Economia de Trocas Pura
Caracterização Estamos de volta às questões colocadas por Adam Smith na Riqueza das Nações. Seria um sistema de trocas, baseado em indivíduos auto interessados, com propriedade privada sobre seus ativos, atuando mediante a compra e venda mercadorias, coerente? Que características deve ter esse sistema para que ele funcione? Essas perguntas foram respondidas de diversas maneiras pela teoria neoclássica. No entanto, é importante pontuar os parâmetros que foram escolhidos para julgamento desse sistema. Existe, inicialmente, uma análise positiva que se baseia em três propriedades que deve ter um sistema de trocas, a partir da análise do equilíbrio. Inicialmente, o equilíbrio deve existir, que ficou conhecido como o problema da existência. Existe uma situação em que as ofertas se igualam à demanda e os agentes estejam maximizando sua função objetivo? Afirmar a existência significa encontrar tal situação. Depois, o sistema deve convergir para o equilíbrio, que ficou conhecido como o problema da estabilidade. O problema da estabilidade procura entender se, uma vez fora do equilíbrio, o sistema convergirá a uma posição de equilíbrio ou, se, ao contrário, se afastará dela. Finalmente, interessa saber se o equilíbrio é único ou se devemos conviver com uma multiplicidade de equilíbrios.
Caixa de Edgeworth Uma maneira simplificada de se analisar o problema é pela Caixa de Edgeworth. A caixa adota a hipótese de existência de apenas dois bens e dois consumidores e, a partir dessa extrema simplificação, procura simular o funcionamento de uma economia de mercado. Deve-se estabelecer, desde o princípio, de que a caracterização de uma economia de mercado utilizada na análise do equilíbrio parcial se mantêm válidas, a saber: (i) A existência de propriedade de todos os bens. Essa característica é importante porque associa a economia de mercado à propriedade privada e também garante a ausência de externalidades. (ii) Todos os agentes são tomadores de preço. A única exceção em relação àquela análise é que, na economia de troca pura, representada pela caixa de Edgeworth, não existe produção e, portanto, o sistema de propriedade não atua sobre sistemas de produção. A quantidade de bens ofertados na economia é exógena e representada por intermédio das dotações iniciais de cada agente. É interessante ainda pontuar que se trata de uma abstração e, portanto, não deve incomodar o fato de que um mercado concorrencial é obtido a partir de um sistema com apenas dois consumidores. Tendo em vista essas características, as dotações iniciais do consumidor 1 e do consumidor 2 serão representadas respectivamente por Ω =, e Ω =,. A partir das dotações iniciais, são definidas as quantidades iniciais do bem 1, = + e = +.
Consumidor 2 Consumidor 1 Figura 1 Caixa de Edgeworth
Na análise de equilíbrio parcial com produção, definiu-se alocação como a especificação de um vetor de consumo x i є X i para todo consumidor i=1,...i e um vetor de produção y j є Y j para cada empresa j=1,...j. A alocação será factível se a soma das demandas individuais for menor ou igual a soma das dotações iniciais com a produção para cada bem l=1,...l. Na análise da Caixa de Edgeworth, alocação econômica será definida por um par de vetores =, e =,. A alocação será factível sempre que =, para todo j, ou seja, sempre que o somatório das demandas individuais for igual ao somatório das dotações iniciais. Por outro lado, a caixa de Edgeworthauxilia na demonstração das preferências, na medida em que permite traçar o mapa de curvas de indiferença para cada um dos agentes. Por ora, adotaremos a hipótese de que os consumidores detêm preferências completas, transitivas, contínuas e fortemente monótonas. Essas preferências poderão ser expressas por funções utilidades. A caixa também permite estabelecer a restrição orçamentária que será um resultado endógeno do equilíbrio de preços, ou seja, = R :..Ω.
