Leandro dos Santos da Costa

Essa é a primeira versão de um texto que tenta desmistificar as divisões e as operações com frações. Esse texto não apresenta grande rigor matemático e vem com o objetivo de suprir uma deficiência no aprendizado de matemática, então supomos que o leitor tenha o conhecimento superficial de operações básicas. Vamos aqui justificar os mantras decorados no colégio, Para somar as frações faz MMC e muitas outras coisas que fazemos sem pensar Leandro dos Santos da Costa

Divisões e Frações A necessidade de dividir terras e produtos aparece naturalmente na sociedade, com isso técnicas que nos levam mais rapidamente aos resultados vão sendo aperfeiçoadas. Em algumas situações dividir pode ser fácil: -Dividir 12 balas para 2 pessoas -Dividir 20 balas para 10 pessoas Em outras situações a divisão pode não ser tão imediata: - Dividir R$ 288,54 para 3 pessoas - Dividir 1234 m² de terra para 15 pessoas Estamos em um enfoque teórico, não consideramos a qualidade das partes, suponha que temos um bolo de chocolate com 1 cereja que não está exatamente no meio do bolo, agora precisamos dividir esse bolo para duas pessoas, apesar de teoricamente ser simples, basta dividir esse bolo ao meio, na prática isso pode falhar, pois um dos pedaços terá a cereja e isso pode ser motivo de uma divisão nada justa. Sistema de numeração decimal O sistema de numeração que usamos contém 10 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e os agrupamentos são feitos de 10 em 10, ou seja, a cada 10 unidades temos 1 dezena, a cada 10 dezenas temos uma centena... Precisamos ter em mente como formamos os números partindo desse conjunto de dez símbolos e com os agrupamentos de dez, vamos inicialmente lembrar como organizamos os números, veja o número 8235,432: Temos 2 milésimos, 3 centésimos, 4 décimos, 5 unidades, 3 dezenas, 2 centenas e 8 milhares. Veja que em cada categoria o maior número possível é o 9, pois se temos 9 unidades e queremos aumentar 1 unidade, zeramos a unidade e aumentamos a dezena, com isso podemos justificar o sobe um da adição e o pega emprestado da subtração:

Nós começamos a somar pelas unidades, 7 unidades mais 4 unidades, são 11 unidades, isso significa que temos 1 dezena e 1 unidade, a 1 unidade colocamos como parte do resultado, já o 1 da dezena acrescentamos no lugar das dezenas e assim vai... Exercício 1: Justifique o pegar emprestado da subtração, efetuando: 321-288 Os conjuntos numéricos Não vamos abordar formalmente os conjuntos numéricos, nem os construir, precisamos apenas ter uma ideia do que é cada um desses conjuntos. Os números são divididos em conjuntos para que possamos especificar sobre que tipo de número estamos falando. Conjunto dos números naturais (N): Esses são os números que usamos para contagem. N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...} Conjunto dos números inteiros (Z): Em um determinado momento precisaram dos números negativos, para representar dívidas. Z= {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}, repare que dos naturais para os inteiros acrescentamos os números negativos, então os inteiros não são só os negativos, são os naturais mais os negativos. Conjunto dos números racionais (Q): Para representar partes, surgem os números racionais, as frações, nós não vimos frações ainda, então se não estiver claro o que se fala sobre os racionais, não se preocupe. Não conseguimos ordenar os números racionais. Q={p/q p, q Z, q 0} Conjunto dos números Irracionais (I): Os números que não conseguimos representar como frações chamamos de irracionais. I= { 2, 3, 5, π. } Conjunto dos números Reais (R): A união de todos conjuntos anteriores resulta nos Reais, ou seja, faz um pacote com todos números inteiros, frações e os que não conseguimos representar como frações, esses são os Reais. Temos ainda o conjunto dos complexos. Lembrando que o que fizemos acima foi dar uma ideia desses conjuntos, se quer algo rigoroso, procure em outro texto.

