Física do Estado Sólido

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Sabina Sampaio
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Física do Estado Sólido 2003-2004 Folha 3 - Estruturas cristalinas. Indique a rede subjacente aos desenhos da fig.

1 Física do Estado Sólido Folha 3 - Estruturas cristalinas. Indique a rede subjacente aos desenhos da fig.. Encontre três conjuntos distintos de vectores fundamentais primitivos para cada um dos desenhos. Verifique que o conteúdo das várias células unitárias definidas por esses conjuntos de vectores é idêntico. Indique ainda, para cada desenho, um conjunto de vectores fundamentais não primitivos. Qual é o conteúdo das células unitárias definidas por estes vectores? Figura :

2. Considere o desenho da fig. 2. (a) Defina uma célula unitária para o desenho. (b) Encontre na figura quatro pontos distintos por onde passem eixos de rotação binários.

2 2. Considere o desenho da fig. 2. (a) Defina uma célula unitária para o desenho. (b) Encontre na figura quatro pontos distintos por onde passem eixos de rotação binários. (c) Verifique graficamente que, qualquer que seja a escolha dos vectores fundamentais primitivos, os quatro pontos referidos se encontram distanciados uns dos outros de a, b, /2(a + b). (d) Qual é o motivo do desenho, ou seja, qual é o conteúdo de uma célula unitária primitiva? (e) Defina no desenho uma célula unitária assimétrica (parte do desenho que por aplicação dos vários elementos de simetria permite gerar todo o desenho). (f) Quantas células unitárias assimétricas possui uma célula unitária primitiva? Figura 2:

3. Considere o desenho da fig. 3. (a) Identifique a rede, uma célula unitária primitiva e o motivo. (b) Identifique os elementos de simetria presentes no desenho.

3 3. Considere o desenho da fig. 3. (a) Identifique a rede, uma célula unitária primitiva e o motivo. (b) Identifique os elementos de simetria presentes no desenho. (c) Compare estes elementos de simetria com os da figura anterior; que diferença fundamental há entre eles? Figura 3: 4. Considere a rede tipo favo de mel da fig. 4. (a) Poderá esta rede ser considerada uma rede de Bravais? Justifique. (b) Defina uma célula unitária primitiva para o desenho. Qual é o motivo? Figura 4:

4 5. Considere o papel de parede da fig. 5. (a) Mostre que o padrão tem simetria de translação, indicando a rede subjacente ao desenho. (b) Apesar das flores terem como elemento de simetria um eixo de rotação de grau 5, será que algum destes eixos é um elemento de simetria do papel de parede? Haverá outros elementos de simetria no desenho? (c) Escolha uma célula unitária primitiva e marque nela os elementos de simetria que encontrar. Figura 5: 6. Mostre que não são cristalográficamente possíveis, como elementos de simetria de uma estrutura, eixos de rotação de grau 5 ou superior a Prove que numa rede de Bravais: (a) O volume de qualquer célula unitária é V = a b c, onde a, b, c é um conjunto de vectores fundamentais primitivos que formam um triedo directo. (b) O volume de todas as células unitárias primitivas é igual. (c) O volume de uma célula unitária não primitiva é um múltiplo inteiro do de uma célula unitária primitiva.

8. Desenhe a célula unitária convencional de uma rede cúbica de faces centradas e de uma rede cúbica de corpo centrado. (a) Estas células unitárias são primitivas? Justifique.

5 8. Desenhe a célula unitária convencional de uma rede cúbica de faces centradas e de uma rede cúbica de corpo centrado. (a) Estas células unitárias são primitivas? Justifique. (b) Encontre um conjunto de vectores fundamentais primitivos para estas redes e desenhe a célula unitária por eles definida. (c) Qual é a relação de volume entre as células unitárias primitivas e as convencionais? 9. Desenhe uma célula unitária tetragonal centrada e marque nela os seguintes planos: (00), (00), (02) e (32). Quais os índices de Miller do plano que corta os eixos a, b, e c em 2/3a, 4/5b, /6c? 0. A fig. 6 representa a célula unitária do composto iónico CsCl. (a) Identifique o tipo de rede em que este composto cristaliza. (b) Qual é o motivo associado à rede? (c) Indique o número de coordenação (número de vizinhos mais próximos) dos iões Cs + e Cl. (d) Tomando como exemplo o ião Cl na origem, indique as coordenadas fraccionárias dos primeiros, segundos e terceiros vizinhos, e a respectiva distância ao ião na origem. Figura 6:. O NaCl cristaliza numa rede cúbica de faces centradas de parâmetro de rede a = 5, 64 Å. Os iões Na + ocupam os nós da rede e os iões Cl ocupam as posições (x, y, z) Na + + (/2, /2, /2). (a) Esboce um modelo da célula unitária do NaCl. (b) Qual é o motivo associado à rede? (c) Quanto vale a densidade atómica planar dos planos (0) nesta estrutura?

