, no máximo, sete dados.

Gráfico de setores

Gráficos de linhas (poligonal) São frequentemente usados para representação de séries cronológicas com um grande número de períodos de tempo. As linhas são mais eficientes do que as colunas, quando existem intensas flutuações nas séries ou quando há necessidade de se representarem várias séries em um mesmo gráfico.

Gráficos de linhas

II) PICTOGRAMAS São construídos a partir de figuras representativas da intensidade do fenômeno. Este tipo de gráfico tem a vantagem de despertar a atenção do público leigo, pois sua forma é atraente e sugestiva. Os símbolos devem ser auto-explicativos. A desvantagem dos pictogramas é que apenas mostram uma visão geral do fenômeno, e não de detalhes minuciosos.

PICTOGRAMA

III) CARTOGRAMAS São ilustrações relativas a cartas geográficas (mapas). O objetivo desse gráfico é o de figurar os dados estatísticos diretamente relacionados com áreas geográficas ou políticas.

CARTOGRAMA

análise, representação e redução De DaDos Observe Qual o é gráfico. o O título gráfico responde Fica tem completamente linhas auxiliares? esclarecido Qual é o com o do às questões: gráfico? papel das O gráfico quê; linhas Quando; apresentado? auxiliares na Justifique elaboração a resposta. de um gráfico? Onde?

Gráfico de barras Os gráficos de barras são fáceis de construir e de ler, por isso são os mais populares. Apresento quatro tipos de gráficos de barras.

Gráficos circulares Na construção Não é de aconselhável um gráfico circular construir deve-se ter um em gráfico conta circular: que: para a amplitude variáveis de que cada tenham sector mais é de proporcional cinco ou seis à modalidades; frequência para que situações representa; em a legenda que os pode sectores ser resultam dispensada, inscrevendo-se aproximadamente os valores com da a mesma variável amplitude; e as suas para frequências sectores nos com respectivos amplitudes sectores muito pequenas. circulares; Não é formalmente podem-se usar correcto cores apresentar diferentesgráficos para os com diferentes forma sectores; de elipse o gráfico ou com deve sectores ter um separados. título adequado. Os gráficos circulares são uma boa forma de mostrar como um todo está repartido.

Pictogramas O pictograma seguinte refere-se à opinião recolhida, Indique um valor aproximado através de um inquérito, de um grupo de pessoas para o número de pessoas que que acabou de assistir a um filme. participaram no inquérito.

Histograma No caso de uma variável contínua é muito frequente representar a distribuição através de um histograma. Um histograma é um gráfico de barras com as seguintes características: o gráfico deve ter um título adequado; os dados estão agrupados em classes (variável contínua ou discreta); a área da barra rectangular é proporcional à frequência; os diferentes valores da variável estão representados no eixo horizontal que está dividido numa escala contínua como um eixo cartesiano; no eixo vertical estão representadas as frequências das classes; as barras são desenhadas verticalmente e correspondem a cada uma das classes em que os valores foram agrupados; não há espaços entre as barras.

Repare que qualquer dos histogramas anteriores foi construído marcando no eixo horizontal os intervalos de classe e no eixo vertical as respectivas frequências. Como os intervalos de classe são iguais, resulta imediatamente que as alturas dos rectângulos, para além das respectivas áreas, são proporcionais às respectivas frequências.

função cumulativa Função cumulativa para dados discretos As frequências acumuladas são representadas graficamente pela função cumulativa. A função cumulativa indica, para cada valor real x, a frequência absoluta (ou relativa) de observações com intensidade menor ou igual a x.

Graficamente a função cumulativa tem o seguinte aspecto:

Polígonos De frequências Polígonos de frequências para dados simples A representação gráfica é um diagrama de barras em que estas têm pouca largura. Utiliza-se este tipo de gráfico quando o número de barras é relativamente grande. À linha a tracejado que une os extremos das barras chama-se polígono de frequências.

Polígonos de frequências para dados agrupados em classes O polígono de frequências para dados agrupados em classes resulta da união sucessiva, através de segmentos de recta, dos pontos médios dos lados superiores dos diferentes rectângulos de um histograma. Tempo gasto na resolução de um problema Para a sua construção, localiza-se o ponto cuja abcissa é igual ao ponto médio da classe e a ordenada é a correspondente à frequência de classe. Unem-se os sucessivos pontos formando um polígono. De modo a obter uma figura fechada, juntam-se classes extras, uma de cada lado, de frequência zero.

Diagrama De caule e folhas ou separador De frequências Esta forma de organização de dados tem a particularidade de permitir ao observador uma percepção do aspecto global da distribuição dos dados sem que, ao mesmo tempo, se perca a informação contida na colecção inicial dos dados. Consideremos os dados da tabela.

Tomando cada um dos dados, isto é, cada uma das classificações, separemos o algarismo das dezenas, a que chamamos tronco, do algarismo das unidades, a que chamamos folha. Podemos, então, dispor os dados da seguinte forma: A observação do separador de frequências permite reconstituir os dados iniciais. Para tal, lê-se: 7 na 1.ª linha; 15 na 2.ª linha; 25 e 29 na 3.ª linha; 30, 32 e 38 na 4.ª linha; 40, 42, 45 e 46 na 5.ª linha;

7 na 1.ª linha; 15 na 2.ª linha; 25 e 29 na 3.ª linha; 30, 32 e 38 na 4.ª linha; 40, 42, 45 e 46 na 5.ª linha; Relativamente a outras formas de organização de dados, o separador de frequências apresenta algumas vantagens, nomeadamente: não implica a definição de classes arbitrárias; todos os dados observados estão presentes; observando o separador de frequências podemos imaginar o gráfico resultante do grupo de dados.

