Métodos de Análise de Circuitos

1 utor: Prof Paulo icardo Telles angel Elétricos 1 Introdução Os métodos de análise de circuitos elétricos são ferramentas que envolvem os conceitos de eletricidade, como a Lei de Ohm, em conjunto com técnicas matemáticas, tais como sistemas e matrizes, para a solução das equações que descrevem o comportamento de um circuito elétrico em função das variáveis tensão, corrente e resistência. Para que se possa equacionar um circuito elétrico é necessário inicialmente estabelecer as Leis de Kirchhoff, que descrevem o comportamento das tensões nas malhas e das correntes nos nós do circuito. 2 Lei de Kirchhoff para Tensão (LKT) LKT é conhecida como LEI S MLHS, onde: soma algébrica das tensões em um circuito fechado, ou malha, é igual a zero. Igualmente aos circuitos série, também podemos enunciar esta lei como: soma das elevações de tensão em uma malha é igual a soma das quedas de tensão sobre os componentes associados à mesma. V 1 1 E V 2 3 V 3 2 Fig.1 - Polaridades das tensões em um circuito com uma malha. Portanto, para o circuito da figura 1, podemos escrever: V E+ V1 + V2 + V3 (1) ou

2 E V1 + V2 + V 3 (2) onde: E é a tensão da fonte e Vn é a queda de tensão em cada resistor n. omo é obtido este somatório? Para se definir o sinal de cada tensão na equação (ver equação 1) é necessário percorrer a malha em um determinado sentido arbitrário (geralmente o sentido horário), portanto: Sentido Horário: () V E + V + V + V (3) 1 2 3 Sentido nti-horário: () V E V V V 1 2 3 (4) EXEMPLO 1: Escreva a equação das tensões de malha e calcule a ddp sobre 2 para o circuito abaixo. Sentido horário (): 5V 1 V 12 + 5 + 3 + V2 12V 2 3V 4 + V2 V 2 V 2 4V 5.2 Lei de Kirchhoff para orrente (LK) Também conhecida como LEI OS NÓS, indica que: soma das correntes que chegam em um nó (ou junção) é igual a soma das correntes que saem do mesmo. Nó ou junção é a conexão entre dois ou mais ramos de um circuito elétrico. figura 2 mostra uma junção com quatro ramos.

3 1 i 1 nó ou junção 4 i 4 i 2 2 i 3 3 Fig. 2 - orrente em um nó ou junção formada por quatro ramos. Na figura 2, i1 e i3 chegam ao nó enquanto i2 e i4 saem do mesmo. Então, podemos escrever a equação do nó como: i1 + i3 i2 + i4 (5) Podemos ainda dizer que o somatório das correntes em um nó é igual a zero, sendo as correntes que chegam ao nó positivas e as que saem, negativas. Portanto, para a figura 2, teremos: i i1 i2 + i3 i4 (6) EXEMPLO 2: Para o circuito da figura abaixo, calcule a corrente no resistor 2. i 2 2 1 2 5 3 + i i i i i 0 1 2 3 4 nó 1 4 2 i2 + 5 1 i 2 6 3. Método da nálise das Malhas Também chamado método das correntes nas malhas é um método de resolução de circuitos elétricos que aplica a lei de Kirchhoff para tensão (LKT) à circuitos de mais de uma malha. Para resolver um circuito pelas correntes nas malhas, inicialmente devemos escolher os percursos de cada malha e após, arbitrarmos as

4 suas respectivas correntes. plicando então a LKT para cada percurso, encontramos as correntes de cada malha e, conseqüentemente, a corrente ou tensão de cada resistor ou qualquer componente de circuito. EXEMPLO 3: Encontre as correntes nas malhas e as ddp s de cada resistor para o circuito abaixo. E 110W E20V 2 20W 3 15W 4 5W F 1 0 PSSO: eterminar as malhas e indicar as correntes em cada malha. 110W E 2 20W E20V i 1 i 2 315W MLH 1 MLH 2 4 5W F MLH 1 -, corrente i 1 MLH 2 - EF, corrente i2 2 0 PSSO: plicar a lei de Kirchhoff para tensão (LKT) para cada malha, de forma independente uma da outra, definindo polaridade positiva (da queda de tensão de cada resistor) para o lado onde entra a corrente da malha. 1 10W E V 1 220W MLH 2 E20V i i 2 1 V 2 V 3 V 2 3 15W MLH 1 V 4 4 5W F Obs.: a tensão V2 aparece com duas polaridades distintas devido a independência de cálculo de cada malha.

