MÓDULO MATEMÁTICA RECADO AO ALUNO As matérias desta apostila foram reunidas e consolidadas para estudo dos alunos Instituto Marconi. A leitura e estudo deste conteúdo não eclui a consulta a outras fontes que possam enriquecer e oferecer maior abrangência aos tópicos solicitados em editais de concursos públicos e outras formas de seleção.
VII - RAZÃO E PROPORÇÃO ) RAZÃO Razão é o quociente entre dois valores referidos na mesma grandeza. Sua utilidade é nos mostrar de forma sintética a relação entre esses dois valores. Eemplos: º) A razão entre 8 e 8 : : Resposta: A razão entre eles é /. Ou, de três para quatro. Se a razão pedida fosse entre e 8, teríamos: : 8 : (ou de quatro para três") Conclui-se que a razão entre 8 e é diferente da razão entre e 8, bem como são inversas. º) A razão entre R$ 0,00 e R$ 0,00 0 0 0 :0 0 :0 (ou cinco para um ) Nota: Mesmo comparando uma mesma grandeza (R$), a razão é epressa apenas numericamente. º) A razão entre / e /8 8 8 6 º) A razão entre,8m e 60cm,8 m,8 00cm 60cm 60cm,8 60 00,8,6 Atenção: Como temos uma medida referida em metros e a outra em centímetros, precisamos epressá-las em um mesmo padrão para encontrar a razão. Notas Importantes: Numa razão, o numerador recebe o nome de ANTECEDENTE e o denominador de CONSEQÜENTE. Ambos são denominados TERMOS de uma razão; A razão pode ser epressa sob a forma de fração, divisão, ou mesmo por etenso. Eemplo: /, :, de três para quatro ; Veja um eemplo de epressar a relação entre dois valores: Quando alguém vai ao jóquei apostar e o painel de informações diz que tal cavalo está sete por dois ou sete para dois, significa que cada dois reais apostados revertem em sete recebidos se o cavalo vencer o páreo.
7 0 0 Assim, se você apostasse R$ 0,00, receberia R$ 0,00. ) PROPORÇÃO A igualdade entre duas razões recebe o nome de proporção. Eemplo: 0 6 É fácil verificar que há igualdade entre as duas razões, pois os termos da segunda são os da primeira multiplicados por dois. Fazemos a sua leitura assim: cinco está para seis, assim como dez está para doze. A mesma proporção também pode ser escrita nas seguintes formas: :60:, e :6::0: Os termos de uma proporção também são identificados como Etremos e Meios. Veja no eemplo: Etremo Meio 6 0 : 6 :: 0 : Meio Etremo PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES Tomemos uma proporção genérica: A) Propriedade Fundamental a b Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos etremos. Ou seja: (b.c a.d) Eemplos: º) Verificar se / e 9/ forma uma proporção. Caso as duas razões formem uma proporção, podemos epressar assim: 9 Nesse caso, e 9 seriam os meios, e e seriam os etremos. Teríamos, então:.9 6 e. 6 c d Conclusão: Como os produtos são iguais, as duas razões formam uma proporção. º) Verificar se / e 0/0 forma uma proporção Caso as duas razões formem uma proporção, podemos epressá-las assim:
0 0 No caso, e 0 seriam os meios, e e 0 seriam os etremos. Então teríamos: 0 0 e 0 60 Conclusão: Como os produtos NÃO são iguais, as duas razões NÃO formam uma proporção. º) Qual o valor de para que as razões (/) e (8/) formem uma proporção? Para que formem uma proporção devem ser epressas da seguinte forma: 8 Temos: 8 8 8 8/8 Conclusão: O valor de é. Dica: Geralmente, os problemas relacionados a proporção consistem em determinar o valor de um termo desconhecido da proporção, como o eemplo anterior ilustrou. B) Outra Propriedade da Proporção Em toda proporção, a soma (ou a diferença) dos dois primeiros termos está para o primeiro, ou para o segundo termo, assim como a soma (ou a diferença) dos dois últimos termos está para o terceiro (ou quarto) termo. Observe: Sendo, a c b d ) ) ) ) a + b c + d a c a + b c + d b d a b c d a c a b c d b d Eemplo: + + + + então ou ou C) Uma Propriedade importantíssima: A soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes, assim como cada antecedente está para seu conseqüente.
