Física da Matéria Condensada II Redes e estruturas cristalinas 1. Indique a rede subjacente aos desenhos das figuras 1 e 2. Encontre três conjuntos de vectores fundamentais primitivos para a fig. 1 e dois conjuntos para a fig. 2. Verifique que o conteúdo das várias células unitárias definidas por esse conjunto de vectores é idêntico para cada desenho. Indique ainda, para cada figura, um conjunto de vectores fundamentais não primitivos. Qual é o conteúdo das células unitárias definidas por estes vectores? Figura 1: Figura 2:
2. (a) Indique uma rede subjacente à fig. 3 e defina uma célula unitária para o desenho. (b) Encontre na figura quatro pontos distintos por onde passem eixos de rotação binários. (c) Verifique gráficamente que a, b definindo uma célula unitária primitiva, os quatro pontos referidos estão à distância uns dos outros de 0, 1/2 a, 2 b, 1/2( a + b). (d) Qual é o conteúdo de uma célula unitária primitiva deste desenho (motivo)? (e) Defina no desenho uma célula unitária assimétrica (parte do desenho que por aplicação dos vários elementos de simetria neste caso translações e rotações permite gerar todo o desenho). (f) Quantas células unitárias assimétricas tem cada célula unitária primitiva? Figura 3:
3. (a) Considere o desenho da fig. 4. Indentifique a rede, uma célula unitária primitiva e o seu conteúdo (motivo). (b) Verifique que as figuras semelhantes não estão relacionadas por um eixo de rotação. (c) Identifique os elementos de simetria presentes no desenho. (d) Compare estes elementos de simetria com os da figura anterior; que diferença fundamental há entre eles? Figura 4: 4. Considere os nós da rede favo de mel da fig. 5. Será uma rede de Bravais? Defina uma célula unitária primitiva para a estrutura representada pela fig. 4. Qual é o motivo que a célula contém? Considere que o desenho se repete indefinidamente. Figura 5:
5. Considere o desenho da fig. 6. Mostre que o padrão tem simetria de translação, indicando para tal a rede subjacente ao desenho. Apesar de cada uma das flores individualmente admitir um eixo de rotação de grau 5 como elemento de simetria, será que algum destes eixos é um elemento de simetria para o desenho como um todo? Haverá outros elementos de simetria no desenho? Escolha uma célula unitária primitiva e marque nela os elementos de simetria que encontrar. Figura 6: 6. Mostre que não são cristalográficamente possíveis, como elementos de simetria de uma estrutura, eixos de rotação de grau 5 ou de grau superior a 6. 7. Prove que para qualquer rede: (a) O volume de todas as células unitárias primitivas é igual. (b) O volume de uma célula unitária não primitiva é um múltiplo de uma célula unitária primitiva.
8. Desenhe a célula unitária convencional da rede cúbica de faces centradas e da rede cúbica centrada. Estas células unitárias são primitivas? Justifique. Encontre um conjunto de vectores fundamentais primitivos para as redes acima mencionadas e desenhe a célula unitária por eles definida. Qual é a relação de volume entre as células unitárias primitivas e as células convencionais para as referidas redes? 9. Desenhe uma célula tetragonal e marque nela os seguintes planos: (100), (001), (012) e (312). Quais são os índices de Miller do plano que corta os eixos a, b, c a 2/3 a, 4/5 b, 1/6 c? 10. A fig. 7 representa a célula unitária do composto iónico CsCl. (a) Identifique o tipo de rede em que este composto cristaliza. (b) Qual é o motivo associado à rede? (c) Indique o número de coordenação (número de vizinhos mais próximos) dos iões Cs + e Cl. (d) Cada ião Cs +, nesta estrutura, tem como vizinhos mais próximos iões Cl, como segundos vizinhos iões Cs + e como terceiros vizinhos iões Cs + novamente. Tomando como referência o ião Cs + da origem, indique as coordenadas fraccionárias atómicas (x, y, z) de todos estes vizinhos e calcule a distância a que se encontram do ião Cs + da origem. Figura 7: 11. O sal das cozinhas, NaCl, cristaliza numa rede cúbica de faces centradas de parâmetro de rede a = 5.64 Å. Os iões Na + ocupam os nós da rede e os iões Cl ocupam as posições (x, y, z) Na + (1/2, 1/2, 1/2). (a) Esboce um modelo da célula unitária do NaCl. (b) Qual é o motivo associado à rede? (c) Quanto vale a densidade planar atómica dos planos (110) do NaCl? 12. O carbono cristaliza, na forma alotrópica do diamante, segundo uma rede cúbica de faces centradas. O motivo da rede é constituído por dois átomos de carbono nas seguintes posições: C : (0, 0, 0); (1/4, 1/4, 1/4) (a) Quantos átomos de carbono tem a célula unitária convencional do diamante? (b) Faça uma projecção da célula unitária do diamante segundo o plano (001). (c) Determine o comprimento da ligação C C no diamante, sabendo que a = 3.6 Å. (d) Calcule o ângulo das ligações C C C no diamante.
13. O titanato de bário, BaTiO 3, é um material com interessantes propriedades ferroeléctricas. Nesta estrutura cristalina os átomos de Ba estão dispostos nos vértices de um cubo, os átomos de O no centro de cada uma das faces do cubo e o átomo de Ti encontra-se no centro do cubo. (a) Qual é a rede de Bravais em que este composto cristaliza? (b) Qual é o motivo associado à rede? (c) Faça um esquema da célula unitária do BaTiO 3. 14. Mostre que a valor fracção máxima do volume que pode ser preenchido por um empacotamento de esferas rígidas dispostas nos tipos de redes seguintes é: Cúbica simples 52% Cúbica de faces centradas 74% Cúbica de corpo centrado 68% Hexagonal compacta 74% Nota: A rede hexagonal compacta pode ser descrita como uma rede hexagonal simples com um nó extra a (2/3,1/3,1/2); não é porém uma rede de Bravais! No entanto, uma estrutura que cristalize numa rede hexagonal compacta pode sempre ser considerada como uma rede hexagonal simples + um motivo. 15. O Fe cristaliza numa rede cúbica de corpo centrado a temperaturas inferiores a 1183 K, numa rede cúbica de faces centradas para temperaturas compreendidas entre 1183 e 1673 K, e numa rede cúbica simples para temperaturas superiores a 1673 K. Supondo que o raio do átomo de Fe é idêntico nestas fases, calcule como varia a densidade do Fe nesta gama de temperaturas.