Classificação das superfícies Compactas sem bordo

Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia Departamento de Matemática Classificação das superfícies Compactas sem bordo Autor: Regina Lourenço de Barros Orientador: Márcio de Jesus Soares Disciplina: Trabalho de Conclusão do Curso Curso: Licenciatura em Matemática Professores Responsáveis: Ivo Machado da Costa Liane Bordignon Vera Lúcia Carbone São Carlos, 21 de dezembro de 2010.

Classificação das superfícies Compactas sem bordo Autor: Regina Lourenço de Barros Orientador: Márcio de Jesus Soares Disciplina: Trabalho de Conclusão do Curso Curso: Licenciatura em Matemática Professores Responsáveis: Ivo Machado da Costa Liane Bordignon Vera Lúcia Carbone Instituição: Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia Departamento de Matemática São Carlos, 21 de dezembro de 2010. Regina Lourenço de Barros (aluno) Márcio de Jesus Soares (orientador)

Agradecimentos Meus sinceros agradecimento a meu orientador, professor Márcio de Jesus Soares. Sem sua atenção, paciência e estímulo este trabalho não teria sido possível.

Resumo Um dos conceitos geométrico mais simples em Topologia geral é o de Superfície, e com ele podemos iniciar o aluno na área de Topologia Algébrica de forma simples, antes de entrar em conceitos mais abstratos como o de variedades topológicas, ou complexos celulares CW. Neste trabalho de conclusão de curso foi estudado o Teorema de Classificação das superfícies compactas sem bordo.

iv Sumário Introdução vi 1 Topologia Geral 1 1.1 Topologia sobre um conjunto.......................... 1 1.2 Subespaço topológico.............................. 3 1.3 Base e sub-base................................. 3 1.4 Conjuntos fechados............................... 5 1.5 Funções contínuas................................ 6 1.5.1 Topologia Induzida........................... 6 1.5.2 Topologia coinduzida.......................... 6 1.5.3 Homeomorfismo............................. 6 1.6 Topologia da ordem............................... 7 1.7 Topologia produto............................... 7 1.8 Conexidade................................... 8 1.9 Espaço de Hausdorff.............................. 10 1.10 Compacidade.................................. 10 1.11 Topologia quociente............................... 11 2 Superfícies Compactas sem bordo 13 2.1 Superfícies.................................... 13 2.2 Orientabilidade................................. 15 2.3 Soma conexa de superfícies........................... 17 2.4 Triangularização................................ 19 2.5 Característica de Euler de uma superfície................... 20 2.6 Teorema de Classificação das Superfícies Compactas............. 22

v Lista de Figuras 1.1 Topologias de X = {a, b, c}........................... 2 1.2 Exemplo de coleções de subconjunto de X que não são topologias..... 3 1.3 Exemplo de abertos em X na topologia da ordem.............. 7 1.4 Exemplo de cartesiano não básico....................... 8 1.5 Exemplo do pente................................ 10 2.1 Representação poligonal da esfera....................... 14 2.2 Representação poligonal do plano projetivo.................. 14 2.3 Representação poligonal do Toro........................ 15 2.4 Representação poligonal da Garrafa de Klein................. 15 2.5 Esquematização da transformação da Garrafa de Klein........... 16 2.6 Garrafa de Klein como dois planos projetivos................. 16 2.7 Faixa de Möbius não é orientável....................... 17 2.8 Soma conexa de um bitoro e de um toro................... 17 2.9 Soma conexa de uma superfície fechada M com S 2............. 18 2.10.......................................... 18 2.11 Exemplos de não-triangularização....................... 19 2.12 Exemplos de triangularização......................... 20 2.13 Característica de Euler da esfera S 2 e do plano projetivo P 2........ 21 2.14 Característica do toro T 2 : v = 9, e = 27 e t = 18............... 21 2.15 Soma conexa de dois toros........................... 22 2.16 Passo 2...................................... 23 2.17 Passo 3...................................... 24 2.18 Passo 4...................................... 24 2.19 Passo 5...................................... 25

vi Introdução Este trabalho versa sobre superfícies compactas sem bordo também chamadas de superfícies fechadas. O trabalho está dividido em dois capítulos, sendo o primeiro sobre noções básicas de Topologia, e o segundo sobre Superfícies. No capítulo 1 serão abordados conceitos de topologia geral como Espaços Topológicos, base para uma topologia, sub-base, funções contínuas, Espaços conexos, Espaços compactos e Topologia quociente. Nele estão as ferramentas básicas de Topologia para que se possa entender o conceito de superfície de uma maneira formal. No capítulo 2 trataremos das suprfícies compactas sem bordo do ponto de vista topológico. Nele será apresentada a definição de Superfície, orientabilidade, soma conexa, triangularização e Característica de Euler. O capítulo é finalizado com o Teorema de classificação de Superfícies.

1 Capítulo 1 Topologia Geral Este capítulo inicial é voltado aos conceitos básicos de Topologia Geral necessários para um entendimento formal dos conceitos que serão apresentados no capítulo seguinte. Aqui não há como objetivo apresentar demonstrações, mas sim de mostrar o que foi visto e aprendido durante os estudos. 1.1 Topologia sobre um conjunto Definição 1 (Topologia). Uma topologia sobre um conjunto X é uma coleção τ de subconjuntos de X que tem as seguintes propriedades: Os subconjuntos e X estão em τ. A união de elementos de qualquer subcoleção de τ está em τ. A intersecção de elementos de qualquer subcoleção finita de τ está em τ. Se X é um conjunto e τ é uma topologia definida sobre X, chama-se espaço topológico ao par (X, τ). Os subconjuntos de X que pertencem à coleção τ são chamados de conjuntos abertos. Exemplo 1. No conjunto R dos números reais podem ser definidas diferentes topologias. Na topologia usual de R um conjunto é aberto quando é igual a união de intervalos do tipo (a, b) com (a, b) = {x a < x < b}. Seja X um conjunto qualquer. A coleção de todos os subconjuntos de X chama-se topologia discreta. A coleção que consiste apenas de X e de chama-se topologia trivial ou caótica. Se τ e τ são duas topologias sobre um dado conjunto X, e se τ τ, dizemos que a topologia τ é mais fina do que a topologia τ. Neste caso, dizemos, também, que as topologias τ e τ são comparáveis. Nem sempre duas topologias são comparáveis.

