CRIPTOGRAFIA: UMA ABORDAGEM PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO Cheienne Chaves 1 Email: che.sp@hotmail.com Edilaine Meurer Bruning 2 Email: edilainebruning@hotmail.com Jean Sebastian Toillier 3 Email: jeant3000@yahoo.com.br Maiara Aline Junkerfuerbom 4 Email: maia_junker@hotmail.com Resumo: Essa oficina foi criada por nós durante o Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (PIBID) com a intenção de aplicá-la em algum momento, por exemplo, nas escolas em que atuamos ou em eventos da área de Matemática. A oficina tem como objetivo relacionar a criptografia com alguns conteúdos matemáticos do Ensino Fundamental e Médio, por exemplo, expressões algébricas, função afim, matrizes e também fazer uma discussão sobre as possibilidades de se utilizá-la no ensino. Iniciamos a proposta expondo algumas informações sobre a história da criptografia, trazendo alguns elementos que ajudaram na evolução da escrita oculta e algumas aplicações atuais. Para usar a criptografia é necessário determinar uma chave previamente entre o transmissor da mensagem e o receptor dela, sendo que o transmissor utiliza a chave para codificar a mensagem e o receptor para decodificá-la. Dessa forma, podemos abordar sobre os diferentes métodos existentes para criptografar uma mensagem, o que nos dá margem para propor atividades de familiarização com a linguagem de códigos em que é necessário trocar os símbolos pelas respectivas letras que os representam no alfabeto. Assim, é possível propor atividades que utilizem função afim como ferramenta matemática para codificar e decodificar mensagens. Dessa maneira, trabalha-se os conceitos de valor da função num ponto, função inversa e determinar a lei de formação da função dados dois pontos. Outra maneira de abordar a criptografia é a utilização de matrizes, abordando o conceito de 1 Acadêmica do Curso de Licenciatura em Matemática da Unioeste. che.sp@hotmail.com 2 Acadêmica do Curso de Licenciatura em Matemática da Unioeste. edilainebruning@hotmail.com 3 Docente do Curso de Licenciatura em Matemática da Unioeste. jean.toillier@unioeste.br 4 Acadêmica do Curso de Licenciatura em Matemática da Unioeste. maia_junker@hotmail.com
multiplicação e determinação da matriz inversa, o que surge como uma possibilidade contextualizada de ensinar esse conteúdo, uma vez que tradicionalmente ele possui uma forma muito cristalizada de ser ensinado. Assim, com essa oficina buscamos apresentar outra maneira de abordar alguns conteúdos matemáticos, de uma forma que possa despertar o interesse dos alunos, com uma aula mais dinâmica que poderá contribuir com o aprendizado dos alunos, deixando em aberto a possibilidade de utilizar outros conteúdos matemáticos para a elaboração de mensagens. Palavras-chave: Matrizes. Função. Criptografia. Introdução Diversos são os motivos pelos quais tem-se o interesse de ocultar uma mensagem. Segundo Bezerra, Malagutti, Rodrigues (2010) ela pode ser utilizada em sigilo de banco de dados, censos, investigações governamentais, dados hospitalares, informações de crédito pessoal, comandos militares, entre outros. A principal maneira de se ocultar uma mensagem é por meio da criptografia, sendo ela o objeto de estudo na presente oficina. A criptografia (em grego: kryptós, que significa escondido, e gráphein, que significa escrita) é o estudo da ocultação de uma informação por meio de uma escrita oculta ou secreta de uma mensagem. Seu desenvolvimento se deu ao longo da história da humanidade e ela foi sendo aprimorada ao longo do tempo. Assim, nesta oficina discutiremos a aplicação de função do primeiro grau e matriz, para formulação de codificação e decodificação de mensagens. As Diretrizes Curriculares Estaduais do Paraná (PARANÁ, 2008, p. 49), apontam que o ensino de Matemática deve contribuir [...] para que o estudante tenha condições de constatar regularidades, generalizações e apropriação de linguagem adequada para descrever e interpretar fenômenos matemáticos e de outras áreas do conhecimento. Acreditamos que o estudo de criptografia aliado à Matemática pode contribuir em relação a esses aspectos, pois possibilita a percepção de regularidades e generalizações. Além disso, os objetos matemáticos são necessários para a criação e o uso de uma nova linguagem.