Preferências dos Consumidores e Região de Trocas Se as preferências do consumidor são completas, haverá uma curva de indiferença passando por cada cesta dentro da caixa de Edgeworth. Isto significa que, pela dotação inicial, que é, por definição, uma alocação factível, passará uma curva de indiferença do consumidor 1 e outra curva de indiferença do consumidor 2. Cada curva de indiferença individual define, para cada consumidor, o conjunto de cestas pelo menos tão boas quanto a dotação inicial, i. ϖ 21 A figura 2 mostra a dotação inicial do agente 2 e o conjunto de cestas x ω, em cinza. A figura abaixo mostra a região de trocas, formada pela interseção Ω 2 dos dois conjuntos de cestas pelo menos tão boas e ϖ 22 representada graficamente pela região riscada.. ϖ 21 2 ϖ 12 Ω ϖ 22 Figura 2 Conjunto de cestas pelo menos tão boas quanto a dotação inicial do agente 2, Ω 2. 1 Figura 3 Região de Trocas. ϖ 11
A região de trocas representa as possibilidades de trocas que há a partir da dotação inicial, o que se deixa claro é que nenhum agente se mover na troca para uma alocação inferior. O processo de maximização da utilidade ocorre com o consumidor escolhendo a melhor cesta possível dada a restrição orçamentária que lhe é apresentada. A figura abaixo apresenta uma restrição orçamentária definida a partir da dotação inicial Ωe os preços p 1 e p 2. A esses preços o consumidor 1 escolhe a cesta Y e o consumidor 2, a cesta X, definindo-se uma alocação Y,X. O problema é que a soma do consumo do bem 2 pelo consumidor 1 e pelo consumidor 2 é maior do que a dotação inicial, não se constituindo em uma alocação factível. A esses preços, portanto, a soma das demandas individuais não é factível. z ( y + x ) ( ω + ) 0 = ω 2 12 22 12 22 > Equilíbrio na Caixa de Edgeworth ϖ 12 y 12 ϖ 21 Ω Y X x 21 ϖ 22 x 22 Sendo z 2 o excesso de demanda pelo bem 2. Conforme definido acima, as alocações factíveis na caixa de Edgeworthexigem que não haja excesso de demanda, ou seja, que os excessos de demanda se igualem a 0 para todos os bens. ϖ 11 y 11 Figura 4 Escolha e Excesso de demanda
Portanto, aos preços definidos na figura anterior, as escolhas individuais, ou seja, os processos de maximização da utilidade não levam a alocações factíveis, significando a geração de excedentes de demanda por pelo menos um dos bens. Logo, o vetor de preços p=(p 1, p 2 ) não se constitui uma alocação de equilíbrio por não ser factível. A figura abaixo apresenta a escolha do consumidor 1 com dotação inicial representada por (ω 11, ω 12 ) a diferentes preços relativos. As curvas vermelhas representam as curvas de indiferançado consumidor 1 e a curva azul representa a curva de Offerou curva preço-consumo, cruzando cada restrição orçamentária no ponto de maximização, ou seja, quando ela tangencia a curva de indiferença. ϖ 12 Curva de Offer 2 Curva de Offer 1 O consumidor 2 também apresenta curvas de indiferença (roxas) e uma curva de Offer (verde). Quando as duas curvas se cruzam, significa que àqueles preços, as escolhas geram alocações factíveis. Um equilíbrio competitivo na caixa de Edgeworthé formado por uma alocação factível em que ambos os consumidores estejam maximizando suas utilidades, ou seja, que represente a melhor escolha aos preços dados. Figura 5 Traçando Curvas de Offer. ϖ 11
A figura 6 mostra as curvas de Offerapresentadas na figura 5 e seus respectivos cruzamentos. É importante identificar que as seguintes condições são preenchidas no ponto X: (i) Uma alocação factível (ii) Ambos agentes estão maximizando os lucros CO 1 X CO 2 Ω Figura 6 Curvas de Offere Preços de Equilíbrio
Pode-se, alternativamente, tratar o assunto a partir de nossa definição de equilíbrio competitivo de mercado, analisada na aula de equilíbrio parcial. No caso, definiu-se equilíbrio de mercado como a situação em que: (i) todas as firmas estão maximizando seus lucros sujeitas às restrições tecnológicas; (ii) todos os consumidores estão maximizando suas utilidades sujeitas à restrição orçamentária; e (iii) há equilíbrio (igualdade) entre oferta e demanda. Em uma economia de trocas puras, a primeira condição é desnecessária. Portanto, restam as condições (ii) e (iii). Deve-se salientar, no entanto, que a condição (iii), em equilíbrio parcial, referia-se a apenas um mercado. No caso da caixa de Edgeworth, existem dois mercados e estão associadas à inexistência de excesso de demanda. A lei de Walrasafirma que a soma dos valores das demandas excedentes deve ser igual a zero: + =0 (1) Mantendo-se a hipótese de que os consumidores gastam sua renda, sabe-se que para cada consumidor: ( )+ ( )=0 (2) Somando-se a equação 2 para os dois agentes existentes na economia, ficamos com: + =0 E, portanto, se o primeiro termo é igual a 0, o segundo também deverá ser, estabelecendo-se a lei de Walras. Portanto, uma consequência da lei de Walrasé que o sistema de equações de equilíbrio de mercado, ou seja, de excessos de demanda deve ter (n-1) graus de liberdade. Isto significa, na caixa de Edgeworth, que, equilibrando-se um mercado, o outro estará automaticamente equilibrado. Pode-se, portanto, caracterizar um mercado como tendo um preço arbitrário, por exemplo, p=1, e estabelecer o outro preço como o de equilíbrio, fazendo com que o sistema seja de preços relativos.