6 2. O titanato de bário (BaTiO 3 ) é um material ferroeléctrico. A estrutura cristalina deste composto consiste em átomos de Ba dispostos nos vértices de uma rede cúbica, átomos de O no centro das faces dos cubos e um átomo de Ti no centro de cada cubo. (a) Faça um esquema da célula unitária do BaTiO 3. (b) Em que rede de Bravais cristaliza este composto? Qual é o motivo associado à rede? 3. Cuprite, um óxido de cobre, cristaliza numa rede cúbica (a = 4, 27 Å), onde os átomos ocupam as seguintes posições: Cu O (a) Desenhe uma projecção da estrutura no plano ab e uma perspectiva da célula unitária. (b) Qual é a fórmula química do composto? unitárias por célula unitária). (c) Calcule o comprimento da ligação Cu O mais curta. (d) Qual é a densidade da cuprite? Determine Z (número de fórmulas 4. Calcule o valor máximo da fracção do volume que pode ser preencido por um empacotamento de esferas rígidas dispostas nas seguintes redes: cúbica simples, cúbica de faces centradas, cúbica de corpo centrado. Verifique que a fracção de empacotamento é máxima quando as esferas se dispõem numa rede cúbica de faces centradas e que o mesmo valor se obtém num empacotamento hexagonal compacto. 5. O diamante cristaliza numa rede cúbica de faces centradas com a = 3, 57 Å. O motivo da estrutura consiste em dois átomos de carbono nas posições (0, 0, 0) e ( 4, 4, 4 ). (a) Desenhe uma projecção da estutura do diamante no plano ab. Represente neste desenho as ligações C C e utilize cores distintas para representar os átomos que estão nos planos z = 0, /4, /2 e 3/4. (b) Calcule o comprimento da ligação C C no diamante e indique quantos átomos existem na célula unitária convencional. (c) Calcule a densidade do diamante. 6. A forma mais comum da grafite possui a seguinte estrutura: rede: hexagonal primitiva, a = 2, 46 Å; c = 6, 70 Å base: C: 0,0,0; 0, 0, 2 ; 3, 2 3, 0; 2 3, 3, 2. (a) Faça uma projecção da estutura nos planos (00) e (00). (b) Calcule o comprimento da ligação C C.

7 (c) Mostre que a estrutura da grafite corresponde a um empacotamento de átomos em camadas e indique a direcção do empilhamento das camadas. Qual é a distância entre duas camadas? (d) Calcule a densidade da grafite e compare-a com a do diamante. 7. O rutilo (TiO 2 ) cristaliza numa estrutura tetragonal primitiva, grupo espacial P 4 2 /mnm. Os parâmetros da rede são a = 4, 59 Å e c = 2, 96 Å. As posições dos átomos são as seguintes (x = 0.30): Ti a 0, 0, 0 2, 2, 2 O f x, x, x, 2 x, 2 2 x, 2 + x, 2 x, x, 0 (a) Desenha a estrutura do rutilo em perspectiva e numa projecção segundo c. (b) Mostre que o átomo de Ti tem coordenação octaédrica e calcule as distâncias Ti O no octaedro de coordenação. Quais destas distâncias são equivalentes por simetria? 8. O mineral de ferro pirite (FeS 2 ) cristaliza no sistema cúbico (a = 5, 4 Å) com a seguinte estrutura: Grupo espacial P a 3, posições atómicas (x = 0.386): 2, 2, 0 2, 0, 2 2 x, x, 2 + x, 2 + x, x, 2 x, Fe 4a 0, 0, 0 0, 2, 2 S 8c x, x, x 2 + x, 2 x, x x, 2 + x, 2 x, x, x, x 2 x, 2 + x, x x, 2 x, 2 + x, (a) Qual é o modo da rede (primitivo, de corpo centrado ou de faces centradas)? (b) Desenhe uma projecção da estrutura no plano (00) e indique nela os elementos de simetria. (c) Quantas fórmulas unitárias existem na célula unitária convencional? (d) Calcule as distâncias mais curtas Fe S e S S. (e) Determine a densidade da pirite. 9. Num artigo de cristalografia encontra-se a seguinte descrição de um sal de mercúrio: Grupo espacial P 4/mmm, a = 4, 9 Å. Hg 0,0,0 NH 4 2, 2, 2 Cl() 2, 2, 0 Cl(2) ±(0, 0, z) z = 0, 30 (a) Identifique a rede de Bravais em que cristaliza o composto. (b) Desenhe uma projecção da estrutura no plano (00). (c) Determine a fórmula química do composto e o número de fórmulas unitárias por célula unitária. (d) Descreva a coordenação dos átomos do metal e determine o seu número de coordenação. (e) Calcule as distâncias mais curtas Hg Cl e NH 4 Cl.

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