1. Topologia Geral 2 Por exemplo, seja X = {a, b, c} um conjunto de três elementos. Sobre o conjunto X é possível munir 9 topologias distintas, a menos de permutação entre os elementos.na figura 1.1, os conjuntos abertos são representados pelos elementos no interior de cada curva fechada. a b c a b c a b c (a) τ 1 (b) τ 2 (c) τ 3 a b c a b c a b c (d) τ 4 (e) τ 5 (f) τ 6 a b c a b c a b c (g) τ 7 (h) τ 8 (i) τ 9 Figura 1.1: Topologias de X = {a, b, c} Na figura 1.1 vemos que a topologia τ 8 é mais fina do que τ 7, pois contém todos os subconjuntos de τ 7, e tem outros adicionais; vemos, também, que τ 2 e τ 3 não são comparáveis, pois cada uma das coleções contém algum subconjunto que a outra não tem. Mesmo um conjunto de três elementos como X, pode ter muitas topologias diferentes. Mas nem toda coleção de subconjuntos é uma topologia. Observe os esquemas abaixo: Note que a figura 1.2 nos dá uma visualização de coleções τ e τ de subconjuntos de X que não são topologias. A coleção τ não é topologia pois a união {a} {b} = {a, b} não pertence à τ, e τ não é topologia pois a interseção {a, b} {b, c} = {b} não pertence à τ. Exemplo 2 (Topologia Cofinita, ou complementar finita). Sejam X um conjunto qualquer e τ f a coleção de todos os subconjuntos U de X tal que X \ U ou é finito, ou é igual a X. Então, τ f é uma topologia. De fato,

1. Topologia Geral 3 a b c a b c (a) τ = { } X,, {a}, {b} (b) τ = { } X,, {a, b}, {b, c} Figura 1.2: Exemplo de coleções de subconjunto de X que não são topologias Os conjuntos X e estão em τ f, pois X \ X = é finito e X \ = X; seja {U α } uma coleção indexada de subconjuntos não vazios de τ f, temos que U α está em τ f, pois X \ U α = (X \ U α ). Este último termo é finito porque cada X \ U α é finito; a intersecção de número finito de subconjuntos não vazios de X também está τ f, pois X \ n i=n U i = U n i=1(x \ U i ). Este último termo é finito por ser união finita de finitos. 1.2 Subespaço topológico Definição 2 (Subespaço Topológico). Seja X um espaço topológico com a topologia τ. Se Y é um subconjunto de X, a coleção τ Y = {Y U U τ} é uma topologia em Y chamada topologia subespaço. Com esta topologia, Y é chamado de subespaço topológico de X.Seus abertos consistem de todas as intersecções dos conjuntos abertos de X com Y. Note que, de fato, τ Y é uma topologia, pois = Y τ Y e Y = Y Xτ Y, onde e X são elementos de τ; qualquer união de elementos de τ Y α J (U α Y ) = ( α J U α) Y ; está em τ Y, uma vez que e a intersecção de um número finito de elementos de τ Y está em τ Y, uma vez que (U 1 Y )... (U n Y ) = (U 1... U n ) Y Exemplo 3. Os subconjuntos abertos de Y = [ 1, 1] como subespaço de R, na topologia usual, resultam da união dos conjuntos das formas (a, b) Y, [ 1, b) e (a, 1]. 1.3 Base e sub-base Topologias, geralmente,contém um número muito grande de subconjuntos mas podemos caracterizar uma topologia através de uma coleção menor de subconjuntos, que é chamada de base.

1. Topologia Geral 4 Definição 3 (Base). Para ser base de uma topologia, uma subcoleção B de subconjuntos de X deve observar: Para cada x X, há pelo menos um elemento B da base contendo x. Se x pertence a dois elementos da base, B 1 e B 2, há um outro elemento B 3 da base que contém x e tal que B 3 B 1 B 2 -A topologia τ gerada pela base B é assim descrita: um subconjunto U de X é aberto, isto é, pertence a τ se para cada x U, há um elemento da base tal que x B e B U. Exemplo 4. Seja B a coleção de todas as regiões circulares no plano. Temos que B é uma base para a topologia usual do plano R 2. Exemplo 5. Se X é qualquer conjunto, a coleção de todos os subconjuntos unitários de X é uma base para a topologia discreta em X. Lema 1.3.1. Seja X um conjunto. Seja B uma base para a topologia τ em X. Então, τ é igual à coleção de todas as uniões de elementos de B. Demonstração. Dada uma coleção de elementos de B,eles também são elementos de τ. Como τ é uma topologia, sua união está em τ. Por outro lado, dado U τ, escolha para cada x U um elemento B x de B tal que x B x U. Então, U é a união dos B x, ou seja, é igual à união de todos os elementos de B. Lema 1.3.2. Sejam B e B bases para as topologias τ e τ, respectivamente, em X. Então, são equivalentes as afirmações: 1. A topologia τ é mais fina do τ. 2. Para cada x X e cada elemento B de B contendo x, há um elemento B da base B tal que x B B. Então, uma topologia é mais fina do que a outra quando também sua base é mais fina do que a outra. Definição 4 (Sub-base). Uma sub-base S para uma topologia em X é uma coleção de subconjuntos de X cuja união é igual a X. A topologia gerada pela sub-base S é definida como a coleção τ de todas as uniões de intersecções finitas de elementos de S. Exemplo 6. Considere as coleções de subconjuntos de R: 1. B = {(a, + ) a R}; onde (a, + ) = {x x > a}. 2. B = {(, a) a R}; onde (, a) = {x x < a}. 3. B = {(a, b) a < b}. 4. B B é uma subbase que gera topologia igual à gerada pela B.