A importância desta propriedade é que ela nos permitirá fazer divisões proporcionais, como veremos mais adiante. Eemplificando: a + c b + d a b ou a c b d a + c b + d, então c d Com valores numéricos: 6 + 6 + ou + 6 + 6 D) Outros Conceitos: Utilizados na resolução de problemas em que se aplicam razão e proporção. Vamos praticá-los, resolvendo as questões que se seguem. Questão - Numa cidade há 00.000 habitantes, dos quais 60.000 são homens. Determine a razão de mulheres para homens. Nº de Munlheres 0.000 Razão Nº de Homens 60.000 6 Número de mulheres (00.000 60.000) 0.000 Resposta: A razão de mulheres para homens é / Obs. - Interpretando o resultado, podemos dizer que: para cada duas mulheres eistem homens. Questão - Determine a quarta proporcional entre, e 8. Atenção: A quarta proporcional é o elemento que completa a proporção, constituindo o seu quarto termo. Da mesma forma, os outros termos são denominados: primeira, segunda e terceira proporcional. 8 Temos que: é a primeira proporcional, é a segunda, 8 é a terceira e é a quarta proporcional) Aplicando a propriedade fundamental:.8 / Resposta: A quarta proporcional é.
Questão - Calcule a média proporcional entre e 9 A Média Proporcional ou Média Geométrica é o valor que corresponde a meios iguais. A razão deve ser montada assim: Aplicando a propriedade fundamental:. 9 6 6 6 ou -6 Resposta: A média proporcional é 6. Atenção: No caso da média, tomamos apenas o valor positivo. 9 Questão - Dois capitais, cuja soma é R$ 6.000,00, estão na razão de para 8. Determineos. Chamemos os capitais de () e (y). Sabemos que: + y 6000 O enunciado informa que ( e y) estão na razão de ( para 8), ou seja, está para y assim como está para 8. Convertendo a informação em uma proporção: y 8 Temos, então, um sistema de equações para resolver: Isolando y na primeira equação, fica: y 6000 + y 6000 y 8 Substituindo y na segunda, temos: 6000 8 Efetuando: 8 (6000 ) 8 6000 8 + 000 000 000 000 Logo: 000 6
Sabemos que: y 6000. Então: y 6000 000. Logo: y 0000 Resposta: Os capitais são R$.000,00 e R$ 0.000,00. Questão - Uma pessoa saca um cheque de R$ 00,00 em um banco, em cédulas de R$,00 e R$,00. Sabendo-se que a razão entre o número de cédulas de R$,00 e o de R$,00 é de /, quantos reais serão sacados em cédulas de R$,00? Nº de cédulas de R$,00 Nº de cédulas de R$,00 y O total sacado é igual a cédulas de (sem casas decimais) e y cédulas de, ou seja + y 00. Sabe-se que a razão entre e y é de /, então:. Montando o sistema: + y 00 y y. Isolando na segunda equação: y y + y. Substituindo na primeira equação: 00 Logo, y 00 y 00/ y 00. Como:. Assim: 80 y 00, teremos 80 Sabendo que 80 (número de cédulas de R$,00), então (80 00) e achamos o valor pedido pelo enunciado da questão. Resposta: Serão sacados R$ 00,00 em cédulas de R$,00. Neste ponto, convém a você eercitar o raciocínio. Procure resolver sozinho os próimos problemas: Problema - A diferença entre dois salários é de R$.000,00. A razão entre eles é 0/. Quantas ações, cotadas a R$ 0,00, pode-se adquirir com o salário maior? Dica: Primeiro encontre os valores dos salários montando um sistema de equações. Só depois se preocupe em achar o número de ações que se pode comprar. 7
Problema - A média geométrica ou proporcional entre dois números inteiros e positivos é. Sabendo-se que a razão entre seus quadrados é 8/6, determine-os. Dica: Monte um sistema de equações. Em uma delas, você pode etrair a raiz quadrada dos dois membros, facilitando os cálculos. Problema - Francisco fez uma aposta no jóquei, o que lhe rendeu R$ 0,00 de lucro. Se o cavalo vencedor pagou um prêmio de R$,00 para cada R$,00 apostado, quanto apostou Francisco? Dica: Monte um sistema de equações, em que uma delas seja uma proporção. Problema - A razão entre o número de homens e de mulheres, funcionários da firma W, é /. Sendo N o número total de funcionários (número de homens mais o número de mulheres), um possível valor para N é: a) 6 b) 9 c) 0 d) e) 6 Dica: Utilize uma propriedade das proporções e depois teste cada alternativa. Confira as Respostas: º) 0; º) 9 e 6; º) R$ 00,00 ; º) Alternativa (E) VIII - DIVISÃO PROPORCIONAL DE GRANDEZAS Dividir uma grandeza em partes proporcionais consiste em determinar valores que, divididos por quocientes previamente determinados, mantêm uma razão constante. Eemplificando: Suponha que três filhos devem receber uma herança, de acordo com o desejo do pai, epresso em testamento. Este pai pode ter considerado que, quanto mais idade tiver o filho em relação aos irmãos, maior deve ser sua parcela da herança. Neste caso, teríamos uma divisão diretamente proporcional às idades. Se, no entanto, ele tiver considerado que quanto maior a idade, menor deve ser a parcela, a divisão ocorreria de forma inversamente proporcional. De qualquer forma, deve-se ter um critério (matemático) que garanta a justiça na partilha. Vejamos agora, como calcular a divisão da herança. Atenção: podemos dividir um número em: Partes diretamente proporcionais. Partes inversamente proporcionais. Em partes diretamente e inversamente proporcionais, simultaneamente. Eaminemos cada um dos casos. 8
- Divisão em partes diretamente proporcionais Para tornar o entendimento mais fácil, vamos eplicar a partir de um eemplo: Devemos dividir um prêmio de R$.00,00 entre três funcionários, de forma diretamente proporcional a seus anos de casa, que são, e. Resolução formal: A quantia a ser recebida pelo primeiro, que tem dois anos de casa, será ( ) A quantia a ser recebida pelo segundo, que tem três anos de casa, será ( y ) A quantia a ser recebida pelo terceiro, que tem cinco anos de casa, será ( z ) Como a divisão deve ser proporcional ao tempo de casa, significa que as razões, entre o que cada um recebe e seu tempo de trabalho, devem ser equivalentes, ou seja: y z Sabemos que os três juntos receberão o prêmio total. Então: + y + z 00 Montamos um sistema de equações, que podemos resolver com o auílio de uma propriedade das proporções. Vejamos: y z + y + z 00 Aplicando a propriedade que diz: a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes, assim como cada antecedente está para seu conseqüente, fica assim: + y + z y z + + Mas +y+z00, logo: 00 y z 0 0 y 0 z 0 00; y 0 z 70 Dessa forma, chegamos ao resultado e podemos responder à questão. Resposta: Quem tem dois anos de casa receberá R$00,00; quem tem três anos receberá R$0,00; e quem tem cinco anos, receberá R$70,00. Dica: Todo cálculo e resolução de problemas e questões podem ser mais facilitados, se lançarmos mão de algumas regras práticas :. Some os conseqüentes das razões;. Divida o número a ser repartido pela soma dos conseqüentes de cada razão;. Multiplique o número achado pelo conseqüente de cada razão e encontre cada antecedente. 9
Nem sempre encontramos os dados disponíveis, de forma a aplicar estas regras básicas, mas vale a pena gravá-las na memória, para quando for preciso utilizá-las. Apliquemos regras práticas a outro eemplo: Divida 90 em partes diretamente proporcionais a /, / e /. Nesse caso, as razões que temos são: y z Somando os conseqüentes, resulta: Logo, + y + z y z ou melhor, 90 90 80; y 0; z 6 + + + 90 y z + (consulte a regra já vista). E por fim: 90 90 Resposta: Os números diretamente proporcionais a /, / e a /, são, respectivamente: 80, 0 e 90 - Divisão em partes inversamente proporcionais Consistem na divisão diretamente proporcional aos inversos de quocientes prédeterminados. Acompanhemos um eemplo, para maior clareza dessa definição. Questão: Vamos dividir 0 em partes inversamente proporcionais a, e 6. Os inversos dos quocientes pré-determinados (,, 6) são: /, / e /6. Fazemos agora, simplesmente, a divisão diretamente proporcional, aplicando a propriedade descrita acima: 0 y z + + 6 6 Somando as frações da última razão da epressão acima, temos. Continuando: 0 0 + + 6 0 600 0 0
