Química Analítica V 2S 2012 Aula 3: 04-12-12 Estatística Aplicada à Química Analítica Prof. Rafael Sousa Departamento de Química - ICE rafael.arromba@ufjf.edu.br Notas de aula: www.ufjf.br/baccan 1
Conceito de Precisão Dispersão de uma medida em relação à média Desvios das medidas (di) di = Xi X Então, o desvio para a medida de 19,2 mg/l de Fe, no caso do Exemplo 2 é de -0,8 mg/l, pois a média das determinações foi de 20,0 mg/l. Exemplo 2: Calcular o erro da concentração obtida para Fe em um efluente, no qual a concentração verdadeira é de 19,8 mg/l e as concentrações encontradas por um analista foram de 19,2; 19,6; 20,4 e 20,8 mg/l. 2
A falta de precisão em uma ou mais medidas é uma razão possível para a obtenção de resultados anômalos. Para casa C2- Numa determinação de Fe em minério foram obtidos os seguintes resultados: 0,3417 g, 0,3342 g e 0,3426 g. Calcule a média e o desvio médio e determine se algum destes dados podem ser desprezados usando o teste Q com 90% de confiança. (média= 0,3395 g; desvio médio= 0,0035 g; sem valores rejeitados) 3
Conceito de Precisão Os desvios obtidos para uma medida são expressos como Desvio Médio (slide anterior) OU Estimativa* do desvio-padrão (S) N Σ S = (x i x ) 2 i=1 S 2 é chamado de Variância N-1 N -1 = n o de graus de liberdade S R é a Estimativa do desvio padrão relativo: S R = ( S / X ) x 100 S R também é chamado de coeficiente de variação (CV) (*) Normalmente existe um valor limitado de medidas.. Do contrário é possível calcular o desvio-padrão propriamente (δ) 4
Exemplo 3: Calcular a estimativa do desvio padrão e a estimativa do desvio padrão relativo para as determinações de Fe (19,2; 19,6; 20,4 e 20,8 mg/l) consideradas no Exemplo 2. X = 20,0 Xi Xi X ( Xi X ) 2 19,2-0,8 0,64 19,6-0,4 0,16 20,4 0,4 0,16 20,8 0,8 0,64 C Fe 1,6 Fe = ( 19,3 20,7 ) mg/l S = 1,6 / 3 S = ± 0,73 mg/l S R = ± ( 0,73 / 20,0 ) x 100 = ± 3,6 % Não existe um valor absoluto para o resultado de uma análise... 5
RELAÇÃO ENTRE EXATIDÃO E PRECISÃO A Exatidão e a Precisão se relacionam de 3 formas principais: Método de análise C B A preciso e exato! preciso mas inexato impreciso e inexato valor verdadeiro Conc. do analito 6
COMPARAÇÃO DE RESULTADOS Testes de Hipóteses Precisão de dois Conjuntos de dados Exatidão de dois Conjuntos de dados 7
Teste F para comparar conjuntos de dados Hipótese nula : as precisões são semelhantes Comparar precisões (ou variâncias) de duas médias (A e B) F = F calculado < F crítico para 95 % de confiança S A 2 S B 2 A refere-se à média com o maior desvio S 2 = Variância Não existe diferença significativa entre os conjuntos de dados F calculado F tabelado para 95 %de confiança Existe diferença significativa entre os conjuntos de dados 8
Valores de F tabelado (Ex) Valores críticos para F ao nível de 5% (confiança de 95%) Graus lib. 3 4 5 6 12 20 Numer. 3 9,28 9,12 9,01 8,94 8,74 8,64 4 6,59 6,39 6,26 6,16 5,91 5,80 5 5,41 5,19 5,05 4,95 4,68 4,56 6 4,76 4,53 4,39 4,28 4,00 3,87 12 3,49 3,26 3,11 3,00 2,69 2,54 20 3,10 2,87 2,71 2,60 2,28 2,12 Denom. Quando as precisões são comparáveis,, pode-se também comparar as médias (avaliar métodos novos ou alternativos): Teste t, de Student 9