1. Topologia Geral 5 1.4 Conjuntos fechados Definição 5. Um subconjunto A de um espaço topológico X é chamado de fechado se o conjunto X \ A é aberto. Definição 6 (Fecho e interior de um conjunto). Seja A subconjunto do espaço topológico X. O interior de A é definido como a união de todos os subconjuntos abertos de X contidos em A. O fecho de A no espaço topológico X é definido como a intersecção de todos os subconjuntos fechados de X que contém A. Note que, se A é aberto, então A é igual a seu interior; e se A é fechado, então A é igual a seu fecho. Definição 7 (Bordo ou fronteira). O bordo, ou fronteira, de A é a intersecção do fecho de A com o fecho de X \ A, ou seja, equivale ao fecho de A sem o seu interior. É possível definir topologias num conjunto a partir de conjuntos fechados, mas a maioria dos matemáticos prefere os conjuntos abertos. Proposição 1.4.1 (Definição de topologia através de conjuntos fechados). Seja X um espaço topológico. Então, as seguintes afirmações são verdadeiras: 1. Os conjunto e X são fechados; 2. Qualquer intersecção de conjuntos fechados é um conjunto fechado; 3. Uniões finitas de conjuntos fechados são conjuntos fechados. Demonstração. 1. os conjuntos e X são fechados pois eles são complementos dos conjuntos X e, respectivamente. 2. Dada uma coleção de conjuntos fechados {A α } α J, temos: X \ α J A α = α J (X \A α). Como os conjuntos X \A α são abertos, o lado direito da equação representa união de abertos. Portanto, A α é fechada. 3. Se A i é fechado, para i = 1,..., n, X \ n i=1 A i = n i=1 (X \ A i). O lado direito da equação é conjunto aberto, pois é a intersecção finita de abertos. Portanto, A i é fechado. Exemplo 7. O subconjunto [a, b] de R, na topologia usual da reta é fechado porque seu complemento R [a, b] = (, a) (b, + ) é aberto.

1. Topologia Geral 6 1.5 Funções contínuas Sejam (X, τ) e (Y, δ) espaços topológicos. A aplicação f : X Y é contínua em x X se para qualquer aberto V contendo f(x) há aberto U contendo x tal que f(u) V. A aplicação f : X Y é contínua se a imagem inversa de qualquer aberto de Y for aberto em X. A continuidade depende não só de f mas também das topologias de X e Y. Como numa aplicação contínua f : X Y, a imagem inversa de um conjunto aberto em Y é um conjunto aberto em X, se a topologia em Y é a caótica ou se a topologia em X é a discreta, f vai ser sempre contínua. 1.5.1 Topologia Induzida Seja f : S X uma aplicação de um conjunto arbitrário S num espaço topológico X. A coleção τ das imagens inversas f 1 (A) dos abertos A X pela aplicação f é uma topologia em S chamada induzida. A aplicação f é contínua porque a imagem inversa de cada aberto de X é aberta em S. Qualquer topologia em S, segundo a qual f é contínua, deve conter como abertos, pelo menos as imagens inversas dos abertos de X. A topologia induzida por f é a menos fina dentre as topologias em S que tornam a aplicação f : S X contínua. 1.5.2 Topologia coinduzida Seja X espaço topológico, Q um conjunto qualquer e ϕ : X Q uma aplicação. Seja τ a coleção dos subconjuntos B Q tais que ϕ 1 (B) é um aberto em X. A coleção τ é uma topologia em Q chamada topologia coinduzida pela aplicação ϕ. A topologia coinduzida é a mais fina em Q com a propriedade de tornar ϕ contínua. Um exemplo de topologia coinduzida é a topologia quociente que será estudada em próxima seção. 1.5.3 Homeomorfismo Sejam X e Y espaços topológicos. Seja f : X Y uma bijeção. A aplicação f é um homeomorfismo, se f e f 1 forem contínuas em X e Y,respectivamente. A condição de que f 1 seja contínua, quer dizer que para cada conjunto aberto U de X, a imagem inversa de U pela aplicação de f 1 : Y X é um aberto em Y. Mas a imagem inversa de U pela aplicação f 1 é a mesma imagem de U pela aplicação f. Então, outra maneira de definir homeomorfismo, é dizer que é correspondência bijetora f : X Y tal que f(u) é um aberto se, e somente se, U é um aberto em X. Homeomorfismo é, assim, correspondência bijetora não somente entre X e Y, mas também entre os subconjuntos abertos de X e Y. Sejam X e Y espaços topológicos. Se existe homeomorfismo entre X e Y, dizemos que os espaços topológicos X e Y são homeomorfos.