Logo: 600 00 y 600 0 z 600 00 6 Resposta: As partes inversamente proporcionais a,, 6 são: 00, 0 e 00. NOTAS: na divisão em partes inversamente proporcionais, quanto maior o quociente pré-determinado, menor o valor da parcela distribuída. Eplicando melhor: caso se tratasse de distribuir um prêmio de R$600,00 de forma inversa ao tempo de vínculo (, e 6 anos) dos empregados, aquele com mais tempo de casa receberia o menor valor. Não seria o critério mais justo do ponto de vista da lógica do mundo do trabalho, mas, com certeza, seria a distribuição correta, dentro da lógica matemática! Outro eemplo: Questão: Dividir o número 780 em partes inversamente proporcionais a ; 0, e /. Primeiro deve-se converter o número decimal 0, em fração decimal: 0, /0 Simplificando, temos: /0 / Lembrete: O inverso de (a) é (/a); o inverso de (a/b) é (b/a). Dessa forma, o inverso de () é (/) e o inverso de (/) é (/). Dividindo pelos inversos, e de acordo com a propriedade das proporções, temos: 780 + + Logo: 0 0 y 0 00 z 0 0 780 0 6 Resposta: As partes inversamente proporcionais a ; 0, e / são: 0, 00 e 0. - Divisão simultânea em partes diretamente e inversamente proporcionais Basta dividir em partes diretamente proporcionais ao produto entre os quocientes da divisão direta e o inverso dos quocientes da divisão indireta. Embora pareça complicado, não é, como veremos neste eemplo: Questão: Dividir 8 em partes diretamente proporcionais a (, e ) e inversamente proporcionais a (, 7 e 8).
Primeiramente vamos inverter os quocientes da divisão inversamente proporcional: os inversos de (, 7 e 8) são (/, /7 e /8), respectivamente. Agora, podemos montar a equação, a partir da propriedade das proporções, multiplicando os quocientes: 8 y + + 7 8 7 8 Vamos somar as frações que aparecem na última razão: (MMC, 7, 8 68) + 7 + 8 6 + + 68 09 68 8 09 68 Calculando a fração equivalente: 6 Logo: 6 y 6 96 7 z 6 0 8 Resposta: As partes são:, 96 e 0. Vejamos mais um eemplo em que se aplicam quocientes que são números fracionários. Questão: Dividir o número 9 em partes diretamente proporcionais a (, e ) e inversamente proporcionais a (/, / e /). Primeiramente, vamos inverter o segundo conjunto de quocientes. Sendo assim, temos que: os inversos de (/, / e /) são (/, / e /), respectivamente. Podemos agora montar a equação: y z 9 9 + + 8 + E ainda, y 9 9 y 0 7 9 9 Finalmente 9 + 0 60
z 0 z 60 8 Resposta: 60; y7 e z60. ATENÇÃO Há um tópico denominado REGRA DE SOCIEDADE que, muitas vezes, consta em editais de concursos. Esta regra de sociedade nada mais é do que a divisão em partes diretamente proporcionais, do lucro ou prejuízo entre sócios, de acordo com o tempo de permanência na sociedade e o capital investido de cada um deles. Para aplicá-la, basta multiplicar o tempo pelo capital e proceder à divisão proporcional. Aplicando a divisão proporcional, passemos à resolução de alguns problemas. Vale a sugestão para que você tente resolvê-los antes de acompanhar a resolução apresentada. Problema Um número foi dividido em partes proporcionais a (, e 7). Sabendo-se que a terceira parte vale 0, calcule os valores da primeira e da segunda partes, bem como o número que foi dividido. Chamemos as partes em que foi dividido o número de (, y, e z ). Então temos: y z mas z 7 0, então y 0 y 60 80; e 60 y 00 7 Como o número é a soma de suas partes, então: N + y + z 80 + 00 + 0. Logo: N 900 Resposta: Foi dividido o número 900, nas partes: 80, 00 e 0. Problema Dividir um capital de R$ 06.000,00 em partes diretamente proporcionais a (/, /, e 0,8). Primeiramente, convertamos o número decimal em fração: 8 0,8 0 (já simplificada) Montemos a proporção, já aplicando a propriedade utilizada para a divisão proporcional: y z t 06000 + + + 06000 0000 60 Note que somando as frações da última razão da epressão, temos /60