Divisão inteira (Divisão Euclidiana) Obs.: Não vamos admitir divisão por zero Lembre o que é um número inteiro, porque nessa primeira etapa, vamos considerar apenas divisões com números inteiros, em que temos dividendo, divisor, quociente e resto inteiros. a: dividendo b: divisor q: quociente r: resto Temos que = +, então o quociente vezes o divisor mais o resto, resulta no dividendo. Se dividirmos 13 por 2 em uma calculadora básica, chegará ao resultado 6,5(não é um número inteiro) e nossa missão é estabelecer um método para chegar a esse resultado, mas temos muito o que explorar na divisão inteira. Vamos estabelecer um método para dividir, olhamos o dividendo e se ele for maior que o divisor, nós continuamos, se não paramos por aí e o próprio dividendo é resto. Dividir 13 por 2, como 13 é maior que 2, podemos continuar, no caso dividir 14 por 30, vamos parar por aí e o 14 é o resto, tente dividir 14 balas inteiras para 30 pessoas, é impossível. Vamos dividir 123 por 3: - 123 é maior que 3, então continuamos. - O Algarismo* do número 123 que tem maior valor é o 1(centena), conseguimos dividir 1 centena por 3? Não, então vamos pegar 1centena e 2 dezenas, ou 12 dezenas, se dividimos 12 dezenas por 3 resulta em 4 dezenas. Dividimos parte do número 120. - Já dividimos 12 dezenas do total de 120 unidades, sobra quanto? 123-12 dezenas, ou 123-120=3. - Dividindo as 3 unidades que restaram por 3, resulta em 1 unidade, e restou 0 do 120 que estamos dividindo. - Acabou a divisão, temos 4 dezenas e 1 unidade, ou seja, quociente 41 e resto 0. *cada um dos caracteres com que se representam os números

Tudo que falamos acima se resume no algoritmo que usualmente representamos: Esse processo é o mesmo para toda divisão inteira, sempre ao terminar o ideal é verificar o resultado, 41x3+0=123. Exercício 2: Efetue as divisões inteiras, evidenciando o quociente e o resto. a) 17 4 b) 120 80 c) 123 4 d) 859 113 A utilidade do zero Tente efetuar a seguinte divisão inteira 1111 11. Quando iniciamos essa divisão não temos problemas. Para dividir, pegamos 1 milhar e 1 centena, isto é, 11 centenas e dividimos por 11, isso resulta em 1 centena, agora vamos tentar dividir 1 dezena, mas não conseguimos, então pegamos 1 dezena e 1 unidade, isto é, 11 unidades divido por 11, resultando em 1 unidade, a divisão acabou com resultado 1 centena e 1 unidade, mas e as dezenas? Não temos nenhuma dezena e representamos com 0.

Exercício 3: Efetue as divisões inteiras, evidenciando o quociente e o resto. a) 111111 11 b) 4256 7 c) 135 4 d) 982745 1983 Frações A necessidade de medir coisas é motivo suficiente para introduzirmos algo novo, as frações. Imagine a situação: dois homens querem dividir as terras que herdaram do pai, mas não sabem o comprimento desse terreno, não existe trena, nem a tal unidade de medida metro. Então um dos irmãos resolveu pegar um galho e medir em galhos. Eles foram medindo, chegando no final contaram 154 galhos, mas faltava um pedacinho e nesse pedacinho não cabia esse galho, e agora?

Se o terreno tivesse apenas 154 galhos, seria simples, seriam 77 galhos para cada um, mas temos um problema, nenhum irmão quer abrir mão de um palmo de terra, começa aí a necessidade de dividir um inteiro, pegar o galho inteiro e dividir em partes. Os irmãos fizeram uma marca no galho, dividiram o galho em 2 partes iguais, mas mesmo assim não foi suficiente para medir, seguiram dividindo o galho, até que dividiram em 8 partes e 3 dessas 8 partes cabiam exatamente no terreno, mas como representariam isso? Então escreveram em uma pedra, 154 galhos mais 3 partes do galho dividido em 8(o galho é específico). Esse método, ganhou fama e foi adotado por todos da região para fazer medições, só que o pessoal dessa comunidade era preguiçoso e ao invés de escrever 154 galhos mais 3 partes de um galho dividido em 8, escreviam 154 galhos mais 3/8 do galho. Essa é a fração que conhecemos (Essa história é apenas uma invenção). Essa história nos dá ideia de porquê e para que as frações foram introduzidas, para representar partes de um inteiro, mesmo que não pareça em matemática as coisas vão surgindo para facilitar. Vamos estudar um pouco das frações e suas propriedades, falando de algo que todos gostam, pizza!! Normalmente quando compramos uma pizza, ela vem fatiada em 8 partes: Vamos representar fração da seguinte maneira: Exemplos: ú ( ) ú ã ( ) a), 5 4,. b) Não terá nenhum significado em nosso estudo. Obs.: lembrar que o número em cima é o numerador e o que está embaixo é o denominador.

