MATEMÁTICA IME 06 Questão. Os inteiros a, a, a 3,..., a 5 estão em PA com razão não nula. Os termos a, a e a 0 estão em PG, assim como a 6, a j e a 5. Determine j. Solução: Sendo a PA: a, a,..., a 5 e a PG.: a, a, a 0, a seguinte relação é válida: 0 a a.a a r a a 9r a a r r a 9a r r 7a r 0 r 7a Pela P.A. temos que: a a 5r 36a 6 a a j r 7j 6 a j a a 4r 69a 5 Pela segunda P.G. temos que: a a.a j 6 5 7a.j 6a 36a.69a a 7j 6 a.36.69 a 0 7j 6 36.69 7j 6 6 3 7j 84 j ( j 0)
MATEMÁTICA IME 06 Questão. Sejam as funções f n, para n {0,,,3,...}, tais que: f 0() e f n() f 0(f n ()), para n. Calcule f 06(06). Solução: f () 0 f () f (f ()) 0 0 f 0() f () f () f (f ()) 0 f () f () Logo, a sequência de funções é periódica com período 3. Como 06 = 3 67, temos: f 06() = f 0 () f 06(06) 06 f (06) 06 05
MATEMÁTICA IME 06 Questão 3. Seja Z um número compleo tal que Z possui argumento igual a Zi 3 4 e log 3(Z Z ). Determine o número compleo Z. Solução : Sendo Z = rcis, Z rcis( ) e, escrevendo, i cis, ( [0, )), temos que r cis 3 3 arg arg cis. 4 4 rcis( )cis Logo 3 k, 4 k 5 8 k, k. Pela segunda informação, Z Z 9 4Re Z = 8 Re Z = 5 3 Temos que ou. Para 8 8 3 8 Im(Z) Como tg, segue que Re(Z) Logo Z ( )i 5, Re(Z) 0 e, portanto, 8 3 3 Im(Z) tg tg. 8 8 3
MATEMÁTICA IME 06 Solução : Sendo Z yi Z yi log 3(Z Z ) log 3[( yi) ( yi) ] log (4 ) 4 3 9 3 Z ( yi) ( yi) y i (y 4i y i y) [4y (y 4)i] Z i ( yi) i y i y i y 4 y 4 Z 3 8y arg 0 y 0 Zi 4 y 4 y 4 4y y 4y 4 0 4 4 y Como y 0, então y ( ) Logo Z ( )i 4
MATEMÁTICA IME 06 Questão 4. Define-se A como a matriz 06 06, cujos elementos satisfazem à igualdade: i j a i,j, para i, j {,,..., 06} j Calcule o determinante de A. Solução : De acordo com o enunciado, o determinante é: 0 05 0 05 3 06 0 05 3 4 07 0 05 05 06 07 4030 0 05 0606 Observe que, pela relação de Stifel: i j i j 3 i j 3 aij a a. (*) i j i j j j j Pelo Teorema de Jacobi, fazendo L k L k L k (k ), a partir da última linha, obtemos: 5
MATEMÁTICA IME 06 0 05 0 05 0 05 0 04 0 3 06 0 04 0 05 06 0 409 04 0606 Pelo Teorema de Laplace na primeira coluna, segue que: 3 05 0 04 3 4 06 0 04 3 4 5 07 0 04 6 05 06 07 409 0 04 0505 Observe que o novo determinante é obtido retirando-se a primeira linha e a última coluna do determinante original. Como a relação (*) continua válida, repetindo-se o processo, obtemos que 05 0
MATEMÁTICA IME 06 Solução : i Seja B (0606) definida por b ij. j Sendo C = BB T, temos que 06 c b.b ij ik jk k 06 06 j i j i j i j c ij, k k k j k k j k k k k j pois para k > j, 0. j k Pela fórmula de Euler : m h m h m h m h, 0 p p p 0 p i j temos que cij a ij. j Logo A = BB T. Veja agora que B é triangular inferior (pois i < j b ij = 0). i Por outro lado, bii. i Logo det B = e, portanto, det A = det B.det B T = (det B) =. 7