Assim: 0000 y 0000 z 0000 t 0000 0000 y 0000 z 0000 t 0000 R$ y R$ z R$ t R$ 80.000,00; 90.000,00; 0.000,00; e finalmente 96.000,00. Resposta: As partes diretamente proporcionais são: a /, R$ 80.000,00; a /, R$ 90.000,00; a, R$ 0.000,00; e a 0,8, R$ 96.000,00. Nota: até agora havíamos feito divisões em três partes. Neste problema, dividimos em quatro. E, sem dúvida, podemos dividir em quantas partes quisermos. Problema Um revendedor de automóveis negocia três veículos, recebendo ao todo R$.000,00. Sabendo-se que seus preços foram estabelecidos na razão inversa a seus anos de fabricação (, e anos), determine por quanto foi vendido o mais velho. Inicialmente, determinemos os inversos dos quocientes: ; ; inversos: / ; / ; / Podemos montar a proporção: y z 000 000 0.000 + + 0 Veja que s somando as frações da última razão da epressão, temos /0 Assim, 0.000 0.000 7.000; y 0.000 y 0.000 0.000 z 0.000 y 0.000 0.000. Como o problema pede apenas o valor do carro mais velho (o que tem anos), bastava calcularmos o valor de ( z ). Então: Resposta: O carro mais velho foi vendido por R$ 0.000,00. e
Resolva você estes problemas: Problema - Uma firma destina uma verba de R$ 0.00,00 para distribuição entre seus três vendedores, na razão direta da quantidade dos produtos vendidos, e na razão inversa do número de ausências no período considerado. Sabendo-se que: João vendeu produtos e faltou vezes. Marcos vendeu produtos e faltou vezes. Cezar vendeu produtos e faltou vez. Quanto recebeu Marcos? Problema - O lucro de R$.000,00 de uma sociedade é distribuído entre três sócios de uma empresa, na razão direta do tempo de sociedade e na razão inversa do número representativo de suas classificações em um clube de investimento. Quanto receberá cada sócio, conhecendo-se as condições abaio? Sócio Tempo de Sociedade Classificação Nelson anos e meses º Luiz anos e 6 meses º João anos º DICA: converta todos os tempos para meses. Problema - Um número foi dividido em quatro partes proporcionais a (9,, e ). Achar esse número, sabendo-se que: se somarmos o dobro da primeira parte ao triplo da segunda, ao quádruplo da terceira, e ao dobro da quarta, tem-se como resultado 79. DICA: Aplique a propriedade das proporções que utilizamos na divisão proporcional, encontrando antes as razões equivalentes, em que os denominadores estejam multiplicados pelos índices indicados no problema. Por eemplo, ao invés de /9, podemos ter a razão /.9, ou seja, /8. Depois é só aplicar a propriedade. Problema - Dois funcionários de uma Repartição Pública foram incumbidos de arquivar 6 processos e dividiram esse total na razão direta de suas respectivas idades e inversa de seus respectivos tempos de serviço público. Se um deles tem 7 anos e anos de tempo de serviço e o outro anos, e está há 9 anos no serviço público, então a diferença positiva entre os números de processos que cada um arquivou é: (A) 8; (B) 0; (C) ; (D) ; (E) 6
Problema - (Oficial de Justiça SP 999). Divida em partes proporcionais a / e /. (A) e 0; (B) 6 e 89; (C) e 99; (D) 76 e 77; (E) 7 e 8 Problema 6 - A divisão do número de vereadores de determinada cidade é proporcional ao número de votos que cada partido recebe. Na última eleição, concorreram apenas partidos (A, B, C), que receberam a seguinte votação: (A) teve 0.000 votos, (B) teve 0.000 e (C) 0.000. Se o número de vereadores dessa cidade é, quantos são do partido B? (A) 6; (B) 7; (C) 8; (D) 9; (E)0 Confira seus resultados com as Respostas Corretas abaio: Problema > R$.00,00 Problema > R$ 7.00,00; R$ 7.00,00; R$ 9.600,00 Problema > 90 Problema > Alternativa (E) Problema > Alternativa (E) Problema 6 > Alternativa (A) 6