5 esolvendo a MLH 1, temos a equação (1): V E + V1 + V2 (1) esolvendo a MLH 2, temos a equação (2): V V2 + V3 + V4 (2) 3 0 PSSO: Substituir cada tensão da malha por sua respectiva equação de Ohm. Obs.: as correntes das malhas não necessariamente correspondem às correntes reais do circuito. esta forma, poderá aparecer a representação de mais de uma corrente de malha em um determinado resistor (como se observa em 2 ), pois a LKT é aplicada independentemente para cada malha. MLH 1 MLH 2 20 + 1.i1 + 2.( i1 i 2 ) (3) 2.( i2 i 1) + 3.i2 + 4.i2 (4) 4 0 PSSO: alcular as correntes i1 e i2, montando e resolvendo um sistema de equações. 1.i1 + 2.i1 2.i2 20 (5) 2.i2 + 3.i2 + 4.i2 2.i1 (6) 30.i1 20.i2 20 (7) 20.i1 + 40.i2 (8) Multiplicando (8) por 1,5 e somando com (7), podemos obter a corrente i2. 30.i1 + 60.i2 + 30.i1 20.i2 20 40.i2 20 i2,5 Substituindo o valor de i2 em (1), obtemos o valor de i1. 30.i 1 20 + 20.0,5 i 1 1 Pode-se definir o valor da corrente no ramo (resistor 2 ) da seguinte forma: i i1 i2 1 0,5 i,5 O sentido de i é o mesmo de i 1.

6 5 0 PSSO: Utilizando a lei de Ohm, calcular as ddp s em cada resistor. V1 1.i1 10.1 V 1 10 V ( ) V.i. i 20. 1 0,5 V 10 V 2 2 1 2 2 V3 3.i2 15.0,5 V 3 7,5 V V4 4.i2 5.0,5 V 4 2,5 V 2 4. Método da nálise Nodal Outro método, conhecido como Método da nálise Nodal, emprega a LK para encontrar as tensões nos nós do circuito, em relação a um nó de referência. O nó de referência pode ser escolhido dentre aqueles do circuito, arbitrando-se a ele uma tensão nula (ou terra). Primeiramente devemos determinar e nomear cada nó, escolhendo um como nó de referência. Logo após, devemos escrever as equações para as correntes dos nós que unem três ou mais ramos do circuito(conhecidos como nós principais), usando para isto a LK. O número de equações resultantes será igual ao número de nós principais menos um. EXEMPLO 4: Para o circuito do EXEMPLO 1, encontre as tensões e correntes em cada componente do circuito empregando o método da análise nodal. 1 0 PSSO: Nomear os nós, adotar um nó como referência e adotar o sentido das correntes que chegam e saem dos nós principais. 1 10W V nó principal V i 1 i 3 E20V i 2 3 15W 2 20W V referência 45W 2 0 PSSO: plicar a LK aos nós principais e resolver para encontrar a tensão em cada nó.

7 i i1 i2 + i3 mas: i 1 V V 1, i 2 V V 2 e i 3 V V 3 V V 4 V V + 3 4 Substituindo os valores das tensões de cada nó e das resistências, temos: 20 V 10 V 0 0 V + 20 15 + 5 40 2V V V 20 V 10 V e 20 V 10 V 0 0 V + 20 5 40 20 10 4. V 20 V 2, 5 V 3 0 PSSO: alcular as ddps e correntes para cada resistor. V V V 20 10 10 V V 10 V 1 1 V V V 10 0 10 V V 10 V 2 2 V V V 10 2, 5 7, 5 V V 7 5 V 3 3, V V V 2,5 0 2, 5 V V 2 5 V 4 4, i 10 1 10 1 i 7,5 3 15,5 i 10 2 20,5 i 2,5 4 5,5 5 Exercícios de fixação 1) Pelo método de análise de malhas, encontre: a) as ddps sobre 1, 2 e 3 ;

8 b) a potência total entregue por E 1 c) E 2 recebe ou entrega potência? Explique.

9 1 2W 3 10W E130V 25W E 2 10V 2) 22W 310W 1 W E 4 20W a) alcule o valor de E para que a fonte entregue 33W quando 10Ω. b) Encontre as correntes nas malhas. c) alcule as ddps sobre 1 e 3 e comente o resultado, baseando-se na teoria dos circuitos série. 3) 2 4 E 8 4 Sendo a fonte E formada por quatro pilhas alcalinas grandes de 1,5V em série, calcule: a) o valor de para que a potência em E seja 240mW; b) as quedas de tensão sobre 2 e 4. c) Verifique se a potência total dissipada pelos resistores é igual a potência entregue pela fonte.

10 4) Para o circuito abaixo: a) alcule, pelo método de análise de malhas, os valores de E e de. b) Encontre a potência entregue a E/4. 5 10 E i 1 1 10 E/4 i 2 0,5 5) 3W 9W 9W 12V 27W 6V 6V a) alcule as correntes nas malhas. b) alcule as ddps sobre os resistores. c) alcule a potência entregue pela fonte de 12V. 6) 1 2W 3 10W E 1 30V 25W E 2 10V Utilizando o método de análise nodal, calcule: a) a corrente de carga da fonte de 10V; b) a tensão V.

11 c) ompare a análise àquela feita no exercício 1.

12 7) 3W 9W 9W 12V 27W 6V 6V E a) alcule as ddps sobre os resistores, empregando análise nodal. b) Encontre a potência recebida pelas fontes de 6V. c) ompare as soluções dos exercícios 5 e 7. 8) 110W 44V 2 20W 3 15W 5 30W 412W 18V E a) través da análise nodal, encontre as ddps sobre os resistores. b) Verifique se as fontes de tensão entregam ou recebem energia.