MATEMÁTICA IME 06 Questão 5. Determine o conjunto solução da equação: (sen ) tg tg = 4 cotg Solução: sen.sen cos cos sensen tg.tg cos.cos cos cos cos. cos cos cos i) 8 Logo a equação é equivalente a sen 4 cotg cos tg cot g 4 tg 4tg 0 tg 3 5 5 tg 3 tg k, k. ii) tg 3 tg k ', k '. Assim o conjunto - solução é 5 k,k k ',k '
MATEMÁTICA IME 06 Questão 6. Seja a equação n 7m = (5m n) + 49. Determine todos os pares inteiros (m, n) que satisfazem a esta equação. Solução: n 7m = (5m n) + 49 n 7m = 5m 0mn + 4n + 49 3m 0mn + 3n = 49 (8m 3n)(4m n) 49 Como, m, n, temos as seguintes possibilidades: 8m 3n 4m n m n 49 3 5 7 7 7 49 37 99 49 3 5 7 7 7 49 37 99 Desta forma, os pares que satisfazem a equação são: ( 3, 5); ( 7, ); ( 37, 99); (3, 5); (7, ); (37, 99). 9
MATEMÁTICA IME 06 Questão 7. Três jogadores sentam ao redor de uma mesa e jogam, alternadamente, um dado não viciado de seis faces. O primeiro jogador lança o dado, seguido pelo que está sentado à sua esquerda, continuando neste sentido até o jogo acabar. Aquele que jogar o dado e o resultado for 6, ganha e o jogo acaba. Se um jogador obtiver o resultado, o jogador seguinte perderá a vez, isto é, a vez passará ao jogador sentado à direita de quem obteve. O jogo seguirá até que um jogador ganhe ao tirar um 6. Qual é a probabilidade de vitória do primeiro jogador a jogar? Solução: Seja P i a probabilidade de i-ésimo jogador ganhar a partida. Sendo J i o i-ésimo jogador, temos: ) Análise para J:.) Se J obtiver 6, J ganha..) Se J obtiver, J passa a ser J..3) Se J obtiver de a 5, J passa a ser J3. 4 Logo, P.P.P 3 (i) 6 6 6 ) Análise para J:.) Se J obtiver 6, J perde..) Se J obtiver, J passa a ser J 3..3) Se J obtiver de a 5, J passa a ser J. 4 Logo, P.P 3.P (ii) 6 6 Substituindo P 3 = P P nas equações (i) e (ii), obtemos: 6P P 4( P P ) 0P 3P 5 3 5 P e P 6P ( P P ) 4P 3P 7P 79 79 0 Logo a probabilidade de vitória do primeiro jogador é 3. 79
MATEMÁTICA IME 06 Questão 8. A circunferência C tem equação + y = 6. Seja C uma circunferência de raio que se desloca tangenciando internamente a circunferência C, sem escorregamento entre os pontos de contato, ou seja, C rola internamente sobre C. Define-se o ponto P sobre C de forma que no início do movimento de C o ponto P coincide com o ponto de tangência (4,0), conforme figura a. Após certo deslocamento, o ângulo de entre o eio e a reta que une o centro das circunferências é, conforme figura b. Determine as coordenadas do ponto P marcado sobre C em função do ângulo. Determine a equação em coordenadas cartesianas do lugar geométrico do ponto P quando varia no intervalo [0, ).