Voltemos a pizza: A pizza acima, tem 3 pedaços de brócolis(verde) e 5 pedaços de queijo(amarelo), como representamos em fração? Temos uma pizza inteira com 8 pedaços iguais, em que 3 são verdes, representando em fração, (três oitavos) da pizza é verde e (cinco oitavos) da pizza é amarela, repare que se somarmos os 3+5=8 que é toda a pizza. Exercício 4: Represente as partes da pizza em fração, como fizemos acima. a) b) c) Obs.: As frações com denominadores 0, não estão definidas, mas numerador 0 é definido e deve ser usado para responder 4-c.

Lendo frações Em geral quando temos uma fração qualquer, lemos a sobre b, mas em alguns exercícios, nomes característicos vão aparecendo: Esses nomes precisam ser lembrados, para isso precisamos praticar, quando me refiro a terça parte de um chocolate, estou interessado em uma das partes de um chocolate que foi dividido em três. Exercício 5: Escreva por extenso as frações. a) 1/2 b) 1/10 c) 3/3 d) 4/5 e) 100/2 f) 3/9 g) 5/8 h) 6/7 i) 90/6 j) 10/4 k) 8/100

Frações equivalentes Por falta de criatividade, voltemos a pizza... Nós vimos como representar com fração a parte verde da pizza, temos 3 pedaços verdes dos 8 que formam a pizza, 3/8, repare que se os pedaços não fossem iguais, toda essa história de representar com fração seria uma furada, pois falar que tem 3 pedaços de 8, sendo que os pedaços tenham tamanhos diferentes, seria uma informação vazia. Quando a pizza chega em nossa casa fatiada em 8 pedaços, nada nos impede de fatiar novamente essa pizza, para obter mais pedaços de tamanhos menores: Repare que a quantidade de pizza é a mesma, mas agora temos 16 pedaços, se formos representar a parte verde em fração, temos 6 pedaços de 16 pedaços em que a pizza foi dividida. A quantidade de pizza verde não mudou, comer 3 pedaços da pizza cortada em 8 é equivalente a comer 6 da pizza cortada em 16 que é equivalente a comer 12 pedaços da pizza cortada em 32 pedaços, e assim vai. Acabamos de chegar no conceito de fração equivalente, nós representamos uma mesma quantidade de maneiras diferentes, com frações diferentes. 3 8 = 6 16 = 12 32 = 24 64

Pegue uma calculadora e efetue as divisões 3 8, 6 16, 12 32, 24 64, você percebeu que todas as divisões têm o mesmo resultado, pois todas essas frações representam a mesma quantidade. O que fizemos para obter essas frações equivalentes? Dividimos a pizza em mais pedaços, basicamente é multiplicar ou dividir o numerador e denominador por um mesmo número: 3 8 = 6 16 = 12 32 = 24 64 3 8 = 3 2 8 2 = 3 4 8 4 = 3 8 8 8 Você pode ao invés de multiplicar, dividir, que seria o processo de simplificar uma fração, se eu falo que comi 24/64 de uma pizza fatiada em 64 pedaços, posso dividir numerador e denominador por 8 e chegar a 3/8, claro que com isso perdi a quantidade de pedaços que a pizza tinha, mas seria equivalente a eu comer 3 pedaços de 8. Exercício 6: Encontre três frações equivalentes para cada item. a) 12/24 b) 15/3 c) 17/5 d) 8/3 e) 12/4 Exercício 7: Simplifique ao máximo as frações. (Quando as frações estão simplificadas ao máximo damos o nome de fração irredutível) a) 12/24 b) 15/3 c) 122/234 d) 12/36 e) 60/80 f) 70/6 Exemplo: 1-) Uma receita de bolo precisa de 4/5 de copo de leite, maria viu que seu copo tem capacidade de 300ml. Quanto leite em ml maria deve colocar no bolo? Solução: O copo tem capacidade para 300 ml, a fração 4/5 nos sugere pegar o copo e quebrar em 5 partes iguais, dessas 5 pegar 4 partes. 300 5=60, cada parte tem capacidade 60 ml, pegamos 4 partes, 4x60=240. Então maria deve colocar 240ml de leite.