1. Topologia Geral 7 Exemplo 8. A função f : R R dada por f(x) = 3x + 1 é um homeomorfismo. 1.6 Topologia da ordem Se X é um conjunto ordenado, existe uma topologia padrão para X, usando a relação de ordem. Definição 8 (Topologia da ordem). Seja X um conjunto com mais de um elemento e com a relação de ordem e seja B a coleção de todos os conjuntos do tipo: 1. Todos os intervalos abertos do tipo (a, b) em X tais que se x (a, b), a x b. 2. Todos os intervalos da forma [a 0, b) onde a 0 é o menor elemento de X (se houver). 3. Todos os intervalos da forma (a, b 0 ], onde b 0 é o maior elemento de X(se houver). Então, a coleção B é uma base, e a topologia gerada por B é chamada topologia da ordem. a!d a!b c!d a!b Figura 1.3: Exemplo de abertos em X na topologia da ordem Exemplo 9. A topologia padrão em R é a topologia da ordem que deriva da ordem usual que existe em R. 1.7 Topologia produto Sejam X e Y dois espaços topológicos. Topologia produto em X Y é a topologia que tem por base a coleção B de todos os conjuntos da forma U V, onde U é aberto de X, e V aberto de Y. Então, B é base. De fato, 1. X Y é um elemento da base.

1. Topologia Geral 8 2. A intersecção de dois elementos da base é outro elemento da base: (U 1 V 1 ) (U 2 V 2 ) = (U 1 U 2 ) (V 1 V 2 ). A base B da topologia produto não é topologia em X Y, pois, em geral, a união de dois elementos da base não é produto de dois conjuntos e, por isso, não pertencem à base B. V 2{ V { 1 { { U 1 U 2 Figura 1.4: Exemplo de cartesiano não básico Se B é uma base para a topologia de X e se C é uma base para a topologia de Y, o conjunto D = {B C tal que B B e C C} é uma base para a topologia de X Y. Exemplo 10. Seja R com a topologia ordem. O produto dessa topologia consigo mesma, é chamada de topologia padrão em R R = R 2. Tem como base a coleção de todos os produtos de conjuntos abertos de R. 1.8 Conexidade Intuitivamente, X é um espaço conexo se é formado por um só pedaço. Definição de separação: Uma separação de um espaço topológico X é um par de subconjuntos abertos, não vazios e disjuntos de X cuja união é igual a X. O espaço X é chamado de conexo quando não existe essa separação. Conexidade é uma propriedade topológica pois é formulada em termos da coleção de subconjuntos abertos de X. Se X é conexo,qualquer espaço homeomorfo a X também é conexo. Conexidade pode ser formulada do seguinte modo: Um espaço é conexo se, e somente se, os únicos conjuntos de X que são abertos e fechados em X ao mesmo tempo, são os conjuntos X e. Isto é verdadeiro porque se um subconjunto A de X for aberto e fechado ao mesmo tempo, A e seu complementar em X constituiriam uma separação de X (pois são conjuntos abertos disjuntos, não vazios cuja

1. Topologia Geral 9 união é igual a X) e assim, X não seria conexo. Por outro lado, se X não fosse conexo, haveria separação de X (o conjunto A e seu complementar, por exemplo) e, então, haveria outro conjunto não vazio, além de X, aberto e fechado ao mesmo tempo. Exemplo 11. O conjunto dos números reais R, com a topologia usual da reta, é conexo. Exemplo 12. O conjunto dos números racionais Q,como subconjunto de R, na topologia usual, não é conexo pois sempre há um irracional entre dois racionais. Pois, Q = {q Q q < 2} {q Q q > 2}, que são conjuntos abertos disjuntos e não vazios. No espaço conexo X somente o e o próprio X são abertos e fechados ao mesmo tempo. Exemplo 13. O subconjunto vazio e o conjunto de um só ponto são conexos em qualquer espaço topológico. Exemplo 14. Se X é espaço topológico na topologia caótica, X é conexo. Definição 9 (CONEXIDADE LOCAL). Um espaço X é localmente conexo em x se,para qualquer vizinhança U de x(isto é,para qualquer conjunto aberto U que contém x ) há uma vizinhança conexa V de x em U. Se X é localmente conexo em cada um de seus pontos, diz-se, simplesmente, que X é conexo. Definição 10 (Caminho). Dados os pontos x e y do espaço X, um caminho em X de x a y é uma aplicação contínua de f : [a, b] X, de algum intervalo fechado da reta real em X, tal que f(a) = x e f(b) = y. Definição 11 (espaço conexo por caminho). Um espaço X é chamado conexo por caminho se cada par de pontos de X podem ser unidos por um caminho em X. Exemplo 15. Seja C o espaço pente: C = ([0, 1] 0) (K [0, 1]) (0 [0, 1]) em que K é o conjunto {1/n n Z + }. O espaço D obtido ao se tirar de C o ponto da linha vertical 0 (0, 1) é chamado espaço pente deletado. O espaço C é conexo por caminho e o espaço D, apesar de ser conexo, pois é igual à união do conjunto conexo por caminho ([0, 1] 0) (K [0, 1]) e do ponto 0 1 de A, não é conexo por caminho. Definição 12 (Componente conexa). Seja (S λ ) uma família de subconjuntos conexos de um espaço topológico.se existir um ponto comum a todos os S λ, a reunião será conexa. A componente conexa C x de um ponto x de um espaço X é o maior subconjunto conexo de X que contém o ponto x. O espaço X será conexo se, e somente se, for a componente conexa de cada um de seus pontos.