Para casa C3- Comente sobre a diferença na precisão obtida nos laboratórios A e B para a determinação de Mg em uma mesma amostra de leite considerando um nível de confiança de 95%. Dados: Lab. A : 34,97; 34,85; 34,94 e 34,88 mg L -1 e Lab. B : 35,02; 34,96; 34,99; 35,07 e 34,85 mg L -1. (Precisões semelhantes, comparáveis) FOTO: http://saude.abril.com.br/edicoes/0292/nutricao/conteudo_261910.shtml, acessado 02-11-12 10
Antes de comparar médias... Entendendo os erros TIPOS: 1) SISTEMÁTICOS (rastreados e evitados) 2) ALEATÓRIOS 11
Erros Sistemáticos ou Determinados (Podem ser conhecidos e rastreados) Erros de Método : surgem do comportamento químico ou físico não ideal de sistemas analiticos Ex: Uso de indicadores inadequados, na titulação Erros Pessoais : resultam da falta de cuidado, falta de atenção ou limitações pessoais do analista Ex: Observação de meniscos de ângulos incorretos afetam a exatidão Erros Instrumentais: causados pelo comportamento não ideal de um instrumento, por calibrações falhas ou pelo uso de condições inadequadas 12
Erros Sistemáticos ou Determinados (Podem ser conhecidos e rastreados) Para detectar um erro sistemático Material certificado (CRM) Certified Reference Material Método de adição e recuperação (fortificação) Método comparativo Testes interlaboratoriais 13
Erros Sistemáticos ou Determinados Podem ser conhecidos, rastreados e evitados! Uma vez que TUDO esteja adequado é só seguir o procedimento à risca! Item importante em laboratórios credenciados (Cumprimento do POP ) Procedimento Operacional Padrão 14
Erros Indeterminados (aleatórios ou randômicos) Não podem ser localizados Medidas flutuam aleatoriamente ao redor da média afetam a precisão Variam de acordo com uma distribuição normal 15
Ex de uma Distribuição Normal (Calibração de uma pipeta) % das medidas 50 30 10 Curva de Gauss (Perfil da distribuição) 9.969 9.975 9.981 9.987 9.993 9.971 9.977 9.983 9989 9.995 volume (ml) Histograma mostrando a distribuição de 50 medidas do volume escoado por uma pipeta de 10 ml OBS: Transparência preparada a partir de material do Prof Célio Pasquini (IQ-Unicamp) 16
Karl F. Gauss Característica de uma Distribuição Normal Os resultados são alterados ora para menos, ora para mais, por erros que parecem se dar ao acaso (aleatórios), que é um comportamento esperado e, por isso, normal 17
Distribuição Normal de Gauss Probabilidade de ocorrência de um resultado (Y) Y = 1 σ 2π exp - 1 (X i - µ) 2 2 σ 2 µ corresponde a média da população (situação de várias medidas) Assim, pode-se calcular uma faixa para um resultado R supondo que os desvios observados seguem uma distribuição normal OBS: Transparência preparada a partir de material do Prof Célio Pasquini (IQ-Unicamp) 18
Expressão de resultados e Limites de confiança da média µ Frequência relativa 0,4 +1σ+2σ -2σ -1σ 0,3 0,2 0,1 0 _ 0 Distribuição Normal de Gauss + µ = x ± t S N OBS: Transparência preparada a partir de material do Prof Célio Pasquini (IQ-Unicamp) 19
Valores críticos para t nos níveis de 95 e 99% (P=0,025 e P=0,005 na distribuição unilateral) Graus de liberdade 95% 99% 1 12,71 63,66 2 4,30 9,93 3 3,18 5,84 4 2,78 4,60 5 2,57 4,03 6 2,45 3,71 7 2,37 3,50 8 2,31 3,36 9 2,26 3,25 10 2,23 3,17...... 1,96 2,58 Testes estatísticos são válidos quando os erros envolvidos são aleatórios Testes estatísticos são válidos quando os erros envolvidos são aleatórios 20