2-) João leu no jornal que 42 toneladas de soja, o equivalente a 7/17 da produção total do Brasil era exportada e o que sobrava era para consumo nacional. João quer saber quanto em fração e toneladas de soja fica para consumo nacional e qual é a produção total de soja em toneladas. Solução: se 7/17 da produção total é exportada, podemos dizer que se pegássemos toda produção e dividíssemos em 17 partes, 7 partes serão exportadas, então 10 partes ficariam para consumo nacional, ou seja, 10/17 da produção é para consumo nacional. Se 7 partes das 17, representa 42 toneladas, 1 parte representa 42 7=6, 6 toneladas cada parte, então as 10 partes representam 60 toneladas. A produção total 60+42=102 toneladas. Então a fração que representa o consumo nacional é 10/17, o que equivale a 60 toneladas, a produção total é de 102 toneladas de soja. Exercício 8: 2/5 de um tanque de combustível equivale a 12 litros, qual a capacidade do tanque de gasolina? Soma de frações Voltemos a pizza. Marcela pediu duas pizzas iguais, pois ela estava com muita fome e seus pais estavam chegando de viagem, quando ligou para pizzaria pediu para o pizzaiolo fatiar uma das pizzas em 4 partes. Como Marcela estava com fome, pegou a pizza fatiada em 4 pedaços e comeu 2 pedaços, seus pais juntos comeram 5 pedaços da pizza fatiada em 8 pedaços. A pizzaria realizou uma promoção, se sobrasse pizza, eles contariam os pedaços e seria 5% de desconto por pedaço que sobrou na próxima compra, mas Marcela pediu para cortar em 4 pedaços uma das pizzas e não 8, então se falar que sobrou 5 pedaços estaria perdendo, certo?

Vamos representar em fração, da pizza cortada em 4 pedaços sobraram 2 pedaços, em fração 2/4 de pizza, da segunda pizza sobraram 3 pedaços de 8 pedaços, em fração 3/8. Temos que dar um jeito de contabilizar os pedaços, primeiro que fique claro, somar pedaços de tamanhos diferentes não tem sentido algum, mesmo que a pizzas estejam cortadas em pedaços diferentes, que tal cortar de maneira imaginaria a pizza? Antes de comer: Depois de comer: Agora ficou simples somar né, sobraram 7 pedaços, em fração: 4 8 + 3 8 = 7 8 Isso quer dizer, 4 pedaços de 8 mais 3 pedaços de 8, temos 7 pedaços de 8, então um critério para somar frações é os denominadores serem iguais, isso quer dizer, a pizza deve ter pedaços de mesmo tamanho, mas não podemos ficar todo tempo pensando em pizza, temos que ganhar autonomia para somar frações. Exemplo: a) +, veja que os denominadores estão diferentes(uma pizza cortada 3 outra em 2), precisamos igualar esses denominadores, vamos usar o que já vimos de frações equivalentes. Veja as frações equivalentes, = = = e = = = maneiras diferentes e achamos frações de mesmo denominadores. + =. escrevemos a mesmas quantidades de O que nós estamos fazendo é achar, múltiplos de 3 e de 2 que sejam iguais.