1. Topologia Geral 10 1.9 Espaço de Hausdorff Figura 1.5: Exemplo do pente Definição 13. Um espaço X é chamado de espaço de Hausdorff (ou espaço separado) quando, dados dois pontos arbitrários x y em X, existem abertos A, B, e X tais que x A, y B e A B =. Exemplo 16. O conjunto dos números reais R com a topologia habitual, é um espaço de Hausdorff, porque cada par de seus pontos pode ser separado por abertos disjuntos de R. De fato, sejam x e y dois pontos de R tais que x y e seja y x a distância entre x e y. Seja ɛ = y x /2. Os intervalos (x ɛ, x + ɛ) e (y ɛ, y + ɛ) que contém x e y, respectivamente, são conjuntos abertos disjuntos de R. Exemplo 17. Todo espaço topológico discreto é de Hausdorff Exemplo 18. O espaço com mais de um ponto com a topologia caótica não é de Hausdorff, pois neste caso, só o e o próprio conjunto são abertos, não sendo possível separar seus pontos. 1.10 Compacidade Intuitivamente, espaços compactos são espaços limitados e fechados. Em R n espaços limitados e fechados são sempre compactos. Espaço compacto goza da propriedade estabelecida pelo Teorema de Borel-Lebesgue: toda cobertura de um conjunto compacto por abertos admite uma subcobertura finita. Definição 14 (COBERTURA). Uma coleção A de subconjuntos de um espaço X é chamada de cobertura de X, se a união de elementos de A é igual a X. É chamada de cobertura aberta ( fechada ) de X se seus elementos são subconjuntos abertos (fechados ) de X.

1. Topologia Geral 11 Definição 15 (ESPAÇO COMPACTO). Um espaço X é chamado de compacto se qualquer cobertura aberta A de X contém uma subcoleção finita que também cobre X. Exemplo 19. Todos os intervalos fechados da reta são compactos. Exemplo 20. O seguinte subconjunto X = {0} {1/n n Z + } de R é compacto. Exemplo 21. O conjunto dos números reais R com a topologia usual da reta, não é compacto pois a cobertura de R por intervalos abertos da forma A = {(n, n + 2) n Z} não contém uma subcoleção finita que cubra R. Exemplo 22. Qualquer espaço X que contenha somente número finito de pontos é compacto pois qualquer cobertura aberta de X é finita. Definição 16 (COMPACIDADE LOCAL). Um espaço X é localmente compacto no ponto x se existir um subconjunto compacto C de X que contém uma vizinhança de x. Se X é localmente compacto em cada um dos seus pontos, X é localmente compacto. Exemplo 23. R, com a topologia usual da reta, é localmente compacto. O ponto x fica em algum intervalo (a, b) que, por sua vez está contido no conjunto compacto [a, b]. O subconjunto dos racionais não é localmente compacto. 1.11 Topologia quociente Uma relação binária num conjunto X é um subconjunto do produto cartesiano X X. A relação binária R é chamada de relação de equivalência se obedece às propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva. Se X é espaço topológico e E relação de equivalência, a topologia quociente é uma aplicação sobrejetiva de X X/E, sendo X/E o conjunto das classes de equivalência de X. A cada elemento de x X associamos sua classe de equivalência. Definição 17 (Aplicação quociente). Sejam X e Y espaços topológicos. Seja p : X Y uma aplicação sobrejetiva. A aplicação p é chamada de aplicação quociente se um subconjunto U de Y é aberto em Y se p 1 (U) é aberto em X. Dois tipos especiais de aplicação quociente são as aplicações abertas e fechadas. Uma aplicação f : X Y é chamada aberta (fechada) se para cada conjunto aberto (fechado) U de X, o conjunto f(u) é aberto (fechado) em Y. Se p : X Y é uma aplicação sobrejetiva contínua que é aberta ou fechada, então p é uma aplicação quociente. Definição 18 (TOPOLOGIA QUOCIENTE). Se X é um espaço e A é um conjunto e se p : X A é uma aplicação sobrejetiva, então existe uma única topologia τ em A relativa à qual p é uma aplicação quociente induzida por p.

1. Topologia Geral 12 Definição 19 (ESPAÇO QUOCIENTE). Seja X um espaço topológico e X uma partição de X. Se p : X X é uma aplicação sobrejetiva que leva cada ponto de X ao elemento de X que o contém. Na topologia quociente induzida por p, o espaço X é chamado espaço quociente de X. O Espaço quociente chamado também de topologia identificação de espaço. Exemplo 24. Seja X o retângulo [0, 1] [0, 1]. Vamos definir uma partição X de X assim: Todos os conjuntos de um ponto da forma x y onde 0 < x < 1 e 0 < y < 1; Todos os seguintes conjuntos de dois pontos; {x 0, x 1} onde 0 < x < 1; {0 y, 1 y} onde 0 < y < 1; e {0 0, 0 1, 1 0, 1 1}. Com a aplicação quociente de X X obtemos o espaço quociente X do espaço X. Geometricamente, equivale a colar todos os bordos de um retângulo para formar um toro.

13 Capítulo 2 Superfícies Compactas sem bordo Neste capítulo serão vistos alguns conceitos úteis para a caracterização de superfícies compactas sem bordo. Aqui, assim como no capítulo inicial, não há a intenção de demonstrar. Porém, para o Teorema de Classificação da Superfícies Compactas sem Bordo, que é o objetivo principal do trabalho, são apresentadas as ideias que direcionam sua demonstração. 2.1 Superfícies As Superfícies são objetos geométricos bidimensionais que não existem no mundo real, somente em nossa imaginação. Alguns exemplos de superfícies são a casca de uma esfera e o plano da geometria euclideana. Do ponto de vista topológico, uma superfície ou variedade bidimensional, é um espaço topológico com as mesmas propriedades locais do plano da geometria euclideana. Definição 20 (Superfície sem bordo, ou fechadas). A superfície, sem bordo, é um espaço topológico de Hausdorff, que em cada ponto tem uma vizinhança homeomorfa ao disco unitário U 2 = {x R 2 : x < 1}. A geometria de superfíes estuda aspectos que se alteram com as deformações como: distâncias; áreas; ângulos; e curvaturas. Já a topologia de superfícies é o conjunto de propriedades que não se alteram com deformações como: esticar a superfície, ou parte dela; encolher a superfície, ou parte dela; entortar a superfície, ou partes dela; e cortar a superfície segundo linha suave, e depois colar uma na outra pelas bordas produzidas pela colagem. Duas superfícies são chamadas de homeomorfas se uma pode ser transformada na outra através de um ou de um conjunto desses quatro tipos de deformações. Proposição 2.1.1. Seja P um polígono com um número par de lados. Suponha que os lados sejam identificados aos pares. Então, o espaço quociente é uma superfície compacta.