Um breve histórico sobre a criptografia A necessidade de manter informações em sigilo é muito antiga, sendo assim esse tipo de escrita, de acordo com Bezerra, Malagutti, Rodrigues (2010) teve como pioneiros reis, rainhas e generais, que buscavam durante as guerras uma alternativa para se comunicar com seus exércitos, de forma que somente os envolvidos entendesse a mensagem. Com isto, surgiram inúmeros grupos com o objetivo de criar modos de se ocultar uma mensagem, bem como grupos de decifradores. A primeira forma criada de se ocultar uma mensagem foi a esteganografia, que busca formas e métodos para se esconder a existência da mensagem (BEZERRA, MALAGUTTI, RODRIGUES, 2010). Singh (2007) discorre que uma das maneiras de se utilizar a esteganografia era escrevendo a mensagem na cabeça e esperar até o cabelo crescer para ir até o receptor da mensagem. Atualmente a esteganografia é utilizada para esconder mensagens em músicas, imagens e vídeos. Mas esse método para ocultar mensagens não era viável, pois além de demandar tempo não é segura e, com isso, desenvolveu-se a criptografia. A diferença entre a criptografia e esteganografia é que enquanto a esteganografia esconde a mensagem a criptografia oculta o sentido da mensagem. Na criptografia o conteúdo da mensagem é rearranjado de acordo com uma chave que deve ser estabelecida previamente entre o receptor e o transmissor, esse processo é conhecido como codificação. Assim o receptor poderá retornar para a mensagem original usando a chave conhecida, sendo esse o processo de decodificação. A vantagem de se usar a criptografia é mesmo que um inimigo ou alguém que não deveria ter acesso à mensagem a intercepte, provavelmente não conseguirá entendê-la. A história da rainha Maria da Escócia é uma das mais conhecidas sobre o uso de criptografia (SINGH, 2007). A rainha Maria juntamente com seus conspiradores tramou um plano para assassinar a rainha Elizabeth, por este motivo foi presa. Durante esse período continuava a se comunicar com seus conspiradores por meio de mensagens criptografadas e assim acreditava que não conseguiriam provar o seu envolvimento no plano. Porém, não era de seu conhecimento que o mensageiro também estava aliado ao
governo, pois ao receber as cartas as entregava ao primeiro secretário da Inglaterra, Walsingham, que por sua vez as enviava a Thomas Phelippes, que era um decifrador. Assim, as cartas foram decifradas e à pedido do secretário foi elaborada uma carta se passando pela rainha, solicitando o nome de todos os envolvidos no plano para que ela pudesse agradecê-los. Dessa forma o governo, além de ter as provas do envolvimento da Rainha Maria, também teve o nome de todos os envolvidos. Então no dia 15 de outubro de 1586 a Rainha Maria foi julgada por traição, por tramar o assassinato da rainha da Inglaterra, tal plano foi chamado de Plano Babington. Ao final do julgamento foi condenada a pena de morte e foi assassinada no dia oito de fevereiro de 1587. Metodologia Entendermos que é possível trabalhar os conteúdos de matrizes e de função de primeiro grau de uma maneira diferente. O uso da criptografia durante as aulas é interessante, pois poderá despertar o interesse dos alunos e, além disso, poderá contribuir para a fuga de métodos tão tradicionais. Nesta oficina iremos propor inicialmente uma atividade para a familiarização dos participantes com a linguagem de códigos, sendo que esta atividade envolve a substituição das letras do alfabeto por símbolos ou por números, em seguida atividades envolvendo funções e matrizes. 1- Descubra a mensagem utilizando a chave Figura 1: alfabeto simbólico Fonte: os autores, adaptado de http://www.lematec.net/cds/enem10/artigos/cc/t17_cc555.pdf
Figura 2: mensagem codificada. Fonte: os autores Para tais atividades se fará necessário o seguinte alfabeto com a associação numérica: Quadro 1 Espaço A B C D E F G H I J K L 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 M N O P Q R S T U V W X Y Z 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Fonte: os autores 2- Codifique a mensagem A matemática é a versão codificada do mundo real, utilizando a chave volte 1 casa. 3- Descubra a mensagem utilizando a chave o dobro mais dois. A Matemática é a honra do espírito humano. 4 2 28 4 42 12 28 4 42 20 8 4 2 12 2 4 2 18 32 30 38 4 2 10 32 2 12 40 34 20 38 20 42 32 2 18 44 28 4 30 32 4- Descubra a mensagem utilizando a chave f(x) = 32x 59 Mensagem Codificada: 101 69 613 37-27 37-27 421-59 357-27 583 101 357-27 583 229 37-27 5- Encontre a chave (função afim) e a mensagem por meio da sequência original e codificada: Sequência Original: 21 14 9 15 5 19 20 5
Sequência Codificada: 492 324 204 348 108 444 468 108 6- Codifiquem a mensagem Hiperbolóide, utilizando a chave ( ) 7- Descubra a mensagem, utilizando a chave ( ). Mensagem Codificada: 51 10 75 18 6 30 92 40 17 36 105 0 Para a próxima atividade usaremos a associação abaixo: Quadro 2: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B,F C,Ç,G,K D,H,L,P E,I,M, Q,Y J,N,R,V,Z O,S,W, espaço T,X, ponto Fonte: os autores, adaptado de http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1020 U, vírgula 8- Codifiquem a mensagem Alegria, utilizando a chave ( ) Conclusão A criptografia pode ser utilizada como uma ferramenta para ensinar alguns conteúdos, entre eles função do primeiro e segundo grau, função inversa, função exponencial e ainda pode-se trabalhar com o conteúdo de matrizes, relembrando a multiplicação entre matrizes, matriz inversa entre outras propriedades. O uso deste assunto durante as aulas se faz interessante, pois pode ser algo que despertará o interesse dos alunos e, além disso, poderá contribuir para a fuga de métodos tão tradicionais em se trabalhar os conceitos de matrizes. Referências BARICHELLO, L; FIRER, M.; TOREZZAN, C. Recursos educacionais multimídia para a matemática do ensino médio; Universidade Estadual de Campinas UNICAMP. Disponível em: <http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1020> Acesso em: 06 maio 2015
BEZERRA, D. de J; MALUGUTI, P. L; RODRIGUES, V. C. da S. Aprendendo Criptologia de forma divertida. In: V Bienal de Matemática, 2010, João Pessoa. V Bienal de Matemática, 2010. GROENWALD, C. L. O. ; OLGIN, C. A.. Códigos e Senhas: sequência didática com o tema criptografia no ensino fundamental. In: X ENEM - Encontro Nacional de Educação Matemática, 2010, Salvador. Anais..., 2010. PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Departamento de Educação Básica. Diretrizes Curriculares da Educação Básica Matemática. Curitiba, SEED: 2008. SINGH, S.. O Livro dos Códigos: A Ciências do Sigilo - do Antigo Egito à Criptografia Quântica. Rio de Janeiro, Record, 2007.