2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30... 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30... Não é difícil chegar à seguinte conclusão, um múltiplo que sempre é comum aos denominadores é seu produto 2x3=6. Some +, usando outro múltiplo em comum e confira se os resultados são equivalentes. A subtração de frações é a mesma teoria, vamos dar apenas exemplos: a) = = b) = = c) + = + = Exercício 9: efetue as operações e simplifique os resultados: a) + b) + c) + d) e) + 1 f) 3 + g) 8 - Obs.: Veja que todo número inteiro pode ser transformado em fração, 3=3/1=6/2

Divisões Nós já vimos a divisão inteira onde dividendo, divisor, quociente e resto eram números inteiros, mas temos interesse em dividir 1 por 2,chegar ao resultado 0,5. Então nossa missão agora é não deixar resto nas divisões. Até então 1 2: Vamos pensar... podemos escrever o número em décimos, centésimos, milésimos... Escrever o número 1 em décimos, seriam 10 décimos (10/10), mas cuidado 0,10 não são 10 décimos e sim 1 décimo e 0 centésimos. 10 décimos se escreve como 1 unidade, lembre-se que os agrupamentos são de 10. Já que 1 são 10 décimos, que tal dividirmos 10 décimos por 2, isso nos daria 5 décimos: Vamos apelar para dividir os décimos, centésimos, milésimos... quando o divisor for maior que o dividendo, o resto é igual a 0. Veja outro exemplo: Até então íamos parar por aí, o resultado é 2 e resto 2, mas agora vamos usar a técnica anterior, vamos pegar o resto 2 e dividir os 20 décimos, que dividido por 5 resulta em 4 décimos.

Exercício 10: efetue as divisões até obter resto zero. a) 17 5 b) 23 5 c) 43 10 d) 123 6 e) 180 8 Temos mais casos que devemos pensar, como dividir 0,7 por 0,2, isso pode fugir um pouco de nossas interpretações, mas esses cálculos são necessários em muitas situações, principalmente em química e física. Nesse caso vamos utilizar algo que já vimos, que são as frações equivalentes, apesar de nas frações numeradores e denominadores serem números inteiros, podemos expandir a ideia de equivalência: 0,7 0,2 = 0,7 10 0,2 10 = 7 2 A divisão 7 por 2 sabemos fazer. Se fosse 0,07 basta multiplicar por 100 e assim sucessivamente, pela equivalência de fração não mudamos o resultado da divisão. Exemplo: 2,4 2 =, = O zero que aparece em vermelho foi aonde usamos a tática de pegar o resto e dividir em décimos. Exemplo: 25 8

Nesse caso usamos a tática de dividir décimos, centésimos e milésimos, para compreender melhor, no primeiro 0 vermelho que colocamos dividimos o 1 que são 10 décimos por 8, sobraram 2 décimos (que são 20 centésimos), dividimos 20 centésimos por 8, sobraram 4 centésimos (que são 40 milésimos), 40 milésimos dividido por 8, que são 5 milésimos. Quando tiver dificuldade em resolver uma divisão, pense!! Use as técnicas aqui destacadas ou desenvolva sua própria maneira de pensar, sempre justificando o que está fazendo. Exercício 11: a) 25 16 b) 12 16 c) 132 15 d) 190 76 e) 0,2 0,4 f) 8 2,5 g) 0,7 0,002 h) 0,5 0,01 Exercício 12: João tem 4 filhos, ao fazer o testamento tinha que dividir R$320.256,25. Quanto cada filho deve receber? É possível dividir esse dinheiro na quantia exata para os filhos, usando apenas as moedas corrente?