Curva normal A curva normal é um tipo de curva simétrica, suave, cuja forma lembra um sino. O aspecto mais marcante dessa curva é a simetria. O ponto de freqüência máxima dessa curva está situado no meio da distribuição, em que a média, a mediana e a moda coincidem.

Curva normal

Área sob a curva normal

Podemos concluir, então, que a área total sob a curva normal compreendida 3 3 entre e, inclui para efeitos práticos, a totalidade dos dados sob qualquer curva normal (mais de 99%).

SITUAÇÃO: Para entendermos melhor essa característica, vamos examinar o que alguns antropólogos dizem a respeito da diferença de QIs ligadas ao sexo. Alguns pesquisadores afirmam que homens e mulheres têm QI médio igual a 100. Entretanto, esses QIs diferem acentuadamente em termos de variabilidade em torno da média.

A distribuição do QIs masculinos contém uma porcentagem maior de valores extremos representativos de sujeitos brilhantes e de sujeitos medíocres enquanto que a distribuição de QIs femininos contém uma porcentagem maior de valores localizados próximos à média.

Em virtude do desvio padrão ser uma medida de variabilidade, essas diferenças ligadas ao sexo deveriam refletir no valor do desvio padrão de cada distribuição de QIs. Poderíamos, assim, verificar, por exemplo, que 10 para os indivíduos do sexo masculino e que 5 para os indivíduos do sexo feminino.

Se conhecêssemos o desvio de cada conjunto de valores de QI e admitíssemos que cada conjunto tivesse distribuição normal, poderíamos estimar e, em seguida, comparar as porcentagens de indivíduos do sexo masculino e indivíduos do sexo feminino localizadas numa dada amplitude de QIs.

Distribuição de QIs masculinos

Distribuição de QIs femininos

CONCLUSÕES O desvio padrão e a curva normal nos permite comparar os QIs femininos e masculinos ao longo de toda a distribuição.

Por exemplo: se medirmos a linha base da distribuição de QIs masculinos em unidades de desvio padrão, ficaremos sabendo que 68,25% dos valores caem entre -1sigma e + 1sigma. Desse modo, 68,25% dos representantes do sexo masculino terão, nas condições propostas QIs entre 90 e 110.

RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DA APOSTILA DO ANGLO AULAS 18 E 19 - ESTATÍSTICA SETOR 1102 PÁGINA 19

Exercício 1: Uma prova de matemática constou de 20 testes apresentando a seguinte distribuição por assunto: ASSUNTO FREQUÊNCIA PORCENTAGEM Geometria 6 Álgebra 8 Aritmética 4 Cálculo 2 TOTAL 20 a) Complete a coluna de porcentagem. b) Represente estes dados num gráfico de barras verticais.

Exercício 1: Resolução (item a) Geometria : 6 20 0,3 30% Álgebra : 8 20 0,4 40% Aritmética : 4 20 0,2 20% Cálculo: 2 20 0,1 10%

Exercício 1: Resolução (item a continuação) ASSUNTO FREQUÊNCIA PORCENTAGEM Geometria 6 30% Álgebra 8 40% Aritmética 4 20% Cálculo 2 10% TOTAL 20 100%

Exercício 1: Resolução (item b)

Exercício 2: Nas aulas de Educação Física de um colégio são praticados três esportes: vôlei, futebol e basquete. Cada um dos 300 alunos opta por um único esporte. Sabendo que 75 alunos escolheram futebol, responda:

Exercício 2: a) Quanto mede em graus o ângulo do setor circular que corresponde ao número de alunos que optaram por futebol? 300 75 360 x o x 75.360 300 o x 90 o

Exercício 2: b) Quantos alunos optaram por basquete, se o ângulo do setor circular correspondente aos alunos que escolheram vôlei mede 120º. futebol vôlei 90 o 120 o basquete 360 360 o o 150 o 300 360 x 150 o o Assim, x 125

Exercício 3: Foram perguntadas as idades dos 10 primeiros alunos matriculados num determinado curso noturno e obteve-se a seguinte seqüência de idades: 17, 20, 19, 18, 21, 16, 18, 21, 21, 19 Pede-se, obter: a) Idade média b) Mediana (Md) c) Moda (Mo) d) Variância (σ2) e) Desvio padrão (σ)

Exercício 3 a) Idade média: Resposta Ordenando, temos :(16,17,18,18,19,19, 20, 21, 21, 21) x 16 17 2.18 2.19 10 20 3.21 x 19

Exercício 3 b) Mediana: Resposta Ordenando, temos :(16,17,18,18,19,19, 20, 21, 21, 21) Média dos termos centrais : Md 19 19 2 Md 19

Exercício 3 c) Moda: Resposta Ordenando, temos :(16,17,18,18,19,19, 20, 21, 21, 21) valor que aparece com maior frequência : Mo 21

Exercício 3 d) Variância: Resposta 2 (16 19) 2 (17 19) 2 2.(18 19) 2 2.(19 19) 10 2 (20 19) 2 3.(2119) 2 2 28 10 2 2,8

Exercício 3 e) Desvio padrão: Resposta 2 2,8 2,8 1,67

Exercício 4: Dois estudantes, A e B, obtiveram as notas abaixo relativas aos quatro bimestres escolares. A 6 4 5 5 B 6 6 4 4 a) Calcule a média das notas de cada aluno. b) Qual aluno teve uma atuação mais regular?

Exercício 4 a) Resposta x A 6 4 4 5 5 5 x B 6 6 4 4 4 5

Exercício 4 b) Resposta regular. o estudante A teve atuação mais, Como 1 4 4 4 5) (4 5) (4 5) (6 5) (6 2 2 4 2 4 5) (5 5) (5 5) (4 5) (6 A 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 B B B B A A A