2. Superfícies Compactas sem bordo 14 Como o polígono tem número par de lados, quando estes são identificados aos pares, todo o bordo desaparece, ficando uma superfície fechada e, portanto, compacta num espaço euclidiano R n, para algum n natural. Exemplo 25 (Esfera). A esfera é homeomorfa ao espaço quociente de um círculo formado ao se identificar o bordo do círculo em um único ponto. A representação plana da esfera pode ser feita através de um polígono de dois lados com os bordos identificados sem rotação (ver figura 2.1). Figura 2.1: Representação poligonal da esfera Exemplo 26 (Plano projetivo). O plano projetivo é o espaço quociente da esfera S 2, obtido identificando-se cada par de pontos diametralmente opostos. O plano projetivo pode, ainda ser representado por um polígono de dois lados com setas indicando orientação discordante para sua identificação (ver figura 2.2). Figura 2.2: Representação poligonal do plano projetivo Exemplo 27 (Toro). O toro pode ser descrito como qualquer superfície homeomorfa a superfície de um anel, ou a uma câmara de ar. Seja X um quadrado unitário em R 2 : {(x, y) R 2 : 0 x 1, 0 y 1}. O toro é qualquer espaço homeomorfo ao espaço quociente de X obtido ao se identificar os lados do quadrado do seguinte modo: são identificados os pontos (0, y) e (1, y) no intervalo 0 y 1; e os pontos (x, 0) e (x, 1) são identificados no intervalo 0 x 1 (ver figura 2.3). Exemplo 28 (Faixa de Möbius). A faixa de Möbius (ver figura 2.7) é um espaço topológico que pode assim ser definido como espaço quociente da seguinte forma: seja X = {(x, y)

2. Superfícies Compactas sem bordo 15 Figura 2.3: Representação poligonal do Toro R 2 : 10 x 10, para 1 < y < 1}. Formamos, então o espaço quociente de X identificando os pontos (10, y) e ( 10, y) para 1 < y < 1, note que a faixa de Möbius é um subconjunto de R 3. Exemplo 29 (Garrafa de Klein). A garrafa de Klein é homeomorfa ao espaço quociente obtido ao se identificar os lados opostos de um quadrado, conforme mostra a figura 2.4. Figura 2.4: Representação poligonal da Garrafa de Klein Uma tentativa de visualização da transformação do polígono na Garrafa de Klein é dada na figura 2.5. A figura 2.6 mostra como cortar uma garrafa de Klein de modo a produzir duas faixas de Möbius. 2.2 Orientabilidade Uma superfície que contenha um caminho fechado que inverte orientação é denominada superfície não orientável. Caso contrário, é chamada de superfície orientável. Geometricamente, podemos pensar em um sistema de coordenadas associado a um ponto desse caminho fechado, e deslocar esse ponto ao longo da curva. Se, ao percorrer o caminho fechado, o sistema de coordenadas se altera, a superfície é não orientável (ver figura 2.7).

2. Superfícies Compactas sem bordo 16 Figura 2.5: Esquematização da transformação da Garrafa de Klein I II II I (a) Cortes (b) Colagem Figura 2.6: Garrafa de Klein como dois planos projetivos O exemplo da figura 2.7 é a superfície não orientável chamada Faixa de Möbius, que pode ser contruída tomando-se uma tira de papel retangular e colando-se as extremidades após meia torção (180 graus da fita). A linha central da fita, após identificação das pontas, se torna um círculo. Um viajante que seguisse o círculo com uma escolha definida de orientação, retornaria ao ponto inicial com sua orientaçao invertida (ver figura 2.7). Se o nosso universo não fosse orientável, um astronauta, ao percorrer um caminho não orientável, voltaria à Terra com os lados direito e esquerdo invertidos e seu coração

2. Superfícies Compactas sem bordo 17 Figura 2.7: Faixa de Möbius não é orientável Figura 2.8: Soma conexa de um bitoro e de um toro ficaria, então, posicionado à direita, devido a mudança de orientação da base. A esfera e o toro são superfícies orientáveis e o plano projetivo e a garrafa de Klein são superfícies não orientáveis. 2.3 Soma conexa de superfícies O objetivo deste trabalho é estudar as superfícies compactas sem bordo. São elas: a esfera, o toro, o plano projetivo, e a soma conexa de toros e planos projetivos. Essas superfícies são especiais porque existe um teorema que as classifica completamente. Além disso, existe um índice numérico ( característica de Euler ) que,juntamente com o critério de orientabilidade, nos permite saber se duas superfícies são homeomorfas. Duas superfícies fechadas e disjuntas X e Y podem ser somadas de modo a se conseguir uma superfície conexa. De cada uma, retiramos o interior de uma pequena região circular e identificamos os bordos resultantes (ver figura 2.8), e representamos essa soma conexa por X#Y. Como exemplos, podemos citar o bitoro que é soma conexa de dois toros, e o tritoro (ver figura 2.8 1 ). A soma conexa é comutativa, S 1 #S 2 = S 2 #S 1, e, também, associativa, (S 1 #S 2 )#S 3 = S 1 #(S 2 #S 3 ). A esfera S 2 é o elemento neutro da soma conexa de superfícies, ou seja, se M é uma 1 Esta figura foi retirada do livro [5]