Quando as precisões são comparáveis, pode-se também comparar as médias: Teste t,, de Student Permite avaliar métodos diferentes, p. ex t = x 1 - x 2 n 1 n S 2 p n 1 + n 2 S p corresponde a S agrupado n é o número das medidas para cada média S p = (n 1-1) S 12 + (n 2-1) S 2 2 n 1 + n 2-2 SE t calculado < t crítico para o nível de confiança desejado: Não existe diferença significativa entre as médias 21
Limites de confiança da média? Comparação de uma média com um valor de referência quando não se tem o desvio do valor de referência e não Se pode calcular Sp µ = x ± t S N t = µ - x S N t = x 1 - x 2 S p n 1 n 2 n 1 + n 2 22
Exemplo 4: Um indivíduo fez quatro determinações de ferro em uma liga metálica, encontrando um valor médio de 31,40% m/m e uma estimativa do desvio padrão de 0,11% m/m. Qual o intervalo em que deve estar a média da população, com um grau de confiança de 95%? µ =? µ = x ± t S N µ = 31,40 ± (3,18 x 0,11) / 4 µ = 31,40 ± 0,17 C Fe = (31,23 31,57 57) % m/m 23
Tópicos Complementares - Propagação de erros - Regressão linear 24
Propagação de erros para um resultado R: alguns exemplos (Erros e incertezsas em cada etapa do processo) R = A + B C (soma e sub.) Erros determinados: R = AB C (multiplicação e divisão) E R = E A + E B - E C E R R = E A E B E C + - A B C Erros indeterminados (considera-se as incertezas): S R = S A2 + S B2 + S 2 C S R R = ± S A A 2 2 + S B + B S C C 25 2
CASO DE MÉTODOS INSTRUMENTAIS O TRATAMENTO ESTATÍSTICO INCLUE TAMBÉM: Estimativa dos Limites de detecção e quantificação Cálculos baseados na Estimativa do desvio padrão do branco para prever a detectabilidade do método Regressão linear Curva de calibração (ou analítica) Tipos: - univariada ( convencional ) - multivariada (métodos quimiométricos) 26
Para lembrar... REGRESSÃO LINEAR É a reta que melhor representa a relação entre a propriedade medida (Abs, p. ex) e a concentração dos padrões: Absorbâ ância Branco Padrões Concentração (mg L -1 ) 0 1 Abs= 48,3x + 0,24 r= 0,9987 - O coeficiente de correlação (r) varia entre -1 e +1 - Quanto mais próximo da unidade, melhor é a correlação 27
REGRESSÃO LINEAR Uma Curva analítica linear nem sempre é possível e uma Rregressão não-linear pode ser usada desde que apresente boa correlação As Regressões lineares são as mais usuais e podem ser obtidas por meio de softwares,, que usam o Método dos mínimos quadrados: Para y= ax + b + b, com coef. correlação r : a = n Σx.y Σx. Σy n Σx 2 (Σx) 2 b = y - x n= n o de pontos (x 1 ;y 1 ) da calibração r = n Σxy ΣxΣy { [nσx 2 (Σx) 2 ] [nσy 2 (Σy) 2 ] } 1/2 28
REGRESSÃO LINEAR Para casa : Para determinar quitina por fluorescência molecular utilizou-se padrões de quitina nas seguintes concentrações: 0,10; 0,20; 0,30 e 0,40 µg ml -1 e que resultaram nos seguintes valores de emissão, respectivamente: 5,20; 9,90; 15,30 e 19,10, Cps sendo que o branco gerou leitura de 0,0000 Cps. Considerando-se se que um coeficiente de correlação linear superior a 0,99 é satisfatório, calcule a concentração de quitina de uma amostra cujo sinal analítico foi de 16,10 10 Cps. (r= 0,9987 e C quitina = 0,32 µg ml - 1 ) Vide ex. 4.9 e 4.10 do Vogel Análise Química Quantitativa, 6ª Ed. 29