MATEMÁTICA IME 06 Solução : Como o círculo menor (C ) desliza sem escorregar, o ponto P descreve um arco em (C ) equivalente ao arco descrito pelo ponto de tangência em (C). Assim, temos:. = 4. = 4 Seja Q o centro de (C ): Q(3cos, 3sen ) sen3 3 3 3 3 cos3 P(3cos + cos3, 3sen - sen3 )
MATEMÁTICA IME 06 Coordenadas de Q : Q (3cos, 3sen ) Coordenadas de P : P (3cos cos3, 3sen sen3 ) Fórmulas do arco triplo: cos3 = 4cos 3 3cos sen3 = 3sen 4sen 3 P = (3cos + (4cos 3 3cos ), 3sen (3sen 4 sen 3 )) P = (4cos 3, 4sen 3 ) 3 4cos 4 3 3 3 3 3 y cos sen 3 3 3 cos y 4sen y sen 4 y 4 4 4 3
MATEMÁTICA IME 06 Solução : Da mesma forma que na solução anterior, 4. Considerando o sistema de eios y : ' P 3 cos P 3 cos.cos sen.sen ' y sen y cos.sen sen.cos P P P 3 P 3cos cos.cos sen.sen 3cos cos 3cos cos3 3 3cos 4cos 3cos 4cos 3 yp 3sen sen.cos sen.cos 3sen sen( ) 3sen sen3 y 3 3sen (3sen 4sen ) P 3 4sen 3 3 3 y 4 4
MATEMÁTICA IME 06 Questão 9. Um corda intercepta o diâmetro de um círculo de centro O no ponto C segundo um ângulo de 45º. Sejam A e B os pontos etremos desta corda, e a distância AC igual a 3 cm. O raio do círculo mede cm, e C é a etremidade do diâmetro mais distante de C. O prolongamento do segmento AO intercepta BC em A. Calcule a razão em que A divide BC. Solução: Dados: AO = OC = e AC' 3 C A y O 45º C B D Sejam = OC e y = BC A 5
MATEMÁTICA IME 06 O 45º 3+ C Lei dos cossenos no AOC : ( 3 ) = + + ( 3+ ) 4 = +( 4+ 3) ( 6+ ) ( ) 6+ + 3= 0 = 6 ou =. A Como deve ser menor que, temos que a única solução possível é = Potência do ponto C com relação ao círculo: 4 C'C C'D= C' A C'B (+ )( ) = ( 3+ )y y= 3+ 6
MATEMÁTICA IME 06 y 4 3 3 6 3 AB AC' y 3 3 3 AB 6 3 6 3 3 3 AC' ( 3 ) 4 3 Menelaus no BCC e secante A AO: A 'B OC AC' A 'B OC' AB 3 3 A 'C OC' AB A 'C OC AC' A 'B 3 3 A 'C 7
MATEMÁTICA IME 06 Questão 0. Um cone é inscrito em um cubo ABCDEFGH de forma que a base do cone é o círculo inscrito na base ABCD. O vértice do cone é o centro da face oposta do cubo. A projeção H na base ABCD coincide com o vértice D. Determine a área da seção do cone pelo plano ABH em função de a, a medida da aresta do cubo. Solução: a M V P A ecentricidade da seção cônica obtida pela interseção do plano ABH com a superfície cônica de revolução é dada por: sen e sen onde = ângulo do plano ABH com o plano ABC e = ângulo do geratriz do cone com o plano ABC. < curva elíptica 8
MATEMÁTICA IME 06 Seção Meridiana: M tg sen e cos 5 5 tg sen e cos 5 5 e 5 5 e 0 4 9
MATEMÁTICA IME 06 Determinando MN (eio maior da elipse): N + M P MN sen sen MN a. MP sen sen 5 a. a sen 5 MN sen cos sen cos 5 5.. 5 5 MN.a 3 S ELIPSE = a Eb E, onde a E = semieio maior da elipse b E = semieio menor da elipse 0
MATEMÁTICA IME 06 MN a E.a 3 c a b b e b a e E E E E E E ae ae ae a 0 a 6 a be. 9 6 9 6 b E a 3 6 S. ELIPSE a a 3 a 6 3 6 8
MATEMÁTICA IME 06 COMENTÁRIOS Inicialmente, gostaríamos de parabenizar a banca do IME pela ecelente prova, que com certeza irá selecionar os candidatos mais bem preparados. Todos os assuntos foram abordados, com eceção de polinômios e equações algébricas. As questões mais fáceis foram,, 3 e 5, sendo provavelmente o caminho mais fácil para garantir a nota mínima. Por outro lado, as questões mais difíceis 4, 7 e 0. Destacamos também a questão 8, cujo lugar geométrico pedido é uma hipocicloide, que embora não conste no programa, a solução da questão não necessitava de qualquer conhecimento específico. EQUIPE DE MATEMÁTICA: Prof. José Ricardo da Costa Chaves Prof. Matheus Secco Torres da Silva Prof. Ricardo Tindó Ribeiro Secco Prof. Rodrigo Cardoso Paula