2. Superfícies Compactas sem bordo 18 Figura 2.9: Soma conexa de uma superfície fechada M com S 2 superfície fechada, M#S 2 = M (ver figura 2.9 2 ). Exemplo 30 (Garrafa de Klein). A garrafa de Klein é igual à soma conexa de dois planos projetivos, ou seja, K 2 = P 2 #P 2. A seguir segue uma sequência de figuras que ilustram esta soma. a b a b c c c c a b a (a) Retira-se um disco aberto de cada plano projetivo b (b) Identifica-se cada bordo resultante da retirada dos abertos a b d d a b a a b (c) Executa-se um corte d (d) Finaliza-se identificando os lados b s Figura 2.10: Como já foi citado, qualquer superfície fechada pode ser representada por uma diagrama poligonal plano. Arestas são etiquetadas com letras e setas. Cada par de letras iguais corresponde a lados a serem identificados. Podemos, então associar a cada representação poligonal, uma palavra feita de sequência de letras obtida ao se percorrer o polígono em sentido horário, ou anti-horário. Ao passarmos por uma aresta, anexamos o 2 Esta figura foi retirada do livro [5]

2. Superfícies Compactas sem bordo 19 expoente ( 1) a sua letra se estivermos em sentido contrário à orientaçao da seta. Assim, teremos as palavras representações para as seguintes superfícies: Superfície Palavra Toro aba 1 b 1 Esfera aa 1 Plano projetivo aa Garrafa de Klein aba 1 b 2.4 Triangularização Podemos supor que um triângulo numa superfície é uma porção dessa superfície que é homeomorfa a uma região triangular plana. O triângulo de uma superfície é dotado como o triângulo plano, de três vértices, uma face e três arestas. Definição 21 (Triangularização). Uma coleção de triângulos de uma superfície será chamada de triangulação ou triangularização se obedecer às seguintes regras: 1. Cada par de triângulos tem em comum uma aresta ou um vértice ou nada em comum. 2. Cada aresta é comum a dois triângulos. 3. Para cada par de pontos A e B da superfície, há triângulos: 1, 2,..., n com A na região triangular 1 e B na região triangular n tal que cada dois triângulos consecutivos têm uma aresta em comum. I I II II (a) Toro (b) Plano projetivo Figura 2.11: Exemplos de não-triangularização Na figura 2.11 (a), os triângulos assinalados, que já têm um vértice comum, passam a ter dois vértices comuns, após a identificação dos lados opostos do quadrado para formar o toro. Essa figura, portanto, não representa uma triangularização.

2. Superfícies Compactas sem bordo 20 A triangularização (b) não é triangularização do plano projetivo, mas é da esfera pois os triângulos assinalados terão apenas dois vértices comuns após a identificação que ocorre no plano projetivo, que é feita após uma torsão da superfície, mas terão uma aresta toda comum após a identificação que ocorre na esfera. (a) Toro (b) Plano projetivo Figura 2.12: Exemplos de triangularização 2.5 Característica de Euler de uma superfície A característica de Euler é uma ferramenta importante para classificar as superfícies, pois é um invariante topológico, ou seja, superfícies homeomorfas têm a mesma característica de Euler Seja M uma superfície com a triangulação T 1... T n. Consideremos v o número de vértices de M, e o número de arestas de M, e t o número total de triângulos. Então χ(m) = v e + t é a Característica de Euler, a qual depende somente de M, e não da triangulação. Temos as seguintes características de Euler para as seguintes superfícies: Superfície Característica de Euler Esfera 2 Toro 0 Planos projetivo 1 Proposição 2.5.1. As características de Euler de duas superfícies S 1 e S 2, e da soma conexa S 1 #S 2 são relacionadas pela fórmula χ(s 1 #S 2 ) = χ(s 1 ) + χ(s 2 ) 2 (2.1) Demonstração. Retire um triângulo de cada superfície triangulada e identifique os bordos.

2. Superfícies Compactas sem bordo 21 (a) S 2 : v = 44, e = 126 e t = 84 (b) P 2 : v = 43, e = 126 e t = 84 Figura 2.13: Característica de Euler da esfera S 2 e do plano projetivo P 2 Figura 2.14: Característica do toro T 2 : v = 9, e = 27 e t = 18 É só cortar e verificar (ver figura 2.15 3 ). Diante da proposição acima, obtemos a seguinte tabela Superfície Soma conexa de toros Soma conexa de n planos projetivos Soma conexa de um plano projetivo e n toros Soma conexa de uma garrafa de Klein e n toros Característica de Euler 2 2n 2 n 1 2n 2n Tabela 2.1: Característica de Euler para somas conexas A característica de Euler de superfície orientável é par, enquanto a característica de Euler de uma superfície não orientável pode ser par ou ímpar. Teorema 2.5.2. Duas superfícies compactas S 1 e S 2 são homeomorfas se, e somente se, forem ambas orientáveis, ou não orientáveis, e se tiverem a mesma característica de Euler. 3 Esta figura foi retirada do livro [5]