Exercício proposto. Suponha dois agentes, A e B. O agente a tem uma função utilidade, =. O agente B tem uma função utilidade, = min,. O bem 1 e o bem 2 são perfeitamente divisíveis e as dotações iniciais dos dois agentes são:, = 2,1, = 1,2.Os dois desejam trocar em seus bens e um mercado perfeitamente competitivo: (i) Monte a caixa de Edgeworth, estabelecendo as dotações iniciais de cada agente. (ii) Estabeleça o vetor de preços e as quantidades de equilíbrio. Ao resolver o exercício, lembre as duas condições para o equilíbrio de trocas puras, consumidores maximizam sua utilidade e os excedentes de demanda são iguais a 0. Lembre também que o sistema de (n-1) grau de liberdade e que, portanto, você pode arbitrar um preço como sendo igual a 1.
A Curva de Contratos e os Teoremas da Eficiência Na aula de equilíbrio parcial, definiu-se que a alocação (x 1,..., x I,q 1,..., q J ) será eficiente de Pareto se não há alocação alternativo (x 1,..., x I,q 1,..., q J ) tal que u i (x i ) u i (x i ) para todo i=1,...i e u i (x i )> u i (x i ) para pelo menos um i. Em uma economia de trocas puras, não há produção, então, podemoes definir: A alocação (x 1,..., x I ) será eficiente de Pareto se não há alocação alternativo (x 1,..., x I ) tal que u i (x i ) u i (x i ) para todo i=1,...i e u i (x i )> u i (x i ) para pelo menos um i. Uma alocação eficiente de Pareto ocorrerá quando as curvas de indiferença se tangenciarem, como ocorre na figura 7. O locusdas alocações eficientes de Pareto será definido com Curva de Contratos ou Pareteana. (Conforme deve ser fácil raciocinar, ela não deve permitir situações de troca, ou seja, não ter região de trocas, como na figura 3). Figura 7 Curva de Contratos
Eficiência do Equilíbrio Eficiência de Pareto: Uma alocação factível, x, será ótima de Pareto se não há outra alocação, x, que a domine pareteanamente, ou seja, se não há alocação factível tal que para todo i e para pelo menos um i. Primeiro Teorema do Bem-Estar: Se as preferências são localmente não-saciáveis e se (x*,p*) é o preço de equilíbrio, então, a alocação x* é Pareto ótima. Em particular, qualquer equilíbrio walrasiano é ótimo de Pareto. Prova: Se o agente max, então, se *,. >, sendo a riqueza do agente i. Com a propriedade de preferências localmente não saciáveis, se, então,.. Pela definição de eficiência pareteana, se x domina pareteanamentex, obrigatoriamente para todo i e * para algum i. Logo,. >, o que torna a alocação x não factível.
Equilíbrio de preços com transferências: Dada uma economia especificada, a alocação x* e o vetor de preços p constituem um equilíbrio de preços com transferências se há uma designação de riqueza,, com =. em que =, em que todos os consumidores estão maximizando suas utilidades e não há excesso de demanda., Nesse caso, o equilíbrio com transferências não faz exigência específica sobre o caráter distributivo da dotação inicial de cada agente, apenas exige que as somas das riquezas se igualem à riqueza total. Logo, ele permite que a distribuição inicial de ativos seja alterada por intermédio de uma regra de transferência em que seja respeitado que as quantias transferidas sejam iguais a zero. Segundo Teorema do Bem-Estar: toda alocação eficiente de Pareto poderá ser alcançada como um equilíbrio de preços com transferências. No caso da caixa de Edgeworthse está afirmando que qualquer ponto da curva de contratos poderá ser alcançada como uma posição de equilíbrio. A prova desse teorema é um tanto complicada, de maneira que faremos uma apresentação gráfica.
X X A figura 8 apresenta dotações iniciais.no entanto, entende-se que a alocação. Esta alocação leva a uma alocação de equilíbrio X que, por alguma razão, é entendida como insatisfatória. Entende-se que uma alocação próxima a X seria mais adequada para essa economia. Para atingi-la, faz-se uma transferência de dotações que leva a economia a uma alocação. O segundo teorema afirma que, embora não seja eficiente de Pareto, ao se deixar trocar, o equilíbrio encontrado será uma alocação eficiente de Pareto. Figura 8 Equilíbrio de preços com transferências e preferências bem-comportadas Como se pode perceber, na figura 8, pela alocação, deve passar uma linha orçamentária que divide o espaço de cestas preferíveis para o agente 1 e o agente 2 em dois, de maneira que, de um lado, fiquem as cestas preferíveis a, para o agente 1, e, de outro, as cestas preferíveis a, para o agente 2. Para que isso ocorra, no entanto, uma condição deve ser preenchida: as curvas de indiferença devem ser convexas. A figura 9 apresenta um exemplo de curvas de indiferença não-convexas, em que a alocação X, embora seja ótima de Pareto, não se constituirá em um equilíbrio de trocas. A importância desse teorema é que você pode fazer transferências iniciais de dotações orçamentárias e deixar o mercado funcionar que, no final, será encontrada uma alocação ótima de Pareto.
Figura 9 Preferências não-convexas