Dízimas periódicas Algumas divisões apresentam uma característica bem peculiar, usando as técnicas já desenvolvidas, faça 1 3. Você percebe que a conta não tem fim. Quando encontramos uma repetição de números, não precisa ser repetição de dígitos, nesse caso apareceu o número 3 repetindo, mas poderia ser 12, 17, 45, 1234, ou qualquer repetição, chamamos esses números de dízima periódica. Algo que surge da análise desses números peculiares é o seguinte, 1 3 resulta 0,333..., mas pense, isso quer dizer, seu tentar dividir igualmente 1 bala para 3 pessoas, tenho que fatiar a bala em 3 pedaços iguais e isso corresponde há 0,333... da bala, mas se somarmos os pedaços das três pessoas, que receberam os 0,333..., chegaremos em 1? 0,333...x 3= 0,999..., isso nos leva a algo fantástico e um tanto curioso 1=0,999... isso é verdade, veja uma demonstração: Vamos chamar a dízima periódica 0,999... de X: Multiplicando x por 10: Fazendo 10x -x: = 0,999 10 = 9,999 10 = 9,999 0,999 = 9 9 = 9 = 9 9 = 1 = 1 Veja que no começo x=0,999... e manipulando vimos que o x=1, logo 0,999...=1. Apesar de simples, isso pode ser bem confuso, com o tempo você vai perceber que não é tão esquisito.

Exercício 13: classifique os números indicando se é ou não uma dízima periódica, no caso de ser uma dízima periódica, destaque a repetição. a) 12,121212... b) 13,13 c) 1,121121121... d) 3,1415926535897 Exercício 14: efetue as divisões, todas são dízimas periódicas, ache a repetição. a) 9 7 b) 12 7 c) 55 99 d) 100 99 Multiplicação e divisão de frações Como estamos justificando o que fazemos, neste último capítulo vamos assumir o conhecimento superficial de equações, para conseguir continuar com as justificativas. Na multiplicação de frações por números inteiros, é simples interpretar a multiplicação como uma soma. 2 1 1 2 = 1 2 + 1 2 = 2 2 O problema surge ao tentar multiplicar frações que representam números com vírgula, como resolver isso? Vamos pensar da seguinte forma, estamos multiplicando divisões, certo? 3 2 1 2 =? As frações representam divisões com resto zero, pois representamos partes de um inteiro, vamos usar técnicas de equações, caso não esteja familiarizado, faça uma revisão de equações. Quando dividimos 12 por 6, procuramos um quociente x, que quando multiplicado por 6(divisor), resulte em 12 (dividendo). Vamos usar isso para deduzir o processo de multiplicar frações, sabemos mentalmente o resultado de 3/2 e ½, mas vamos chamar esse quociente de Qa e Qb, respectivamente.

Veja que multiplicar frações é multiplicar os quocientes das divisões, no primeiro caso 2 x ½ é o mesmo que 2 x 0,5, que também resulta em 1, logo na multiplicação estamos atrás do resultado Qa Qb, vamos multiplicar uma equação pela outra: Veja que do lado direito, está o produto dos quocientes que é nosso objetivo, se analisarmos o processo, multiplicamos o numerador de uma das frações pelo numerador da outra e denominador por denominador. Repare: 3 2 1 2 = 3 1 2 2 = 3 4 1,5 x 0,5 = 0,75 = Faça você mesmo o caso geral, mostre que: = Dica: dê um nome ao quociente a/b e c/d, como já fizemos.

Exercício 15: Efetue as multiplicações a) b) c) Nosso último passo é dividir frações, pode parecer uma redundância querer dividir frações (que interpretamos como divisão), mas isso fará bastante sentido, deixando claro que queremos uma divisão de resto 0. Nós queremos achar o quociente q, queremos o resultado da divisão. = Multiplicando a equação por e dividindo por. = Chegamos a uma regra geral para determinar q, conseguimos transformar a divisão em uma multiplicação. = Isso resulta no mantra que aprendemos no colégio, repetir a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda.

Exercício 16: Efetua as divisões. a) b) c) Podemos representar a divisão de frações como uma fração de frações, ou ainda podemos ter uma fração onde apenas denominador ou numerador são frações explícitas. Veja o caso 2 1/2 2 1 2 = 2 1 1 2 = 2 1 2 1 Um exemplo onde as frações aparecem explícitas 3/2 4/5 3 2 4 5 = 3 2 4 5 = 3 2 5 4 Acreditamos ter capacitado o leitor para pensar em diversas questões envolvendo divisões e frações, mostrando justificativas simples para processos que nos parecem misteriosos, lembrando que não fomos rigorosos do ponto de vista matemático.