2. Superfı cies Compactas sem bordo 22 Figura 2.15: Soma conexa de dois toros 2.6 Teorema de Classificac a o das Superfı cies Compactas Todas as superfı cies compactas podem ser formadas por somas conexas de um nu mero variado de toros e/ou de planos projetivos. E o que nos demonstra o Teorema de classificac a o de superfı cies compactas: Teorema 2.6.1 (Classificac a o das Superfı cies). Qualquer superfı cie compacta e homeomorfa ou a esfera, ou a uma soma conexa de toros, ou a uma soma conexa de planos projetivos. Demonstrac a o. Partindo do fato de que toda superfı cie compacta e triangulariza vel, a demontrac a o e feita provando que toda superfı cie fechada e homeomorfa a um polı gono com lados identificados aos pares. Neste trabalho na o sera apresentada a demonstrac a o do teorema, vamos nos limitar a descrever os passos usados para demonstra -lo. 1o Passo: Construc a o de um modelo da superfı cie S em R2. Seja S superfı cie compacta, S e triangulariza vel.sejam T1, T2,... Tn os tria ngulos da triangularizac a o. Cada um dos tria ngulos Ti tem um lado ei comum com pelo menos um tria ngulo da triangularizac a o. Para provar isso, vamos numerar um deles de T1 e de T2 o que tiver lado em comum com ele. O tria ngulo T3 sera, assim, o que tiver lado em comum com T1 ou T2, e assim, sucessivamente. Usamos essa ordenac a o

2. Superfícies Compactas sem bordo 23 dos lados comuns e i para construir um modelo de superfície S em R 2. Esse modelo será um polígono com lados identificados aos pares. Para cada triângulo T i em S existe um triângulo T i em R 2 e um homeomorfismo ϕ i de T i em T i. Assumimos que os triângulos T i são disjuntos dois a dois. Senão o forem, podemos fazer uma translação deles a outras partes de R 2. Se T é a união dos T i. O triângulo T é um subconjunto compacto de R 2. Defina aplicação ϕ como T S por ϕ T i = ϕ i. Observamos que ϕ é contínua e sobrejetiva; ϕé aplicação fechada ( pois T é compacta e S é Hausdorff); S tem a topologia quociente determinada por ϕ (isto é, quer dizer que S é obtida ao colar os triángulos T i ao longo dos lados apropriados). Seja D o espaço quociente de T obtido ao identificar-se os lados de T. A aplicação ϕ de T S induz a aplicação ψ de D S e S tem a topologia quociente induzida por ψ que é sobrejetiva e fechada ( já que D é compacto e S é Hausdorff). Topologicamente, D é um disco fechado. S é obtida de D identificando-se os lados do contorno de D aos pares. 2 o Passo: Eliminação dos bordos adjacentes de 1 o tipo (aa 1 ) Continuamos o processo até que esses pares sejam eliminados ou até que se obtenha um polígono de dois lados (esfera ou plano projetivo). Caso contrário,vamos para o passo seguinte. A figura 2.16 ilustra esse procedimento. Figura 2.16: Passo 2 3 o Passo: Os vértices devem ser identificados a um único vértice (embora os lados sejam identificados aos pares, os vértices podem ser identificados em conjuntos de 1, 2, 3, 4, etc. Os vértices dos polígonos são chamados de equivalentes se forem identificados na mesma classe de equivalência. O procedimento de corte e colagem permite

2. Superfícies Compactas sem bordo 24 que seja diminuído o número de vértices numa determinada classe de equivalência. Procedemos com os passos dois e três até que todos os vértices sejam identificados com um único vértice. A figura 2.17 ilustra como são os cortes e as colagens do passo 3. Figura 2.17: Passo 3 4 o Passo Fazer com que os pares do 2 o tipo fiquem adjacentes. Fazemos isso até quando for possível. Obteremos polígonos do tipo a 1 a 1 a 2 a 2 a 3 a 3... a n a n (soma conexa de n planos projetivos). A figura 2.18 mostra como realizar o corte e a colagem do passo 4. Figura 2.18: Passo 4 5 o Passo Suponha que tenhamos dois pares do 1o. tipo separados entre si. Podemos alterar o polígono de modo a tornar esses quatro lados consecutivos ao longo do perímetro do polígono.resulta uma superfície igual a soma conexa de toros. A figura 2.19 ilustra os estágio do passo 5. O lema a seguir finaliza a demonstração do teorema, mostrando que ao se realizar soma conexa de toro, ou toros, e plano projetivo, temos uma soma conexa com planos projetivos apenas. Lema 2.6.2. A soma conexa de um toro e um plano projetivo é homeomorfo à soma

2. Superfícies Compactas sem bordo 25 Figura 2.19: Passo 5 conexa de três planos projetivos, ou seja, T 2 #P 2 = P 2 #P 2 #P 2 A demonstração desse lema se encontra em [3] O teorema da classificação das superfícies, teorema 2.6.1, juntamente com o teorema 2.5.2 nos fornece a seguinte proposição. Proposição 2.6.3. Qualquer superfície compacta orientável é homeomorfa a esfera, ou a uma soma conexa de toros. E, qualquer superfície não orientável é homeomorfa a um soma conexa de planos projetivos. Para identificar uma superfície precisamos, então, determinar sua característica de Euler, e verificar se a superfície é orientável ou não. Além disso, o teorema de classificação de superfícies nos diz quais são todas as superfícies compactas, a menos de homeomorfismo. Assim, essa classe de espaço topológico tem uma classificação completa.

26 Referências Bibliográficas [1] D Ambrósio, Ubiratan, Métodos de Topologia: introdução e aplicações, Livros técnicos e Científicos, Rio de Janeiro, 1977. [2] Lima, Elon Lages, Elementos de Topologia Geral, Livros Técnicos e Científicos, Rio de Janeiro, 1976. [3] Massey, William S., Algebraic Topology, an introduction, Spriger Verlag, New York, 1977. [4] Munkres, James Raymond, Topology: a first course, Prentice Hall Inc., New Jersey, 1975. [5] Sampaio, João Carlos Vieira, Uma introdução à topologia geométrica, EDUFSCar, São Carlos, 2008.